专题07 基本不等式6种常见考法归类（68题）-2026-2027学年新高一暑假人教A版必修第一册考点通关提升讲义

2026-2027年新高一暑假人教A版2019必修第一册考点通关提升讲义 专题07 基本不等式6种常见考法归类（68题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 对基本不等式的理解 考点二 利用基本不等式比较大小 考点三 利用基本不等式证明不等式 考点四 利用基本不等式求最值 （一）直接法 （二）配凑法求最值 （1）凑项 （2）凑系数 （3）分离 （三）常数代换法 （四）消元法 （五）不等式法（整体化） （六）对勾函数求最值 （七）多次运用基本不等式 考点五 基本不等式的实际应用 考点六 基本不等式的恒成立问题 知识点1：基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱） 基本不等式:,,（当且仅当时，取“”号） 其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算术平均数． 如果，有（当且仅当时，取“”号） 特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立. 知识点2：基本不等式的证明 （1）法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为. 这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为. 由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：. 当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点， 这时有. 得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得： 如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）. 通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”） （2）法二：代数法 ∵， 当时，； 当时，. 所以，（当且仅当时取等号“=”）. 知识点3：基本不等式的几何意义 如图，是圆的直径，点是上的一点，,， 过点作交圆于点D，连接、. 易证，那么，即. 这个圆的半径为，它大于或等于，即， 其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立. 知识点4：利用基本不等式求最值 ①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值； ②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值； 知识点5：基本不等式链 （其中，当且仅当时，取“”号） 知识点6：三个正数的基本不等式 如果，，，那么（当且仅当时，取“”号） 考点一 对基本不等式的理解 策略方法 1. 核心逻辑 (1) 限制条件： 均为正数；等号 ； (2) 无正负限制，任意实数都成立； (3)区分充分必要条件，判断不等式成立的前提是否齐全。 2. 解题步骤 (1)观察式子，区分使用的是带根号版本还是平方版本； (2)核对变量正负：带根号形式必须满足 ； (3)判断等号能否取到，分析命题充分性与必要性； (4)举反例排除缺少前提的错误选项。 3. 易错提醒 (1)忽略 为负数，直接套用 ； (2)混淆两个不等式成立的条件，把平方版限制为正数； (3)判断条件关系时，分不清充分与必要。 题型训练 1．（26-27高三·全国·一轮复习）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明，现有图形如图所示，C为线段上的点，且，，O为的中点，以为直径作半圆，过点C作的垂线交半圆于D，连接，，，过点C作的垂线，垂足为E，若不添加辅助线，则该图形可以完成的所有无字证明为__________．（填写序号） ①；②； ③；④． 2．（2026·陕西咸阳·模拟预测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026高三·北京昌平·期末）若，，且，则下列不等式中恒成立的是（   ） A． B． C． D． 4．【多选】（2026高一·四川眉山·期中）对于，，下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 考点二 利用基本不等式比较大小 策略方法 1. 核心逻辑 借助基本不等式对代数式放缩，结合不等式传递性判断大小；两种公式按需选用： - 含两数和与积： - 含平方： 2. 解题步骤 (1)观察代数式结构，匹配对应基本不等式； (2)验证变量范围满足公式使用前提； (3)利用不等式放缩得到中间关系式； (4)结合传递性，整理得出两式大小关系。 3. 易错提醒 (1)放缩方向混乱，不等号写反； (2)缺少正数前提强行使用带根号不等式； (3)忘记验证等号，误判相等关系。 题型训练 5．（2026高一·吉林长春·开学考试）已知，，则，b，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 6．（2026高一·山东枣庄·期中）已知、且，下列各式中最大的是（    ） A． B． C． D． 7．（2026高一·山东枣庄·阶段检测）若，，且，则，，2ab，中最小的一个是（   ） A．2ab B． C． D． 8．【多选】（2026高三·广东惠州·阶段检测）已知，则下列不等式错误的是（   ） A． B． C． D． 9．（2026高一·福建莆田·阶段检测）某食品加工厂生产某种食品，第一年产量为，第二年的增长率为，第三年的增长率为，这两年的平均增长率为（均大于零），则（    ） A． B． C． D． 考点三 利用基本不等式证明不等式 策略方法 1. 核心逻辑 综合法：从已知条件出发，多次使用基本不等式放缩，同向不等式相加得到结论；多次用不等式时，所有等号条件要统一。 2. 解题步骤 (1)拆分式子为多组可使用基本不等式的部分； (2)对每一组分别写出不等式，标注取等条件； (3)同向不等式左右分别相加，化简； (4)验证所有等号条件可同时成立，完成证明。 3. 易错提醒 (1)多次用不等式，但取等条件无法同时满足； (2)异向不等式直接相加，推导出错； (3)缺少正数前提直接套用均值不等式。 题型训练 10．（2026高一·河北保定·期中）已知证明： (1) (2) 11．（2026高一·上海·期中）已知，都是正实数，证明：. 12．（2026高一·上海·阶段检测）已知，且，求证： (1)； (2)． 13．（2026高一·湖北随州·阶段检测）已知且求证： (1)，； (2)； (3). 考点四 利用基本不等式求最值 （一）直接法 策略方法 1. 核心逻辑 题目天然满足“一正、二定”：两正数和为定值求积最大，积为定值求和最小。 2. 解题步骤 (1)确认两个变量均大于0； (2)判断积/和是否为固定常数； (3)令两变量相等，解出变量取值； (4)验证取值在定义域内，写出最值。 3. 易错提醒 定值判断错误；忽略变量范围，导致等号取不到。 题型训练 14．（2026高二·陕西汉中·期末）已知，则的最小值为______________. 15．（2026高二·宁夏银川·期末）设，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．2 16．（2026高二·江西南昌·期末）的最小值为（    ） A． B．9 C．8 D． 17．（2026高二·福建福州·期末）设，为正数，且，则的最大值为__________． 18．（2026高一·福建厦门·阶段检测）已知、都是正数，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． （二）配凑法求最值 策略方法 1. 核心逻辑 原式无定值，通过加减常数、配系数、拆分分式，人为凑出和定或积定结构。 2. 解题步骤 (1)凑项：加减常数构造正数乘积为定值； (2)凑系数：乘除常数，使两式和为定值； (3)分离常数：高次分式拆成“整式+分式”标准模型； (4)套用基本不等式，检验等号。 3. 易错提醒 配凑后出现负数，不满足“一正”；分式分离计算出错。 题型训练 （1） 凑项 19．（2026高二·福建福州·期末）设实数x满足，则函数的最小值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 20．（2026高一·全国·周测）已知函数，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 21．（2026高一·云南昆明·期末）函数的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 22．（2026高三·全国·专题练习）函数的最小值是（    ） A．8 B．6 C．9 D．4 23．（2026高一·全国·专题练习）已知，求的最大值； （2） 凑系数 24．求函数的最大值. 25．（2026高三·福建厦门·专题练习）已知，则的最大值为__________. 26．（2026高一·陕西咸阳·期中）已知，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 27．（2026高一·江苏徐州·期中）已知，则的最大值是______. 28．（2026高一·广东揭阳·阶段检测）（1）已知，求的最小值； （2）若，求的最大值． （3） 分离 29．（2026高一·全国·专题练习）求函数的最小值． 30．（2026高一·山西长治·期末）若，则的最大值是______． 31．（2026高二·北京·阶段检测）函数(）的最大值为______． 32．（2026高二·广西北海·期末）已知正数满足，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 （三）常数代换法 策略方法 1. 核心逻辑 已知 ，求 最值；目标式整体乘以等于1的条件，展开后出现积定。 2. 解题步骤 (1)识别条件为分式相加等于1； (2)目标代数式整体乘“1”，展开拆分； (3)对交叉项使用基本不等式； (4)联立条件求等号对应 。 3. 易错提醒 展开漏项；求出等号值不满足原始等式。 题型训练 33．（2026·湖南株洲·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．9 34．（2026高二·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，，且，则的最小值为（     ） A． B．5 C．4 D．3 35．（2026高二·北京朝阳·阶段检测）已知，则的最小值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 36．（2026高一·福建龙岩·阶段检测）若，，且，那么的最小值是（ ） A． B． C． D． 37．（2026高一·黑龙江哈尔滨·期末）两个正实数x，y满足，的最小值为（   ） A． B． C． D． 38．（2026高三·河南·阶段检测）设a，b为正数，且，则的最小值为______． 39．（2026高三·安徽马鞍山·阶段检测）若，且，则的最大值（    ） A． B． C． D． 40．（2026高一·四川广安·期中）已知且，，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 41．（2026高一·重庆·阶段检测）已知，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 42．（2026高一·广东·期中）设均为正实数，且，则的最小值为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 43．（2026高一·陕西咸阳·期中）若，且，则的最小值是___________． 44．（2026高一·新疆·阶段检测）若，，，则的最小值为（   ） A．4 B．2 C． D． （四）消元法 策略方法 1.核心逻辑 二元约束等式，用一个变量表示另一个，消元转化单变量函数再配凑定值。 2.解题步骤 (1)利用已知等式，用表示； (2)代入目标式，写出变量取值范围； (3)配凑出积定/和定结构，用基本不等式； (4)验证等号对应变量在取值范围内。 3.易错提醒 消元后遗漏变量正数限制；化简计算失误。 题型训练 45．（2026高三·全国·专题练习）若正实数满足，则的最小值为______． 46．（2026高一·新疆巴州·期末）若正数满足，则的最小值是___________. 47．（2026高一·江苏无锡·期中）已知正实数，满足，则的最大值为________． 48．（2026高三·全国·专题练习）已知，若，则的最小值为______ 49．（2026高三·重庆·开学考试）已知正实数满足，则的最小值是（    ） A． B．4 C．5 D． （五）不等式法（整体化） 策略方法 1.核心逻辑 条件同时含和，设，，代入构造一元二次不等式，求解范围。 2.解题步骤 (1)设和、积，统一替换条件式； (2)代入均值不等式建立关于或的二次不等式； (3)解不等式，舍去负数解； (4)得到和或积的最值。 3.易错提醒 忽略，保留负数解；不等号方向颠倒。 题型训练 50．（2026高二·重庆·期末）已知，，且，则的最小值为（   ） A．6 B．4 C． D．2 51．（2026高一·广东·期末）已知实数，满足，则的最大值为__． 52．（2026高一·河北保定·阶段检测）已知，，．求的最大值（    ） A． B． C．5 D．2 53．（2026高二·辽宁辽阳·期末）已知，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （六）对勾函数求最值 策略方法 1. 核心逻辑 当基本不等式等号取不到时，利用 单调性求区间最值。 2. 解题步骤 (1)配凑成对勾函数标准形式； (2)判断给定区间是否包含极值点 ； (3)根据单调性判断区间最大值与最小值。 3. 易错提醒 分不清对勾函数增减区间；强行用不等式忽略等号限制。 题型训练 54．（2026高一·上海·阶段检测）下列函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 55．函数 在 上的最大值为______________；最小值为_____________． 56．（2026高一·广东东莞·期中）函数在上的最小值是_____． （七）多次运用基本不等式 策略方法 1. 核心逻辑 式子含三组及以上正数，分步使用均值不等式，每一步取等条件必须同时成立。 2. 解题步骤 (1)分步对各组分别写不等式，标注每一步等号条件； (2)联立所有等号条件，判断是否存在公共解； (3)有公共解则合并得到最值，无解则改用函数单调性。 3. 易错提醒 只计算不验证等号共存，得到无效最值。 题型训练 57．（2026高一·重庆·期中）已知，，且满足：，则的最小值等于________． 58．（2026·天津·模拟预测）已知，则的最小值为______________. 59．（2026·天津·模拟预测）设，那么 的最小值是___________. 考点五 基本不等式的实际应用 策略方法 1. 核心逻辑 将几何、造价、体积、面积应用题转化为二元函数最值问题，利用基本不等式求最优方案（最低成本、最大容积）。 2. 解题步骤 (1)审题设变量，区分长、宽、高、单价、面积等量； (2)根据面积/容积约束，建立变量等式； (3)写出目标函数（总造价、体积等）； (4)配凑定值用基本不等式，求出取最值时变量取值； (5)结合实际意义作答。 3. 易错提醒 (1)忘记变量实际取值大于0； (2)几何模型列式时漏算墙面、底面面积； (3)求出最值不回代验证等号条件。 题型训练 60．（2026高一·河北邢台·期末）某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租（单位：万元）与仓库到超市的距离（，单位：千米）的函数关系式为，每月货物运输费（单位：万元）与的函数关系式为，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为______万元． 61．（2026高一·新疆阿克苏·期末）学校将举办班级合唱比赛.高一某班为了筹集比赛所需的采购费用，决定销售同学们亲手制作的纪念品.考虑到制作成本、场地费用、销售单价等因素，根据相关数据分析，预计累计总利润（单位：百元）与销售天数满足. (1)为保证累计总利润不为负，求最多销售的天数； (2)当销售多少天时，能使平均每天的利润最大？平均每天的利润最大是多少？（平均每天的利润） 62．（2026高一·天津北辰·期中）某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为______元． 考点六 基本不等式的恒成立问题 策略方法 1. 核心逻辑 恒成立转化规则： - 恒成立 - 恒成立 先用基本不等式求出代数式最值，再解参数范围。 2. 解题步骤 (1)分离参数，将参数单独放在不等号一侧； (2)另一侧二元代数式用乘1法、消元法等求最值； (3)根据恒成立规则列出参数不等式； (4)解不等式得到参数取值范围。 3. 易错提醒 (1)恒成立最值方向搞反； (2)求代数式最值时不满足“一正二定三相等”； (3)忽略变量正数约束，扩大参数取值。 题型训练 63．（2026高一·福建·阶段检测）已知，且，若恒成立，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 64．（2026高一·天津·期中），，且满足，若恒成立，则的取值范围为______ 65．（2026高一·湖南·期中）若不等式对一切都成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 66．（2026高一·广西南宁·期中）当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是_______． 67．（2026高一·江西赣州·阶段检测）已知不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 68．（2026高一·安徽六安·期中）对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． $2026-2027年新高一暑假人教A版2019必修第一册考点通关提升讲义 专题07 基本不等式6种常见考法归类（68题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 对基本不等式的理解 考点二 利用基本不等式比较大小 考点三 利用基本不等式证明不等式 考点四 利用基本不等式求最值 （一）直接法 （二）配凑法求最值 （1）凑项 （2）凑系数 （3）分离 （三）常数代换法 （四）消元法 （五）不等式法（整体化） （六）对勾函数求最值 （七）多次运用基本不等式 考点五 基本不等式的实际应用 考点六 基本不等式的恒成立问题 知识点1：基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱） 基本不等式:,,（当且仅当时，取“”号） 其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算术平均数． 如果，有（当且仅当时，取“”号） 特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立. 知识点2：基本不等式的证明 （1）法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为. 这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为. 由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：. 当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点， 这时有. 得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得： 如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）. 通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”） （2）法二：代数法 ∵， 当时，； 当时，. 所以，（当且仅当时取等号“=”）. 知识点3：基本不等式的几何意义 如图，是圆的直径，点是上的一点，,， 过点作交圆于点D，连接、. 易证，那么，即. 这个圆的半径为，它大于或等于，即， 其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立. 知识点4：利用基本不等式求最值 ①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值； ②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值； 知识点5：基本不等式链 （其中，当且仅当时，取“”号） 知识点6：三个正数的基本不等式 如果，，，那么（当且仅当时，取“”号） 考点一 对基本不等式的理解 策略方法 1. 核心逻辑 (1) 限制条件： 均为正数；等号 ； (2) 无正负限制，任意实数都成立； (3)区分充分必要条件，判断不等式成立的前提是否齐全。 2. 解题步骤 (1)观察式子，区分使用的是带根号版本还是平方版本； (2)核对变量正负：带根号形式必须满足 ； (3)判断等号能否取到，分析命题充分性与必要性； (4)举反例排除缺少前提的错误选项。 3. 易错提醒 (1)忽略 为负数，直接套用 ； (2)混淆两个不等式成立的条件，把平方版限制为正数； (3)判断条件关系时，分不清充分与必要。 题型训练 1．（26-27高三·全国·一轮复习）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明，现有图形如图所示，C为线段上的点，且，，O为的中点，以为直径作半圆，过点C作的垂线交半圆于D，连接，，，过点C作的垂线，垂足为E，若不添加辅助线，则该图形可以完成的所有无字证明为__________．（填写序号） ①；②； ③；④． 【答案】①③ 【分析】先明确，的几何意义，即在图中相对应的线段，根据直角三角形的相似可得相应的比例式，结合不等关系，即可证明①③选项；由于在该图中没有相应的线段与之对应，可判断②④选项． 【详解】由题意可知，， 由∽可知，即， 所以； 在中，，即， 当时，O，C点重合，，此时，所以①正确； 在中，由∽可得，即， 所以， 由于，所以， 当时，，此时，所以③正确； 由于在该图中没有相应的线段与之对应，故②④中的不等式无法通过这种几何方法来证明． 2．（2026·陕西咸阳·模拟预测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用基本不等式即可判断选项. 【详解】若，根据基本不等式可得，当且仅当时等号成立，所以由可得成立， 若，取，满足，但不满足，所以由推不出， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 3．（2026高三·北京昌平·期末）若，，且，则下列不等式中恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式的性质进行逐项判断即可. 【详解】因为，所以同号. 对于A：当时，，此时， 不等式左边为负数，右边为正数，所以该不等式不成立，A错误； 对于B：当时，，即， 此时，所以B错误； 对于C：当时，，此时， 不等式左边为负数，右边为正数，所以该不等式不成立，C错误； 对于D：因为同号，所以， 根据基本不等式的性质可得，D正确. 故选：D. 4．【多选】（2026高一·四川眉山·期中）对于，，下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据，整理变形，可判断A的正误；根据基本不等式可判断B、C的正误；利用作差法，可判断D的正误. 【详解】选项A：因为，所以， 所以，当且仅当时取等号，故A正确； 选项B：因为，，所以，即， 当且仅当时取等号，故B错误； 选项C：因为，，所以，即， 当且仅当时取等号，故C正确； 选项D：， 当且仅当时取等号，所以，故D正确. 故选：ACD 考点二 利用基本不等式比较大小 策略方法 1. 核心逻辑 借助基本不等式对代数式放缩，结合不等式传递性判断大小；两种公式按需选用： - 含两数和与积： - 含平方： 2. 解题步骤 (1)观察代数式结构，匹配对应基本不等式； (2)验证变量范围满足公式使用前提； (3)利用不等式放缩得到中间关系式； (4)结合传递性，整理得出两式大小关系。 3. 易错提醒 (1)放缩方向混乱，不等号写反； (2)缺少正数前提强行使用带根号不等式； (3)忘记验证等号，误判相等关系。 题型训练 5．（2026高一·吉林长春·开学考试）已知，，则，b，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】因为，，所以，解得，同理可得， 由，可得，又，可得， 所以， 因为，所以， 所以，所以. 6．（2026高一·山东枣庄·期中）已知、且，下列各式中最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式逐项判断即可. 【详解】由重要不等式可得，当且仅当时等号成立，即， 但，则， 因为，则，即， 故，当且仅当时等号成立， 但，则， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 但，则， 故这四个数中，最大的为. 故选：A. 7．（2026高一·山东枣庄·阶段检测）若，，且，则，，2ab，中最小的一个是（   ） A．2ab B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据基本不等式比较大小，再作差比较，即可判断. 【详解】因为，，且，，， ，由条件可知，，则， 所以，即，所以四个数中最小的是. 故选：A 8．【多选】（2026高三·广东惠州·阶段检测）已知，则下列不等式错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由基本不等式结合特例即可逐项判断. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B和D，取，此时， ，故B和D错误； 对于C，，由基本不等式可得，故C正确. 故选：ABD 9．（2026高一·福建莆田·阶段检测）某食品加工厂生产某种食品，第一年产量为，第二年的增长率为，第三年的增长率为，这两年的平均增长率为（均大于零），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意有，进而有，再应用基本不等式，即可比较大小. 【详解】由题意且， 则由基本不等式可得， 当且仅当，即时取等号，故. 故选：B 考点三 利用基本不等式证明不等式 策略方法 1. 核心逻辑 综合法：从已知条件出发，多次使用基本不等式放缩，同向不等式相加得到结论；多次用不等式时，所有等号条件要统一。 2. 解题步骤 (1)拆分式子为多组可使用基本不等式的部分； (2)对每一组分别写出不等式，标注取等条件； (3)同向不等式左右分别相加，化简； (4)验证所有等号条件可同时成立，完成证明。 3. 易错提醒 (1)多次用不等式，但取等条件无法同时满足； (2)异向不等式直接相加，推导出错； (3)缺少正数前提直接套用均值不等式。 题型训练 10．（2026高一·河北保定·期中）已知证明： (1) (2) 【答案】(1) 因为，所以，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立． 故，当且仅当时，等号成立． (2) 因为，所以． ， 当且仅当时，等号成立． 【分析】（1）式子和直接利用基本不等式求解； （2）将整理为，利用基本不等式求解； 【详解】（1）略 （2）略 11．（2026高一·上海·期中）已知，都是正实数，证明：. 【答案】 因为，都是正实数， 所以，当且仅当即时等号成立； ，当且仅当即时等号成立； 所以，即，当且仅当时等号成立. 【分析】结合不等式的加法法则，利用基本不等式即可证明. 【详解】略 12．（2026高一·上海·阶段检测）已知，且，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）直接利用基本不等式求证即可； （2）对原不等式平方，变形结合（1）中结论即可求证． 【详解】（1）对，有，所以，平方得， 所以，当且仅当时，等号成立，得证． （2）证明，即证，也即证， 只需证，即证，即证，由（1）可知成立， 所以成立． 13．（2026高一·湖北随州·阶段检测）已知且求证： (1)，； (2)； (3). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）从中解出和，分别代入得解； （2）将都乘以正数，得到，两边同加，得到，代入，得到，同理得到，从而得解； （3）先将两边平方整理后得到，再使用基本不等式得解. 【详解】（1），， ，， ，， ，； （2）， ， ， ， ， . 同理，，则有， ， ， ， 综上； （3）， ， ， ， ， . 考点四 利用基本不等式求最值 （一）直接法 策略方法 1. 核心逻辑 题目天然满足“一正、二定”：两正数和为定值求积最大，积为定值求和最小。 2. 解题步骤 (1)确认两个变量均大于0； (2)判断积/和是否为固定常数； (3)令两变量相等，解出变量取值； (4)验证取值在定义域内，写出最值。 3. 易错提醒 定值判断错误；忽略变量范围，导致等号取不到。 题型训练 14．（2026高二·陕西汉中·期末）已知，则的最小值为______________. 【答案】1 【分析】应用基本不等式计算求解. 【详解】已知，则， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为1. 15．（2026高二·宁夏银川·期末）设，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．2 【答案】C 【分析】由基本不等式求解最小值. 【详解】，当且仅当，即（因为）时取等号， 所以的最小值为. 16．（2026高二·江西南昌·期末）的最小值为（    ） A． B．9 C．8 D． 【答案】B 【详解】，当且仅当，即时取等. 17．（2026高二·福建福州·期末）设，为正数，且，则的最大值为__________． 【答案】/0.25 【详解】（当且仅当时，取等号），所以的最大值为 18．（2026高一·福建厦门·阶段检测）已知、都是正数，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因、都是正数，， 则由，可得. 当且仅当，即，时取等号. 所以的最大值为. （二）配凑法求最值 策略方法 1. 核心逻辑 原式无定值，通过加减常数、配系数、拆分分式，人为凑出和定或积定结构。 2. 解题步骤 (1)凑项：加减常数构造正数乘积为定值； (2)凑系数：乘除常数，使两式和为定值； (3)分离常数：高次分式拆成“整式+分式”标准模型； (4)套用基本不等式，检验等号。 3. 易错提醒 配凑后出现负数，不满足“一正”；分式分离计算出错。 题型训练 （1） 凑项 19．（2026高二·福建福州·期末）设实数x满足，则函数的最小值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】因为，所以， 则， s时，等号成立， 故函数的最小值为5. 20．（2026高一·全国·周测）已知函数，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】D 【分析】首先将函数构造成能够利用基本不等式的形式，然后利用基本不等式的性质进行求解即可. 【详解】由题意，，故，根据基本不等式，， 当且仅当，即时等号成立． 此时函数的最小值为7. 故选：D. 21．（2026高一·云南昆明·期末）函数的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先配凑再利用基本不等式即可求得. 【详解】因，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，取得最小值为3. 故选：C. 22．（2026高三·全国·专题练习）函数的最小值是（    ） A．8 B．6 C．9 D．4 【答案】A 【分析】利用配凑法结合基本不等式即可求解. 【详解】， ，，， 由基本不等式可得：， 当且仅当，即时，等号成立，故选A. 23．（2026高一·全国·专题练习）已知，求的最大值； 【答案】1 【分析】将变形为，然后利用基本不等式求解最大值即可. 【详解】∵， ∴， ∴， 当且仅当，即时，上式等号成立， 故当时，． （2） 凑系数 24．求函数的最大值. 【答案】 【分析】根据已知条件结合基本不等式求解即可得结果. 【详解】因为，， 所以, 当且仅当，即时，. 故函数的最大值为. 故答案为： 25．（2026高三·福建厦门·专题练习）已知，则的最大值为__________. 【答案】 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】由于，故， ， 当且仅当，即时取到等号，故的最大值为， 故答案为： 26．（2026高一·陕西咸阳·期中）已知，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合基本不等式运算求解即可. 【详解】因为，则， 可得，即， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最大值为. 故选：C 27．（2026高一·江苏徐州·期中）已知，则的最大值是______. 【答案】 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】由于，则， 故，当且仅当，即时取到等号，故最大值为， 故答案为： 28．（2026高一·广东揭阳·阶段检测）（1）已知，求的最小值； （2）若，求的最大值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）借助基本不等式计算即可得； （2）借助基本不等式计算即可得. 【详解】（1）由，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 即的最小值为； （2）由，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值为. （3） 分离 29．（2026高一·全国·专题练习）求函数的最小值． 【答案】9 【分析】将看作一个整体，化简得，再利用基本不等式即可求得函数的最小值. 【详解】， 因为，所以，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故函数的最小值为. 30．（2026高一·山西长治·期末）若，则的最大值是______． 【答案】 【分析】将转化为，利用基本不等式求解. 【详解】令， 因为，所以，所以， 当且仅当，即，因为，所以时，等号成立. 31．（2026高二·北京·阶段检测）函数(）的最大值为______． 【答案】/ 【详解】 ，，当且仅当时取等号， 即函数(）的最大值为． 32．（2026高二·广西北海·期末）已知正数满足，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由，再利用基本不等求最小值即可. 【详解】由（当且仅当时取等号）， 所以的最小值为4. 故选：C． （三）常数代换法 策略方法 1. 核心逻辑 已知 ，求 最值；目标式整体乘以等于1的条件，展开后出现积定。 2. 解题步骤 (1)识别条件为分式相加等于1； (2)目标代数式整体乘“1”，展开拆分； (3)对交叉项使用基本不等式； (4)联立条件求等号对应 。 3. 易错提醒 展开漏项；求出等号值不满足原始等式。 题型训练 33．（2026·湖南株洲·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．9 【答案】D 【分析】采用“1”的代换构造基本不等式适用形式，求解目标式的最小值. 【详解】 ， 当且仅当，即，结合解得当且仅当，时取等号， 因此的最小值为9. 34．（2026高二·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，，且，则的最小值为（     ） A． B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】利用常值代换法和基本不等式即可求得. 【详解】已知，，且， ， 当且仅当，结合得时等号成立， 的最小值为． 35．（2026高二·北京朝阳·阶段检测）已知，则的最小值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由，得，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是4. 故选：A 36．（2026高一·福建龙岩·阶段检测）若，，且，那么的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把原等式化为，再利用代换法，结合基本不等式即可求得最小值. 【详解】由，可得， 则 当且仅当时，上式取等号， 所以的最小值是. 故选：D 37．（2026高一·黑龙江哈尔滨·期末）两个正实数x，y满足，的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本不等式及“1”的代换求值即可. 【详解】， 当且仅当，即，时，等号成立. 故选：B. 38．（2026高三·河南·阶段检测）设a，b为正数，且，则的最小值为______． 【答案】 【分析】通过基本不等式“1”妙用求得最小值. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为． 故答案为：. 39．（2026高三·安徽马鞍山·阶段检测）若，且，则的最大值（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，化简，结合基本不等式，求得，进而得到答案. 【详解】由且，则， 当且仅当时，即时，等号成立，即， 所以，即的最大值为. 故选：A. 40．（2026高一·四川广安·期中）已知且，，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用基本不等式中“1的代换”即可得解. 【详解】，， 当且仅当时，等号成立. 故选：D. 41．（2026高一·重庆·阶段检测）已知，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将条件 代入原式，得到关于 的表达式 ，再通过配凑项法将其转化为可使用基本不等式的形式求解. 【详解】因为，， 则 ， 当且仅当，即，时等号成立， 故的最小值是. 故选:D. 42．（2026高一·广东·期中）设均为正实数，且，则的最小值为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【分析】根据基本不等式，即可求解． 【详解】根据题意，， 当且仅当，即时取等， 所以的最小值为． 故选：C． 43．（2026高一·陕西咸阳·期中）若，且，则的最小值是___________． 【答案】3. 【分析】利用代换1法，结合基本不等式来求最小值. 【详解】因为，且， 所以 ， 当且仅当时取等号， 故答案为：3. 44．（2026高一·新疆·阶段检测）若，，，则的最小值为（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由基本不等式“1”的妙用求解即可． 【详解】 ，当且仅当，即时，等号成立． 故选：A． （四）消元法 策略方法 1.核心逻辑 二元约束等式，用一个变量表示另一个，消元转化单变量函数再配凑定值。 2.解题步骤 (1)利用已知等式，用表示； (2)代入目标式，写出变量取值范围； (3)配凑出积定/和定结构，用基本不等式； (4)验证等号对应变量在取值范围内。 3.易错提醒 消元后遗漏变量正数限制；化简计算失误。 题型训练 45．（2026高三·全国·专题练习）若正实数满足，则的最小值为______． 【答案】6 【分析】将代换后使用基本不等式求解. 【详解】因为正实数满足，所以，解得，则， 可得， 当且仅当时取等号，所以的最小值为6. 46．（2026高一·新疆巴州·期末）若正数满足，则的最小值是___________. 【答案】4 【分析】由得，代入后利用基本不等式即可求解. 【详解】因为正数满足，所以，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是4. 故答案为：4. 47．（2026高一·江苏无锡·期中）已知正实数，满足，则的最大值为________． 【答案】 【分析】由已知变形可得，代入，利用基本不等式求最大值即可. 【详解】因为，由可得，又，所以， 所以， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以，即的最大值为， 故答案为： 48．（2026高三·全国·专题练习）已知，若，则的最小值为______ 【答案】8 【分析】根据题意，由条件可得，然后结合基本不等式即可得到结果. 【详解】因为，且，所以， 则，当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为8． 故答案为: 49．（2026高三·重庆·开学考试）已知正实数满足，则的最小值是（    ） A． B．4 C．5 D． 【答案】B 【分析】由题意得，代入得，再由均值不等式即可求解. 【详解】由有：， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：B. （五）不等式法（整体化） 策略方法 1.核心逻辑 条件同时含和，设，，代入构造一元二次不等式，求解范围。 2.解题步骤 (1)设和、积，统一替换条件式； (2)代入均值不等式建立关于或的二次不等式； (3)解不等式，舍去负数解； (4)得到和或积的最值。 3.易错提醒 忽略，保留负数解；不等号方向颠倒。 题型训练 50．（2026高二·重庆·期末）已知，，且，则的最小值为（   ） A．6 B．4 C． D．2 【答案】A 【详解】因为，故， 又因为，，因此有， 因此，当且仅当时等号成立， 设，所以，解得或， 由和，解得， 因此当时，的最小值为6. 51．（2026高一·广东·期末）已知实数，满足，则的最大值为__． 【答案】2 【分析】由基本不等式结合题意可得答案. 【详解】，， 因为，所以意到，当且仅当时取等号. ，化为， ，当且仅当时取等号，的最大值为2． 故答案为：2． 52．（2026高一·河北保定·阶段检测）已知，，．求的最大值（    ） A． B． C．5 D．2 【答案】B 【分析】由基本不等式和题目条件得到，求出的最大值. 【详解】因为，，由基本不等式得， 故，解得， 当且仅当时，等号成立， 故的最大值为. 故选：B 53．（2026高二·辽宁辽阳·期末）已知，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式得到，解不等式，求出答案. 【详解】因为，所以． 因为，所以． 令，则，解得或． 因为，所以（取等号）． 故的取值范围是． 故选：A （六）对勾函数求最值 策略方法 1. 核心逻辑 当基本不等式等号取不到时，利用 单调性求区间最值。 2. 解题步骤 (1)配凑成对勾函数标准形式； (2)判断给定区间是否包含极值点 ； (3)根据单调性判断区间最大值与最小值。 3. 易错提醒 分不清对勾函数增减区间；强行用不等式忽略等号限制。 题型训练 54．（2026高一·上海·阶段检测）下列函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合基本不等式（均值不等式）的使用条件“一正、二定、三相等”逐一分析即可． 【详解】对于A，函数（），当时，， 当且仅当时取等号；当时，， 又，当且仅当时取等号， 所以此时，因此，函数无最小值，故A错误； 对于B，函数，当时，，； 当时，，，因此，函数无最小值，故B错误； 对于C，，当且仅当，即时取等号， 此时，所以函数最小值为2，故C正确； 对于D，令，则，函数变为（）， 函数在时单调递增，故当时，y取得最小值，故D错误． 故选：C． 55．函数 在 上的最大值为______________；最小值为_____________． 【答案】 / 【分析】令，化简得，令，，利用对勾函数的性质求解最值即可． 【详解】令，则，∵，∴， ∴， 令，， 由对勾函数的性质可知，函数在上为减函数，在上为增函数， ∵，， ∴，， ∴函数在 上的最大值和最小值分别为和． 故答案为：；. 56．（2026高一·广东东莞·期中）函数在上的最小值是_____． 【答案】/ 【分析】根据对勾函数的单调性得出最小值. 【详解】因为函数在上单调递减，函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 所以. 故答案为：. （七）多次运用基本不等式 策略方法 1. 核心逻辑 式子含三组及以上正数，分步使用均值不等式，每一步取等条件必须同时成立。 2. 解题步骤 (1)分步对各组分别写不等式，标注每一步等号条件； (2)联立所有等号条件，判断是否存在公共解； (3)有公共解则合并得到最值，无解则改用函数单调性。 3. 易错提醒 只计算不验证等号共存，得到无效最值。 题型训练 57．（2026高一·重庆·期中）已知，，且满足：，则的最小值等于________． 【答案】48 【分析】利用常值代换和基本不等式即可求得最小值. 【详解】因，且， 则 （当且仅当时等号成立） ，当且仅当即时等号成立. 所以的最小值等于. 故答案为：. 58．（2026·天津·模拟预测）已知，则的最小值为______________. 【答案】4 【解析】化简原式为，两次运用基本不等式可得结果. 【详解】 ， 当且仅当，即等号成立， 所以，的最小值为4， 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）. 59．（2026·天津·模拟预测）设，那么 的最小值是___________. 【答案】16 【分析】利用均值不等式求的最大值表达式，再利用均值不等式求解作答. 【详解】因，则，当且仅当，即时取“=”， 因此，，当且仅当，即时取“=”， 所以，当时，取最小值16. 故答案为：16 考点五 基本不等式的实际应用 策略方法 1. 核心逻辑 将几何、造价、体积、面积应用题转化为二元函数最值问题，利用基本不等式求最优方案（最低成本、最大容积）。 2. 解题步骤 (1)审题设变量，区分长、宽、高、单价、面积等量； (2)根据面积/容积约束，建立变量等式； (3)写出目标函数（总造价、体积等）； (4)配凑定值用基本不等式，求出取最值时变量取值； (5)结合实际意义作答。 3. 易错提醒 (1)忘记变量实际取值大于0； (2)几何模型列式时漏算墙面、底面面积； (3)求出最值不回代验证等号条件。 题型训练 60．（2026高一·河北邢台·期末）某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租（单位：万元）与仓库到超市的距离（，单位：千米）的函数关系式为，每月货物运输费（单位：万元）与的函数关系式为，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为______万元． 【答案】 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】， 等号成立时， 故该超市应该把仓库建在距离超市千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为万元. 故答案为：； 61．（2026高一·新疆阿克苏·期末）学校将举办班级合唱比赛.高一某班为了筹集比赛所需的采购费用，决定销售同学们亲手制作的纪念品.考虑到制作成本、场地费用、销售单价等因素，根据相关数据分析，预计累计总利润（单位：百元）与销售天数满足. (1)为保证累计总利润不为负，求最多销售的天数； (2)当销售多少天时，能使平均每天的利润最大？平均每天的利润最大是多少？（平均每天的利润） 【答案】(1) (2)天，平均每天的利润最大百元 【分析】（1）解不等式，可得结论； （2）利用基本不等式可求出的最大值，利用等号成立的条件求出对应的值，即可得出结论. 【详解】（1）为了保证累计总利润不为负，令，即，解得， 故最多销售的天数为天. （2）平均每天的利润为， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，当销售天数为天时，能使平均每天的利润最大，且平均每天的利润最大百元. 62．（2026高一·天津北辰·期中）某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为______元． 【答案】 【分析】求出房屋的总造价，利用基本不等式可得答案. 【详解】设房屋底面一边长为m，则另一边长为m， 所以房屋的总造价为， 因为，所以， 当且仅当即时等号成立. 故答案为：. 考点六 基本不等式的恒成立问题 策略方法 1. 核心逻辑 恒成立转化规则： - 恒成立 - 恒成立 先用基本不等式求出代数式最值，再解参数范围。 2. 解题步骤 (1)分离参数，将参数单独放在不等号一侧； (2)另一侧二元代数式用乘1法、消元法等求最值； (3)根据恒成立规则列出参数不等式； (4)解不等式得到参数取值范围。 3. 易错提醒 (1)恒成立最值方向搞反； (2)求代数式最值时不满足“一正二定三相等”； (3)忽略变量正数约束，扩大参数取值。 题型训练 63．（2026高一·福建·阶段检测）已知，且，若恒成立，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据基本不等式“1”的代换求出，进而得到，进而求解即可. 【详解】因为，且， 则， 当且仅当，即时等号成立， 因为恒成立，可得，解得， 所以实数m的取值范围是. 故选：D． 64．（2026高一·天津·期中），，且满足，若恒成立，则的取值范围为______ 【答案】 【分析】利用基本不等式中“1”的代换求得，进而，解不等式即可. 【详解】， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以. 又恒成立，所以， 即，解得， 所以k的取值范围为. 故答案为： 65．（2026高一·湖南·期中）若不等式对一切都成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，，根据基本不等式求得，进而求解即可. 【详解】由题意，不等式对一切都成立， 则， 当时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即，则实数的取值范围为. 故选：C 66．（2026高一·广西南宁·期中）当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是_______． 【答案】 【分析】利用基本不等式求解最值即可. 【详解】当时，表达式，当且仅当时取等号． 当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是． 故答案为：． 67．（2026高一·江西赣州·阶段检测）已知不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】参变分离，利用基本不等式求的最大值即可. 【详解】不等式恒成立， 即， 因，则， 则， 当且仅当，即时等号成立， 则，故． 故选：C． 68．（2026高一·安徽六安·期中）对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，利用基本不等式可算出，再将最小值代入，解一元二次不等式即可求解. 【详解】由不等式恒成立，即， ，，且， ， 当且仅当，即时取等号， ， ，即， 解得， 故实数的取值范围是. 故选：C $