4.2 整式的加法与减法 导学案 2026-2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“整式的加减”，核心知识点包括同类项、去括号法则及整式加减运算。课堂导入通过复习有理数运算律（如100×2+252×2）类比引出同类项，搭建从具体运算到抽象概念的学习支架，衔接前后知识脉络。 资料特色在于以问题情境（如水位变化、购物花费）引导学生用数学语言表达现实问题，例题分步推理培养推理意识，分层练习和实际应用问题帮助学生巩固，提升抽象能力和应用意识，助力学生理解数学本质。

4.2 整式的加减 知识框架： · 同类项 · 去括号法则 · 整式的加减 1、 同类项 1. 思考：运用有理数的运算律计算： 100×2＋252×2＝______； 100×（－2）＋252×（－2）＝________． 分析：逆用乘法对加法的分配律可得： 100×2＋252×2＝（100＋252）×2＝352×2， 100×（－2）＋252×（－2）＝（100＋252）×（－2）＝352×（－2）． 2. 按照上述的理解填空： （1）100t－252t＝（ ）t；（2）3x2＋2x2＝（ ）x2； （3）3ab2－4ab2＝（ ）ab2． 利用分配律可得 ； ； ． 也就是说，上面的三个多项式都可以合并为一个单项式． 观察可得 （1） 中多项式的项和，它们都含有相同字母t，并且t的指数都是1； （2） 中的多项式的项都含有相同字母，并且字母的指数都是2； （3） 中的多项式的项和都含有字母，，并且字母的指数都是1，的指数都是2． · 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项，几个常数项也是同类项． 3. 继续思考：下列各组是不是同类项： （1）和； （2）和； （3）和； （4）和． 分析：根据同类项定义进行判断，同类项应所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，二者缺一不可，与其系数无关，与其字母顺序无关．（1）题虽然所含字母相同，但相同字母的指数不同，（2）题所含字母不同；（3）、（4）符合同类项定义，所以（3）、（4）是同类项，（1）、（2）不是同类项． 4. 因为多项式中的字母表示的是数，所以也可以运用交换律、结合律、分配律把多项式中的同类项进行合并． 例如，解：4x2＋2x＋7＋3x－8x2－2 ＝4x2－8x2＋2x＋3x＋7－2 （交换律） ＝（4x2－8x2）＋（2x＋3x）＋（7－2） （结合律） ＝（4－8）x2＋（2＋3）x＋（7－2） （分配律） ＝－4x2＋5x＋5． · 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． · 合并同类项法则：在合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变． · 合并同类项中应注意： （1） 若两个同类项的系数互为相反数，则两项的和等于零，即这两项相抵消， 如：﹣3ab2＋3ab2＝（﹣3＋3）·ab2＝0． （2）多项式中只有同类项才能合并，不是同类项不能合并． （3）通常我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小（降幂）或者从小到大（升幂）的顺序排列，如或写成． 例题精讲 例1．合并下列各式的同类项： （1）；（2）；（3）． 分析：先观察多项式中哪些项是同类项，按照解题步骤，先根据交换律、结合律把同类项结合在一起，然后再合并． 解：（1） （2） （3） 例2．（1）求多项式的值，其中． （2）求多项式的值，其中 解：（1） （仔细观察，标出同类项） ＝（2＋1－3）x2＋（－5＋4）x－2 （系数相加，字母部分不变） ＝－x－2． （系数是“1”或“－1”时省略不写） 当时，原式＝． （2）＝＝． 当，，时，原式＝． 例3　（1）水库中水位第一天连续下降了a小时，每小时平均下降2 cm，第二天连续上升了a小时，每小时平均上升0.5 cm，这两天水位总的变化情况如何？ （2）某商店原有5袋大米，每袋大米为x千克，上午卖出3袋，下午又购进同样包装的大米4袋，进货后这个商店有大米多少千克？ 解：（1）把下降的水位变化量记为负，上升的水位变化量记为正．第一天水位的变化量为：－2a cm，第二天水位的变化量为：0.5a cm． 两天水位的总变化量为． 这两天水位总的变化情况为下降了1.5a cm． （2）把进货的数量记为正，售出的数量记为负． 进货后这个商店共有大米． 检测1 1．下列单项式中，是同类项的是（ ）． A．2a与2b B．4b与4a C．100与1002 D．6x2y与－6xy2 2．化简－2a＋（2a－1）的结果是（ ）． A．－4a－1 B．4a－1 C．1 D．－1 3．如图，5个圆的圆心在同一条直线上，且互相相接，若大圆直径是12,4个小圆大小相等，则这5个圆的周长的和为（ ）． A．48π B．24π C．12π D．6π 4．7x2yzm与－x2ynz3是同类项，则m＝____，n＝______. 5．当a＝1，b＝2时，代数式a2－ab的值是__________． 6．合并下列各式的同类项： （1）3x3＋x3；（2）4x2－8x＋5－3x2＋6x－2； （3）xy2－xy2；（4）． 7．已知a＝1，b＝3，求多项式3a2b－3b2a＋2ab2－2a2b的值． 2、 去括号 回忆乘法分配律：a（b＋c）＝ab＋ac 试一试： （1）a＋（－b＋c－d）＝＿＿＿＿＿； （2）a－（－b＋c－d）＝＿＿＿＿＿＿； （3）－（p＋q）＋（m－n）＝＿＿＿＿＿； （4）（r＋s）－（p－q）＝＿＿＿＿． 练一练去括号： （1）x－（2x＋y－1）＝_________（2）3x2－3（x＋6）＝_________． （3）5a2＋（－3a－b）－（2c－d）＝__________________________． 例题精讲1 例1　化简下列各式． （1）8a＋2b＋（5a－b）；（2）（5a－3b）－3（a2－2b）． 例2　两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是50千米/时，水流速度是千米/时．（路程＝时间×速度） （1）2小时后两船相距多远？（2）2小时后甲船比乙船多航行多少千米？ 总结： 1．去括号时，括号前面是“＋”号时，括号连同括号前面的“＋”号去掉，括号里的各项都不改变符号． 2．去括号时，括号前面是“－”号时，括号连同括号前面的“－”号去掉，括号里的各项都改变符号． 3．去括号规律可以简单记为“－”变“＋”不变，要变全都变． 4．当括号前带有数字因数时，这个数字要乘以括号内的每一项，切勿漏乘某些项． 练习1 1．将去括号的结果为（　　）． A．　　 B． C．　　 D． 2．（1）化简：＝________；（2）化简＝________． 3．时，＝________． 4．计算： （1）2(2a－3b)＋3(2b－3a)；（2）2(x2－xy)－3(2x2－3xy)－2[x2－(2x2－xy＋y2)]． 5．七（1）班分成三个小组，利用星期日参加公益活动．第一组有学生m名；第二组的学生数比第一组学生人数的2倍少10人；第三组的学生数是第二组学生人数的一半．七（1）班共有多少名学生？ 检测1 1．化简3x－3(1－x)的结果是（　　）． A．6x－3 B．－3 C．4x－3 D．2x－3 2．如果a－3b＝－3，那么代数式5－a＋3b的值是（　　）． A．0 B．2 C．5 D．8 3．三角形的第一条边长是a＋b，第二条边比第一条边长a＋2，第三条边比第二条边短3，这个三角形的周长为（　　）． A．5a＋3b B．5a＋3b＋1 C．5a－3b＋1 D．5a＋3b－1 4．化简：（3x2＋4x－1）－（3x2＋9x）的结果为___________________________． 5．与多项式－3ab－2bc＋4c的和为0的多项式为__________． 6．把3＋[3a－2(a－1)]化简得__________． 7．某轮船顺水航行了5小时，逆水航行了3小时，已知船在静水中速度为每小时a千米，水流速度为每小时b千米，则轮船顺水航行的路程比逆水航行的路程多__________千米． 8．化简：. 9．先化简，再求值：(3a2－ab＋7)－(5ab－4a2＋7)，其中a＝2，b＝. 10．由于看错了符号，某学生把一个多项式减去x2＋6x－6误当成了加法计算，结果得到2x2－2x＋3，则正确的结果应该是多少？ 3、 整式的加减 例题讲解 例1　计算：（1）（2x－3y）＋（5x＋4y）； （2）（8a－7b）－（4a－5b）． 解：（1）（2x－3y）＋（5x＋4y）＝2x－3y＋5x＋4y　＝2x＋5x－3y＋4y　＝7x＋y． （2）（8a－7b）－（4a－5b）＝8a－7b－4a＋5b ＝8a－4a－7b＋5b＝4a－2b． 例2　一种笔记本的单价是元，圆珠笔的单价是元，小红买这种笔记本3个，买圆珠笔2支；小明买这种笔记本4个，买圆珠笔3支，买这些笔记本和圆珠笔，小红和小明一共花费多少钱？ 点拨：方法一：小红买3本笔记本，花去3x元，2支圆珠笔花去2y元，小红共花去（3x＋2y）元；小明买4本笔记本，花去4x元，3支圆珠笔花去3y元，小明共花去（4x＋3y）元，所以他们一共花去[（3x＋2y）＋（4x＋3y）]元．方法二：小红和小明买笔记本共花去（3x＋4x）元，买圆珠笔共花去（2y＋3y）元．买笔记本和圆珠笔共花去[（3x＋4x）＋（2y＋3y）]元．方法三：小红和小明共买了（3＋4）本笔记本，（2＋3）支圆珠笔，因此他们共花费[（3＋4）x＋（2＋3）y]元． 解法1：小红买笔记本和圆珠笔共花费（3x＋2y）元，小明买笔记本和圆珠笔共花费（4x＋3y）元．小红和小明一共花费 （3x＋2y）＋（4x＋3y）＝3x＋2y＋ 4x＋3y＝7x＋5y（元）． 解法2：小红和小明买笔记本共花费（3x＋4x）元，买圆珠笔共花费（2y＋3y）元． 小红和小明一共花费 （3x＋4x）＋（2y＋3y）＝7x＋5y（元）． 解法3：小红和小明共买了（3＋4）本笔记本，（2＋3）支圆珠笔．小红和小明一共花费 （3＋4）x＋（2＋3）y＝7x＋5y（元）． 例3　求的值，其中 解：． 当时，原式= 练习2 1．2x＋x＋1与A的和是x，则A＝（ ）． A．2x ＋1 B．－2x ＋1 C．2x －1 D．－2x －1 2．已知a＋2b＝5，ab＝－3，则（3ab－2b）＋（4b－4ab＋a）＝______． 3．三角形的周长为48，第一边长为3a－2b，第二边长为 a＋2b，则第三边长__________． 4．求（2x－3xy＋y－2xy）－（2x－5xy＋2y－1）的值，其中 检测2 1．已知一个多项式与3x2＋9x的和等于3x2＋4x－1，则这个多项式是(　　)． A．－5x－1 B．5x＋1 C．－13x－1 D．13x＋1 2．化简－3x－的结果是(　　)． A．－16x＋ B．－16x＋ C．－16x－ D．10x＋ 3．多项式8x2－3x＋5与多项式3x3＋2mx2－5x＋3相加后，不含二次项，则m等于(　　)． A．2 B．－2 C．－4 D．－8 4．小明在复习课堂笔记时，发现一道题：＝－xy＋y2，空格的地方被钢笔弄污了，那么空格中的这一项是(　　)． A． B．3y2 C． D．－3y2 5．已知a3－a－1＝0，则a3－a＋2 009＝__________． 6．多项式(4xy－3x2－xy＋x2＋y2)－(3xy－2x2＋2y2)的值与__________无关．(填“x”或“y”) 7．若A＝3a2－5b＋4，B＝3a2－5b＋7，则A__________B．(填“＞”“＜”或“＝”) 8．化简下列各式： （1）3(a2－4a＋3)－5(5a2－a＋2)；（2）3x2－． 答案 检测1： 1．C．　 2．D．　　3．B．4．3； 1． 5．－1． 6．解：（1）＝（3＋1）x3＝4x3． （2）＝（4x2－3x2）＋（－8x＋6x）＋（5－2）＝x2－2x＋3．（3）＝（1－）xy2＝xy2． （4）＝＝． 7．解：3a2b－3b2a＋2ab2－2a2b＝（3a2b－2a2b）＋（2ab2－3b2a）＝a2b－ab2． 当a＝1，b＝3时，原式＝12×3－1×32＝3－9＝－6． 例题精讲1 1、解：（1）＝8a＋2b＋5a－b＝13a＋b； （2）＝5a－3b－（3a2－6b）＝5a－3b－3a2＋6b＝－3a2＋5a ＋3b． 2、解：顺水航速＝船速＋水速＝50＋（千米/时）， 逆水航速＝船速－水速＝50－（千米/小时）． （1）2小时后两船相距：2（50＋a）＋2（50－a）＝100＋2a＋100－2a＝200（千米）． （2）2小时后甲船比乙船多航行：2（50＋a）－2（50－a）＝100＋2a－100＋2a＝4a（千米）． 练习1 1．D．2．（1）；（2）．3．． 4．解：（1）＝4a－6b＋6b－9a＝4a－9a－6b＋6b＝－5a； （2）＝2x2－2xy－6x2＋9xy－2(x2－2x2＋xy－y2)＝－4x2＋7xy－2(－x2＋xy－y2) ＝－4x2＋7xy＋2x2－2xy＋2y2＝－2x2＋5xy＋2y2． 5．解：根据题意，得m＋(2m－10)＋＝3m－10＋m－5＝(4m－15)(人)． 检测1 1．A．2．D．3．B．4．－5x－1．　5．3ab＋2bc－4c．　6．5＋a． 7．2a＋8b． 8．解：(a－b)2－ (a－b)2－(a－b)2 ＝ (a－b)2＝(a－b)2． 9． 解：原式＝3a2－ab＋7－5ab＋4a2－7＝7a2－6ab． 当a＝2，b＝时，原式＝7×22－6×2×＝24． 10．解：2x2－2x＋3－2(x2＋6x－6)＝－14x＋15． 练习2 1、D．2、8. 3、48－4a． 4、解：原式＝ 2x－3xy＋y－2xy－2x＋5xy－2y＋1 ＝ 2x－2x－3xy－2xy＋5xy＋y－2y＋1 ＝－y＋1． 当时，原式＝2． 检测2 1．A．　2．B．　3．C．　4．C．5．2 010．　　　6．x．　　　7．＜． 8．解：（1）3(a2－4a＋3)－5(5a2－a＋2)＝3a2－12a＋9－25a2＋5a－10＝－22a2－7a－1． （2）3x2－＝3x2－5x＋x－3－2x2＝x2－x－3． 学科网（北京）股份有限公司 $