精品解析：山西省左权中学校2025-2026学年高二下学期期中测试数学试题

高二数学下学期期中测试卷 第Ⅰ卷（选择题共58分） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某人有3把钥匙，其中仅有一把能打开门.如果他每次都随机选取一把钥匙开门，不能打开门时就扔掉，则他第二次才能打开门的概率为（ ） A. B. C. D. 2. 的展开式中常数项是（　　） A. 8 B. 16 C. 24 D. 32 3. 设是一个离散型随机变量，其分布列为 则等于（ ） A. 1 B. C. D. 4. 已知随机变量服从二项分布，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 琵琶、二胡、编钟、箫、笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”．为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排六节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，若笛、琴一定安排，则不同的安排方式的种数为（ ） A. B. C. D. 6. 设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的，且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为（ ） A. 0.08 B. 0.1 C. 0.15 D. 0.2 7. 某日A，B两个沿海城市受台风袭击的概率相同，已知A市或B市至少有一个受台风袭击的概率为0.36，若用X表示这一天受台风袭击的城市个数，则E(X)＝(　　 ) A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 8. 如图（1），由两个半径相等的圆柱体呈直角相交而得到的公共部分对应的几何体称为“牟合方盖”（如图（2）），牟合方盖的表面可以看成四个曲面拼接成的.将一个牟合方盖的四个曲面编号为，然后每个曲面染一种颜色，相邻（有公共图边）的两面颜色不能相同，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法种数（ ） A. 24 B. 48 C. 60 D. 84 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（ ） 0 1 0.6 0.4 A. B. C. D. 10. 甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是（ ） A. 抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜 B. 同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜 C. 从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜 D. 甲、乙两人从1到8这8个整数中各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜 11. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以事件，和表示从甲罐取出的球是红球，白球和黑球；再从乙罐中随机取出一球，以事件B表示从乙罐取出的球是红球，则下列结论中正确的是（ ） A. ，，是两两互斥的事件 B. 事件B与事件相互独立 C. D. 第II卷（共92分） 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某高中元旦晚会有一节目是现代舞，选了5位男生和4位女生参加，舞蹈老师在排练前，让他们男女间隔排列，则排列的方式有__________种； 13. 甲、乙、丙三人参加某高校举行的自主招生考试，若甲、乙、丙三人通过自主招生考试的概率分别为，，，且三人是否通过考试互不影响，则三人中至少有一人通过考试的条件下，只有丙通过考试的概率为______． 14. 已知，且，则的最小值为___________. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答，试求： （1）所取的2道题都是甲类题的概率； （2）设所取的2道题乙类题道数为X，求X的分布列和数学期望. 16. 已知平面α∥平面β，在α内有4个点，在β内有6个点． （1）过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同的平面？ （2）以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？ （3）（2）中的三棱锥最多可以有多少个不同体积？ 17. （1）若，求的值； （2）在的展开式中， ①求二项式系数最大的项； ②系数的绝对值最大的项是第几项； 18. 某学校有、两家餐厅，某同学每天都会在这两家餐厅中选择一家餐厅用晚餐.已知该同学第一天随机选择一家餐厅用晚餐，若在前一天选择去餐厅的条件下，后一天继续选择餐厅的概率为；而在前一天选择去餐厅的条件下，后一天继续选择去餐厅的概率为，如此往复. （1）求该同学第一天和第二天都选择去餐厅用晚餐的概率； （2）求该同学第二天选择去餐厅用晚餐的概率； （3）记该同学第天选择去餐厅用晚餐的概率为，求的通项公式. 19. 2024年巴黎奥运会上，网球女单决赛中，中国选手郑钦文击败克罗地亚选手维基奇获得中国在该项目上首枚金牌！展现了祖国至上，为国争光的赤子情怀．已知网球比赛为三局两胜制，在郑钦文与维基奇的单局比赛中，郑钦文获胜的概率为，且每局比赛相互独立． （1）在此次决赛之前，两人交手记录为2021年库马约尔站：郑钦文0比2不敌维基奇；2023年珠海WTA超级精英赛：郑钦文以2比1战胜维基奇．若用这两次交手共计5局比赛记录来估计． （ⅰ）为多少？ （ⅱ）请利用上述数据，若郑钦文再次遇到维基奇，求比赛局数的分布列． （2）如果比赛可以为五局三胜制，若使郑钦文在五局三胜制中获胜的概率大于三局两胜制中获胜的概率，求的取值范围？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学下学期期中测试卷 第Ⅰ卷（选择题共58分） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某人有3把钥匙，其中仅有一把能打开门.如果他每次都随机选取一把钥匙开门，不能打开门时就扔掉，则他第二次才能打开门的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】题意说明第一次不能打开门，第二次打开门，由此可计算概率． 【详解】由题意此人第一次不能打开门，第二次打开门，因此概率为． 故选：B． 2. 的展开式中常数项是（　　） A. 8 B. 16 C. 24 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】 求出展开式的通项，令x的指数为0即可求出. 【详解】的展开式的通项为， 令，即，则常数项为. 故选：B. 3. 设是一个离散型随机变量，其分布列为 则等于（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用分布列的性质求得正确答案. 【详解】依题意， 即，解得， 经检验可知，符合题意. 故选：C 4. 已知随机变量服从二项分布，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由二项分布的概率公式计算． 【详解】． 故选：D． 5. 琵琶、二胡、编钟、箫、笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”．为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排六节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，若笛、琴一定安排，则不同的安排方式的种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先从除笛，琴外的8种乐器选出4种，6种乐器做全排列即可得出答案. 【详解】从剩余的8种乐器中任选4种，有种， 现在6种乐器知识排6次课，有种， 所以不同的安排方式的种数为．选项D正确，选项ABC错误. 故选：D. 6. 设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的，且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为（ ） A. 0.08 B. 0.1 C. 0.15 D. 0.2 【答案】A 【解析】 【分析】以分别表示取得的这盒光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，表示取得的光片为次品，求得，由全概率公式可得答案. 【详解】以分别表示取得的这盒光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，表示取得的光片为次品， ，， 由全概率公式 . 所求概率为， 故选：A. 7. 某日A，B两个沿海城市受台风袭击的概率相同，已知A市或B市至少有一个受台风袭击的概率为0.36，若用X表示这一天受台风袭击的城市个数，则E(X)＝(　　 ) A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【答案】D 【解析】 【分析】由对立事件与独立事件的概率公式求出 ,由题意知，分别求出相应的概率能求出. 【详解】设两市受台风袭击的概率均为， 则市或市都不受台风袭击的概率为 ，解得或 (舍去)， ， , ,故选D. 【点睛】本题主要考查对立事件的概率公式、独立事件的概率公式以及离散型随机变量的期望公式，意在考查综合应用所学知识解决问题的能力，属于中档题. 8. 如图（1），由两个半径相等的圆柱体呈直角相交而得到的公共部分对应的几何体称为“牟合方盖”（如图（2）），牟合方盖的表面可以看成四个曲面拼接成的.将一个牟合方盖的四个曲面编号为，然后每个曲面染一种颜色，相邻（有公共图边）的两面颜色不能相同，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法种数（ ） A. 24 B. 48 C. 60 D. 84 【答案】D 【解析】 【分析】利用分步计数乘法原理与分类加法计数原理可求解. 【详解】根据牟合方盖的表面可以看成四个曲面拼接成的.将一个牟合方盖的四个曲面编号为，故可转化为有公共点的4个区域，如图所示： 1号小方格可以从4种颜色的染料中任取一种涂色，有4种不同的涂法. ①当2号，3号小方格涂不同颜色的染料时，有种不同的涂法，4号小方格有2种不同的涂法，故由分步乘法计数原理，可知有种不同的涂法. ②当2号，3号小方格涂相同颜色的染料时，有3种不同的涂法，4号小方格也有3种不同的涂法，故由分步乘法计数原理，可知有种不同的涂法. 综上，由分类加法计数原理，可得共有种不同的涂法. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（ ） 0 1 0.6 0.4 A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】结合期望和方差公式，以及期望和方差的线性公式，即可求解． 【详解】解：由分布列的性质可得，，故A正确； ，故B正确， ， ，故C正确， ，故D错误． 故选：ABC． 10. 甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是（ ） A. 抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜 B. 同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜 C. 从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜 D. 甲、乙两人从1到8这8个整数中各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出每一个选项的情况下，甲胜和乙胜的概率即可判断得解. 【详解】对于A，甲胜和乙胜的概率都是，所以游戏是公平的，故A正确； 对于B，点数之和大于7和点数之和小于7的概率相等，但点数等于7时乙胜， 所以甲胜的概率小，所以游戏不公平，故B错误； 对于C，甲胜和乙胜的概率都是，所以游戏是公平的，故C正确； 对于D，甲胜的概率是，乙胜的概率是，所以游戏是公平的，故D正确. 故选：ACD 11. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以事件，和表示从甲罐取出的球是红球，白球和黑球；再从乙罐中随机取出一球，以事件B表示从乙罐取出的球是红球，则下列结论中正确的是（ ） A. ，，是两两互斥的事件 B. 事件B与事件相互独立 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由题意直接分析出，，是两两互斥的事件，即可判断A；直接利用条件概率公式求出，可以判断C;利用全概率公式求出，即可判断D；利用可以判断B. 【详解】由题意分析可知：，，是两两互斥的事件.故A正确； ，，.所以.故C不正确； 因为， 所以.故D正确； 因为,而，所以,所以事件B与事件不是相互独立事件.故B错误. 故选：AD. 第II卷（共92分） 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某高中元旦晚会有一节目是现代舞，选了5位男生和4位女生参加，舞蹈老师在排练前，让他们男女间隔排列，则排列的方式有__________种； 【答案】. 【解析】 【分析】利用插空法求解. 【详解】现将名男生全排列，然后再将名女生插入名男生之间，则共有种排列方法. 故答案为：. 【点睛】本题考查排列与组合，考查插空法的运用，属于基础题. 13. 甲、乙、丙三人参加某高校举行的自主招生考试，若甲、乙、丙三人通过自主招生考试的概率分别为，，，且三人是否通过考试互不影响，则三人中至少有一人通过考试的条件下，只有丙通过考试的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】由条件概率公式求解 【详解】由题可得，三人中至少有一人通过考试的概率， 只有丙通过考试的概率， 所以三人中至少有一人通过考试的条件下，只有丙通过考试的概率． 故答案为： 14. 已知，且，则的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由正态分布曲线的对称性求出，再利用常值代换法和基本不等式即可求得. 【详解】由可得，且， 则有：，解得：， 因为，所以，且， 则 当且仅当，即时等号成立， 即当时，的最小值为. 故答案为：. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答，试求： （1）所取的2道题都是甲类题的概率； （2）设所取的2道题乙类题道数为X，求X的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2），分布列答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用组合数以及古典概型进行计算求解. （2）利用超几何分布、古典概型的概率计算公式以及离散型随机变量的分布列及期望公式进行计算. 【小问1详解】 法1：设所取的2道题都是甲类题为事件A，则 ， 所取的2道题都是甲类题的概率为； 法2：列举法也可以 将4道甲类题依次编号为1，2，3，4；2道一类题依次编号为5，6，任取2道题， 基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个， 而且这些基本事件的出现是等可能的.用A表示“都是甲类题”这一事件，则A包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个 所以 = 【小问2详解】 X取值为0，1，2， ， ， ， 则分布列为 X 0 1 2 P （或代超几何期望公式） 法2：由（1）得基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个 则分布列为 X 0 1 2 P . 16. 已知平面α∥平面β，在α内有4个点，在β内有6个点． （1）过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同的平面？ （2）以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？ （3）（2）中的三棱锥最多可以有多少个不同体积？ 【答案】（1）98(个)；（2）194(个)；（3）114个． 【解析】 【分析】（1）分情况讨论：α内1点，β内2点确定的平面；α内2点，β内1点确定的平面；α，β本身，有2个，利用组合数即可求解. （2）分情况讨论：α内1点，β内3点确定的三棱锥；α内2点，β内2点确定的三棱锥；α内3点，β内1点确定的三棱锥， （3）根据当等底面积、等高时，三棱锥的体积相等即可求出结果. 【详解】解：（1）所作出的平面有三类． ①α内1点，β内2点确定的平面，最多有个． ②α内2点，β内1点确定的平面，最多有个． ③α，β本身，有2个． 故所作的平面最多有＋＋2＝98(个)． （2）所作的三棱锥有三类． ①α内1点，β内3点确定的三棱锥，最多有个． ②α内2点，β内2点确定的三棱锥，最多有个． ③α内3点，β内1点确定的三棱锥，最多有个． 故最多可作出的三棱锥有＋＋＝194(个)． （3）当等底面积、等高时，三棱锥的体积相等． 所以体积不相同的三棱锥最多有＋＋＝114(个)． 故最多有114个体积不同的三棱锥． 17. （1）若，求的值； （2）在的展开式中， ①求二项式系数最大的项； ②系数的绝对值最大的项是第几项； 【答案】（1）；（2）①②第6项和第7项 【解析】 【分析】（1）由，利用赋值法求解； （2）先得到通项公式，①由二项式系数最大的项为中间项，即第5项求解；②设第项系数的绝对值最大，由求解. 【详解】解：（1）∵， 令，可得， 令，可得， ∴． （2）①． 二项式系数最大的项为中间项，即第5项．所以． ②设第项系数的绝对值最大， 则，所以 解得 故系数绝对值最大的项是第6项和第7项. 18. 某学校有、两家餐厅，某同学每天都会在这两家餐厅中选择一家餐厅用晚餐.已知该同学第一天随机选择一家餐厅用晚餐，若在前一天选择去餐厅的条件下，后一天继续选择餐厅的概率为；而在前一天选择去餐厅的条件下，后一天继续选择去餐厅的概率为，如此往复. （1）求该同学第一天和第二天都选择去餐厅用晚餐的概率； （2）求该同学第二天选择去餐厅用晚餐的概率； （3）记该同学第天选择去餐厅用晚餐的概率为，求的通项公式. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）记事件第天去餐厅，则，，，利用概率的乘法公式可得出的值； （2）利用对立事件的概率公式可得出的值，再利用全概率公式可求得的值； （3）利用全概率公式可得出，再利用构造法可求得的通项公式. 【小问1详解】 记事件该同学第天去餐厅，则，，， 由概率乘法公式可得. 【小问2详解】 由对立事件的概率公式可得， 由全概率公式可得. 【小问3详解】 记事件该同学第天去餐厅，则， 由题意可知，，， 由全概率公式可得， 即，则， 所以，数列是以为首项，公比为的等比数列， 所以，，故. 19. 2024年巴黎奥运会上，网球女单决赛中，中国选手郑钦文击败克罗地亚选手维基奇获得中国在该项目上首枚金牌！展现了祖国至上，为国争光的赤子情怀．已知网球比赛为三局两胜制，在郑钦文与维基奇的单局比赛中，郑钦文获胜的概率为，且每局比赛相互独立． （1）在此次决赛之前，两人交手记录为2021年库马约尔站：郑钦文0比2不敌维基奇；2023年珠海WTA超级精英赛：郑钦文以2比1战胜维基奇．若用这两次交手共计5局比赛记录来估计． （ⅰ）为多少？ （ⅱ）请利用上述数据，若郑钦文再次遇到维基奇，求比赛局数的分布列． （2）如果比赛可以为五局三胜制，若使郑钦文在五局三胜制中获胜的概率大于三局两胜制中获胜的概率，求的取值范围？ 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ） 2 3 0.52 0.48 （2）【解析】 【分析】（1）（ⅰ）计算两次交手记录郑钦文获胜的频率即可； （ⅱ）按照独立事件和互斥事件的概率公式求，再利用即可求出分布列； （2）按照独立事件和互斥事件的概率公式分别求出两种情况下的郑钦文获胜的概率，再解关于的不等式即可. 【小问1详解】 （ⅰ）根据两次交手记录，郑钦文共胜2局，负3局，因此的估计值为． （ⅱ）由题知，可取值为、， ，， 所以的分布列为 2 3 0.52 0.48 【小问2详解】 三局两胜制郑钦文最终获胜概率， 五局三胜制中郑钦文最终获胜的概率 所以，化简得， 因为，，所以，即，所以， 所以使得五局三胜制获胜的概率大于三局两胜获胜的概率的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $