精品解析：山东省枣庄市滕州市洪绪中学2022年九年级中考数学冲刺试卷 (5)

洪绪中学九年级中考数学冲刺试卷 一．选择题 1. 的相反数是（　　） A. B. C. 3 D. -3 2. 据国家统计局公布，我国第七次全国人口普查结果约为14.12亿人，14.12亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示的几何体，对其三视图叙述正确的是（ ） A. 左视图和俯视图相同 B. 三个视图都不相同 C. 主视图和左视图相同 D. 主视图和俯视图相同 5. 八年级二班在一次体重测量中，小明体重54.5kg，低于全班半数学生的体重，分析得到结论所用的统计量是（　　） A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差 6. 如图，在矩形中，，，以点A为圆心，长为半径画弧交于点，连接，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，，都在反比例函数（a是常数）的图象上，且，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把坡角由37°减至30°，已知原楼梯长为5米，调整后的楼梯会加长（　　）（参考数据：，） A. 6米 B. 3米 C. 2米 D. 1米 9. 将含有的三角板按如图所示放置，点在直线上，其中，分别过点，作直线的平行线，，点到直线，的距离分别为，，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 10. 小红同学在研究函数的图象时，发现有如下结论：①该函数有最小值；②该函数图象与坐标轴无交点；③当时，随的增大而增大；④该函数图象关于轴对称；⑤直线与该函数图象有两个交点，则上述结论中正确的个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二．填空题 11. 在实数范围内定义一种新运算“⊕”，其运算规则为：a⊕b＝－2a＋3b.如：1⊕5＝－2×1＋3×5＝13.则不等式x⊕4＜0的解集为____. 12. 如图，点E，F在上，，请添加一个____________，使 13. 如图所示的电路图中，当随机闭合、、，中的两个开关时，能够让灯泡发光的概率为 _____________________ 14. 在平面直角坐标系中，以点为圆心，任意长为半径画弧，交轴正半轴于点，交轴于点，再分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧在轴右侧相交于点，连接，若，则点的坐标为__． 15. 小亮从学校步行回家，图中的折线反映了小亮离家的距离S（米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，给出以下结论：①他在前12分钟的平均速度是70米/分钟；②他在第19分钟到家；③他在第15分钟离家的距离和第24分钟离家的距离相等；④他在第33分钟离家的距离是720米．其中正确的序号为 ___． 16. 如图，在等边三角形各边上分别截取，交延长线于点J，交延长线于点K，交延长线于点L；直线，，两两相交得到，若，则____． 三．解答题 17. 按要求计算 （1）计算： （2）化简求值：；其中． 18. 为落实我市关于开展中小学课后服务工作的要求，某学校开设了四门校本课程供学生选择：A．趣味数学；B．博乐阅读；C．快乐英语；D．硬笔书法．某年级共有100名学生选择了A课程，为了解本年级选择A课程学生的学习情况，从这100名学生中随机抽取了30名学生进行测试，将他们的成绩（百分制）分成六组，绘制成频数分布直方图． （1）已知70≤x＜80这组的数据为：72，73，74，75，76，76，79．则这组数据的中位数是　 　；众数是　 　； （2）根据题中信息，估计该年级选择A课程学生成绩在80≤x＜90的总人数； （3）该年级学生小乔随机选取了一门课程，则小乔选中课程D的概率是　 　； （4）该年级每名学生选两门不同的课程，小张和小王在选课程的过程中，若第一次都选了课程C，那么他俩第二次同时选择课程A或课程B的概率是多少？请用列表法或树状图的方法加以说明． 19. 如图，某海岸线M的方向为北偏东75°，甲、乙两船同时出发向C处海岛运送物资．甲船从港口A处沿北偏东45°方向航行，乙船从港口B处沿北偏东30°方向航行，其中乙船的平均速度为v．若两船同时到达C处海岛，求甲船的平均速度．（结果用v表示．参考数据：≈1.4，≈1.7） 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴交于点，与反比例函数在第二象限内的图象相交于点． （1）求直线AB的解析式； （2）将直线AB向下平移9个单位后与反比例函数的图象交于点C和点E，与y轴交于点D，求的面积； （3）设直线CD的解析式为，根据图象直接写出不等式的解集． 21. 如图，点E，F分别在正方形的边上，且，点G，H分别在边，上，且，垂足为P． （1）求证：； （2）若正方形边长为5，，，求的长度． 22. 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍． （1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？ （2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？ 23. 如图，在平行四边形ABCD中，∠D＝60°，对角线AC⊥BC，⊙O经过点A，B，与AC交于点M，连接AO并延长与⊙O交于点F，与CB的延长线交于点E，AB＝EB． （1）求证：EC是⊙O的切线； （2）若AD＝2，求的长（结果保留π）． 24. 如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与y轴交于点C． （1）求二次函数的解析式； （2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标； （3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线于点D，求四边形面积的最大值及此时点E的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 洪绪中学九年级中考数学冲刺试卷 一．选择题 1. 的相反数是（　　） A. B. C. 3 D. -3 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数的定义即可解答． 【详解】解：的相反数为． 故选：A． 【点睛】本题考查了相反数，熟记相关定义是解答本题的关键． 2. 据国家统计局公布，我国第七次全国人口普查结果约为14.12亿人，14.12亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义处理，将一个绝对值大于1的数表示成，其中，n为原数的整数位数减1． 【详解】解： 故选：C． 【点睛】本题考查科学记数法，注意表示绝对值大于1的数时，10的指数为原数的整数位数减1． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项，单项式乘以单项式，积的乘方和平方差公式的计算法则进行求解即可． 【详解】解：A、，计算错误，不符合题意； B、，计算错误，不符合题意； C、，计算错误，不符合题意； D、，计算正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了合并同类项，单项式乘以单项式，积的乘方和平方差公式，熟知相关计算法则是解题的关键． 4. 如图所示的几何体，对其三视图叙述正确的是（ ） A. 左视图和俯视图相同 B. 三个视图都不相同 C. 主视图和左视图相同 D. 主视图和俯视图相同 【答案】C 【解析】 【分析】画出几何体的三视图，可以发现几何体的主视图和左视图一样． 【详解】解：该几何体的三视图如图所示： 故该几何体的主视图和左视图相同． 故选：C． 【点睛】本题考查几何体的三视图，解题的关键是掌握简单图像的三视图． 5. 八年级二班在一次体重测量中，小明体重54.5kg，低于全班半数学生的体重，分析得到结论所用的统计量是（　　） A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差 【答案】A 【解析】 【分析】根据中位数的意义求解可得． 【详解】解：八年级二班在一次体重排列后，最中间一个数或最中间两个体重数的平均数是这组体重数的中位数， 半数学生的体重位于中位数或中位数以下， 小明低于全班半数学生的体重所用的统计量是中位数， 故选：A． 【点睛】本题考查统计量的选择，解题的关键是熟练掌握并区分中位数、众数、平均数及方差的含义． 6. 如图，在矩形中，，，以点A为圆心，长为半径画弧交于点，连接，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用矩形的性质求出，利用余弦求出BE，利用阴影部分的面积，求出各部分面积作差即可． 【详解】解：四边形是矩形，， ，， ， ， ，， ， 阴影部分的面积 ． 故选：． 【点睛】本题考查矩形性质，余弦，扇形面积，解题的关键是熟练掌握矩形性质和利用余弦解三角形，理解阴影部分的面积． 7. 已知点，，都在反比例函数（a是常数）的图象上，且，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，判断反比例函数的图象所在位置，结合图象分析函数增减性，利用函数增减性比较自变量的大小． 【详解】解：∵， ∴反比例函数（a是常数）的图象在一、三象限， 如图所示： 当时，， 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数的自变量大小的比较，解题的关键是结合图象，根据反比例函数的增减性分析自变量的大小． 8. 某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把坡角由37°减至30°，已知原楼梯长为5米，调整后的楼梯会加长（　　）（参考数据：，） A. 6米 B. 3米 C. 2米 D. 1米 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦三角函数的定义先求出楼梯的高度，然后因为楼梯的高度不变，再根据正弦三角函数的定义求出调整后楼梯的长度，则可调整后的楼梯的长度变化． 【详解】由题意得：sin37°=， ∴h=5×=3， ∴调整后的楼梯长==6， ∴调整后的楼梯会加长：6-5=1m． 故答案为：D． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，坡度坡角问题，掌握坡角的概念，熟记三角函数的定义是解题的关键． 9. 将含有的三角板按如图所示放置，点在直线上，其中，分别过点，作直线的平行线，，点到直线，的距离分别为，，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设交于点，由，得三角形BCM为等腰直角三角形，再由含30度角直角三角形三边长比及等腰直角三角形的边长比，设BC为x，可得MA为，再由平行线分线段成比例求解． 【详解】解：设交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， 三角形为等腰直角三角形， 在Rt△ABC中，设长为，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查平行线的性质，含特殊角直角三角形的性质及平行线分线段成比例，解题关键是掌握含特殊角的直角三角形的边长比． 10. 小红同学在研究函数的图象时，发现有如下结论：①该函数有最小值；②该函数图象与坐标轴无交点；③当时，随的增大而增大；④该函数图象关于轴对称；⑤直线与该函数图象有两个交点，则上述结论中正确的个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的图象和函数的增减性的特征对每一个选项进行分析判断得出结论． 【详解】解：列表： 1 2 3 4 5 4 5 5 4 5 画出函数图象如图， 观察图象： ①该函数有最小值，符合题意； ②该函数图象与坐标轴无交点，符合题意； ③当时，随的增大而增大，不合题意； ④该函数图象关于轴对称，符合题意； ⑤令，整理得或， ∵b2-4ac， ∴两个方程均有两个不相等的实数根，即共有四个根，且这四个根互不相等． ∴直线与该函数图象有四个交点，不符合题意， 综上，以上结论正确的有：①②④， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了函数的图象，函数的增减性，解题的关键是图象与x轴的交点，函数的极值充分利用函数的图象，利用数形结合的思想． 二．填空题 11. 在实数范围内定义一种新运算“⊕”，其运算规则为：a⊕b＝－2a＋3b.如：1⊕5＝－2×1＋3×5＝13.则不等式x⊕4＜0的解集为____. 【答案】 【解析】 【详解】试题解析：x∗4=-2x+3×40 解得：x6. 12. 如图，点E，F在上，，请添加一个____________，使 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据已知条件中的一边一角，再添加一组对应角相等即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴再添加，根据“角角边”就能证明． 故答案为：（答案不唯一）． 13. 如图所示的电路图中，当随机闭合、、，中的两个开关时，能够让灯泡发光的概率为 _____________________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法以及概率公式，画树状图，共有种等可能的结果，其中能够让灯泡发光的结果有种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：由电路图可知，当同时闭合开关和，和，和时，灯泡能发光，画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中能够让灯泡发光的结果有种， （能够让灯泡发光的概率） 故答案为： 14. 在平面直角坐标系中，以点为圆心，任意长为半径画弧，交轴正半轴于点，交轴于点，再分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧在轴右侧相交于点，连接，若，则点的坐标为__． 【答案】或 【解析】 【分析】画出图形，结合图象可知点P有两个，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， 由作图知点在第一象限或第四象限角平分线上， ∴设点的坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴或， 故答案为或． 【点睛】本题考查角平分线的画法，勾股定理．解题的关键是掌握角平分线的画法，结合图象分析出点在第一象限或第四象限角平分线上． 15. 小亮从学校步行回家，图中的折线反映了小亮离家的距离S（米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，给出以下结论：①他在前12分钟的平均速度是70米/分钟；②他在第19分钟到家；③他在第15分钟离家的距离和第24分钟离家的距离相等；④他在第33分钟离家的距离是720米．其中正确的序号为 ___． 【答案】①④ 【解析】 【分析】由图象可以直接得出前12分钟小亮的平均速度，从而得出①正确；由图象可知从12分到19分小亮又返回学校，可以判断②错误；分别求出小亮第15分和第24分离家距离可以判断③错误；求出小亮33分离家距离，可以判断④正确． 【详解】解：由图象知，前12分中的平均速度为：（1800−960）÷12＝70（米/分）， 故①正确； 由图象知，小亮第19分中又返回学校， 故②错误； 小亮在返回学校时的速度为：（1800−960）÷（19−12）＝840÷7＝120（米/分）， ∴第15分离家距离：960＋（15−12）×120＝1320， 从21分到41分小亮的速度为：1800÷（41−21）＝1800÷20＝90（米/分）， ∴第24分离家距离：1800−（24−21）×90＝1800−270＝1530（米）， ∵1320≠1530， 故③错误； 小亮在33分离家距离：1800−（33−21）×90＝1800−1080＝720（米）， 故④正确， 故答案为：①④． 【点睛】本题考查函数图像，关键是利用已知信息和图象所给的数据分析题意，依次解答． 16. 如图，在等边三角形各边上分别截取，交延长线于点J，交延长线于点K，交延长线于点L；直线，，两两相交得到，若，则____． 【答案】2 【解析】 【分析】延长，交于点，过点作于点，过点作于点，先得出，，，再得出是等边三角形，进而求出的长，则可得的长，然后求出的长即可． 【详解】解：如图，延长，交于点，过点作于点，过点作于点， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 同理可得：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵（三角形的外角性质）， ∴，是等边三角形， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， 又∵在中，，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴． 三．解答题 17. 按要求计算 （1）计算： （2）化简求值：；其中． 【答案】（1） （2） ，1 【解析】 【分析】（1）先用负整数次幂、特殊角的三角函数值、零次幂、立方根的知识化简，然后再计算即可； （2）先根据分式的运算法则化简可得，然后根据可得 【小问1详解】 解： =． 【小问2详解】 解： =• =• =• =， ∵， ∴， 当时，原式==1． 【点睛】本题主要考查了负整数指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂、立方根、分式的化简求值、代数式求值等知识点，灵活运用相关运算法则成为解答本题的关键． 18. 为落实我市关于开展中小学课后服务工作的要求，某学校开设了四门校本课程供学生选择：A．趣味数学；B．博乐阅读；C．快乐英语；D．硬笔书法．某年级共有100名学生选择了A课程，为了解本年级选择A课程学生的学习情况，从这100名学生中随机抽取了30名学生进行测试，将他们的成绩（百分制）分成六组，绘制成频数分布直方图． （1）已知70≤x＜80这组的数据为：72，73，74，75，76，76，79．则这组数据的中位数是　 　；众数是　 　； （2）根据题中信息，估计该年级选择A课程学生成绩在80≤x＜90的总人数； （3）该年级学生小乔随机选取了一门课程，则小乔选中课程D的概率是　 　； （4）该年级每名学生选两门不同的课程，小张和小王在选课程的过程中，若第一次都选了课程C，那么他俩第二次同时选择课程A或课程B的概率是多少？请用列表法或树状图的方法加以说明． 【答案】（1）75，76；（2）30人；（3）；（4），说明见解析． 【解析】 【分析】（1）先把这组数据从小到大排列，然后直接得到中位数及众数； （2）根据直方图得到80≤x＜90范围内选取A课程的人数，然后直接进行求解即可； （3）直接根据概率的求法进行求解即可； （4）根据题意画出树状图，然后求解概率即可． 【详解】解：（1）在72，73，74，75，76，76，79这组已经按从小到大排列好的数据中，中位数为75，众数为76； 故答案为：75，76； （2）观察直方图，抽取的30名学生成绩在80≤x＜90范围内选取A课程的有9人，所占比为， 那么估计该年级100名学生，学生成绩在80≤x＜90范围内，选取A课程的总人数为（人）； （3）因为学校开设了四门校本课程供学生选择，小乔随机选取一门课程，则他选中课程D的概率为； 故答案为：； （4）因该年级每名学生选两门不同的课程，第一次都选了课程C，列树状图如下： 等可能结果共有9种，他俩第二次同时选择课程A或课程B的有2种， 所以，他俩第二次同时选择课程A或课程B的概率是． 【点睛】本题主要考查数据分析及概率，关键是分析题目所给的数据，然后根据数据求解即可，画树状图及列举法是求概率常用的方法． 19. 如图，某海岸线M的方向为北偏东75°，甲、乙两船同时出发向C处海岛运送物资．甲船从港口A处沿北偏东45°方向航行，乙船从港口B处沿北偏东30°方向航行，其中乙船的平均速度为v．若两船同时到达C处海岛，求甲船的平均速度．（结果用v表示．参考数据：≈1.4，≈1.7） 【答案】1.4v 【解析】 【分析】过点C作AM的垂线，构造直角三角形，可得△ACD是含有30°角的直角三角形，△BCD是含有45°角的直角三角形，设辅助未知数，表示AC，BC，再根据时间相等即可求出甲船的速度． 【详解】解：过点C作CD⊥AM，垂足为D， 由题意得，∠CAM=75°-45°=30°，∠CBD=75°-30°=45°， 设CD=a，则BD=a，BC=a，AC=2CD=2a， ∵两船同时到达C处海岛， ∴t甲=t乙， 即， ∴， ∴V甲=≈1.4v． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，作垂线构造直角三角形是解决问题的关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴交于点，与反比例函数在第二象限内的图象相交于点． （1）求直线AB的解析式； （2）将直线AB向下平移9个单位后与反比例函数的图象交于点C和点E，与y轴交于点D，求的面积； （3）设直线CD的解析式为，根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1））；（2）的面积为18；（3）或． 【解析】 【分析】（1）将点A（-1，a）代入反比例函数求出a的值，确定出A的坐标，再根据待定系数法确定出一次函数的解析式； （2）根据直线的平移规律得出直线CD的解析式为y=-x-2，从而求得D的坐标，联立方程求得交点C、E的坐标，根据三角形面积公式求得△CDB的面积，然后由同底等高的两三角形面积相等可得△ACD与△CDB面积相等； （3）根据图象即可求得． 【详解】（1））∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵点， ∴设直线AB的解析式为， ∵直线AB过点， ∴，解得， ∴直线AB的解析式为； （2）∵将直线AB向下平移9个单位后得到直线CD的解析式为， ∴， ∴， 联立，解得或， ∴，， 连接AC，则的面积， 由平行线间的距离处处相等可得与面积相等， ∴的面积为18． （3）∵，， ∴不等式的解集是：或． 【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积求法，以及一次函数图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 21. 如图，点E，F分别在正方形的边上，且，点G，H分别在边，上，且，垂足为P． （1）求证：； （2）若正方形边长为5，，，求的长度． 【答案】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴ ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得出，，得到，再根据垂直的定义进而得出，即可根据证明，根据全等三角形的性质即可得解； （2）先求出的长，再根据勾股定理求出的长，再证，由性质求出的长，最后根据，可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴ ， 即， ∴ ， ∴． 22. 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍． （1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？ （2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？ 【答案】（1）乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元；（2）最多购进87个甲种粽子 【解析】 【分析】（1）设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，然后根据“购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个”可列方程求解； （2）设购进m个甲种粽子，则购进乙种粽子为（200-m）个，然后根据（1）及题意可列不等式进行求解． 【详解】解：（1）设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，由题意得： ， 解得：， 经检验是原方程的解， 答：乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元． （2）设购进m个甲种粽子，则购进乙种粽子为（200-m）个，由（1）及题意得： ， 解得：， ∵m为正整数， ∴m的最大值为87； 答：最多购进87个甲种粽子． 【点睛】本题主要考查分式及一元一次不等式的应用，熟练掌握分式方程的解法及一元一次不等式的解法是解题的关键． 23. 如图，在平行四边形ABCD中，∠D＝60°，对角线AC⊥BC，⊙O经过点A，B，与AC交于点M，连接AO并延长与⊙O交于点F，与CB的延长线交于点E，AB＝EB． （1）求证：EC是⊙O的切线； （2）若AD＝2，求的长（结果保留π）． 【答案】 （1）证明：连接OB， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠D＝60°， ∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BAC＝30°， ∵BE＝AB， ∴∠E＝∠BAE， ∵∠ABC＝∠E+∠BAE＝60°， ∴∠E＝∠BAE＝30°， ∵OA＝OB， ∴∠ABO＝∠OAB＝30°， ∴∠OBC＝30°+60°＝90°， ∴OB⊥CE， ∴EC是⊙O的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）证明：连接OB，根据平行四边形的性质得到∠ABC＝∠D＝60°，求得∠BAC＝30°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到∠ABO＝∠OAB＝30°，于是得到结论； （2）根据平行四边形的性质得到BC＝AD＝2，过O作OH⊥AM于H，则四边形OBCH是矩形，解直角三角形即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD＝2， 过O作OH⊥AM于H， 则四边形OBCH是矩形， ∴OH＝BC＝2， ∴OA＝＝4，∠AOM＝2∠AOH＝60°， ∴的长度＝＝． 【点睛】本题考查了切线的判定，锐角三角函数，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，弧长的计算，正确的作出辅助线是解题的关键． 24. 如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与y轴交于点C． （1）求二次函数的解析式； （2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标； （3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线于点D，求四边形面积的最大值及此时点E的坐标． 【答案】（1） （2）点或或 （3）最大值为，此时点 【解析】 【分析】（1）用交点式确定函数表达式，即可求解； （2）分两种情况分析：当为平行四边形一条边时，当是四边形的对角线时，利用中点坐标及平行四边形的性质，分别求解即可； （3）设直线的表达式为：，根据待定系数法确定的表达式为：，设点坐标为，则点，利用，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：； 故二次函数表达式为：； 【小问2详解】 解：由①得， 当时，， ∴， ①当为平行四边形一条边时，如图1， 则， 故点P的横坐标为4，代入二次函数解析式中得纵坐标为3， 所以点坐标为， 当点在对称轴左侧时，即点的位置，点、、、为顶点的四边形为平行四边形， 故点或； ②当是四边形的对角线时，如图2， 中点坐标为， 设点的横坐标为，点的横坐标为2，其中点坐标为：， 即：，解得：， 故点； 综上：点或或； 【小问3详解】 解：设直线的表达式为：， 将点B、C代入得：， 解得， ∴的表达式为：， 设点坐标为，则点， ， ，故四边形面积有最大值， 当，其最大值为，此时点． 【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．涉及求函数解析式，平行四边形的性质，二次函数的图象与性质，求二次函数的最值等知识，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $