4.1 整式-导学案--2026-2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学导学案围绕“整式”展开，涵盖单项式和多项式核心内容。通过具体式子观察归纳定义，讲解系数、次数等概念，构建从具体到抽象的学习支架，衔接代数式知识，为整式运算奠定基础。 资料特色在于以实例观察培养抽象能力（数学眼光），通过辨析题发展推理意识（数学思维），结合实际问题强化模型意识（数学语言），分层练习设计助力巩固，提升学习效率与核心素养。

4.1 整式 1、 单项式 思考：100t，6a2，a3，2.5x，－n，vt，，9，a，－3x2y 这些式子有什么特点？ 总结：各式都是数或字母的积． 归纳：由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式．特别地，单独一个数或一个字母也是单项式，如a，5． 继续观察单项式，6a2，2.5x，－n，，它们各由哪几部分组成？ 总结： · 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．应当注意的是，单项式的系数包括它前面的性质符号．而如－n，a3这样的式子的系数分别是1和－1，不能说没有系数． · 一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．一般地，一个单项式的次数是几，我们就称它为几次单项式．如：6a2叫二次单项式，－n叫做一次单项式． 练一练2：下面各题的判断是否正确？ ①－7xy2的系数是7；②－x2y3与x3没有系数；③－ab3c2的次数是0＋3＋2； ④－a3的系数是－1；⑤－32x2y3的次数是7；⑥πr2h的系数是． 注意事项： ①圆周率π是常数； ②当一个单项式的系数是1或－1时，“1”通常省略不写，如x2，－a2b等； ③省略1的字母指数别漏掉； ④单项式次数只与字母指数有关． 例题精讲1 用单项式填空，并指出它们的系数和次数． （1）每包书有12册，n包书有________册； （2）底边长为a cm，高为 h cm的三角形的面积是________cm2； （3）棱长为a cm的正方体的体积是________cm3； （4）一台电视机原价b元．现按原价的9折出售，这台电视机现在的售价为________元； （5）一个长方形的长是0.9 m，宽是b m，这个长方形的面积是________m2． 练习1 1.（1）若单项式－5xmy的次数－2a2b2的次数相同，则m＝___________． （2）如果3x2n＋1ym与－5xmy3是同次单项式，则m＝____，n＝____． （3）如果－2mxny2是关于x，y的5次单项式，且系数是4，求m，n的值． 作业1 1．单项式的系数、次数分别是(　　)． A．－1，2 B．－2，3 C．，2 D．，3 2．下列说法中正确的是(　　)． A．5不是单项式 B．是单项式 C．x2y的系数是0 D．x－不是单项式 3．下列说法正确的是(　　)． A．单项式的系数是－2，次数是3 B．单项式a的系数是0，次数是0 C．－3x2y＋4x－1是单项式 D．单项式的次数是2，系数为 4．下列式子①－1，②，③，④，⑤，⑥3a＋b，⑦0，⑧m中，是单项式的是__________．(只填序号) 5．单项式3a3b的系数是______，次数是____；单项式的系数是_____，次数是______． 6．对于单项式“5x”可以这样解释，苹果每千克5元，某人买了x千克，共付款5x元，请你对“5x”再给出另一个实际生活方面的解释：_________________________________. 7．用围棋子按下面的规律摆图形，则摆第n个图形需要围棋子的枚数是_________． 检测1 1．对于单项式－x2y2z，下列说法正确的是（ ）． A．系数是0，次数是3 B．系数是－1，次数是4 C．系数是1，次数是5 D．系数是－1，次数是5 2．在a＋bc，3m，xy2＋xa＋b，n，3，2xyz，，中（ ）． A．有5个单项式 　　　　　　 B．有7个单项式 C．有8个单项式 D．有4个单项式 3．单项式πx2y5的系数是__________，次数是__________． 4．受甲型H1N1流感的影响，猪肉价格下降了30%，设原来猪肉价格为a元/千克，则现在的猪肉价格为______元/千克． 5．如图所示，观察下列图形的构成规律，根据此规律，第8个图形中有____个圆． 6．观察下列单项式： －a，2a2，－3a3，4a4，－5a5，…. （1）写出第2009项和第2012项；（2）写出第m项和第m＋1项． 三、多项式 探究：例如列出下列式子： （1）一条河的水流速度是2.5 km/h，船在静水中的速度是v km/h，用式子表示船在这条河中顺水行驶和逆水行驶的速度分别为： ． （2）买一个篮球需要x元、买一个排球需要y 元、买一个足球需要z元，买3个篮球、5个排球、2个足球共需 元； （3）如图三角尺的面积为 ； 观察式子上节课的例题的式子，它们有什么共同特点？与单项式有什么联系？ 这些式子都可以看作几个单项式的和． · 我们把几个单项式的和叫做多项式．其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项． · 多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．如多项式x2＋2x＋18中次数最高项是二次项，这个多项式的次数是2． 注意： ①多项式的项应包括该项的符号； ②多项式的次数为最高次项的次数； ③常数项是多项式中的特殊项，确定多项式项数时不要漏掉. 单项式与多项式统称整式．上面见到的单项式以及多项式都是整式． 例题讲解 如果多项式是关于x的二次二项式，试求m，n的值． 解：因为多项式是关于x的二次二项式， 所以m－2＝2，n－1＝0．解得：m＝4，n＝1． 练习2 1．下列说法正确的是（ ）． A． 是5次多项式 B．数－1不是单项式 C．－3（x－y）是单项式 D．x＋2是多项式 2．下列式子中，是整式的有 个，单项式是 　　　　　　 ． 作业2 1．下图是一个简单的运算程序．若输入x的值为－2，则输出的数值为__________． 输入x→x2→＋2→输出 2．如果多项式3xm－(n－1)x＋1是关于x的二次二项式，试求m，n的值． 3．某羽绒服卖场在2011年春节前一个月某品牌的销售量前三名是A，B，C三种型号，其中A型号售价是1680元，销售数量是a件；B型号售价是1 320元，销售数量是b件；C型号的售价是680元，销售量是c件．那么该卖场这一个月A，B，C三种型号的羽绒服的销售总额是多少元？所列式子是单项式还是多项式？若是多项式，则说明它是几次几项式？ 4．观察图中的点阵图形和与之对应的等式，探究其中的规律： （1）请在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式： （2）通过猜想，写出与第n个图形相对应的等式． 检测2 1．下列说法中，正确的是(　　)． A．多项式ax2＋bx＋c是二次多项式 B．四次多项式是指多项式中各项均为四次单项式C．，－x都是单项式，也都是整式 D．－4a2b，3ab，5是多项式－4a2b＋3ab－5中的项 2．如果一个多项式是五次多项式，那么它任何一项的次数(　　)． A．都小于5 B．都等于5 C．都不小于5 D．都不大于5 3．一组按规律排列的多项式：a＋b，a2－b3，a3＋b5，a4－b7，…，其中第10个式子是(　　)． A．a10＋b19 B．a10－b19 C．a10－b17 D．a10－b21 4．木材加工厂堆放木料的方式如图所示，依此规律，可得出第6堆木料的根数是(　　)． A．15 B．18 C．28 D．24 5．下列整式：①；②；③3xy；④0；⑤；⑥－5a2＋a. 其中单项式有__________，多项式有__________．(填序号) 6．一个关于a的二次三项式，二次项系数为2，常数项和一次项系数都是－3，则这个二次三项式为__________． 答案 例题精讲1 解：（1）12n，它的系数是12，次数是1；（2）ah，它的系数是，次数是2； （3），它的系数是1，次数是3；（4）0.9b，它的系数是0.9，次数是1； （5）0.9b，它的系数是0.9，次数是1． 练习1 解：（1）3； （2）3；1．（3）－2m＝4且n＋2＝5，解得：m＝－2，n＝3． 作业1 1．D． 2．D．　 3．D． 4．①②③④⑦⑧．　 5．3　4　　3．　6．答案不唯一，如：某种联想电器的单价是x元，而联想笔记本电脑的单价是它的5倍，则联想笔记本电脑的单价是5x元，…．7．3n＋2．　 检测1 1．D． 2．D ．3．－π；7． 4．70%a ．5．65． 6．解：（1）第2009项为－2009a2009；第2012项为2012a2012． （2）第m个单项式为m·am；第（m＋1）个单项式为·． 练习2 1．D 2解：6；． 作业2 1．6．2．解：由题知m＝2，且－(n－1)＝0，即m＝2，n＝1． 3．解：销售总额为：(1 680a＋1 320b＋680c)元．所列式子是多项式，是一次三项式． 4．解：（1）4×3＋1＝4×4－3；4×4＋1＝4×5－3．（2）4(n－1)＋1＝4n－3． 检测2 1．C．　2．D．　3．B．4．C．5．①③④；　②⑤⑥．6．2a2－3a－3． 学科网（北京）股份有限公司 $