第17讲 直线与双曲线的位置关系（知识详解+8典例精讲+课后作业）-2026年新高二数学暑假预习讲义（人教A版选择性必修第一册）

本讲义聚焦高中数学“直线与双曲线的位置关系”核心内容，系统梳理位置关系判定（含特殊单交点情况）、弦长计算（结合韦达定理）、中点弦问题（点差法及伪解验证）三大知识点，构建从基础原理到综合应用的学习支架。 资料以“知识详解+典例精讲+分层作业”设计，知识详解突出双曲线开放型曲线特性培养数学眼光，典例8题型举一反三强化推理与运算能力，课后作业覆盖选择、填空、解答题助力用数学语言巩固。课中辅助教师高效授课，课后帮助学生查漏补缺。

第17讲 直线与双曲线的位置关系 （知识详解+8典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：直线与双曲线的位置关系 知识点02：弦长问题 知识点03：双曲线中点弦问题（点差法） 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：求直线与双曲线的交点坐标 题型02：根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 题型03：求双曲线中的弦长 题型04：求双曲线中三角形(四边形)的面积问题 题型05：双曲线的中点弦 题型06：双曲线中的参数范围及最值 题型07：双曲线中的定点、定值 题型08：双曲线中的向量问题 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】直线与双曲线的位置关系 把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式． (1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点． (2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个切点． (3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点． 当a＝0时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个交点． 注意点： 直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支． 【例1】判断直线 与双曲线 的位置关系。 【知识点02】弦长问题 通用弦长公式（微软公式） 设直线与双曲线交于 ，直线斜率为 ： 若直线斜率不存在，可直接代入横坐标，计算纵坐标差值求弦长。 解题核心要点 1. 只有 时存在有效弦长； 2. 平行渐近线的单交点直线，无弦长； 3. 全程结合韦达定理求解，避免硬解坐标。 【例2】已知直线 与双曲线 交于两点，求弦长 。 【知识点03】双曲线中点弦问题（点差法） 核心公式与原理 针对标准双曲线 ，设弦端点 ，弦中点 ，弦斜率为 。 点差法作差推导得双曲线中点弦斜率公式： 重中之重：双曲线点差法伪解概率极高，求出直线后必须验证 ，否则弦不存在。 【例3】已知双曲线 ，弦中点为 ，求弦所在直线方程。 【题型01】求直线与双曲线的交点坐标 【典例1-1】直线y＝x＋4与双曲线x2－y2＝1的交点坐标为________. 【变式1-1】直线与双曲线的交点坐标为______． 【变式1-2】已知双曲线，直线，求直线l与双曲线C的公共点的坐标． 【变式1-3】求下列直线和双曲线的交点坐标： （1），；     （2），． 【题型02】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【典例2-1】（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）已知直线与双曲线没有公共点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（多选）（24-25高二上·全国·课后作业）若直线与双曲线有两个交点，则的值可以是（    ） A．4 B．2 C．1 D． 【变式2-2】（24-25高二下·陕西西安·阶段检测）已知双曲线，则过且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为______. 【变式2-3】已知双曲线，直线，试确定实数k的取值范围，使： (1)直线l与双曲线有两个公共点； (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l与双曲线没有公共点． 【题型03】求双曲线中的弦长 【典例3-1】（25-26高三·全国·一轮复习）已知，点P满足，记点P的轨迹为E．直线与轨迹E交于A，B两点，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式3-1】若直线与双曲线相交于两点，则______； 【变式3-2】（25-26高二上·四川达州·阶段检测）过双曲线的左顶点作倾斜角为的直线与交于另一点，则___________． 【变式3-3】（25-26高二上·广东广州·期末）已知双曲线C与椭圆有公共焦点，且离心率为3． (1)求双曲线C的方程； (2)过双曲线C的右焦点且倾斜角为的直线与双曲线C相交于A，B两点，求． 【题型04】求双曲线中三角形(四边形)的面积问题 【典例4-1】设 分别是双曲线 的上、下焦点，双曲线上的点 满足 ，则 的面积等于（    ） A． B．12 C． D．6 【变式4-1】（24-25高二上·山西吕梁·期末）已知曲线，两条直线，均过坐标原点O，和C交于M，N两点，和C交于P，Q两点，若△OPN的面积为，则四边形PNOM的面积为______． 【变式4-2】已知椭圆与双曲线的交点分别为，则四边形的面积为_________． 【变式4-3】（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知双曲线：的渐近线方程为，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)已知双曲线的左右焦点分别为，，直线经过，斜率为，与双曲线交于，两点，求的面积. 【题型05】双曲线的中点弦 【典例5-1】25-26高二上·江西南昌·阶段检测）设为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段中点的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】直线被双曲线所截得的弦的中点坐标是______. 【变式5-2】（多选）（25-26高二上·浙江台州·期末）设为双曲线上两点，下列四个点中，可以作为线段中点的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高二上·广东惠州·期中） 已知双曲线，过点作直线l. (1)若直线l与双曲线相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？为什么？ (2)若直线l的斜率k存在，且l与双曲线左右两支都相交，求直线l斜率k的取值范围. 【题型06】双曲线中的参数范围及最值 【典例6-1】过双曲线的右焦点作直线与双曲线交于，两点，使得，若这样的直线有且只有两条，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知是双曲线上任意一点，，是双曲线上关于坐标原点对称的两点，且直线，的斜率分别为，若的最小值为1，则实数的值为（    ） A．16 B．32 C．1或16 D．2或8 【变式6-2】（25-26高二下·四川德阳·期末）双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为2，实轴长为2，点P在双曲线C上，过点P分别作双曲线C的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则|AB|的最小值为______． 【变式6-3】（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）设圆，圆，已知动圆与这两个圆中的一个内切，与另一个外切. (1)求动圆圆心的轨迹的方程； (2)已知点，且点为上的动点，求的最大值及此时点的坐标. 【题型07】双曲线中的定点、定值 【典例7-1】双曲线的左、右两支上各有一点A、B，点B在直线上的射影是点，若直线AB过右焦点，则直线必定经过的定点的坐标为___________． 【变式7-1】（多选）（24-25高二上·河北保定·阶段检测）已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，是上位于第一象限内任意一点，直线，的斜率分别为，，若的离心率为2，则下列说法正确的是（ ） A．为定值 B．的渐近线方程为 C．为定值 D． 【变式7-2】（25-26高二下·云南红河·期末）已知双曲线：经过点，. (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线与的右支相交于两点， （i）求斜率的取值范围； （ii）在轴上是否存在定点，使得无论绕怎样旋转，总有轴平分？如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由. 【变式7-3】（25-26高二下·广东深圳·期末）已知双曲线的实轴长是虚轴长的2倍，焦距为． (1)求的标准方程； (2)设是上关于轴对称的两点，是上异于的一点．直线的斜率均存在且不为0，且分别与轴交于两点． （i）若在轴上，求的取值范围； （ii）设为坐标原点，证明：为定值． 【题型08】双曲线中的向量问题 【典例8-1】过双曲线的左焦点作斜率为2的直线交于两点．若，则双曲线的离心率为（    ） A．3 B．2 C． D． 【变式8-1】已知双曲线的左、右焦点为，过的直线交双曲线右支于，若，且，则______. 【变式8-2】已知，点P满足，动点M，N满足，，则的最小值是____________． 【变式8-3】（25-26高二下·吉林长春·期末）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若斜率为的直线与圆相切，与双曲线交于两点，且（其中为坐标原点），求的取值范围． 知识点01直线与双曲线的位置关系（核心概念） 双曲线属于开放型圆锥曲线，和椭圆封闭曲线性质不同，直线与双曲线联立后，可能是一元二次方程，也可能是一元一次方程，存在特殊单交点情况，需分类判定，不可仅依靠判别式。 设焦点在轴上的标准双曲线方程： 联立直线与双曲线方程，消元整理得整式方程： 1. 两类位置关系判定规则 ① 二次项系数 A≠0（一元二次方程） 判别式公式： - ：直线与双曲线相交，2个不同公共点，存在有效弦； - ：直线与双曲线相切，1个公共点，直线为双曲线切线； - ：直线与双曲线相离，无公共点。 ② 二次项系数 A=0（一元一次方程） 此时直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交且仅有1个公共点。 核心易错结论：单交点≠相切！平行渐近线的单交点属于相交，不是切线，是双曲线独有特殊性质。 2. 标准解题流程 1. 联立直线与双曲线标准方程； 2. 消元整理整式方程，优先判断二次项系数是否为0； 3. 二次方程用判定，一次方程直接判定为单交点相交； 4. 规范书写位置关系结论。 知识点02双曲线弦长问题 1. 通用弦长公式（微软标准公式） 设直线斜率为，与双曲线交于两点： 直线斜率不存在时，可代入横坐标，直接计算纵坐标差值求解弦长。 2. 核心解题要点 1. 仅当时，直线与双曲线存在两个交点，才有有效弦长； 2. 与渐近线平行的直线只有单个交点，无弦长，不可套用弦长公式； 3. 解题优先使用韦达定理，整体代入计算，避免单独求解坐标，简化运算。 知识点03双曲线中点弦问题（点差法） 1. 核心原理与秒杀公式 中点弦问题为双曲线高频考点，优先使用点差法，运算量远小于联立韦达定理。适用于已知弦中点，求直线斜率、直线方程题型。 设双曲线，弦端点，弦中点，弦所在直线斜率为。 由点差法作差化简，推导出双曲线中点弦斜率公式： 2.易错提醒 双曲线点差法存在大量伪解，仅为代数推导结果，求出直线方程后，必须联立验证，确认弦真实存在，否则解题无效。 公式区分记忆：椭圆中点弦公式带负号，双曲线中点弦公式为正号，严禁混淆套用。 3. 标准解题步骤 1. 设弦的两个端点与中点坐标； 2. 端点代入双曲线方程，两式作差、因式分解； 3. 结合中点公式与斜率公式，求解直线斜率； 4. 点斜式写出直线方程； 5. 验证判别式，排除伪解。 知识点04本节核心公式汇总 1. 判别式公式： 2. 通用弦长公式： 3. 双曲线中点弦斜率公式： 知识点05本节高频易错课堂小结 1. 双曲线无封闭性，存在“一个交点但不是切线”的特殊相交情况，直线平行渐近线即为该情况； 2. 位置关系判定优先看方程次数，不能直接用判别式判定所有情况； 3. 双曲线中点弦必验，伪解是考试最常见失分点； 4. 椭圆、双曲线中点弦公式符号不同，需精准区分； 5. 平行渐近线的直线无弦长，无法进行弦长计算。 一、单选题 1．（24-25高二上·河北唐山·期末）在双曲线的两支上各取一点，则的最小值为（    ） A．6 B．9 C．14 D．18 2．（24-25高二上·四川成都·期末）设为双曲线上的两点，线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）直线与双曲线交于不同的两点，则斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知直线与双曲线交于、两点，且弦的中点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·湖北·阶段检测）若双曲线不存在以点为中点的弦，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6． 双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，且．则的面积为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）若双曲线的弦被点平分，则此弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·吉林长春·期末）已知双曲线：的右焦点为，关于原点对称的两点、分别在双曲线的左、右两支上，，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 二、多选题 9．已知点，直线上有且仅有一点满足，则可能是（   ） A．0 B．－1 C． D． 10．（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知是双曲线的两个焦点，若p是双曲线左支上的一个点，下列说法正确的是（    ） A． B．渐近线方程为 C．若，则的面积为16 D．若，则的面积为 11．（25-26高三上·广东惠州·期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线上一点，则下列说法正确的是（   ） A．双曲线的离心率 B．的最小值为 C．若，则的周长为 D．双曲线上存在不同两点关于点对称 三、填空题 12．已知双曲线x2－y2＝a2（a＞0）与直线y＝x交于A、B两点，且｜AB｜＝2，则a ＝_____ 13．（25-26高二上·福建三明·期末）若直线：被双曲线截得的线段中点的横坐标为-4，则双曲线的一条渐近线方程为______. 14．（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知双曲线，过作倾斜角分别为的两条直线，且分别与C交于不与P重合的A，B两点，则的面积为______． 四、解答题 15．（24-25高二上·甘肃张掖·阶段检测）已知双曲线 ，过点 作直线 ，若 是 与 交点的中点，求 的方程，并判断是否存在这样的直线. 16．（24-25高二上·福建福州·阶段检测）已知双曲线的实轴长为2，右焦点F到渐近线的距离为. (1)求双曲线C的方程； (2)若直线被双曲线C截得的弦长为，求实数m的值. 17．（25-26高二上·广东广州·期末）动点与定点的距离和点M到定直线的距离的比是3，记点M的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)过点且倾斜角为的直线与曲线C相交于A，B两点，求. 18．（25-26高二下·江苏连云港·期末）已知双曲线（，）经过点，，直线交的右支于，两点，且线段的中点为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点的坐标为，求直线的方程； (3)若直线经过的右焦点，以为直径的圆与直线相交于，两点，证明：为定值． 19．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知双曲线：的离心率为，且经过点． (1)求的方程； (2)若上两点，关于点对称，求直线的方程； (3)过的右焦点作两条互相垂直的直线和，且和分别与的右支交于点，和点，，设的斜率为，求四边形的面积（用表示） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17讲 直线与双曲线的位置关系 （知识详解+8典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：直线与双曲线的位置关系 知识点02：弦长问题 知识点03：双曲线中点弦问题（点差法） 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：求直线与双曲线的交点坐标 题型02：根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 题型03：求双曲线中的弦长 题型04：求双曲线中三角形(四边形)的面积问题 题型05：双曲线的中点弦 题型06：双曲线中的参数范围及最值 题型07：双曲线中的定点、定值 题型08：双曲线中的向量问题 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】直线与双曲线的位置关系 把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式． (1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点． (2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个切点． (3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点． 当a＝0时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个交点． 注意点： 直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支． 【例1】判断直线 与双曲线 的位置关系。 解：步骤1：联立方程 步骤2：代入消元、整理方程 将 代入双曲线方程： 两边同乘12去分母： 整理得：，化简 二次项系数 ，为一元二次方程。 步骤3：计算判别式 步骤4：得出结论 ，直线与双曲线有两个不同公共点，直线与双曲线相交。 答案：直线与双曲线相交 【知识点02】弦长问题 通用弦长公式（微软公式） 设直线与双曲线交于 ，直线斜率为 ： 若直线斜率不存在，可直接代入横坐标，计算纵坐标差值求弦长。 解题核心要点 1. 只有 时存在有效弦长； 2. 平行渐近线的单交点直线，无弦长； 3. 全程结合韦达定理求解，避免硬解坐标。 【例2】已知直线 与双曲线 交于两点，求弦长 。 解：步骤1：沿用上述联立结果 联立化简得： 步骤2：韦达定理取值 步骤3：代入弦长公式 直线斜率 答案：弦长 【知识点03】双曲线中点弦问题（点差法） 核心公式与原理 针对标准双曲线 ，设弦端点 ，弦中点 ，弦斜率为 。 点差法作差推导得双曲线中点弦斜率公式： 重中之重：双曲线点差法伪解概率极高，求出直线后必须验证 ，否则弦不存在。 【例3】已知双曲线 ，弦中点为 ，求弦所在直线方程。 解：步骤1：提取参数 ，中点 步骤2：代入中点弦公式求斜率 步骤3：点斜式写方程 整理得： 步骤4：有效性验证 联立直线与双曲线，计算得，直线与双曲线存在两个交点，弦真实存在。 答案：弦所在直线方程为 【题型01】求直线与双曲线的交点坐标 【典例1-1】直线y＝x＋4与双曲线x2－y2＝1的交点坐标为________. 【答案】 【分析】联立直线y＝x＋4与双曲线x2－y2＝1方程求解 【详解】由，解得：， 所以直线y＝x＋4与双曲线x2－y2＝1的交点坐标为． 【点睛】本题考查了直线与曲线的交点问题，联立方程即可求解． 【变式1-1】直线与双曲线的交点坐标为______． 【答案】， 【分析】利用题目中的两个曲线方程进行联立，求出交点坐标 【详解】由，消得 即，解得或 代入直线得或，所以直线与双曲线的交点坐标为，， 故答案为：， 【变式1-2】已知双曲线，直线，求直线l与双曲线C的公共点的坐标． 【答案】， 【分析】联立直线l方程与双曲线方程，求解出方程组可得到直线l与双曲线C的公共点的坐标. 【详解】直线与双曲线的公共点的坐标就是方程组的解． 解这个方程组，得，． 因此，所求公共点的坐标为，． 【变式1-3】求下列直线和双曲线的交点坐标： （1），；     （2），． 【答案】（1）；（2）. 【分析】将直线方程与双曲线方程联立，消去y，解方程，解出交点坐标. 【详解】（1）由消去y，得：，解得：或， 由解得，；由解得，； 所以交点坐标为：； （2）由消去y，得：，解得：. 求得，； 所以交点坐标为. 【题型02】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【典例2-1】（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）已知直线与双曲线没有公共点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直线与双曲线方程联立，转化为方程没有实数根，求参数的取值范围. 【详解】联立方程，消去后整理为， 当时，或， 当时，，，，直线与双曲线只有1个交点， 当时，，，，直线与双曲线只有1个交点， 所以不满足条件； 当时，有，可得或. 故选：B 【变式2-1】（多选）（24-25高二上·全国·课后作业）若直线与双曲线有两个交点，则的值可以是（    ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】AD 【分析】利用双曲线的性质结合条件即可求出结果. 【详解】因为在双曲线中，或，又与双曲线有两个交点， 则或，所以选项A和D符合题意， 故选：AD. 【变式2-2】（24-25高二下·陕西西安·阶段检测）已知双曲线，则过且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为______. 【答案】 【分析】首先说明直线斜率存在，然后设出方程，联立双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解. 【详解】联立与，解得，这表明满足题意的直线斜率一定存在， 设所求直线斜率为，则过点且斜率为的直线方程为， 联立，化简并整理得：， 由题意得或， 解得或无解，即，经检验，符合题意. 故答案为：. 【变式2-3】已知双曲线，直线，试确定实数k的取值范围，使： (1)直线l与双曲线有两个公共点； (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l与双曲线没有公共点． 【答案】(1)或或； (2)或 (3)或 【分析】（1）联立直线方程和双曲线方程，根据直线与双曲线有两交点，则，注意二次项系数不等于0； （2）根据直线与双曲线仅有一交点，分二次项系数等于0和不等于0两种情况讨论.当二次项系数不等于0时，由即可得出答案； （3）根据直线与双曲线没有交点，得，注意二次项系数不等于0. 【详解】（1）联立， 消整理得，（*） 因为直线l与双曲线C有两个公共点， 所以，整理得 解得： 或或. （2）当即时，直线l与双曲线的渐近线平行， 方程（*）化为，故方程（*）有唯一实数解， 即直线与双曲线相交，有且只有一个公共点，满足题意． 当时， 因为直线l与双曲线C仅有一个公共点， 则，解得； 综上，或. （3）因为直线l与双曲线C没有公共点， 所以， 解得： 或. 【题型03】求双曲线中的弦长 【典例3-1】（25-26高三·全国·一轮复习）已知，点P满足，记点P的轨迹为E．直线与轨迹E交于A，B两点，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】由题意可知点P的轨迹是双曲线，通过联立方程组利用弦长公式求解. 【详解】由知，点P的轨迹E是以为焦点的双曲线， 设轨迹E的方程为，因为，所以， 故轨迹E的方程为， 设，由可得， 则则． 【变式3-1】若直线与双曲线相交于两点，则______； 【答案】 【分析】联立直线与双曲线方程，利用弦长公式计算即得. 【详解】由消去y并整理得：，， 设，则， 所以. 故答案为： 【变式3-2】（25-26高二上·四川达州·阶段检测）过双曲线的左顶点作倾斜角为的直线与交于另一点，则___________． 【答案】 【分析】求出直线的方程后，联立双曲线方程，计算可得点坐标，再利用两点间距离公式计算即可得解. 【详解】双曲线的左顶点为，则， 联立，消去可得， 则或，由，故，则， 故. 故答案为：. 【变式3-3】（25-26高二上·广东广州·期末）已知双曲线C与椭圆有公共焦点，且离心率为3． (1)求双曲线C的方程； (2)过双曲线C的右焦点且倾斜角为的直线与双曲线C相交于A，B两点，求． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出值，再根据离心率即可得到双曲线方程； （2）写出直线方程，联立双曲线方程，得到韦达定理式，再利用弦长公式即可得到答案. 【详解】（1）由题意得， 因为双曲线C与椭圆有公共焦点， 则可设双曲线C的方程为， 因为其离心率为3，则，即，则，则， 则双曲线C的方程为. （2）双曲线C的右焦点坐标为， ∵直线的倾斜角为，故其斜率为，又过点， ∴的方程为，设， 由，消去，得，， ∴， ∴． 【题型04】求双曲线中三角形(四边形)的面积问题 【典例4-1】设 分别是双曲线 的上、下焦点，双曲线上的点 满足 ，则 的面积等于（    ） A． B．12 C． D．6 【答案】D 【分析】根据双曲线定义可得，进而得，即可利用面积公式求解. 【详解】由可得，故， 又，故,即， 故的面积为， 故选:D 【变式4-1】（24-25高二上·山西吕梁·期末）已知曲线，两条直线，均过坐标原点O，和C交于M，N两点，和C交于P，Q两点，若△OPN的面积为，则四边形PNOM的面积为______． 【答案】/ 【分析】根据双曲线及直线的对称性结合面积公式即可求解. 【详解】因为曲线C为，关于原点对称，P、Q两点关于原点对称，M，N两点关于原点对称， 所以，， 所以， 所以. 故答案为：. 【变式4-2】已知椭圆与双曲线的交点分别为，则四边形的面积为_________． 【答案】 【分析】由椭圆和双曲线的对称性可得四边形为矩形，联立椭圆和双曲线方程解出交点坐标即可求解. 【详解】由椭圆和双曲线的对称性可得四边形为矩形， 联立，解得， 所以， 故答案为： 【变式4-3】（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知双曲线：的渐近线方程为，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)已知双曲线的左右焦点分别为，，直线经过，斜率为，与双曲线交于，两点，求的面积. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程与双曲线所过点列出方程，解得，即可确定双曲线方程； （2）联立直线与双曲线，写出韦达定理，再运用弦长公式，即可得解. 【详解】（1）由题可知， ，解得， 则双曲线的方程为：. （2）由题可知，，因此经过，且斜率为的直线， 联立直线与双曲线，得，得， 设，由韦达定理得：， 则， 代入，， 得， 点到直线的距离， 则， 即的面积为. 【题型05】双曲线的中点弦 【典例5-1】25-26高二上·江西南昌·阶段检测）设为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段中点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点差法分析可得，对于ABD通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断﹔对于C结合双曲线的渐近线分析判断. 【详解】设，则的中点， 可得， 点在双曲线上，则， 相减得，则. 对于选项A：可得，则， 联立方程，消去得， 此时， 所以直线与双曲线没有交点，故A错误； 对于选项B：点在双曲线上，故B错误； 对于选项C：可得，则 由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线， 所以直线与双曲线没有交点，故C错误； 对于选项D，则， 联立方程，消去得， 此时，故直线与双曲线有两个交点，故D正确. 故选：D. 【变式5-1】直线被双曲线所截得的弦的中点坐标是______. 【答案】 【分析】联立方程组，结合韦达定理，求得，进而求得弦的中点坐标. 【详解】设直线与双曲线的交点为， 联立方程组，整理得，则，且， 设弦的中点为，则，代入直线方程可得， 所以截得弦的中点坐标为. 故答案为：. 【变式5-2】（多选）（25-26高二上·浙江台州·期末）设为双曲线上两点，下列四个点中，可以作为线段中点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】设两点坐标，利用点差法获得直线的斜率与线段的中点横纵坐标间的关系，逐项判断即可. 【详解】设，记AB的中点为. 则，两式相减得，. 当直线的斜率不存在时，，线段中点在轴上，没有符合的选项； 当直线的斜率为零时，，线段中点在轴上，没有符合的选项； 当直线的斜率存在且不为零，即时，设斜率为. 所以，即，即. 对于A，若作为线段中点，则， 直线的方程为，即， 由，得. 因为， 所以方程组有两解，直线与双曲线有两个交点， 即可以作为线段中点，所以A正确； 对于B，若作为线段中点，则， 直线的方程为，即， 由，得. 因为，所以方程组无解，直线与双曲线没有交点， 即不可以作为线段中点，所以B不正确； 对于C，若作为线段中点，则， 直线的方程为，即， 恰为双曲线的一条渐近线，所以与双曲线无交点， 即不可以作为线段中点，所以C不正确； 对于D，若作为线段中点，则， 直线的方程为，即， 由，得， 因为， 所以方程组有两解，直线与双曲线有两个交点， 即可以作为线段中点，所以D正确. 故选：AD. 【变式5-3】（24-25高二上·广东惠州·期中） 已知双曲线，过点作直线l. (1)若直线l与双曲线相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？为什么？ (2)若直线l的斜率k存在，且l与双曲线左右两支都相交，求直线l斜率k的取值范围. 【答案】(1)不能，理由见解析 (2) 【分析】（1）首先由点差法求出直线方程，然后联立直线方程与双曲线方程，判断判别式是否大于0即可； （2）联立直线与双曲线方程，根据题意列出的不等式即可求解. 【详解】（1）当直线l垂直x轴时，因为过点，所以直线l方程为， 又双曲线，右顶点为在直线l上， 所以直线l与双曲线只有一个交点，不满足题意； 当直线l不垂直x轴时，斜率存在，设，且， 因为A、B在双曲线上， 所以，两式相减可得， 所以， 若点为线段的中点，则，即，代入上式， 所以，则直线l的斜率，                所以直线l的方程为，即，     验证:将直线l与双曲线联立，可得， ，故方程无解所以不存在这样的直线l， 综上，点P不能是线段AB的中点. （2）设直线l的方程为:， 将其代入双曲线方程得， 依题意有，解得. 【题型06】双曲线中的参数范围及最值 【典例6-1】过双曲线的右焦点作直线与双曲线交于，两点，使得，若这样的直线有且只有两条，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求解，在同一支上和不在同一支上，结合这样的直线有且只有两条，列出不等式组或，即得解 【详解】若，在同一支上，当时为双曲线的通经，即有； 若，不在同一支上，则． 因为与不可能同时等于6，所以或， 解得或 故选：B 【变式6-1】已知是双曲线上任意一点，，是双曲线上关于坐标原点对称的两点，且直线，的斜率分别为，若的最小值为1，则实数的值为（    ） A．16 B．32 C．1或16 D．2或8 【答案】B 【分析】设，，，代入双曲线方程相减得，计算得，利用基本不等式可得的最小值，从而求得参数值． 【详解】双曲线中，设，，，则，，所以相减得，∴， 因此．从而，所以（当且仅当时取等号）． 故选：B． 【变式6-2】（25-26高二下·四川德阳·期末）双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为2，实轴长为2，点P在双曲线C上，过点P分别作双曲线C的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则|AB|的最小值为______． 【答案】 【分析】根据条件求出双曲线的方程为，根据四点共圆，直径为，由正弦定理得，，转化为求的最小值. 【详解】由，所以.，所以，所以， 因此双曲线的方程为，两条渐近线方程分别为：，：. 不妨设点在第一象限，如图，，显然四点共圆，直径为. 设与的夹角为，因为渐近线的斜率为，所以. 在中，由正弦定理得，，所以. 设，由，所以， ，因为， 所以，即的最小值为1，因此的最小值为. 【变式6-3】（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）设圆，圆，已知动圆与这两个圆中的一个内切，与另一个外切. (1)求动圆圆心的轨迹的方程； (2)已知点，且点为上的动点，求的最大值及此时点的坐标. 【答案】(1) (2)的最大值为2，此时点的坐标为 【分析】（1）根据题意可得，可知点的轨迹是以，为焦点的双曲线，即可得轨迹方程； （2）求直线与双曲线的交点，结合几何意义分析最值即可. 【详解】（1）圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径； 设动圆的半径为， 若动圆与圆内切，与圆外切，则，， 可得； 若动圆与圆内切，与圆外切，则，， 可得； 综上所述：， 可知点的轨迹是以，为焦点的双曲线，且，则， 所以动圆圆心的轨迹的方程为. （2）由题意可知：过点的直线方程为， 联立方程，解得或， 故直线与的交点为. 因为在线段外，在线段上，故， . 若点不在上，则； 若点在处，则； 综上所述，只在点处取到最大值2，此时点的坐标为. 【题型07】双曲线中的定点、定值 【典例7-1】双曲线的左、右两支上各有一点A、B，点B在直线上的射影是点，若直线AB过右焦点，则直线必定经过的定点的坐标为___________． 【答案】 【分析】根据双曲线的右焦点为，设，直线与双曲线方程联立，表示出直线的方程，令，结合韦达定理求解. 【详解】双曲线的右焦点为， 设， 直线与双曲线方程联立得， 则， 所以， 直线的斜率为， 所以直线的方程为 ， 令化简得，， 即， 则恒成立， 所以直线必定经过的定点的坐标为， 故答案为： 【变式7-1】（多选）（24-25高二上·河北保定·阶段检测）已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，是上位于第一象限内任意一点，直线，的斜率分别为，，若的离心率为2，则下列说法正确的是（ ） A．为定值 B．的渐近线方程为 C．为定值 D． 【答案】BCD 【分析】由双曲线的性质可判断；根据离心率，可得，即可判断；由即可判断；由，根据即可判断. 【详解】 因为是上位于第一象限内任意一点，所以不是定值，故错误； 因为离心率，所以， 所以，即，所以的渐近线方程为，故正确； 设，因为，， 因为点在上，所以， 所以，故正确； ， 因为是上位于第一象限内任意一点，所以， 所以，故正确. 故选：. 【变式7-2】（25-26高二下·云南红河·期末）已知双曲线：经过点，. (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线与的右支相交于两点， （i）求斜率的取值范围； （ii）在轴上是否存在定点，使得无论绕怎样旋转，总有轴平分？如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）存在， 【分析】（1）将两点坐标代入双曲线方程即可求解. （2）（i）设出直线方程，联立方程，消去得到方程，利用方程根的情况可求解. （ii）假设存在满足条件的定点，利用轴平分得到即可求解出点的坐标. 【详解】（1）由双曲线：经过点，， 得，解得. 所以曲线的方程为. （2）（i）设直线的方程为：，联立， 整理得. 因为直线与双曲线的右支相交于两点，设，， 所以，解得或. 故斜率的取值范围为. （ii）由轴平分可知. 由（i）可得. 又，， 则，. 假设在轴上存在定点，则， 因为，所以， 展开可得， 即. 因为或，所以. 即， 即， 即，得. 所以轴上存在定点符合条件，且． 【点睛】本题考查直线与双曲线的问题，是常考内容， 角平分线转化为斜率关系，结合韦达求定点，体现解析几何的一般解题思想. 【变式7-3】（25-26高二下·广东深圳·期末）已知双曲线的实轴长是虚轴长的2倍，焦距为． (1)求的标准方程； (2)设是上关于轴对称的两点，是上异于的一点．直线的斜率均存在且不为0，且分别与轴交于两点． （i）若在轴上，求的取值范围； （ii）设为坐标原点，证明：为定值． 【答案】(1) (2)（i）； （ii）设，则，， 直线的斜率，则直线的方程为， 令，可得，即, 直线的斜率，则直线的方程为， 令，可得，即, ||||， 因为，在双曲线上，所以，，即，， 将，代入上式可得 ， 所以为定值. 【分析】（1）利用实轴长，虚轴长，焦距和求解； （2）（i）设，用表示，再求取值范围；（ii）设，则，用的坐标表示再求解化简. 【详解】（1）实轴长，虚轴长，焦距得 实轴长是虚轴长 2 倍得，即 因为，所以 所以的标准方程是 （2）（i）双曲线与x轴交点：令，得，故 设在双曲线上：， 斜率，直线方程 令，得纵坐标： 斜率，直线方程 令，得纵坐标：， 由，得， 由，得 ，，所以 ， 故取值范围是； （ii）略 【题型08】双曲线中的向量问题 【典例8-1】过双曲线的左焦点作斜率为2的直线交于两点．若，则双曲线的离心率为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】设，由，得，设直线的方程为，代入双曲线方程化简，利用根与系数的关系，再结合可得到关于的式子，化简后可求得离心率. 【详解】设，由，得， 设直线的方程为， 由消去，得， 由根与系数的关系，得， 所以， 所以，化简得， 所以，得， 所以，可得. 故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查求双曲线的离心率，考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键是由题意设出直线的方程为，代入双曲线方程化简整理利用根与系数的关系，考查计算能力，属于较难题. 【变式8-1】已知双曲线的左、右焦点为，过的直线交双曲线右支于，若，且，则______. 【答案】 【分析】由向量数量积可知，设，结合双曲线定义可表示出，由可求得，由此可得，利用勾股定理，结合双曲线的关系可构造方程求得结果. 【详解】，， 设，由得：，， 由双曲线定义知：，， 由得：，解得：， ，，又， 由得：，，. 故答案为：. 【变式8-2】已知，点P满足，动点M，N满足，，则的最小值是____________． 【答案】3 【分析】以的中点O为坐标原点，的中垂线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，由双曲线定义得点P的轨迹是以，为焦点，实轴长为6的双曲线的左支，然后根据双曲线的性质，数量积的运算律求解． 【详解】以的中点O为坐标原点，的中垂线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，则，由双曲线定义可知，点P的轨迹是以，为焦点，实轴长为6的双曲线的左支，即点P的轨迹方程为．，由， 可得． 因为的最小值为，所以的最小值是3． 故答案为：3. 【变式8-3】（25-26高二下·吉林长春·期末）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若斜率为的直线与圆相切，与双曲线交于两点，且（其中为坐标原点），求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意建立关于的关系式，联立求解即可； （2）根据直线与圆位置关系得出相应的关系式，再联立直线与双曲线方程，利用韦达定理，向量数量积的坐标表示，分式不等式的解法分析求解即可. 【详解】（1）由题意知双曲线的半焦距为：，① 又双曲线的渐近线方程为得：，② 由，③ 联立①②③解得：， 故双曲线的标准方程为：. （2）设直线的方程为：， 因为直线与圆相切，则有：， 又直线与双曲线交于两点， 联立直线与双曲线的方程得：， 消去整理得：， 由 ， 解得， 设，则， 由 ， 将代入上式得：， 化简得：，解得：， 即或， 所以的取值范围为：. 知识点01直线与双曲线的位置关系（核心概念） 双曲线属于开放型圆锥曲线，和椭圆封闭曲线性质不同，直线与双曲线联立后，可能是一元二次方程，也可能是一元一次方程，存在特殊单交点情况，需分类判定，不可仅依靠判别式。 设焦点在轴上的标准双曲线方程： 联立直线与双曲线方程，消元整理得整式方程： 1. 两类位置关系判定规则 ① 二次项系数 A≠0（一元二次方程） 判别式公式： - ：直线与双曲线相交，2个不同公共点，存在有效弦； - ：直线与双曲线相切，1个公共点，直线为双曲线切线； - ：直线与双曲线相离，无公共点。 ② 二次项系数 A=0（一元一次方程） 此时直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交且仅有1个公共点。 核心易错结论：单交点≠相切！平行渐近线的单交点属于相交，不是切线，是双曲线独有特殊性质。 2. 标准解题流程 1. 联立直线与双曲线标准方程； 2. 消元整理整式方程，优先判断二次项系数是否为0； 3. 二次方程用判定，一次方程直接判定为单交点相交； 4. 规范书写位置关系结论。 知识点02双曲线弦长问题 1. 通用弦长公式（微软标准公式） 设直线斜率为，与双曲线交于两点： 直线斜率不存在时，可代入横坐标，直接计算纵坐标差值求解弦长。 2. 核心解题要点 1. 仅当时，直线与双曲线存在两个交点，才有有效弦长； 2. 与渐近线平行的直线只有单个交点，无弦长，不可套用弦长公式； 3. 解题优先使用韦达定理，整体代入计算，避免单独求解坐标，简化运算。 知识点03双曲线中点弦问题（点差法） 1. 核心原理与秒杀公式 中点弦问题为双曲线高频考点，优先使用点差法，运算量远小于联立韦达定理。适用于已知弦中点，求直线斜率、直线方程题型。 设双曲线，弦端点，弦中点，弦所在直线斜率为。 由点差法作差化简，推导出双曲线中点弦斜率公式： 2.易错提醒 双曲线点差法存在大量伪解，仅为代数推导结果，求出直线方程后，必须联立验证，确认弦真实存在，否则解题无效。 公式区分记忆：椭圆中点弦公式带负号，双曲线中点弦公式为正号，严禁混淆套用。 3. 标准解题步骤 1. 设弦的两个端点与中点坐标； 2. 端点代入双曲线方程，两式作差、因式分解； 3. 结合中点公式与斜率公式，求解直线斜率； 4. 点斜式写出直线方程； 5. 验证判别式，排除伪解。 知识点04本节核心公式汇总 1. 判别式公式： 2. 通用弦长公式： 3. 双曲线中点弦斜率公式： 知识点05本节高频易错课堂小结 1. 双曲线无封闭性，存在“一个交点但不是切线”的特殊相交情况，直线平行渐近线即为该情况； 2. 位置关系判定优先看方程次数，不能直接用判别式判定所有情况； 3. 双曲线中点弦必验，伪解是考试最常见失分点； 4. 椭圆、双曲线中点弦公式符号不同，需精准区分； 5. 平行渐近线的直线无弦长，无法进行弦长计算。 一、单选题 1．（24-25高二上·河北唐山·期末）在双曲线的两支上各取一点，则的最小值为（    ） A．6 B．9 C．14 D．18 【答案】A 【分析】当为双曲线的两顶点时，取得最小,最小值等于双曲线的实轴长. 【详解】由得，即， 所以. 故选：A. 2．（24-25高二上·四川成都·期末）设为双曲线上的两点，线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点，利用中点弦问题求出直线斜率，并求出该直线方程，再与双曲线方程联立求出弦长. 【详解】设双曲线上的点，线段的中点为，则， 则，且， 两式相减，得，即， 则直线斜率，直线的方程为：， 由，消去，得，解得， . 故选：B 3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）直线与双曲线交于不同的两点，则斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线与双曲线有两个不同的交点转化为方程有两个不同的根，再用一元二次方程根的判别式解得. 【详解】将直线代入双曲线中，整理得， 因为直线与双曲线交于不同的两点， 所以,，解得， 所以斜率的取值范围是. 故选：C. 4．已知直线与双曲线交于、两点，且弦的中点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法可求得中点弦方程. 【详解】设，， 则①，②， 又弦的中点为， 所以，， ①②得， 即有， 可得直线的斜率为， 即有直线的方程为，化简得，经检验满足题意， 故选：D 5．（25-26高二上·湖北·阶段检测）若双曲线不存在以点为中点的弦，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点差法求得中点弦的斜率，依题意需使，推得取值范围. 【详解】假设以为中点的弦存在且与双曲线交于，则, 由，两式作差得:, 即， 因为双曲线的渐近线方程为， 所以过点的直线斜率或时，直线与双曲线只有一个交点或无交点， 因为不存在该中点弦，所以，得； 故选：C 6． 双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，且．则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由双曲线的定义结合，解得，又，可求的面积. 【详解】因为双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点， 由，又有，所以． 由，为等腰三角形，则底边上的高， . 故选：B 7．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）若双曲线的弦被点平分，则此弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法可得直线斜率，进而可得直线方程. 【详解】设弦端点，， 由，在双曲线上， 则， 两式作差可得， 即， 又弦被点平分， 则，代入上式可得， 则， 即直线方程为，化简可得， 故选：D. 8．（25-26高二上·吉林长春·期末）已知双曲线：的右焦点为，关于原点对称的两点、分别在双曲线的左、右两支上，，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】由，令且，，则，根据题设有、、，进而有，将它们整理为关于的齐次方程求离心率即可. 【详解】由题设，令且，，则，且①，      由，即②， 由，即， 又C在双曲线上，则③， 由①得：，代入③并整理得：， 由①②及得：， 所以，即， 显然，则. 故选：C 二、多选题 9．已知点，直线上有且仅有一点满足，则可能是（   ） A．0 B．－1 C． D． 【答案】AB 【分析】根据题意，得到点的轨迹方程为，结合双曲线的几何性质，以及直线与双曲线的位置关系，逐项判定，即可求解. 【详解】由点，且点满足， 根据双曲线的定义，可得点是以为焦点的双曲线的右支，且， 所以双曲线的方程为， 又由直线，可得， 联立方程组，解得，所以直线过定点， 由双曲线的渐近线方程为， 当时，直线的方程为，此时直线与双曲线的右支相切，只有一个公共点，符合题意，所以A正确； 当时，直线的方程为，此时直线与双曲线的右支只有一个公共点，符合题意，所以B正确； 当时，直线的方程为，此时直线与双曲线的右支没有公共点，不符合题意，所以C不正确； 当时，直线的方程为，联立方程组，其中， 可得，此时，且易知方程有两个正根， 所以直线与双曲线有两个公共点，不符合题意，所以D不正确. 故选：AB. 10．（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知是双曲线的两个焦点，若p是双曲线左支上的一个点，下列说法正确的是（    ） A． B．渐近线方程为 C．若，则的面积为16 D．若，则的面积为 【答案】ACD 【分析】AB由题可直接计算离心率与渐近线； C由双曲线定义，双曲线方程结合余弦定理，可得，即可得的面积； D由双曲线定义，双曲线方程结合余弦定理，可得，即可得的面积. 【详解】对于A，由题可得，则，故A正确； 对于B，双曲线的渐近线方程为：，故B错误； 对于C，由题，由图结合双曲线定义可得， 则. 则，则， 得，故C正确； 对于D，因，则， 则， 得，则，故D正确. 故选：ACD 11．（25-26高三上·广东惠州·期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线上一点，则下列说法正确的是（   ） A．双曲线的离心率 B．的最小值为 C．若，则的周长为 D．双曲线上存在不同两点关于点对称 【答案】AC 【分析】选项A：根据离心率计算公式计算即可；选项B：利用向量数量积的坐标表示将化为二次函数，结合求解即可；选项C：根据勾股定理和完全平方公式求出，进而求出，再求周长即可；选项D：结合对称点及点差法求出直线方程，与双曲线方程联立判断是否有实数解，进而确定是否存在点. 【详解】双曲线：，，，，，. 选项A，，故A正确； 选项B，设 ，则，则， ， 因为，所以，所以，当或，等号成立，故B错误； 选项C，由，可得， 又，所以， 故， 则， 所以的周长为，故C正确； 选项D，设不同两点，关于点对称，则，， 因为点在双曲线上，所以，两式相减并化简得， 则，即，此时直线：，即. 代入双曲线方程整理得，此时， 这与、是双曲线上不同的两点矛盾，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 12．已知双曲线x2－y2＝a2（a＞0）与直线y＝x交于A、B两点，且｜AB｜＝2，则a ＝_____ 【答案】3 【分析】设，根据对称性写出坐标，由弦长及两点距离公式求参数a即可. 【详解】由题设，不妨设，则，且， 所以，可得. 故答案为：3 13．（25-26高二上·福建三明·期末）若直线：被双曲线截得的线段中点的横坐标为-4，则双曲线的一条渐近线方程为______. 【答案】 【分析】设直线与双曲线交点为，中点为，原点为， 由点差法可得，据此可得答案. 【详解】设直线与双曲线交点为，中点为，原点为， 因，则. 又，两式相减并化简可得.即， 则双曲线渐近线方程为：. 故答案为：. 14．（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知双曲线，过作倾斜角分别为的两条直线，且分别与C交于不与P重合的A，B两点，则的面积为______． 【答案】5 【分析】求得直线的方程，求得两点的坐标，判断出是直角三角形，进而计算出的面积. 【详解】将的坐标代入C的方程，成立，故点P在双曲线C上， 过点，倾斜角为，其斜率， 则的方程为，即， 代入C的方程，化简可得，解得或（舍）， 当时，，故点A的坐标为， 直线过点，倾斜角为，其斜率， 则的方程为，即， 代入C的方程，化简可得，解得（舍）或， 当时，，故点B的坐标为， 因为，所以，所以是直角三角形， 且， 故. 故答案为：5    四、解答题 15．（24-25高二上·甘肃张掖·阶段检测）已知双曲线 ，过点 作直线 ，若 是 与 交点的中点，求 的方程，并判断是否存在这样的直线. 【答案】，存在 【分析】利用点差法计算求出直线的斜率，根据直线的点斜式方程即可求出直线方程，将直线方程代入双曲线方程消去可得关于的一元二次方程，结合即可下结论. 【详解】设直线与双曲线交于， 中点，则， 将代入双曲线方程有， 两式相减得：， 代入中点坐标：，即斜率. 得. 将直线方程代入双曲线方程得， 整理得， ， 方程有两个不同的实根，所以直线与双曲线有两个不同的交点， 故存在符合条件的直线. 16．（24-25高二上·福建福州·阶段检测）已知双曲线的实轴长为2，右焦点F到渐近线的距离为. (1)求双曲线C的方程； (2)若直线被双曲线C截得的弦长为，求实数m的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据已知实轴长、焦点与渐近线距离，结合点线距离公式列方程求参数，即可得双曲线方程； （2）联立直线与双曲线，应用韦达定理及弦长公式列方程求参数即可. 【详解】（1）∵双曲线的实轴长为2，右焦点F到渐近线的距离为， 到直线的距离为， ∴，解得， ，所求双曲线C的方程为. （2）联立，得，    ∵直线被双曲线C截得的弦长为， ∴，设直线与双曲线交于，， 则，，则. 17．（25-26高二上·广东广州·期末）动点与定点的距离和点M到定直线的距离的比是3，记点M的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)过点且倾斜角为的直线与曲线C相交于A，B两点，求. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，列出方程化简即得. （2）求出直线的方程，与双曲线方程联立，利用弦长公式求解即得. 【详解】（1）由点与定点的距离和点M到定直线的距离的比是3， 得，整理得， 所以曲线C的方程为. （2）由过点且倾斜角为的直线，得直线的方程为， 由消去得，解得， 所以. 18．（25-26高二下·江苏连云港·期末）已知双曲线（，）经过点，，直线交的右支于，两点，且线段的中点为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点的坐标为，求直线的方程； (3)若直线经过的右焦点，以为直径的圆与直线相交于，两点，证明：为定值． 【答案】(1) (2) (3)由双曲线得，右焦点， ①当直线的斜率存在时，设直线，，中点. 联立​，整理得, 由韦达定理得：， 因此：， 因为圆以为直径，圆心为，半径​，所以， 设，将代入圆方程， 得，故， 所以 ， 因为，所以，且，代入上式， 所以 . ②当直线斜率不存在时，，易得， 所以，仍成立. 综上，为定值. 【分析】（1）直接由待定系数可求得双曲线方程； （2）直接用点差法求中点弦的方程并检验可得； （3）分直线的斜率存在或不存在两种情况讨论：当直线的斜率存在时，设直线，，中点，结合根与系数关系得，，再圆的方程中令，设，所以由根与系数关系得，进而可将，再将代入可得；当直线的斜率不存在时，得，进而可得所求值，综上可得所证结果. 【详解】（1）将点、代入双曲线方程，得， 令，​，解得​，即. 因此，双曲线的标准方程. （2）设，且两点均在双曲线上，故 两式相减得点差公式：，即. 又因为中点为，故，代入上式得，即. 若，则，则重合，且中点，则三点重合， 这与直线交的右支于，两点矛盾. 所以，因此直线斜率. 又因为直线经过点，由点斜式得直线方程，整理得. 联立​，得，判别式， 且，所以两根均为正根，符合交右支于两点的条件. 因此直线的方程为. （3）略 19．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知双曲线：的离心率为，且经过点． (1)求的方程； (2)若上两点，关于点对称，求直线的方程； (3)过的右焦点作两条互相垂直的直线和，且和分别与的右支交于点，和点，，设的斜率为，求四边形的面积（用表示） 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据双曲线的离心率和所经过的点求得双曲线的方程. （2）利用点差法求得正确答案. （3）设直线，其中，根据题中条件确定，再将的方程与联立，利用根与系数的关系，用表示，的长，再利用 【详解】（1）依题意，双曲线：的离心率为，且经过点， 所以，解得， 所以双曲线的方程为. （2）依题意，上两点，关于点对称， 由，两式相减并化简得， 所以直线的方程为. 由消去得，， 因此直线必与双曲线有两个交点，所以直线的方程为. （3）根据题意，直线的斜率都存在且不为，双曲线的右焦点为， 设直线，其中， 因为均与的右支有两个交点，所以，所以， 将的方程与联立，可得. 设，则， 所以 ， 同理， 所以,.    【点睛】方法点睛： 离心率与焦点求双曲线方程：利用离心率的定义结合经过特定点的条件，可以唯一确定双曲线的方程.这种方法是求解双曲线方程的基础技巧. 点差法求直线方程：在涉及到对称点问题时，点差法是一种简单而有效的求解直线方程的方法，尤其适用于对称性明显的几何问题. 利用根与系数关系求解交点：在小问3中，通过联立直线与双曲线方程，利用根与系数关系，可以简化交点的求解过程，是一种有效的代数方法. 1 学科网（北京）股份有限公司 $