精品解析：山西现代双语学校学校等校2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题

高二年级数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册，选择性必修第三册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片､2部文艺片､3部喜剧片，小华从中任选1部电影观看，则不同的选法种数有（ ） A. 18 B. 9 C. 8 D. 7 2. 已知随机变量的分布列为 1 2 3 4 则（ ） A. B. C. D. 3. 若随机变量，且，则（ ） A. 0.8 B. 0.6 C. 0.3 D. 0.2 4. 某同学参加校园义卖活动，将自己制作的8个不同类型的手工艺品排成一排进行售卖，要求其中的甲、乙、丙3个手工艺品相邻排列，则不同的排法总数为（ ） A. 1440 B. 2160 C. 4320 D. 5760 5. 小李在花盆中种下2粒花卉种子，若每粒种子发芽的概率均为0.8，则这两粒种子至少有1粒发芽的概率为（ ） A. 0.16 B. 0.32 C. 0.64 D. 0.96 6. 网购是现代年轻人重要的购物方式，某电商对其旗下的一家专营店近五年来每年的利润额（单位：万元）与年份代码进行了统计，得如下数据： x 1 2 3 4 5 y 2.5 3.3 4.5 6.2 8.5 则x与y的样本相关系数（ ） 参考公式：，参考数据： ，． A. 0.99 B. 0.98 C. 0.97 D. 0.96 7. 甲、乙两位旅游博主准备周末去A，B，C，D这4个景点中的某一个景点打卡，事件M表示甲、乙至少有1人去A景点，事件N表示甲、乙去相同的景点，则（ ） A. B. C. D. 8. 的展开式中的常数项为（ ） A. 61 B. 29 C. 309 D. 308 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 通过随机抽样，得到变量和变量的7对数据，并绘制成散点图如图所示，已知变量和变量线性相关，且回归直线是图中直线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线的斜率是负数 B. 变量与变量正相关 C. 相关系数 D. 若去掉图中点后，剩余数据的相关系数变大 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中.定义：在维空间中两点与的曼哈顿距离为.在6维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记所取两点间的曼哈顿距离为随机变量，则（ ） A. 6维“立方体”的顶点有36个 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则实数________. 13. 已知随机变量，随机变量，则________. 14. 为丰富同学们的劳动体验，增强劳动技能，认识到劳动最光荣、劳动最伟大，高二年级在社会实践期间开展“拔草”“翻土”“播种”“浇水”这四个项目的劳动技能比赛．某小组7名同学积极参加，若每名同学必须参加且只能参加1个项目，每个项目至少有1人参加，则这7名同学有______种不同的参加方法． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列是等差数列，且，． （1）求的通项公式； （2）记的前项和为，求的最小值． 16. 如图，在四面体中，平面分别为的中点. （1）求证：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 某工厂为了提高产品的合格率，采取，两种制造工艺制造了一批产品，现对该种产品进行随机抽查，得到的2×2列联表如下表所示： 种制造工艺 种制造工艺 合计 合格 450 不合格 30 合计 500 500 （1）补全2×2列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为产品是否合格与制造工艺有关？ （2）在不合格的样本产品中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取8件，从这8件产品中随机抽取3件产品进行不合格原因检查，设这3件产品中来自A种制造工艺的有件，求的分布列及期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 已知椭圆的离心率为，上顶点的坐标为（0，1）． （1）求的方程； （2）已知为上一点，过作轴的垂线，垂足为，若点满足，当点在上运动时，求点的轨迹方程； （3）过的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，直线与椭圆的另一个交点为，若的面积，求直线的方程． 19. 已知函数. （1）当时，求的图象在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）当时，求证： . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册，选择性必修第三册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片､2部文艺片､3部喜剧片，小华从中任选1部电影观看，则不同的选法种数有（ ） A. 18 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据分类加法计数原理即可求解. 【详解】由分类加法计数原理，得不同的选法种数为. 故选：C 2. 已知随机变量的分布列为 1 2 3 4 则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由随机变量分布列的性质知，解得. 3. 若随机变量，且，则（ ） A. 0.8 B. 0.6 C. 0.3 D. 0.2 【答案】B 【解析】 【详解】因为随机变量， 所以正态曲线的对称轴是， 所以， 所以. 4. 某同学参加校园义卖活动，将自己制作的8个不同类型的手工艺品排成一排进行售卖，要求其中的甲、乙、丙3个手工艺品相邻排列，则不同的排法总数为（ ） A. 1440 B. 2160 C. 4320 D. 5760 【答案】C 【解析】 【详解】将甲、乙、丙3个手工艺品看作一个整体，内部排序有种方法，将其和剩余的5个工艺品进行全排，有种情况. 则不同的排法总数共有种. 5. 小李在花盆中种下2粒花卉种子，若每粒种子发芽的概率均为0.8，则这两粒种子至少有1粒发芽的概率为（ ） A. 0.16 B. 0.32 C. 0.64 D. 0.96 【答案】D 【解析】 【分析】结合对立事件及独立事件的乘法公式计算即可. 【详解】这两粒种子至少有1粒发芽的概率为． 6. 网购是现代年轻人重要的购物方式，某电商对其旗下的一家专营店近五年来每年的利润额（单位：万元）与年份代码进行了统计，得如下数据： x 1 2 3 4 5 y 2.5 3.3 4.5 6.2 8.5 则x与y的样本相关系数（ ） 参考公式：，参考数据：，． A. 0.99 B. 0.98 C. 0.97 D. 0.96 【答案】B 【解析】 【分析】代入相关系数公式求解即可. 【详解】由题意，得，，， ，所以． 7. 甲、乙两位旅游博主准备周末去A，B，C，D这4个景点中的某一个景点打卡，事件M表示甲、乙至少有1人去A景点，事件N表示甲、乙去相同的景点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用条件概率公式求解即可 【详解】事件表示甲乙两人都不去A景点，， 事件表示甲乙两人都去A景点，， 所以． 8. 的展开式中的常数项为（ ） A. 61 B. 29 C. 309 D. 308 【答案】C 【解析】 【详解】的展开式中的常数项为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 通过随机抽样，得到变量和变量的7对数据，并绘制成散点图如图所示，已知变量和变量线性相关，且回归直线是图中直线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线的斜率是负数 B. 变量与变量正相关 C. 相关系数 D. 若去掉图中点后，剩余数据的相关系数变大 【答案】AC 【解析】 【分析】根据数据的散点图，结合相关性、相关系数的概念与定义，逐项判定，即可得解. 【详解】对于A、B、C：由图可知直线的斜率是负数，所以变量与变量负相关，相关系数，故A、C正确，B错误； 对于D：若去掉图中点后，剩余的数据会更集中，相关程度会更高，相关系数的绝对值变大，又，所以相关系数变小，故D错误. 故选：AC. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，令可求；B选项令可求；C选项，令可求；D选项，把和时的展开式相加可求. 【详解】令，得，故A错误； 令，得，故B正确； 令，得，故C正确； 将与这两式的左右两边分别相加， 得，解得，故D错误. 故选：BC. 11. 在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中.定义：在维空间中两点与的曼哈顿距离为.在6维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记所取两点间的曼哈顿距离为随机变量，则（ ） A. 6维“立方体”的顶点有36个 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】应用分步乘法原理计算判断A，应用古典概型结合组合数计算判断B，先写出概率再应用数学期望公式及方差公式计算判断C，D即可. 【详解】对于6维坐标，其中， 即有2种选择，故共有种选择， 即6维“立方体”的顶点有64个，故A错误； 当时，在与中有3个坐标值不同， 即有3个满足， 有3个满足， 所以满足的顶点有组，，故B正确； 满足的顶点有组，所以， 即， ， 所以，故C正确； 而 ，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则实数________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据组合数的性质得解. 【详解】由组合数的性质得或， 所以或 【点睛】本题考查组合数的性质，属于基础题. 13. 已知随机变量，随机变量，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二项分布的方差公式求出，再由方差的性质计算. 【详解】因为，所以， 故. 故答案为：. 14. 为丰富同学们的劳动体验，增强劳动技能，认识到劳动最光荣、劳动最伟大，高二年级在社会实践期间开展“拔草”“翻土”“播种”“浇水”这四个项目的劳动技能比赛．某小组7名同学积极参加，若每名同学必须参加且只能参加1个项目，每个项目至少有1人参加，则这7名同学有______种不同的参加方法． 【答案】8400 【解析】 【分析】先按人数拆分7名同学为4组（满足每组至少1人），再将分好的4组对应分配到4个不同项目中，最后汇总所有分组情况的方法数即可. 【详解】先将7名同学分成四组，有1，1，1，4；1，1，2，3和1，2，2，2这三种情况， 当分组为1，1，1，4时，不同的参加方法有； 当分组为1，1，2，3时，不同的参加方法有； 当分组为1，2，2，2时，不同的参加方法有． 综上所述，满足题意的不同的参加方法有种． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列是等差数列，且，． （1）求的通项公式； （2）记的前项和为，求的最小值． 【答案】（1） （2）最小值 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，结合等差数列的通项公式可求得数列的通项公式； （2）利用等差数列的求和公式可得出的表达式，结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，由题意可得，解得， 所以． 【小问2详解】 因为是等差数列，所以． 因为，所以当时，有最小值. 16. 如图，在四面体中，平面分别为的中点. （1）求证：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）由和线面平行判定定理即可证明； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出和平面的一个法向量，再利用即可计算求解. 【小问1详解】 证明：因为分别为的中点， 所以. 因为平面平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为，所以，即. 因为平面平面，所以， 故可以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以. 设平面的一个法向量， 则即不妨设，则，所以. 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17. 某工厂为了提高产品的合格率，采取，两种制造工艺制造了一批产品，现对该种产品进行随机抽查，得到的2×2列联表如下表所示： 种制造工艺 种制造工艺 合计 合格 450 不合格 30 合计 500 500 （1）补全2×2列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为产品是否合格与制造工艺有关？ （2）在不合格的样本产品中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取8件，从这8件产品中随机抽取3件产品进行不合格原因检查，设这3件产品中来自A种制造工艺的有件，求的分布列及期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 种制造工艺 种制造工艺 合计 合格 470 450 920 不合格 30 50 80 合计 500 500 1000 认为产品是否合格与制造工艺有关． （2） 0 1 2 3 ． 【解析】 【分析】（1）零假设为：产品是否合格与制造工艺无关，计算出，结合小概率值的独立性检验判断即可. （2）根据分层抽样确定的取值，求出对应的概率，结合分布列及期望计算即可. 【小问1详解】 2×2列联表如下： 种制造工艺 种制造工艺 合计 合格 470 450 920 不合格 30 50 80 合计 500 500 1000 零假设为：产品是否合格与制造工艺无关， ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为产品是否合格与制造工艺有关． 【小问2详解】 在不合格的样本产品中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取8件， 其中种制造工艺有（件），种制造工艺有（件）． 由题意，得X的取值可以是0，1，2，3， 则，，，． 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以． 18. 已知椭圆的离心率为，上顶点的坐标为（0，1）． （1）求的方程； （2）已知为上一点，过作轴的垂线，垂足为，若点满足，当点在上运动时，求点的轨迹方程； （3）过的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，直线与椭圆的另一个交点为，若的面积，求直线的方程． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，且，结合运算求解，即可得椭圆方程； （2）设，根据可得，代入椭圆方程即可得轨迹方程； （3）设直线的方程为，与椭圆方程联立可得韦达定理，分析可知，结合韦达定理运算求解即可. 【小问1详解】 设的半焦距为， 由题意可知：，且，即， 因为，即，解得， 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 设，由题意可知， 则， 因为，则，可得， 又因为在椭圆上，即， 可得，化简得， 所以点的轨迹方程为． 【小问3详解】 由题意可知过点的直线的斜率不为0，且直线与椭圆必相交， 设直线的方程为，， 联立方程，消去x得， 则， 因为与椭圆的另一交点为，可知关于原点对称，即为中点， 则，即， 可得， 化简得，整理可得， 因为，则，解得， 所以直线的方程为，即或． 19. 已知函数. （1）当时，求的图象在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）当时，求证： . 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出切点坐标和切线的斜率，从而求出切线的方程. （2）通过，，这三类进行分类讨论. （3）第三问，通过隐零点的设而不求，整理代入，从而证明. 【小问1详解】 当时， ，所以，， 所以 ， 所以的图象在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 的定义域为，， 当时，，此时在上单调递增； 当时，令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当时，若，即，，所以在上单调递增； 若，即，令，解得或， 令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 当时，，要证 ，即证. 令，则，易得在上单调递增， 又 ，， 所以，使得，故， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以 ，所以 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $