精品解析：山西临汾市古县第一中学2025-2026学年高二下学期期中数学试卷

高二期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 99 D. 100 【答案】D 【解析】 【详解】由组合数公式，可得 2. 对四组数据进行统计，获得如图散点图，其中线性相关性比较强且负相关的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据散点图和相关性的关系，判断结果. 【详解】由散点图知，相关系数对应的散点图呈负相关， 且线性相关性比较强. 故选：B. 3. 已知离散型随机变量的分布列为，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知分布列，结合互斥事件的概率加法公式求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，. 故选：C. 4. 为研究某池塘中水生植物覆盖池塘的面积（单位：）与水生植物的株数（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，如表格所示，得到与的线性回归方程，则（ ） 3 4 6 7 2 2.5 4.5 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可得，， 所以样本中心点为，又与的线性回归方程， 所以，解得. 5. 在五一小长假期间，要从5人中选若干人在3天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，则不同的安排方法共有（ ） A. 40种 B. 60种 C. 80种 D. 100种 【答案】C 【解析】 【分析】由题干限制条件得到值班的人数为2或3，据此应用分类加法计数原理，分别计算两种情况. 【详解】根据题意可知，值班的人数为2或3，若人数为2，则需要一个人值班首尾两天，一个人值中间的那一天，安排方法种数为，若人数为3，则每人值一天班，安排方法种数为. 由分类加法计数原理知不同的安排方法共有（种）. 故选C. 6. 用红、黄、蓝三种不同颜色给如图所示的4块区域A、B、C、D涂色，要求同一区域用同一种颜色，有共公边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法（ ） A. 14种 B. 16种 C. 20种 D. 18种 【答案】D 【解析】 【分析】分A与C同色与不同色两类，每一类中利用分步计数原理求解，可得总的方法数. 【详解】先涂A，有3种涂法，再涂B有2种涂法，涂C时，与A同色，有1种涂法，此时D有2种涂法， 当C与A异色时有1种涂法，这是D有1种涂法， 所以共有3×2×（1×2＋1×1）＝18种. 故选：D. 7. 已知，则（ ） A. 8 B. C. 40 D. 【答案】D 【解析】 【详解】二项式的通项公式为， ， ， 所以. 8. 设事件为两个随机事件，已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件概率公式及对立事件概率公式计算求解即可. 【详解】， 因， 故． 故选:A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则（ ） X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.4 x 0.2 0.2 A. B. C. ， D. ， 【答案】ABD 【解析】 【详解】因为 ，所以，A正确； ， ，B正确，C错误； ，则 ，D正确. 10. 小张等四人去甲、乙、丙三个景点旅游，每人只去一个景点，记事件A为“恰有两人所去景点相同”，事件为“只有小张去甲景点”，则（ ） A. 这四人不同的旅游方案共有64种 B. “每个景点都有人去”的方案共有72种 C. D. “四个人只去了两个景点”的概率是 【答案】CD 【解析】 【分析】A选项，根据分步乘法计数原理求出答案；B选项，根据部分平均分组方法计算出答案；C选项，利用排列组合知识得到，，利用条件概率公式求出答案；D选项，求出四个人只去了两个景点的方案数，结合A中所求，求出概率. 【详解】A选项，每个人都有3种选择，故共有种旅游方案，A错误； B选项，每个景点都有人去，则必有1个景点去了2个人，另外两个景点各去1人， 故有种方案，B错误； C选项，恰有两人所去景点相同，即有1个景点去了2个人，另外两个景点各去1人， 由B选项可知，， 又事件，即小张去甲景点，另外3人有两人去了同一个景点，其余1人去另一个景点， 故， 所以，C正确； D选项，“四个人只去了两个景点”，分为2种情况， 第一，有3人去了同一个景点，另外一个去另外一个景点，则有种方案， 第二，2人去了同一个景点，另外2人去了另一个景点，故有种方案， 由A选项可知，这四人不同的旅游方案共有81种， 故“四个人只去了两个景点”的概率为，D正确. 故选：CD 11. “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示．下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ） A. B. 第2023行中从左往右第1011个数与第1012个数相等 C. 记第n行的第i个数为，则 D. 第20行中第12个数与第13个数之比为 【答案】CD 【解析】 【分析】A：利用组合数的性质求解判断；B：由第行中的数为的展开式的二项式系数判断；C：由第n行的第i个数为代入求解判断；D：根据第20行中的数为的展开式的二项式系数求解判断. 【详解】对于A：， ，A错误； 对于B：第2023行中的数为的展开式的二项式系数， 则从左往右第1011个数为，第1012个数为，，B错误； 对于C：第n行的第i个数为， 则，C正确； 对于D：第20行中的数为的展开式的二项式系数， 则从左往右第12个数为，第13个数为， 则，D正确． 故选：CD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量的概率分布密度函数，若.则________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意可得，再根据正态分布的对称性即可得解. 【详解】因为随机变量的概率分布密度函数， 所以， 所以. 故答案为：. 13. 的展开式中，常数项为_________.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，，所以只需求的展开式中含的项和常数项即可. 【详解】由题意得， 因为的展开式的通项为， 令，， 令，， 所以的常数项为， 故答案为： 14. 甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示由甲箱中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱中取出的球是红球的事件，下列说法正确的序号是__________. ①事件，相互独立；②；③；④；⑤． 【答案】③④⑤ 【解析】 【分析】首先判断出，和是两两互斥事件，再判断与是否相等，可确定①；求出可判断②；利用全概率判断③；再利用条件概率判断④⑤. 【详解】依题意，，和是两两互斥事件， ，， 又，①②错误； 又，， ，③④正确； ，⑤正确； 故答案为：③④⑤. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表： 超声波检查结果 组别 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 （1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值； （2）根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） （2）有关 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式即可求出； （2）根据独立性检验的基本思想,求出,然后与小概率值对应的临界值比较,即可判断. 【小问1详解】 根据表格可知，检查结果不正常的人中有人患病，所以的估计值为； 【小问2详解】 零假设为：超声波检查结果与患病无关， 根据表中数据可得，， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为超声波检查结果与患该病有关，该推断犯错误的概率不超过. 16. 甲、乙两名运动员互不影响地进行射击训练，根据以往的数据统计，他们的射击成绩均不低于8环（成绩环数以整数计），且甲、乙射击成绩（环数）的分布列如下： 甲 乙 环数 8 9 10 8 9 10 概率 （1）求p，q的值； （2）若甲、乙两名运动员各射击两次，求四次射击中恰有三次命中9环的概率； （3）若两名运动员各射击1次，记两人所得环数的差的绝对值为，求的分布列． 【答案】（1），. （2） （3）的分布列为 0 1 2 P 【解析】 【小问1详解】 由分布列的性质，得，解得，. 【小问2详解】 甲、乙两名运动员各射击两次，四次射击中恰有三次命中9环，则有甲命中1次9环、乙命中2次9环或甲命中2次9环、乙命中1次9环. 因此，所求事件的概率． 【小问3详解】 由题意可知，随机变量的可能取值有0，1，2． ，，． 所以随机变量的分布列为 0 1 2 17. 从包含甲、乙2人的7人中选4人参加4×100米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？（结果用数字作答，否则无分） （1）甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒； （2）甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒； （3）甲、乙2人都被选中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒． 【答案】（1）120 （2）120 （3）140 【解析】 【分析】（1）元素相邻用捆绑法； （2）元素不相邻用插空法； （3）由间接法求解即可. 【小问1详解】 第一步：甲乙捆绑看做一个整体，从3个位置安排一个位置有， 第二步：从剩下5人中，需两人排在两个位置，有, 所有共有：； 【小问2详解】 第一步，先从剩下5人中选2人排序，有， 第二步，甲乙两人从3个空中选2个空排序，有， 所以共有：； 【小问3详解】 从5人中选2人加上甲乙4人的全排列有：， 其中甲跑第一棒的有：，乙跑第四棒的有：， 甲跑第一棒，乙跑第四棒有：， 所以共有：. 18. 端午假期即将到来，某超市举办“高考高粽”有奖促销活动，凡持高考准考证考生及家长在端年节期间消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖箱里有10个形状､大小完全相同的小球（其中红球有3个，黑球有7个），抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案.方案一：从抽奖箱中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则打6折；若摸出1个红球，则打7折；若没摸出红球，则不打折.方案二：从抽奖箱中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元. （1）若小清､小北均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求他们至多一人享受免单优惠的概率； （2）若小杰消费恰好满1000元，试比较说明小杰选择哪一种抽奖方案更合算？ 【答案】（1） （2）小杰选择第一种抽奖方案更合算 【解析】 【分析】（1）首先求出每位顾客享受到免单优惠的概率，再利用相互独立事件与对立事件的概率公式计算可得； （2）分别求出小杰选择方案一、方案二付款的期望值，即可判断. 【小问1详解】 解：方案一若享受到免单优惠，则需摸出三个红球， 设顾客享受到免单优惠为事件，则. 所以小清､小北二人至多一人享受到免单的概率为 . 【小问2详解】 解：若小杰选择方案一，设付款金额为元，则可能的取值为0､600､700､1000， 所以，， ，. 故的分布列为 0 600 700 1000 所以（元）. 若小杰选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为，则. 由已知可得，故. 所以（元）. 因为， 所以小杰选择第一种抽奖方案更合算. 19. 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费(单位：千元)对年销售量(单位：吨)的影响，对近年的年宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中：， （1）根据散点图判断，与，哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)； （2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程； （3）根据（2）中的回归方程，求当年宣传费千元时，年销售预报值是多少？ 附：对于一组数据，，…，，其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. 【答案】（1）由散点图可判断适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型；（2）；（3）吨． 【解析】 【分析】（1）由散点图可以知,关系是非线性的即可判断； （2）令，则，利用根据题中数据可计算，的值，即可得关于的线性回归方程，再将代入即可求解； （3）将代入关于的回归方程即可求解. 【详解】（1）由散点图可以判断：适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型； （2）令，先建立关于的线性回归方程， 由于， ， 所以关于的线性回归方程为， 所以关于的回归方程为； （3）由（2）知：当时，年销售量的预报值 故年宣传费千元时，年销售预报值是吨． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 99 D. 100 2. 对四组数据进行统计，获得如图散点图，其中线性相关性比较强且负相关的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知离散型随机变量的分布列为，则（ ） A. B. C. D. 1 4. 为研究某池塘中水生植物覆盖池塘的面积（单位：）与水生植物的株数（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，如表格所示，得到与的线性回归方程，则（ ） 3 4 6 7 2 2.5 4.5 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 5. 在五一小长假期间，要从5人中选若干人在3天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，则不同的安排方法共有（ ） A. 40种 B. 60种 C. 80种 D. 100种 6. 用红、黄、蓝三种不同颜色给如图所示的4块区域A、B、C、D涂色，要求同一区域用同一种颜色，有共公边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法（ ） A. 14种 B. 16种 C. 20种 D. 18种 7. 已知，则（ ） A. 8 B. C. 40 D. 8. 设事件为两个随机事件，已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则（ ） X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.4 x 0.2 0.2 A. B. C. ， D. ， 10. 小张等四人去甲、乙、丙三个景点旅游，每人只去一个景点，记事件A为“恰有两人所去景点相同”，事件为“只有小张去甲景点”，则（ ） A. 这四人不同的旅游方案共有64种 B. “每个景点都有人去”的方案共有72种 C. D. “四个人只去了两个景点”的概率是 11. “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示．下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ） A. B. 第2023行中从左往右第1011个数与第1012个数相等 C. 记第n行的第i个数为，则 D. 第20行中第12个数与第13个数之比为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量的概率分布密度函数，若.则________. 13. 的展开式中，常数项为_________.（用数字作答） 14. 甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示由甲箱中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱中取出的球是红球的事件，下列说法正确的序号是__________. ①事件，相互独立；②；③；④；⑤． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表： 超声波检查结果 组别 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 （1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值； （2）根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 甲、乙两名运动员互不影响地进行射击训练，根据以往的数据统计，他们的射击成绩均不低于8环（成绩环数以整数计），且甲、乙射击成绩（环数）的分布列如下： 甲 乙 环数 8 9 10 8 9 10 概率 （1）求p，q的值； （2）若甲、乙两名运动员各射击两次，求四次射击中恰有三次命中9环的概率； （3）若两名运动员各射击1次，记两人所得环数的差的绝对值为，求的分布列． 17. 从包含甲、乙2人的7人中选4人参加4×100米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？（结果用数字作答，否则无分） （1）甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒； （2）甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒； （3）甲、乙2人都被选中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒． 18. 端午假期即将到来，某超市举办“高考高粽”有奖促销活动，凡持高考准考证考生及家长在端年节期间消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖箱里有10个形状､大小完全相同的小球（其中红球有3个，黑球有7个），抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案.方案一：从抽奖箱中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则打6折；若摸出1个红球，则打7折；若没摸出红球，则不打折.方案二：从抽奖箱中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元. （1）若小清､小北均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求他们至多一人享受免单优惠的概率； （2）若小杰消费恰好满1000元，试比较说明小杰选择哪一种抽奖方案更合算？ 19. 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费(单位：千元)对年销售量(单位：吨)的影响，对近年的年宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中：， （1）根据散点图判断，与，哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)； （2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程； （3）根据（2）中的回归方程，求当年宣传费千元时，年销售预报值是多少？ 附：对于一组数据，，…，，其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $