第08讲 二次函数与一元二次方程、不等式讲义-2026年初升高衔接新高一数学人教A版必修第一册

第08讲 二次函数与一元二次方程、不等式 目录 一、一元二次不等式 1 二、二次函数的零点 1 三、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 1 四、特殊不等式 2 1．绝对值不等式 2 2．分式不等式 2 题型1解不含参数的一元二次不等式 2 题型2一元二次不等式与根与系数的关系 5 题型3解简单的分式不等式及绝对值不等式 8 题型4二次不等式的恒成立问题 10 题型5一元二次方程根的分布问题 11 题型6解含有参数的一元二次不等式 14 题型7二次不等式的实际应用 18 01 学习新知 一、一元二次不等式 一般地,我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是或,其中均为常数. 二、二次函数的零点 一般地,对于二次函数,我们把使的实数叫做二次函数的零点． 注意：(1)二次函数的零点不是点,是二次函数与轴交点的横坐标． (2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 三、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 的图象 的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 的解集 注意：（1）对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下,其解集的常用口诀是：大于取两边,小于取中间． （2）对于二次项系数是负数(即)的不等式,可以先把二次项系数化为正数,再对照上述情况求解． 四、特殊不等式 1．绝对值不等式 解含有绝对值不等式关键是如何去绝对值符号． ；或 2．分式不等式 解分式不等式的主旨是化分式不等式为整式不等式，进行求解． （1） （2） （3）且 （4）且 02 经典题型 题型1解不含参数的一元二次不等式 1. 下列不等式中是一元二次不等式的为(　　) A.ax2+2x+1>0 B.x2-y>0 C.-x2-3x<0 D.>0 2. 解下列不等式： (1)x2-5x+6>0； (2)9x2-6x+1>0； (3)-x2+2x-3>0. 3. 求下列不等式的解集： (1)x2-2x-3>0； (2)-x2+6x-9≥0； (3)-2x2+x-6<0. 4. 求下列一元二次不等式的解集： (1)x2-5x>6；(2)4x2-4x+1≤0；(3)-x2+7x>6. 5. 若集合A={x|(2x+1)(x-3)<0}，B={x|x∈N*，x≤5}，则A∩B等于(　　) A.{1，2，3} B.{1，2} C.{4，5} D.{1，2，3，4，5} 6. 不等式(x+5)(3-2x)≥6的解集是(　　) A. B. C. D. 7. 已知集合，则（    ） A． B． C． D． 题型2一元二次不等式与根与系数的关系 8. 已知不等式的解是或． (1)用字母a表示出b，c； (2)求不等式的解 9. 已知关于x的一元二次不等式ax2+bx-c<0的解集为{x|3<x<5}，则不等式cx2+bx-a>0的解集为(　　) A. B. C. D. 10. (多选)若不等式ax2-bx+c>0的解集是{x|-1<x<2}，则下列选项正确的是(　　) A.b<0且c>0 B.a-b+c>0 C.a+b+c>0 D.不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|-2<x<1} 11. 已知函数y=ax2-(a2+2)x+2a，若不等式y+6x≤0的解集是{x|x≤-2或x≥-1}，则实数a的值为　　　　. 12. 已知函数，若关于的不等式的解为，则= ，= . 13. （多选）已知关于的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 题型3解简单的分式不等式及绝对值不等式 14. 解下列不等式： (1)<0； (2)≥0； (3)>1. 15. 解下列不等式： (1)≤0；　(2)<3. 16. 若关于x的不等式>0的解集为{x|x<-1或x>4}，则实数a=　　　　. 17. 已知不等式x2-3x+2≤0的解集为A，不等式≤0的解集为B，则“x∈A”是“x∈B”的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 18. 求下列不等式的解集. (1) (2) 19. 求下列不等式的解集. 20. (多选)下列选项中，正确的是（    ） A．不等式的解集为或 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．设，则“”是“”的充分不必要条件 题型4二次不等式的恒成立问题 21. 关于x的一元二次不等式的解集为空集，则实数m的取值范围为 ． 22. 若，函数的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围． 23. 已知关于x的不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围． 题型5一元二次方程根的分布问题 24. 已知关于x的方程，下列结论错误的是（    ） A．方程无实数根的必要条件是 B．方程有一正一负根的充要条件是 C．方程有两正实数根的充要条件是 D．方程有实数根的充要条件是或 25. 关于的方程满足下列条件，求的取值范围. (1)有两个正根； (2)一个根在内，另一个根在内； 26. 已知一元二次方程有两个同号实根，求实数m的取值范围． 27. 已知关于的方程，求： (1)方程有两个不同正根的充要条件； (2)方程至少有一正根的充要条件． 28. 已知一元二次方程的两根都在内，求实数m的取值范围． 题型6解含有参数的一元二次不等式 29. 求[x-(a-1)][x-(a+3)]>0(a∈R)的解集. 30. 求[x+(a-1)][x-(a+3)]>0(a∈R)的解集. 31. 求(ax-2)(x+1)>0(a>0)的解集 32. 求(ax-2)(x+1)>0(a<0)的解集 33. 求(ax-2)(x+1)>0(a≠0)的解集 34. 求(ax-2)(x+1)>0(a∈R)的解集 35. 解关于实数的不等式：． 36. 解关于实数的不等式 (1)； (2)； (3). 题型7二次不等式的实际应用 37. 一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x(单位：辆)与创造的价值y(单位：元)之间有如下的关系：y=-20x2+2 200x. 若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60 000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？ 38. 为了鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策，由政府协调，企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担.某大学毕业生按照相关政策投资销售一种新型节能灯.已知这种节能灯的成本价为10元/台，出厂价为12元/台，每月的销售量y(台)与销售单价x(元)之间的关系近似满足一次函数y=-10x+500. (1)设他每月获得的利润为W(元)，写出W与x之间的函数关系式. (2)根据相关部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元.如果他想要每月获得不少于3 000元的利润，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 二次函数与一元二次方程、不等式 目录 一、一元二次不等式 1 二、二次函数的零点 1 三、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 1 四、特殊不等式 2 1．绝对值不等式 2 2．分式不等式 2 题型1解不含参数的一元二次不等式 2 题型2一元二次不等式与根与系数的关系 5 题型3解简单的分式不等式及绝对值不等式 8 题型4二次不等式的恒成立问题 10 题型5一元二次方程根的分布问题 11 题型6解含有参数的一元二次不等式 14 题型7二次不等式的实际应用 18 01 学习新知 一、一元二次不等式 一般地,我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是或,其中均为常数. 二、二次函数的零点 一般地,对于二次函数,我们把使的实数叫做二次函数的零点． 注意：(1)二次函数的零点不是点,是二次函数与轴交点的横坐标． (2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 三、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 的图象 的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 的解集 注意：（1）对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下,其解集的常用口诀是：大于取两边,小于取中间． （2）对于二次项系数是负数(即)的不等式,可以先把二次项系数化为正数,再对照上述情况求解． 四、特殊不等式 1．绝对值不等式 解含有绝对值不等式关键是如何去绝对值符号． ；或 2．分式不等式 解分式不等式的主旨是化分式不等式为整式不等式，进行求解． （1） （2） （3）且 （4）且 02 经典题型 题型1解不含参数的一元二次不等式 1. 下列不等式中是一元二次不等式的为(　　) A.ax2+2x+1>0 B.x2-y>0 C.-x2-3x<0 D.>0 答案　C 解析　由一元二次不等式定义可知，C正确. 2. 解下列不等式： (1)x2-5x+6>0； (2)9x2-6x+1>0； (3)-x2+2x-3>0. 解　(1)对于方程x2-5x+6=0，因为Δ>0，所以它有两个实数根.解得x1=2，x2=3. 画出二次函数y=x2-5x+6的图象(如图)，结合图象得不等式x2-5x+6>0的解集为{x|x<2，或x>3}. (2)对于方程9x2-6x+1=0，因为Δ=0，所以它有两个相等的实数根，解得x1=x2=. 画出二次函数y=9x2-6x+1的图象(如图)，结合图象得不等式9x2-6x+1>0的解集为. (3)不等式可化为x2-2x+3<0. 因为Δ=-8<0，所以方程x2-2x+3=0无实数根. 画出二次函数y=x2-2x+3的图象(如图). 结合图象得不等式x2-2x+3<0的解集为∅. 因此，原不等式的解集为∅. 3. 求下列不等式的解集： (1)x2-2x-3>0； (2)-x2+6x-9≥0； (3)-2x2+x-6<0. 解　(1)方程x2-2x-3=0的两根是x1=-1，x2=3.不等式的解集为{x|x<-1或x>3}. (2)原不等式可化为x2-6x+9≤0，即(x-3)2≤0，原不等式的解集为{x|x=3}. (3)原不等式可化为2x2-x+6>0. 因为方程2x2-x+6=0的判别式Δ=(-1)2-4×2×6<0，原不等式的解集为R. 4. 求下列一元二次不等式的解集： (1)x2-5x>6；(2)4x2-4x+1≤0；(3)-x2+7x>6. 解　(1)由x2-5x>6得x2-5x-6>0，∵x2-5x-6=0的两根是x=-1或x=6， ∴不等式x2-5x>6的解集为{x|x<-1或x>6}. (2)4x2-4x+1≤0，即(2x-1)2≤0，方程(2x-1)2=0的根为x=. ∴不等式4x2-4x+1≤0的解集为. (3)由-x2+7x>6得x2-7x+6<0.而x2-7x+6=0的两根是x=1或x=6， ∴不等式-x2+7x>6的解集为{x|1<x<6}. 5. 若集合A={x|(2x+1)(x-3)<0}，B={x|x∈N*，x≤5}，则A∩B等于(　　) A.{1，2，3} B.{1，2} C.{4，5} D.{1，2，3，4，5} 答案　B 解析　由(2x+1)(x-3)<0，得-<x<3，则A= 又x∈N*且x≤5，则x=1，2，3，4，5，所以B={1，2，3，4，5}，故A∩B={1，2}. 6. 不等式(x+5)(3-2x)≥6的解集是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　方法一　取x=1检验，满足，排除A； 取x=4检验，不满足，排除B，C. 方法二　原不等式可化为2x2+7x-9≤0， 即(x-1)(2x+9)≤0，解得-≤x≤1. 7. 已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解一元二次不等式,得或, 所以或. 因为,所以. 故选：A. 题型2一元二次不等式与根与系数的关系 8. 已知不等式的解是或． (1)用字母a表示出b，c； (2)求不等式的解 【答案】(1)，(2)或 【详解】（1）由不等式的解为或， 可知且的两根为2和3， 由韦达定理得，，所以，； （2）由（1）可得：可变为， 因为，所以，整理得， 解得或，所以不等式的解是或． 9. 已知关于x的一元二次不等式ax2+bx-c<0的解集为{x|3<x<5}，则不等式cx2+bx-a>0的解集为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　因为关于x的一元二次不等式ax2+bx-c<0的解集为{x|3<x<5}， 所以a>0且方程ax2+bx-c=0的解为x=3或x=5，所以-=8，-=15， 所以b=-8a，c=-15a，则不等式cx2+bx-a>0， 即为不等式-15ax2-8ax-a>0，即15x2+8x+1<0，解得-<x<- 所以不等式cx2+bx-a>0的解集为. 10. (多选)若不等式ax2-bx+c>0的解集是{x|-1<x<2}，则下列选项正确的是(　　) A.b<0且c>0 B.a-b+c>0 C.a+b+c>0 D.不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|-2<x<1} 答案　ABD 解析　对于A，由题意知a<0，且-1，2是方程ax2-bx+c=0的两个根，所以-1+2=1=-1×2=-2=所以b=a，c=-2a，所以b<0，c>0，所以A正确； 对于B，由题意知当x=1时不等式成立， 所以a-b+c>0，所以B正确； 对于C，当x=-1时，ax2-bx+c=0，即a+b+c=0，所以C错误； 对于D，由题意得ax2+bx+c>0可转化为ax2+ax-2a>0，因为a<0，所以x2+x-2<0，所以-2<x<1， 所以不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|-2<x<1}，所以D正确. 11. 已知函数y=ax2-(a2+2)x+2a，若不等式y+6x≤0的解集是{x|x≤-2或x≥-1}，则实数a的值为　　　　. 答案　-4 解析　y+6x≤0，即不等式ax2-(a2-4)x+2a≤0的解集是{x|x≤-2或x≥-1}， 所以a<0，且-2，-1是方程ax2-(a2-4)x+2a=0的两个实数根， 则 解得a=-4(a=1不符合题意，舍去). 12. 已知函数，若关于的不等式的解为，则= ，= . 【答案】 【详解】由关于的不等式的解为， 可得对应方程的两个根为1和， 将代入方程可得，解得， 所以原不等式可化为，即，解得， 所以.故答案为：；. 13. （多选）已知关于的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】由题意可得， ， 即， 即有，即，， 故A正确、D错误； 令，其根为，， 结合二次函数性质可得， ，即，故B正确、C错误. 故选：AB. 题型3解简单的分式不等式及绝对值不等式 14. 解下列不等式： (1)<0； (2)≥0； (3)>1. 解　(1)原不等式可化为(x+1)(2x-1)<0，∴-1<x< 故原不等式的解集为. (2)原不等式可化为≤0， ∴即-<x≤1. 故原不等式的解集为. (3)原不等式可化为-1>0，∴>0，即>0， 则x<-2.故原不等式的解集为{x|x<-2}. 15. 解下列不等式： (1)≤0；　(2)<3. 解　(1)不等式≤0可转化成不等式组解得-1≤x<3. 即原不等式的解集为{x|-1≤x<3}. (2)不等式<3可转化为-3<0，即<0. 可将这个不等式转化成2(x-1)(x+1)<0，解得-1<x<1. 所以原不等式的解集为{x|-1<x<1}. 16. 若关于x的不等式>0的解集为{x|x<-1或x>4}，则实数a=　　　　. 答案　4 解析　由题意知，不等式的解集为 {x|x<-1或x>4}， 则(x-a)(x+1)>0⇔(x+1)(x-4)>0， 故a=4. 17. 已知不等式x2-3x+2≤0的解集为A，不等式≤0的解集为B，则“x∈A”是“x∈B”的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 答案　C 解析　由x2-3x+2=(x-1)(x-2)≤0， 解得1≤x≤2，所以A={x|1≤x≤2}. 由(x-2)(x-1)≤0，解得1≤x≤2， 因为x-1≠0，所以x≠1， 所以B={x|1<x≤2}， 所以集合B是集合A的真子集， 所以“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件. 18. 求下列不等式的解集. (1) (2) 【答案】(1)(2)(3)(4) 【解析】（1），则，解得，所以解集为. （2）因为，所以，即，解出或， 或，即，无实数解， 综上，解集为. 19. 求下列不等式的解集. 【答案】 【详解】由，整理得，即； 20. (多选)下列选项中，正确的是（    ） A．不等式的解集为或 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．设，则“”是“”的充分不必要条件 【答案】ABD 【详解】A选项，或，A正确； B选项，，B正确； C选项，或，即或，C错误； D选项，，，而是的真子集，D正确． 故选：ABD． 题型4二次不等式的恒成立问题 21. 关于x的一元二次不等式的解集为空集，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【详解】解：因为关于x的一元二次不等式的解集为空集， 所以，对恒成立， 所以，解得， 所以实数m的取值范围为， 故答案为： 22. 若，函数的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围． 【答案】 【详解】因为函数的图象和x轴恒有公共点，所以对于方程， 恒成立， 即恒成立,由于，所以，故． 综上所述，实数a的取值范围是 23. 已知关于x的不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】 【详解】当时，有，故时符合要求； 当时，则有，即，即； 综上所述，. 题型5一元二次方程根的分布问题 24. 已知关于x的方程，下列结论错误的是（    ） A．方程无实数根的必要条件是 B．方程有一正一负根的充要条件是 C．方程有两正实数根的充要条件是 D．方程有实数根的充要条件是或 【答案】D 【详解】A选项，方程无实数根的充要条件是， 解得，，故必要条件是，故A正确． B选项，方程有一正一负根的充要条件是， 解得，B正确； C选项，方程有两正实数根的充要条件是， 解得，C正确； D选项，方程有实数根的充要条件是，解得，D错误； 故选：D． 25. 关于的方程满足下列条件，求的取值范围. (1)有两个正根； (2)一个根在内，另一个根在内； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）令，设的两个根为. 由题得，解得. （2）令，设的两个根为. 若方程一个根在内，另一个根在内， 结合开口向上， 则，解得. 26. 已知一元二次方程有两个同号实根，求实数m的取值范围． 【答案】 【详解】依题意, 即, 解得 所以实数的范围为. 27. 已知关于的方程，求： (1)方程有两个不同正根的充要条件； (2)方程至少有一正根的充要条件． 【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）方程有两个不同正实根， 则，解得或， 方程有两个不同正根的充要条件为； （2）由（1）易知：或方程有两个正根（或两根相等），满足题设； 当时，方程化为 有一个正根，满足题设； 若方程有正、负根各一个，则，解得； 综上：方程至少有一正根的充要条件是． 28. 已知一元二次方程的两根都在内，求实数m的取值范围． 【答案】 【详解】设， 由题意知：，即， 解得． ∴实数m的取值范围为 题型6解含有参数的一元二次不等式 29. 求[x-(a-1)][x-(a+3)]>0(a∈R)的解集. 解　易知方程[x-(a-1)][x-(a+3)]=0的两根为x1=a-1，x2=a+3，且x1<x2. 故不等式的解集为{x|x<a-1或x>a+3}. 30. 求[x+(a-1)][x-(a+3)]>0(a∈R)的解集. 解　易知方程[x+(a-1)][x-(a+3)]=0的两根为x1=1-a，x2=a+3， (1)当1-a>a+3，即a<-1时， 不等式的解集为{x|x>1-a或x<a+3}. (2)当1-a=a+3，即a=-1时， 不等式的解集为{x|x≠2}. (3)当1-a<a+3，即a>-1时， 不等式的解集为{x|x>a+3或x<1-a}. 由于x1与 x2的大小关系不确定，我们需要比较两个根的大小来确定解集 31. 求(ax-2)(x+1)>0(a>0)的解集 解　易知方程(ax-2)(x+1)=0的两根为x1=x2=-1， 因为a>0，所以>-1， 故不等式的解集为. 由于x1与 x2的大小关系能确定，过程变简单了. 32. 求(ax-2)(x+1)>0(a<0)的解集 解　易知方程(ax-2)(x+1)=0的两根为x1=x2=-1， 当a<0时，x1=x2=-1的大小关系不确定，需要讨论比较其大小，分3种情况： (1)当-1<<0，即a<-2时，解得-1<x<； (2)当=-1，即a=-2时，无解； (3)当<-1，即-2<a<0时，解得<x<-1. 综上所述，当-2<a<0时，不等式的解集为； 当a=-2时，不等式的解集为∅； 当a<-2时，不等式的解集为. 由于x1与 x2的大小关系不确定，我们需要比较两个根的大小来确定解集 33. 求(ax-2)(x+1)>0(a≠0)的解集 解　易知方程(ax-2)(x+1)=0的两根为x1=x2=-1， 下面讨论x1与 x2的大小关系： (1)若a>0，则>-1， 故不等式的解集为. (2)若a<0， ①当-1<<0，即a<-2时，解得-1<x<； ②当=-1，即a=-2时，无解； ③当<-1，即-2<a<0时，解得<x<-1. 综上所述， 当a>0时，不等式的解集为； 当-2<a<0时，不等式的解集为； 当a=-2时，不等式的解集为∅； 当a<-2时，不等式的解集为. 34. 求(ax-2)(x+1)>0(a∈R)的解集 解　易知方程(ax-2)(x+1)=0的两根为x1=x2=-1， 下面讨论x1与 x2的大小关系： (1)若a>0，则>-1， 故不等式的解集为. (2)当a=0时， 原不等式化为-2(x+1)>0，则不等式的解集为{x|x<-1}. (3)若a<0， ①当-1<<0，即a<-2时，解得-1<x<； ②当=-1，即a=-2时，无解； ③当<-1，即-2<a<0时，解得<x<-1. 综上所述， 当a>0时，不等式的解集为； 当a=0时，原不等式化为-2(x+1)>0，则不等式的解集为{x|x<-1}. 当-2<a<0时，不等式的解集为； 当a=-2时，不等式的解集为∅； 当a<-2时，不等式的解集为. 35. 解关于实数的不等式：． 【答案】答案见解析 【详解】对方程 ， 当时，即时，不等式的解集为 当时，即或时， 的根为， 不等式的解集为； 综上可得，时，不等式的解集为， 或时，不等式的解集为. 36. 解关于实数的不等式 (1)； (2)； (3). 【详解】（1）易知方程的， 由得，解得， 当时，的解集为， 当时，的解集为， 当时，的解集为． （2）不等式可化为， 当时，，不等式的解集为； 当时，不等式化为，其解集为； 当时，不等式化为， （ⅰ）当，即时，不等式的解集为； （ⅱ）当，即时，不等式的解集为； （ⅲ）当，即时，不等式的解集为. （3）对方程 ， 当时，即时不等式的解集为； 当时，即或时的根为，， 不等式的解集为； 综上，时不等式的解集为，或时不等式的解集为. 题型7二次不等式的实际应用 37. 一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x(单位：辆)与创造的价值y(单位：元)之间有如下的关系：y=-20x2+2 200x. 若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60 000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？ 解　设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产x辆摩托车，根据题意，得 -20x2+2 200x>60 000. 移项整理，得x2-110x+3 000<0. 对于方程x2-110x+3 000=0，Δ=100>0，方程有两个实数根x1=50，x2=60. 画出二次函数y=x2-110x+3 000的图象(如图)，结合图象得不等式x2-110x+3 000<0的解集为{x|50<x<60}，从而原不等式的解集为{x|50<x<60}. 因为x只能取整数值，所以当这条流水线在一周内生产的摩托车数量在51~59辆时， 这家工厂能够获得60 000元以上的收益. 38. 为了鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策，由政府协调，企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担.某大学毕业生按照相关政策投资销售一种新型节能灯.已知这种节能灯的成本价为10元/台，出厂价为12元/台，每月的销售量y(台)与销售单价x(元)之间的关系近似满足一次函数y=-10x+500. (1)设他每月获得的利润为W(元)，写出W与x之间的函数关系式. (2)根据相关部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元.如果他想要每月获得不少于3 000元的利润，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少？ 解　(1)依题意可知每台节能灯的销售利润为(x-10)元，每月的销售量为(-10x+500)台， 所以每月获得的利润W与销售单价x之间的函数关系式为W=(x-10)(-10x+500). (2)由每月获得不少于3 000元的利润， 得(x-10)(-10x+500)≥3 000， 化简得x2-60x+800≤0，解得20≤x≤40. 又因为这种节能灯的销售单价不得高于25元， 所以20≤x≤25. 设政府每个月为他承担的总差价为p元， 则p=(12-10)(-10x+500)=-20x+1 000. 由20≤x≤25，得500≤-20x+1 000≤600. 故政府每个月为他承担的总差价的取值范围为{p|500≤p≤600}. 2 学科网（北京）股份有限公司 $