精品解析：2022年江苏省无锡市中考数学模拟冲刺试题

2022年江苏省无锡市中考模拟冲刺试题 数学 （本试题共28题，满分150分，考试时间120分钟） 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 2022 D. －2022 2. 数学课上，老师提出问题：“一次函数的图象经过点，，由此可求得哪些结论？”小明思考后求得下列个结论：①该函数表达式为；②该一次函数的函数值随自变量的增大而增大；③点该函数图象上；④直线与坐标轴围成的三角形的面积为．其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 3. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下图是由6个大小相同的正方体拼成的几何体，则下列说法正确的是（　　） A. 从正面看和从左面看到的图形相同 B. 从正面看和从上面看到的图形相同 C. 从上面看和从左面看到的图形相同 D. 从正面、左面、上面看到的图形都不相同 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中，是假命题的是（　　　） A. 直角三角形的两个锐角互余 B. 在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 C. 同旁内角互补，两直线平行 D. 三角形的一个外角大于任何一个内角 7. 下列说法中，正确的是（ ） A. 一组数据，，0，2的方差是 B. 质检部门要了解一批灯泡的使用寿命，应当采用普查的调查方式 C. 购买一张福利彩票中奖是一个确定事件 D. 分别写有三个数字，，4的三张卡片（卡片的大小形状都相同），从中任意抽取两张，则卡片上的两数之积为正数的概率为 8. 某中学举办运动会，在1500米的项目中，参赛选手在200米的环形跑道上进行，如图记录了跑得最快的一位选手与最慢的一位选手的跑步全过程（两人都跑完了全程），其中x代表的是最快的选手全程的跑步时间，y代表的是这两位选手之间的距离，下列说不合理的是（　　） A. 出发后最快的选手与最慢的选手相遇了两次 B. 出发后最快的选手与最慢的选手第一次相遇比第二次相遇的用时短 C. 最快的选手到达终点时，最慢的选手还有415米未跑 D. 跑的最慢的选手用时4′46″ 9. 如图，将绕正方形（四条边都相等，四个角都是直角）的顶点A顺时针旋转得，连接交于点H；则下列结论：①；②；③点A在线段的中垂线上；④与的周长和面积分别相等；其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 10. 如图，在平面直角坐标系中，A（0，3）、B（3，0），以点B为圆心、2为半径的⊙B上有一动点P．连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为（　　） A. 1 B. 2﹣1 C. D. ﹣1 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 11. 当a_______时，分式有意义；当_______时，分式无意义． 12. 分解因式：________． 13. 为认真贯彻落实党的“十九大”和中央政治局关于“八项规定”的精神，厉行节约、反对铺张浪费，某市严格控制“三公”经费支出，共节约“三公”经费亿元，亿元用科学记数法表示为_____． 14. 已知圆锥的底面半径是3，高是4，则这个圆锥的全面积是__ 15. 一组数据4，2，x，6，3的平均数是4，则这组数据的中位数是 _____． 16. 已知二次函数，过点，则的解为__________． 17. 如图，在中，，且把分成面积相等的两部分．若，则的长为________． 18. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，P是第一象限内任意一点，连接，，若，，若点P到x轴的距离为1，则的最小值为_____． 三．解答题（共10小题，满分96分） 19. 计算及化简： （1） （2）． 20. （1）解方程：； （2）解不等式：． 21. 已知：，交于点F． （1）如图1，若，设交于点N，交于点M，求证：． （2）如图2，若，且点F为的中点时，线段与线段之间存在某种数量关系，写出你的结论，并加以证明． 22. 初2020届学生即将参加中考中的体育考试，为了了解同学们体育考试项目之一“长跑”的准备情况，某学校随机抽取了若干学生，并测试了他们的长跑成绩（男子1000米，女子800米），统计结果如下： 被调查学生长跑成绩情况条形和扇形统计图 （1）补全条形统计图，并算出扇形统计图中“不合格”所对的圆心角度数； （2）若该校初2020届共有1500名学生，请你估计该校学生长跑达到良好以上的人数． 23. 在如图电路中，有三个开关：S1、S2、S3． （1）当开关S1已经是闭合状态时，开关S2、S3的断开与闭合是随机的，灯泡L1能亮起来的概率是 　 　． （2）若三个开关S1、S2、S3的断开与闭合都是随机的，用树状图法求灯泡L1能亮起来的概率． 24. 如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O，请在下面的图中按要求仅用无刻度的直尺作图． （1）如图①，当∠ADC＝60°时，⊙O与DC相交于点M，过点M作⊙O的切线； （2）如图②，当∠ADC＝90°时，过点C作⊙O的切线（CD除外）． 25. 如图，在中，，过延长线上的点O作，交的延长线于点D，以O为圆心，长为半径的圆过点B． （1）求证：直线与相切； （2）若，的半径为12，则 ． 26. 信诚超市销售甲、乙两种商品，3月份该超市同时购进甲、乙两种商品共100件，其中甲种商品用去300元，乙种商品用去1200元，已知甲、乙两种商品每件的进价相同． （1）求两种商品购进的数量分别是多少件？ （2）由于商品受到市民欢迎，超市4月份决定再次购进甲、乙两种商品共100件，但甲商品进价在原基础上降了，乙商品进价在原基础上涨了，甲种商品每件售价20元，乙种商品每件售价30元，若4月份购进的商品全部售出后获得的总利润不少于950元，那么该超市最多购进甲种商品多少件？ 27. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的三个顶点，，，抛物线经过A，C两点．动点P从点A出发，沿线段向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段向终点D运动，运动速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，过点P作交于点E． （1）求点A的坐标及抛物线的函数表达式； （2）过点E作于点F，交抛物线于点G．当t为何值时，线段的长有最大值？最大值是多少？ （3）连接，是否存在t的值使为等腰三角形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． 28. 已知△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，M是CE的中点． （1）如图1，若点F与A重合，D在B，A延长线上时，直接写出BM，BD的数量关系 ． （2）如图2，若点F与A重合，且点C，E，D在同一直线上，连接BE，当AB＝AE＝2，求BD的长． （3）如图3，若等腰Rt△DEF的斜边EF在射线AC上运动时，AB＝2，DE，求BE+BD的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年江苏省无锡市中考模拟冲刺试题 数学 （本试题共28题，满分150分，考试时间120分钟） 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 2022 D. －2022 【答案】B 【解析】 【分析】根据相反数的定义求解即可，只有符号不同的两个数互为相反数． 【详解】解：的相反数是． 故选B． 【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键． 2. 数学课上，老师提出问题：“一次函数的图象经过点，，由此可求得哪些结论？”小明思考后求得下列个结论：①该函数表达式为；②该一次函数的函数值随自变量的增大而增大；③点该函数图象上；④直线与坐标轴围成的三角形的面积为．其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】已知一次函数过两个点A（3，2），B（-1，-6），可以用待定系数法求出关系式；根据关系式可以判定一个点（已知坐标）是否在函数的图象上；根据一次函数的增减性，可以判定函数值随自变量的变化情况，当k＞0，y随x的增大而增大；根据关系式可以求出函数图象与x轴、y轴的交点坐标，进而可以求出直线AB与坐标轴围成的三角形的面积，最后综合做出结论． 【详解】解：设一次函数表达式为y=kx+b，将A（3，2），B（-1，-6）代入得： ， 解得：k=2，b=-4， ∴关系式为y=2x-4，故①正确； 由于k=2＞0，y随x的增大而增大，故②正确； 点P（2a，4a-4），代入，得：2×2a-4=4a-4， ∴其坐标满足y=2x-4，因此该点在此函数图象上；故③正确； 令x=0，则y=-4，令y=0，则x=2， ∴直线AB与x轴，y轴的交点分别（2，0），（0，-4）， 因此与坐标轴围成的三角形的面积为：，故④错误； 因此，①②③均正确，④不正确． 故选：C． 【点睛】本题考查待定系数法求函数关系式，一次函数的性质，一次函数图象的点的坐标特征，以及依据关系式求出函数图象与坐标轴的交点坐标，进而求出三角形的面积等知识点，在解题中渗透选择题的排除法，验证法． 3. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的意义对四个图形逐一分析，再作出判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意． 4. 下图是由6个大小相同的正方体拼成的几何体，则下列说法正确的是（　　） A. 从正面看和从左面看到的图形相同 B. 从正面看和从上面看到的图形相同 C. 从上面看和从左面看到的图形相同 D. 从正面、左面、上面看到的图形都不相同 【答案】D 【解析】 【分析】画出从正面看、从上面看、从左面看到的形状，再将三个看到的图形进行比较，即可作出判断． 【详解】解：将从三个方向看物体的形状画出如下： 则可知，三个方向看到的图形都不相同， 故选：D． 【点睛】本题考查了从三个方向看物体的形状，会画出几何体从正面、上面和左面看到的形状是解答的关键． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除运算、合并同类项以及幂的乘方，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用同底数幂的乘除运算法则、合并同类项法则以及幂的乘方法则分别化简得出答案． 【详解】解：A、，故此选项错误，不符合题意； B、，故此选项错误，不符合题意； C、，故此选项错误，不符合题意； D、，故此选项正确，符合题意； 故选D． 6. 下列命题中，是假命题的是（　　　） A. 直角三角形的两个锐角互余 B. 在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 C. 同旁内角互补，两直线平行 D. 三角形的一个外角大于任何一个内角 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形外角的性质、平行线的性质及直角三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A. 直角三角形的两个锐角互余，正确，是真命题； B. 在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，正确，是真命题； C. 同旁内角互补，两直线平行，正确，是真命题； D. 三角形的一个外角大于任何一个内角，错误，是假命题； 故选：D． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，三角形外角的性质、平行线的性质及直角三角形的性质，熟悉相关性质是解题的关键． 7. 下列说法中，正确的是（ ） A. 一组数据，，0，2的方差是 B. 质检部门要了解一批灯泡的使用寿命，应当采用普查的调查方式 C. 购买一张福利彩票中奖是一个确定事件 D. 分别写有三个数字，，4的三张卡片（卡片的大小形状都相同），从中任意抽取两张，则卡片上的两数之积为正数的概率为 【答案】D 【解析】 【分析】先求出平均数再利用方差公式求出结果判断选项A；灯泡使用寿命的调查具有破坏性即需要抽样性调查，进而判断出选项B；彩票中奖是随机事件来判断选项C；选项D采用画树状图求概率的方法求解判断即可． 【详解】解：A、数据，，0，2的平均数为， 方差为，故选项A错误，不符合题意； B、质检部门要了解一批灯泡的使用寿命，应当采用抽样调查方式，故选项B错误，不符合题意； C、购买一张福利彩票中奖是一个随机事件，故选项C错误，不符合题意； D、画树状图如图： 共有6种等可能的结果，卡片上的两数之积为正数的结果有2种， 卡片上的两数之积为正数的概率为，故选项D正确，符合题意． 8. 某中学举办运动会，在1500米的项目中，参赛选手在200米的环形跑道上进行，如图记录了跑得最快的一位选手与最慢的一位选手的跑步全过程（两人都跑完了全程），其中x代表的是最快的选手全程的跑步时间，y代表的是这两位选手之间的距离，下列说不合理的是（　　） A. 出发后最快的选手与最慢的选手相遇了两次 B. 出发后最快的选手与最慢的选手第一次相遇比第二次相遇的用时短 C. 最快的选手到达终点时，最慢的选手还有415米未跑 D. 跑的最慢的选手用时4′46″ 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意和函数图象可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决． 【详解】解：由图象可得， 出发后最快的选手与最慢的选手相遇了两次，故选项A正确， 出发后最快的选手与最慢的选手第一次相遇比第二次相遇的用时短，故选项B正确， 最快的选手到达终点时，最慢的选手还有2×200＋15＝415米未跑，故选项C正确， 跑的最快的选手用时4′46″，故选项D错误， 故选D． 【点睛】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 错因分析 中等题.失分原因：没有弄清x、y所表示的含义，未明确函数图象所表示的情境. 9. 如图，将绕正方形（四条边都相等，四个角都是直角）的顶点A顺时针旋转得，连接交于点H；则下列结论：①；②；③点A在线段的中垂线上；④与的周长和面积分别相等；其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】依托旋转全等得到对应角相等，拼接角证明垂直关系，由对应边相等判定点在中垂线上，利用全等三角形固有性质判定周长、面积相等． 【详解】解：根据旋转的性质可以得到：，故②错误， ∴与的周长和面积分别相等，故④正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴点A在线段的中垂线上，故③正确． ∴正确的选项有3个． 10. 如图，在平面直角坐标系中，A（0，3）、B（3，0），以点B为圆心、2为半径的⊙B上有一动点P．连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为（　　） A. 1 B. 2﹣1 C. D. ﹣1 【答案】D 【解析】 【分析】确定点C的运动路径是:以D为圆心,以为半径的圆,当O、C、D共线时, OC的长最小,先求D的半径为1 ,说明D是AB的中点, 根据直角三角形斜边中线是斜边一半可得OD=,所以OC的最小值是. 【详解】当点P运动到AB的延长线上时,即如图中点, 是的中点， 当点P在线段AB上时, 是中点,取的中点为D， 点C的运动路径是以D为圆心,以D为半径的圆(CA: PA=1 : 2 ,则点C轨迹和点P轨迹相似,所以点C的轨迹就是圆) , 当O、C、D共线时, OC的长最小，设线段AB交B于Q， 中，OA=3,OB=3, . 半径为2, 是的中点, 是的中点, 即半径为1, 故选D. 【点睛】本题考查了图形与坐标的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、圆的性质、两点之间线段最短,确定出OC最小时点C的位置是解题关键, 也是本题的难点 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 11. 当a_______时，分式有意义；当_______时，分式无意义． 【答案】 ①. ②. ；x=3 【解析】 【详解】（1） （2） 12. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，运用平方差公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 为认真贯彻落实党的“十九大”和中央政治局关于“八项规定”的精神，厉行节约、反对铺张浪费，某市严格控制“三公”经费支出，共节约“三公”经费亿元，亿元用科学记数法表示为_____． 【答案】元 【解析】 【详解】解：亿元＝元＝元． 14. 已知圆锥的底面半径是3，高是4，则这个圆锥的全面积是__ 【答案】24π 【解析】 【详解】试题分析：圆锥的母线长＝＝5， 所以圆锥的侧面积＝•2π•3•5＝15π， 所以这个圆锥的全面积＝π•32＋15π＝24π． 故答案为24π． 点睛：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 15. 一组数据4，2，x，6，3的平均数是4，则这组数据的中位数是 _____． 【答案】4 【解析】 【详解】解：由题意得，， 解得， 将4，2，5，6，3从小到大排列为2，3，4，5，6，处在中间位置的一个数是4，因此中位数是4． 16. 已知二次函数，过点，则的解为__________． 【答案】或 【解析】 【详解】∵点在二次函数上， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为， 当时，，， 又抛物线开口向上， ∴时，或． 17. 如图，在中，，且把分成面积相等的两部分．若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】由平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，可知△ADE与△ABC相似，且面积比为，则相似比为，的值为，可求出AB的长，则DB的长可求出． 【详解】∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC ∵DE把△ABC分成面积相等的两部分 ∴S△ADE=S四边形DBCE ∴ ∴ ∵AD=4， ∴AB=4 ∴DB=AB-AD=4-4 故答案为：4-4 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方的逆用等． 18. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，P是第一象限内任意一点，连接，，若，，若点P到x轴的距离为1，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由于到轴距离为，所以在直线上，以为直径作圆，当直线与该圆相切时，切点处的圆周角最大，根据三角形内角和，故最大时最小． 【详解】解：如图，在平面直角坐标系中作出以为直径的， 设直线与相切于点P，则垂直于直线， 根据三角形内角和定理可知，要使得取得最小值，则需取得最大值． ∵点P到x轴的距离为1，而为半径， ∴， ∵点A的坐标为， ∴， ∴为以为直径的圆的一个圆周角， ∴． 在直线上任取不同于点P的一点，连接，交于点Q，连接， 则， ∴， ∴的最大值为， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了圆周角定理、三角形的内角和定理、三角形的外角性质等知识点，依据题意，正确画出图形，并联想到圆周角定理是解题关键． 三．解答题（共10小题，满分96分） 19. 计算及化简： （1） （2）． 【答案】（1）1； （2） 【解析】 【分析】(1)利用零指数幂性质，特殊角的三角函数值，绝对值的性质，负整数指数幂计算即可； (2)利用完全平方公式和平方差公式计算即可． 【小问1详解】 【小问2详解】 【点睛】本题考查了实数的运算和整式的运算，熟练掌握运算性质和乘法公式是解题的关键． 20. （1）解方程：； （2）解不等式：． 【答案】（1），；（2）x＞-4． 【解析】 【分析】（1）利用配方法求解即可； （2）不等式去括号，移项合并，将x系数化为1，即可求出解集． 【详解】解：（1）， 移项得， 配方得，即， ∴x-2=±， ∴，； （2）去括号得：2x-1＜3+3x， 移项得：2x-3x＜3+1， 合并得：-x＜4， 解得：x＞-4． 【点睛】此题考查了一元一次不等式，以及解一元二次方程-配方法，解本题的关键：（1）熟知解一元二次方程的方法；（2）熟练掌握解不等式的步骤． 21. 已知：，交于点F． （1）如图1，若，设交于点N，交于点M，求证：． （2）如图2，若，且点F为的中点时，线段与线段之间存在某种数量关系，写出你的结论，并加以证明． 【答案】（1）见解析 （2），见解析 【解析】 【分析】证明, 由全等三角形的性质得出，得出, 则可得出结论; 延长至, 使, 连接， 证明,由全等三角形的性质得出,证明，由全等三角形的性质得出, 则可得出结论. 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：． 证明：延长至G，使，连接， ∵F为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质， 熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键. 22. 初2020届学生即将参加中考中的体育考试，为了了解同学们体育考试项目之一“长跑”的准备情况，某学校随机抽取了若干学生，并测试了他们的长跑成绩（男子1000米，女子800米），统计结果如下： 被调查学生长跑成绩情况条形和扇形统计图 （1）补全条形统计图，并算出扇形统计图中“不合格”所对的圆心角度数； （2）若该校初2020届共有1500名学生，请你估计该校学生长跑达到良好以上的人数． 【答案】（1）， （2）1125人 【解析】 【分析】（1）用优秀的人数除以其所占百分比，推出抽取的总人数，再结合总人数算出良好和合格的人数，进而即可求出良好的男生人数与合格的女生人数补全条形统计图，最后用乘以不合格的人数所占比，即可得到其圆心角度数； （2）利用总人数乘以长跑达到良好以上的人数所占百分比即可． 【小问1详解】 解：抽取的总人数有：（人）， 良好的人数有（人）， 良好的男生有（人）， 合格的人数有（人）， 合格的女生有（人）， 补图见答案； “不合格”所对的圆心角度数是： ； 【小问2详解】 解：根据题意得：（人）， 答：估计该校学生长跑达到良好以上的人数有1125人． 23. 在如图电路中，有三个开关：S1、S2、S3． （1）当开关S1已经是闭合状态时，开关S2、S3的断开与闭合是随机的，灯泡L1能亮起来的概率是 　 　． （2）若三个开关S1、S2、S3的断开与闭合都是随机的，用树状图法求灯泡L1能亮起来的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】先画树状图展示出所有等可能结果，从中找到使电路AB正常工作的情况数，在根据概率公式计算即可； 【小问1详解】 解：画树状图如下： 由树状图知，共有4种等可能结果，其中电路AB能正常工作的有3种结果， ∴电路AB能正常工作的概率是； 故答案是． 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图知，共有8种等可能结果，其中电路AB能正常工作的有3种结果， ∴电路AB能正常工作的概率是； 【点睛】本题主要考查了画树状图求概率，能准确分析并计算是解题的关键． 24. 如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O，请在下面的图中按要求仅用无刻度的直尺作图． （1）如图①，当∠ADC＝60°时，⊙O与DC相交于点M，过点M作⊙O的切线； （2）如图②，当∠ADC＝90°时，过点C作⊙O的切线（CD除外）． 【答案】（1）画图见解析 （2）画图见解析 【解析】 【分析】（1）连接AC，BD交于点J，连接OJ，延长OJ交BC于点N，作直线MN即可； （2）连接OB，AC交于点K，连接DK，延长DK交⊙O于点Q，作直线CQ即可． 【小问1详解】 解：如图①中，直线MN即为所求； 理由如下：记的交点为E，的交点为F， ∵四边形为菱形， ∴ ∵ 为等边三角形， ∴ ∴ ∴ ∴为的中点， 同理：为等边三角形，为的中点， ∴ ∴四边形为矩形， ∴ ∵为半径， ∴为的切线． 【小问2详解】 如图②中，直线CQ即为所求． 理由如下：记的交点为E，的交点为F，连接 ∵ 四边形为菱形， ∴四边形为正方形， ∴ 设正方形的边长为 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵为直径，则 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 即 ∴是的切线． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，切线的判定，菱形的性质，正方形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的性质与判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 25. 如图，在中，，过延长线上的点O作，交的延长线于点D，以O为圆心，长为半径的圆过点B． （1）求证：直线与相切； （2）若，的半径为12，则 ． 【答案】（1）证明：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵点B在圆O上， ∴直线与相切； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用等腰三角形性质，以及等量代换推出，再结合等腰三角形性质，以及等量代换推出，即可证明直线与相切； （2）利用勾股定理算出，进而推出，再根据正切定义求解，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，的半径为12， ∴ ，， ∴， ∴． 26. 信诚超市销售甲、乙两种商品，3月份该超市同时购进甲、乙两种商品共100件，其中甲种商品用去300元，乙种商品用去1200元，已知甲、乙两种商品每件的进价相同． （1）求两种商品购进的数量分别是多少件？ （2）由于商品受到市民欢迎，超市4月份决定再次购进甲、乙两种商品共100件，但甲商品进价在原基础上降了，乙商品进价在原基础上涨了，甲种商品每件售价20元，乙种商品每件售价30元，若4月份购进的商品全部售出后获得的总利润不少于950元，那么该超市最多购进甲种商品多少件？ 【答案】（1）甲种商品购进20件，乙种商品购进80件 （2）该超市最多购进甲种商品62件 【解析】 【分析】（1）设甲种商品购进x件，则乙种商品购进件，根据购进甲、乙两种商品的进价相同，列方程求解； （2）设超市购进甲种商品m件，根据（1）求出甲乙两商品的进价，表示出4月份甲乙两商品的进价，然后根据总利润不小于950，列不等式求解． 【小问1详解】 解：设甲种商品购进x件，则乙种商品购进件， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：甲种商品购进20件，乙种商品购进80件． 【小问2详解】 解：3月份甲、乙两种商品的进价为（元）． 设该超市购进甲种商品m件，则购进乙种商品件， 依题意得：， 解得：， 又∵为正整数， ∴的最大值为62． 答：该超市最多购进甲种商品62件． 27. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的三个顶点，，，抛物线经过A，C两点．动点P从点A出发，沿线段向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段向终点D运动，运动速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，过点P作交于点E． （1）求点A的坐标及抛物线的函数表达式； （2）过点E作于点F，交抛物线于点G．当t为何值时，线段的长有最大值？最大值是多少？ （3）连接，是否存在t的值使为等腰三角形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）当时，有最大值是1 （3）存在t的值使为等腰三角形，t的值为或或 【解析】 【分析】（1）由于四边形为矩形，所以A点与D点纵坐标相同，A点与B点横坐标相同，可得，将、两点坐标代入抛物线的解析式可得结论； （2）根据相似三角形的性质求出的长，可得E和G的横坐标表达式，代入二次函数解析式和直线的解析式，求出纵坐标表达式，将线段最值问题转化为二次函数最值问题解答； （3）若构成等腰三角形，则三条边中有两条边相等即可，于是可分三种情况讨论，根据两点的距离公式列方程即可解答． 【小问1详解】 解：矩形的三个顶点，，， 轴，轴， ， 将、两点坐标分别代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：如图： 由题意得：， ， 设直线的解析式为：， 、 则， 解得：， 直线的解析式为：， ， ，即， ， 当时，， ，， ， ， 当时，有最大值是1； 【小问3详解】 解：存在t的值使为等腰三角形，理由如下： 有三种情况：①当时，如图： ，，， ， 根据两点间距离公式得：． 整理得， ， 解得或（此时E、C重合，不能构成三角形，舍去）； ； ②当时， ，，， 根据两点间距离公式得：， 整理得， 解得：或（此时Q不在矩形的边上，舍去）； ； ③当时， ，，， 根据两点间距离公式得：， 解得（此时Q、C重合，不能构成三角形，舍去）或， ． 综上所述，t的值是或或． 【点睛】两点间距离公式，平面内两点间的距离公式为解题关键． 28. 已知△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，M是CE的中点． （1）如图1，若点F与A重合，D在B，A延长线上时，直接写出BM，BD的数量关系 ． （2）如图2，若点F与A重合，且点C，E，D在同一直线上，连接BE，当AB＝AE＝2，求BD的长． （3）如图3，若等腰Rt△DEF的斜边EF在射线AC上运动时，AB＝2，DE，求BE+BD的最小值． 【答案】（1）BD=BM； （2）； （3）BE+BD的最小值为． 【解析】 【分析】（1）连接AM，则CM=AM，可证明△BCM≌△BAM，可得，同理可得∠，则结论得证； （2）连接BD，过点C作CG⊥BD于点G，在Rt△ACD中，取AC中点P，连接DP，可证△ADP是等边三角形，得出，进而得出△ABE是等边三角形，证明BD垂直平分线段AE，得∠ABD=∠EBD，∠ADB=∠EDB， 进而得∠BCG=，CG=DG，再运用勾股定理知识即可求得结论； （3）作点B关于射线A C的对称点M，连接CM并延长至点G，使MG=DE，连接BG， EM， DG，先证明四边形ABCM是正方形，再证明四边形DEMG是平行四边形，根据BE+ BD=DG+BD，当且仅当B， D， G在同-条直线上时， DG+BD最小，即BE+ BD最小，再运用勾股定理求得答案． 【小问1详解】 解∶BD=BM；理由如下： 如图1，连接AM， ∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，， ∴∠BAC=∠EAD=45°， ∴， ∵M为CE中点． ∴CM=AM=EM， ∵BM= BM， BC= BA， ∴△BCM≌△BAM ( SSS)， ∴∠CBM=∠MBA， ∵， ∴∠CBM=∠MBA=45°， 同理可证：∠MDA=45°， ∴，∠MDA=∠MBA ∴，BM=DM， ∴BD=BM； 故答案为∶ BD=BM； 【小问2详解】 解：如图2，连接BD，过点C作CG⊥BD于点G，取AC中点P，连接DP， ∵△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，， AB=AE=2， ∴BC=AB=2， AD=DE=AE×=2×=，AC=AB=×2=2， ∵在Rt△ACD中，取AC中点P， ∴DP=AP==AD， ∴△ADP是等边三角形， ∴， ∴， ∵∠AED=∠ACD+∠CAE=， ∴∠CAE=， ∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=， ∵AB=AE=2， ∴△ABE是等边三角形， ∴AB= BE，∠ABE= ∵AD=DE， ∴BD垂直平分线段AE， ∴∠ABD=∠EBD=30°，∠ADB=∠EDB=45°， ∴∠CBD=，∠GCD==∠EDB ∴∠BCG=，CG=DG， ∵CG⊥BD， ∴BG=， ∴DG=CG =， ∴BD=BG+DG=； 【小问3详解】 解：如图3，作点B关于射线AC的对称点M，连接CM并延长至点G，使MG=DE，连接BG， EM， DG， ∵AB=AC=2，点B与点M关于C对称， ∴AB=BC=CM=AM=2， ∵， ∴四边形ABCM是正方形， ∴EM=BE，∠BCM=90°，∠ACM=， ∵△DEF是等腰直角三角形， DE=，∠EDF=90°， ∴∠DEF=45°=∠ACM， ∴， ∵DE= MG， ∴四边形DEMG是平行四边形， ∴， DG= EM， ∴DG=BE， ∴BE+BD=DG+BD，根据两点之间，线段最短．当且仅当B， D， G在同一条直线上时， DG + BD最小，即BE+ BD最小， 此时，， ∴BE+BD的最小值为． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形的性质，正方形判定和性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，轴对称性质等，此题综合性比较强，培养了学生分析问题和解决问题的能力，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $