精品解析：山东省聊城第一中学2025-2026学年高一第二批沃土培优班上学期入学第一次测试数学试题

2026年聊城一中第二批沃土培优班入学第一次测试 数学 本试卷共4页，共150分.考试时长150分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将试卷、答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集、交集的定义进行计算. 【详解】集合，， ∴，则． 故选：C. 2. 集合的子集的个数为（ ） A. 64 B. 16 C. 6 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】确定集合，根据集合中元素的个数确定子集的个数. 【详解】由题意且，的值可以为：，所以有6个元素. 故集合的子集有：个. 3. 若命题：“，”为假命题，实数的取值范围（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出命题为真命题时的取值范围，进而即可得到命题为假命题时的取值范围． 【详解】若命题：“，”为真命题， 由，当且仅当时取等号，则， 所以命题为假命题时，． 4. 设集合，若且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据且，建立不等式求解即可. 【详解】因为集合，而且 且，解得. 故选：B 5. 已知，，若集合，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由集合相等，确定，进而确定，再结合元素互异性即可求解. 【详解】由， 可得， 所以，即， 所以， 当时，不符合元素互异性，舍去； 当时，符合题意， 所以. 故选：B 6. 已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】当时，， 则， 当只存在一个正数时，不妨设，则， 则， 当只存在一个负数时，不妨设，则， 则， 当时，， 则， 所以. ∴，A选项错误；，B选项错误；，C选项错误；，D选项正确. 7. 集合，，集合，若，则以下的取值不满足题意的是（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求得，利用，列出不等式，求得的取值范围，结合选项，即可求解. 【详解】由集合，， 可得，则， 因为，则满足，解得， 结合选项，可得选项D不满足题意. 故选:D. 8. 给定集合，若对于任意，，有，且，则称集合为闭集合，下列结论正确的个数是（ ） ①集合为闭集合； ②集合为闭集合； ③若集合，为闭集合，则为闭集合； ④若集合，为闭集合，且，，则存在，使得. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据闭集合的定义判断①、②，举反例判断③、④. 【详解】对于①：， 当，时，， 但，不满足闭集合的定义，故①错误； 对于②：， 任意，可设，，， 则，， 由，， 所以，且，故集合为闭集合．故②正确； 对于③：设， 任意，可设，，， 则，， 由，， 所以，且，则集合为闭集合． 由②分析可知也为闭集合． ， 当，时，， 但，即不是闭集合，故③错误； 对于④：设，若，则，， 则都为闭集合，又，且， 不存在，使得，即不存在，使得，故④错误； 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在下列四个命题中，正确的是（ ） A. 命题“，使得”的否定是“，都有” B. 命题“，”是真命题 C. 集合与集合表示同一集合 D. 已知集合，若，则的值为 【答案】AD 【解析】 【详解】选项：由命题的性质得，命题“，使得”的否定是“，都有”，故正确； 选项：因为，所以，则不存在实数满足，故不正确； 选项：集合是点集，集合是数集，则集合与集合表示的不是同一集合，故不正确； 选项：因为， 若，得，此时，不符合已知条件的集合含有2个元素，故不符合； 若，得，（舍去），此时，符合已知条件的集合含有2个元素，故符合，故正确. 10. 江苏省实验中学科技城校举行秋季运动会，高一某班共有30名同学参加比赛，有20人参加田赛，13人参加径赛，有19人参加球类比赛，同时参加田赛与径赛的有8人，同时参加田赛与球类比赛的有9人，没有人同时参加三项比赛．以下说法正确的有（ ） A. 同时参加径赛和球类比赛的人数有3人 B. 只参加球类一项比赛的人数有2人 C. 只参加径赛一项比赛的人数为0人 D. 只参加田赛一项比赛的人数为3人 【答案】CD 【解析】 【分析】根据题意画出韦恩图，标出各集合包含的元素个数，列方程即可逐一求得. 【详解】设全班同学组成全集，参加田赛的同学组成集合，参加径赛的同学组成集合， 参加球类比赛的同学组成集合，设同时参加径赛和球类比赛的人数为， 根据题意，画出韦恩图如图所示， 则，解得. 对于A，由图知同时参加径赛和球类比赛的人数为人，故A错误； 对于B，只参加球类一项比赛的人数为人，故B错误； 对于C，只参加径赛一项比赛的人数为人，故C正确； 对于D，由图知只参加田赛一项比赛的人数为3人，故D正确. 故选：CD． 11. 给定非空数集，设集合，，为中元素的个数．设集合，．若，则；若，则．下列结论正确的是（ ） A. B. 的值可能为 C. 的最大元素不大于 D. 的值可能为 【答案】AD 【解析】 【分析】首先根据集合的定义确定其元素范围，结合、的约束条件，推导的元素个数最值、的最大元素范围，逐一判断选项. 【详解】∵ 集合 ，且 ， 可得 ，中最大元素为. 对于选项A， 题设明确，根据子集定义，可得 ，故A正确. 设中最小元素为，最大元素为，. ∵ ，即. ∵ ，故的最小元素为. ∵ ，故的最大元素为. 要满足，需保证的最大元素小于的最小元素， 即 ①. 对于选项C：若，则，， 满足，且，故C错误. 对于选项B、D：要使最大，可取为连续自然数集合，此时. 代入①得 . 又 ，当时，， 因为，所以， 代入得，且， 满足①式，此时符合所有条件，故可能为，故D正确. 当时，，因为，所以， 代入得，超出的元素范围，不可能成立，故B错误. 【点睛】方法归纳：解决集合新定义问题，需先准确理解新集合的含义，将陌生条件转化为熟悉的集合运算、不等关系，涉及最值问题时优先考虑元素连续的集合构造. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 满足的集合A共有______个. 【答案】64 【解析】 【详解】依题意，集合是集合与集合的子集的并集， 而集合有个子集， 所以集合的个数为64. 13. 定义集合运算：.若集合，，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】由集合新定义结合交集的运算可得. 【详解】由题设可得，， 因为，，，， 故. 故答案为：. 14. 已知，，为集合的非空子集，满足： ①，； ②，中元素均为奇数，中元素均为偶数； ③，，中所有元素的和分别记为，，，且．则正整数的最小值为________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据给定条件，从1开始依次取值讨论求解. 【详解】当，2时，无法满足中的元素是3的倍数，故舍； 当时，集合元素的总和为6，每部分和应为2，但中必须包含3， 其和，故舍； 当时，集合元素的总和为10，不能被整除，故舍； 当时，集合元素的总和为15，每部分和应为5，中必须包含3， 需要再加入和为2的元素，只能加入2，此时，剩余元素分配给， 无法满足和为5且奇偶性的要求，故舍； 当时，集合元素的总和为21，每部分和应为7，中必须包含3和6， 此时和为，故舍； 当时，集合元素的总和为28，不能被整除，故舍； 当时，集合元素的总和为36，每部分和应为12，中必须包含3和6， 需要再加入和为3的元素，可加入1和2，此时，剩余元素分配给， 取奇数，和为12，取偶数，和为12，满足所有条件， 故的最小值为8. 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，． （1）求，； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1），或 （2） 【解析】 【分析】（1）利用交集、并集与补集定义计算即可得； （2）利用集合间包含关系运算即可得. 【小问1详解】 由，，则或， 则，或； 【小问2详解】 由于，则有，解得. 16. 已知集合，集合，非空集合． （1）“”是“”的充分条件，求实数b的取值构成的集合； （2）命题p：“，都有”为真命题，求实数a的取值构成的集合． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出集合，利用充分条件的定义，结合包含关系列式求解. （2）由全称量词命题为真及集合的包含关系列式求解. 【小问1详解】 非空集合，由“”是“”的充分条件，得， 而，则或，解得或， 所以实数b的取值构成的集合为. 【小问2详解】 由“，都有”为真命题，得， 而，，则或， 当时，，解得；当时，，解得， 所以实数a的取值构成的集合是. 17. 已知集合，集合且． （1）判断,,0,中的哪些元素属于； （2）证明：若，则． 【答案】（1）和； （2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）根据集合的定义验证； （2）由，证明且即可． 【小问1详解】 由已知,,0,均是集合中元素， 又，，无意义， ， 所以和属于； 【小问2详解】 因为，则， 设， 则， 而，，所以， 又，所以, 所以． 18. 已知. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）1 （2）或 【解析】 【分析】（1）先求出集合，再由分析出，由一元二次方程根与系数的关系即可求出的值； （2）若，分析出集合有四种情况，即或或或，结合一元二次方程的判别式及根与系数的关系，即可求出的取值范围. 【小问1详解】 因为，解得或，所以. 因为，所以， 所以-4和0是方程的两个根， 由韦达定理可得，解得， 所以实数的值是1； 【小问2详解】 若，则或或或. 当时， ，解得； 当时，，即， 此方程组无解，值不存在； 当时，，即，解得； 当时，由（1）知. 综上，可知实数的取值范围或. 19. 设集合是至少含有两个元素的数集，若中存在两个元素，满足它们的积，则称为可积数集. （1）设集合，试判断是否为可积数集？并说明理由； （2）设集合，若为可积数集，求实数的取值集合； （3）设集合，若不是可积数集，求实数的取值范围. 【答案】（1）不是可积数集，理由如下： 因为，，， 所以中任意两个元素的积都不是中的元素，即不是可积数集. （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据可积数集得定义判断； （2）由新定义可得，或，或，或，或，或，讨论求解； （3）由题意可得，，分，，讨论求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若为可积数集，则，或，或， 或，或，或. 若，则；若，则；若，则； 若，则，或，或，或， 解得，或，或（舍），或； 若，则，或，或，或， 解得，或，或，或； 若，则，或，或，或， 解得，或，或，或， 综上，实数的取值集合为. 【小问3详解】 若不是可积数集，则，. 当，即时，，此时，满足题意； 当时，，因为，所以若，则， 即，解得，或，此时满足题意； 当，即时，，，不满足题意，舍去. 综上，所求实数的取值范围为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年聊城一中第二批沃土培优班入学第一次测试 数学 本试卷共4页，共150分.考试时长150分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将试卷、答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 集合的子集的个数为（ ） A. 64 B. 16 C. 6 D. 4 3. 若命题：“，”为假命题，实数的取值范围（   ） A. B. C. D. 4. 设集合，若且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，若集合，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 6. 已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 集合，，集合，若，则以下的取值不满足题意的是（     ） A. B. C. D. 8. 给定集合，若对于任意，，有，且，则称集合为闭集合，下列结论正确的个数是（ ） ①集合为闭集合； ②集合为闭集合； ③若集合，为闭集合，则为闭集合； ④若集合，为闭集合，且，，则存在，使得. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在下列四个命题中，正确的是（ ） A. 命题“，使得”的否定是“，都有” B. 命题“，”是真命题 C. 集合与集合表示同一集合 D. 已知集合，若，则的值为 10. 江苏省实验中学科技城校举行秋季运动会，高一某班共有30名同学参加比赛，有20人参加田赛，13人参加径赛，有19人参加球类比赛，同时参加田赛与径赛的有8人，同时参加田赛与球类比赛的有9人，没有人同时参加三项比赛．以下说法正确的有（ ） A. 同时参加径赛和球类比赛的人数有3人 B. 只参加球类一项比赛的人数有2人 C. 只参加径赛一项比赛的人数为0人 D. 只参加田赛一项比赛的人数为3人 11. 给定非空数集，设集合，，为中元素的个数．设集合，．若，则；若，则．下列结论正确的是（ ） A. B. 的值可能为 C. 的最大元素不大于 D. 的值可能为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 满足的集合A共有______个. 13. 定义集合运算：.若集合，，则_____. 14. 已知，，为集合的非空子集，满足： ①，； ②，中元素均为奇数，中元素均为偶数； ③，，中所有元素的和分别记为，，，且．则正整数的最小值为________． 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，． （1）求，； （2）若，求的取值范围． 16. 已知集合，集合，非空集合． （1）“”是“”的充分条件，求实数b的取值构成的集合； （2）命题p：“，都有”为真命题，求实数a的取值构成的集合． 17. 已知集合，集合且． （1）判断,,0,中的哪些元素属于； （2）证明：若，则． 18. 已知. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围. 19. 设集合是至少含有两个元素的数集，若中存在两个元素，满足它们的积，则称为可积数集. （1）设集合，试判断是否为可积数集？并说明理由； （2）设集合，若为可积数集，求实数的取值集合； （3）设集合，若不是可积数集，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $