3.2.1双曲线及其标准方程（2）同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦双曲线定义与方程，通过基础辨析、中档应用到综合探究的三层设计，强化从概念理解到实际建模的思维进阶，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|双曲线定义、标准方程及焦点位置判断|单选题1-6直接考查定义辨析与方程特征，如第5题结合参数范围判断焦点位置，培养抽象能力| |中档|定义应用与焦点三角形问题|填空题10-13及单选题7，如第11题利用定义求焦半径，第7题结合圆与双曲线交点情境，发展几何直观与运算能力| |综合|轨迹方程与实际模型构建|解答题14-16及多选题9，如第16题通过斜率关系推导轨迹，第9题“渤海明珠”曲线分析，体现模型观念与应用意识|

3.2.1 双曲线及其标准方程（2）（附解析） 学校:___________姓名：___________班级：___________学号：___________ 一、单选题 1．已知，，动点满足，则点的轨迹是（     ） A．双曲线的一支 B．双曲线 C．椭圆 D．射线 2．设为双曲线：的右支上一点，的左、右焦点分别为，，且，若为坐标原点，为线段的中点，则（   ） A． B． C． D．1 3．已知，双曲线的左焦点为是双曲线的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B．2 C．3 D．1 4．已知为第二象限角，则方程表示的曲线为（    ）． A．焦点在x轴上的双曲线 B．焦点在y轴上的双曲线 C．焦点在x轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的椭圆 5．已知双曲线C：，则（   ） A． B．C的焦点在x轴上 C． D．C的焦点在y轴上 6．若双曲线的一个焦点坐标为，则m的值为（   ） A． B．5 C． D． 7．从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外形形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，，视AD所在直线为x轴，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．已知曲线，则（    ） A．若曲线C表示圆，则 B．若曲线C表示椭圆，则 C．若曲线C表示双曲线，则或 D．曲线C不可能表示等轴双曲线 9．某市以“渤海湾畔､生态宜居”为发展理念，将“生态渤海”融入城市脉络，一位数学爱好者设计了“渤海明珠”曲线，其方程为.对应的曲线如图（实线部分）：对于曲线，则下列结论正确的是（    ） A．曲线所围成的封闭区域面积等于 B．若直线与曲线有唯一公共点，则取值范围为 C．曲线上恰好存在4个不同点到直线的距离为 D．曲线上存在唯一的点，使得点到点与到点的距离之差为4 三、填空题 10．已知点到点的距离减去它到点的距离之差是2，则点的轨迹方程为____________． 11．设是双曲线上一点，分别是双曲线的左、右焦点，若，则___________． 12．双曲线的左右焦点分别为，，已知点在双曲线上，满足，，则____________. 13．已知双曲线的左、右焦点分别为，.若C上一点P满足，则______. 四、解答题 14．（1）已知是椭圆上一动点，为坐标原点，求线段的中点的轨迹方程. （2）已知动点到定点的距离与到定直线的距离的比是，求点的轨迹方程. 15．在直角坐标系中，直线的参数方程为，（t为参数），直线的参数方程为，（m为参数）．设与的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．写出C的普通方程； 16．如图，点的坐标分别是，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，试求点的轨迹方程．    《3.2.1 双曲线及其标准方程（2）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C D A D B A AD 题号 9 答案 ABD 1．A 【知识点】求平面轨迹方程、双曲线定义的理解 【分析】根据圆锥曲线的定义判断即可. 【详解】由题意可知， 因为， 所以点的轨迹是双曲线的一支. 2．C 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】根据双曲线的定义和三角形中位线定理进行求解即可. 【详解】本题考查双曲线的定义与几何性质，考查直观想象与数学运算的核心素养. 依题意得. 因为， 所以，故. 故选：C    3．D 【知识点】利用定义求双曲线中线段和、差的最值 【分析】由双曲线的定义得，由三角不等式得出，即可求解． 【详解】如图，设双曲线的右焦点为，连接，则， 因为， 而，所以， 当三点共线且在之间时等号成立，故的最大值是1． 故选：D． 4．A 【知识点】判断方程是否表示双曲线 【分析】由题意判断，结合双曲线的标准方程即可判断出答案. 【详解】由于为第二象限角，故， 则方程即为方程，则其表示焦点在x轴上的双曲线， 故选：A． 5．D 【知识点】根据方程表示双曲线求参数的范围、双曲线的方程与双曲线（焦点）位置的特征 【分析】根据双曲线方程的代数特征求得的取值范围，进而判断出正确答案. 【详解】由方程表示双曲线，可得二次项分母异号， 即， 解得. 因此，，，将方程化为双曲线标准形式， 可得双曲线的焦点在轴上. 对于选项A：与矛盾，故A错误. 对于选项B：双曲线焦点在轴上，故B错误. 对于选项C：的完整取值范围为，仅为其子集，故C错误. 对于选项D：由上述推导，双曲线的焦点在轴上，故D正确. 6．B 【知识点】双曲线的方程与双曲线（焦点）位置的特征 【详解】双曲线的一个焦点坐标为，则，解得. 7．A 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】先设出双曲线的标准方程，再根据条件求出，即可求出结果. 【详解】依题意，设双曲线方程为， 因为，则， 显然圆O的半径为3， 又因为坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分， 双曲线与圆O交于第一象限内的点为， 于是，解得， 所以双曲线的方程为. 故选：A 8．AD 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系、根据方程表示椭圆求参数的范围、根据方程表示双曲线求参数的范围 【分析】根据圆、椭圆、双曲线、等轴双曲线的标准方程逐一判断即可. 【详解】A：若曲线C表示圆，则有，本选项正确； B：若曲线C表示椭圆，则有，且，所以本选项不正确； C：若曲线C表示双曲线，则有，或，解得，或 所以本选项不正确； D：若曲线C表示等轴双曲线，则有或 两个方程组都是空集，所以曲线C不可能表示等轴双曲线，因此本选项正确， 故选：AD 9．ABD 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、由方程研究曲线的性质、双曲线定义的理解 【分析】先根据方程分象限讨论曲线的方程，其图形是四个圆的一部分圆弧组成图形，根据弧长公式及扇形面积公式可判断A，根据直线与圆的相交相切关系可判断BC，根据双曲线的定义可判断D. 【详解】对于A，先计算第一象限部分的弓形弧的面积，扇形弦长为2，半径为， 所以扇形的圆心角为，所以第一象限部分的弓形的面积， 所以曲线所围成的封闭区域面积等于，故A正确； 对于B，直线过原点，所以直线必和曲线有一个交点， 再以第一象限为例，圆心到直线的距离，化简得， 即当时直线与圆相切，且切点为，同理可分析其他各个象限，由图象可知当时，直线与曲线有唯一公共点，故B正确； 对于C.当直线与切线的距离为时，则，解得或； 故恰好存在3个不同点到直线的距离为C错误； 对于D，因为点到点与到点的距离之差为4， 所以点在以为焦点，以实轴长为4的双曲线的下支上， 方程为，显然双曲线的一个实顶点在曲线C上且只有这一个点，所以D正确. 10． 【知识点】利用双曲线定义求方程 【详解】由题意，点的轨迹是以为焦点的双曲线的上支，其方程形如 其中，则， 故点的轨迹方程为. 11．6 【知识点】利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 【分析】根据双曲线的定义即可求解. 【详解】由题可得，，则，故， 因为在双曲线上，所以，即或， 又，所以. 故答案为：6. 12．2 【知识点】利用双曲线定义求方程、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】先由题设和双曲线定义求出，接着由勾股定理求出，再由即可求解. 【详解】由题可得， 又，所以， 所以. 故答案为：2    13．7 【知识点】双曲线定义的理解、根据双曲线方程求a、b、c 【分析】根据方程可得，结合双曲线的定义运算求解. 【详解】由题意可知：，，则， 由双曲线定义可得，即， 解得或（舍去）， 且，符合题意， 所以. 14．（1）；（2）. 【知识点】轨迹问题——椭圆、求双曲线的轨迹方程 【分析】（1）利用相关点法，设，，从而得到，代入方程整理即可； （2）设，由距离公式得到方程，整理即可. 【详解】（1）设，， 由中点坐标公式得，所以. 又点在椭圆上，所以，即. （2）由题意，设，则， 所以，整理得，即点的轨迹方程为. 15． 【知识点】求平面轨迹方程、求双曲线的轨迹方程、参数方程化为普通方程 【分析】根据消元法，由参数方程求出一般方程，进而求出点的轨迹方程. 【详解】因为直线的参数方程为（t为参数），所以消掉参数t得：直线的普通方程为：①； 又直线的参数方程为，（m为参数），同理可得，直线的普通方程为：②； 联立①②，得，因为，所以，消去k得：， 即C的普通方程为； 16． 【知识点】求平面轨迹方程、求双曲线的轨迹方程 【分析】首先设的坐标为，由已知点的坐标代入求得直线的斜率，由乘积为即可得到点坐标的关系式，将其整理化简可得到的轨迹方程，最后去除多余点. 【详解】设，则直线的斜率， 直线的斜率, 由题意得，， 化简，整理得， 所以点的轨迹方程为：. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $