考前暑假专项提升：探索概率（综合训练）-2025-2026学年数学六年级下册苏教版

**基本信息** 聚焦规律探索，整合周期、数列、图形等模块，通过循环周期计算、通项公式归纳等方法，构建从具体到抽象的知识逻辑链，培养数学抽象与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |周期规律|1,4,10,20题|循环周期计算、余数定位|从图形循环到数字周期，建立“周期-余数-位置”对应模型| |数列规律|2,3,5,6题|通项公式归纳、裂项求和|从等差到斐波那契数列，渗透“观察-猜想-验证”推理过程| |图形规律|7,8,9,12题|图形与数字转化、递推关系|通过点阵、叠放高度等，培养几何直观与空间观念| |算式规律|22,25,27题|算式特征归纳、裂项相消|从具体算式到一般规律，发展模型意识与应用能力|

小升初暑假专项提升：探索概率 一、填空题 1．☆◇□〇☆◇□〇☆◇□〇……，照这样排下去，第24个图形是( )，在前81个图形中，☆有( )个。 2．有一组算式如：4＋2，5＋8，6＋14，7＋20，…那么，第10个算式的得数是( )。 3．已知斐波那契数列1，1，2，3，5，8，…的第20项是6765，那么它的前18项的和是( )。 4．100名雷达兵列队排成一排，第一次从左到右按1－2－3－4－5循环报数，第二次按从右到左1－2－3－4循环报数。那么既报1又报5的雷达兵有( )名。 5．从1开始，轮流加3和4，得到下面的一列数：1、4、8、11、15、18、22…，在这列数中，最小的三位数是( )。 6．观察数列，，，，，，，，，，，，，，，，…，数列中第150个是______。 7．如图，按照这种方式摆下去，第10个图形需要_____个，第个图形需要_____个。 8．将花盆叠放起来（如图），3个花盆高16cm，5个花盆高22cm，那么( )个花盆叠起来高34cm，n个花盆叠起来的高度是( )cm。 9．如图是用圆点拼成的点阵图形，根据圆点的变化规律，第n个图形中圆点有( )个。 10．如图，在各个手指间标记字母、、、。请你按图中箭头所指方向（即的方式）从开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当字母第200次出现时，恰好数到的数是( )。 11．将从1开始的连续自然数依次排列成如图所示的形式。观察规律，第20行的第3个数是( )。 12．如下图是由一些小正方形和实心圆按一定规律排列而成的。照此规律排下去，第5个图形中有( )个实心圆，第n个图形中有( )个实心圆。 二、选择题 13．观察这个数列，探索其规律：第2026个数是（    ）。 A． B． C． D． 14．如图，表中给出的是某月的日历，任意选取“U”形框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现此月的这7个数的和可能是（    ）。 A．106 B．98 C．84 D．78 15．如图的点阵中，第①个图形3个点，第②个图形7个点，第⑤个图形有（    ）个点。 A．27 B．30 C．31 D．33 16．如图，摆一个三角形要用3根小棒，摆2个三角形要用5根小棒，那么摆a个三角形要用（    ）根小棒。 A．3a B． C． D． 17．有这样一组数，0，2，4，6，8，…那么第n个数是（    ）。 A．2（n－1） B．2n C．n D．2（n＋1） 三、判断题 18．规律排列的图形，后面一个图形和前面图形没有关联。( ) 19．用围棋按下图摆图形，摆第五个图形用35个棋子，摆第n个图形用7n个棋子。( ) 20．小南按……的规律画图形，则第14个图形是。( ) 21．第1个数是5，第2个数是10，第3个数是15……第m个数是5m。( ) 22．有趣的算式：66×9＝594，666×9＝5994，6666×9＝59994，66666×9＝599994，由此规律，可以直接得出666666×9＝5999994。( ) 四、解答题 23．在举行飞行表演时，前3排飞机的排列如下图。 (1)按这样的规律，第5排有( )架飞机。 (2)按这样的规律排列，一共有21架飞机，这些飞机一共多少排？ (3)请你用自己喜欢的方式表达飞机排数和飞机总数的关系。 24．下面是一张把自然数按一定顺序排列的数表，用一个有5个空格的“十”字框可以框出不同的五个数，认真观察“十”字框中正中间的数与其他四个数的关系，再回答问题。 (1)“十”字框中五个数的和与该“十”字框正中间的数有什么关系？ (2)如果“十”字框正中间的数是x，那么上面的数是( )，下面的数是( )。 25．观察下面式子中的规律，并回答问题。 (1)观察发现：式子④中______，b＝________。 (2)规律提炼：写出第5个等式：____________________________； (3)问题解决：求的值。 26．下图是用型号相同的黑、白两种三角形瓷砖铺成的图形。 (1)仔细观察，请用一个式子表示第n个图形铺瓷砖的总块数。 (2)按图中的规律一直铺下去，那么第n个图形中黑瓷砖的块数可以表示为（1＋2＋3＋…＋n），请算出20个图形中黑瓷砖的块数是多少？ (3)第n个图形中白瓷砖的块数可以用什么式子表示？算出第55个图形中共有多少块白瓷砖？ 27．找规律，并计算。 观察下列两组等式： 第一组：；；。 第二组：；；；。 回答下列问题： （1）我发现的规律：两个分数的（    ）相同，并且等于分母之（    ），则这两个分数的和就等于它们的积。 （2）根据这个规律计算： ①；     ②若，则正整数m等于（    ）。 28．将一些小圆点按一定的规律摆放,所得到的图形依次为第1个图形、第2个图形、第3个图形、第4个图形.如下图所示,各个图形的小圆点个数依次是6个、10个、16个、24个…… 第1个图形    第2个图形    第3个图形      第4个图形 (1)第8个图形一共有多少个小圆点? (2)已知连续两个图形的小圆点的个数差是100个．这两个图形分别是第个______图形和第个______图形. 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《小升初暑假专项提升：探索概率》参考答案 1． 〇 21 【分析】观察图形排列可知，这组图形是按照“☆◇□〇”每4个图形为一个循环周期进行排列； 求第24个图形，先用除法求出24里面有几个4，没有余数，就是一个循环周期里的最后一个图形。 求在前81个图形中☆的个数，先用除法求出81里面有几个4还余几，因为一个循环周期里只有1个☆，那么商是几，就有几个☆，再结合余数，确定余数里☆的个数，相加，即可求出☆的总个数。 【详解】24÷4＝6（组） 没有余数，第24个图形是〇； 81÷4＝20（组）……1（个） 余数是1，说明第81个图形是☆； ☆一共有： 20×1＋1 ＝20＋1 ＝21（个） ☆◇□〇☆◇□〇☆◇□〇……，照这样排下去，第24个图形是（〇），在前81个图形中，☆有（21）个。 2．69 【分析】根据题意可知，每一个算式的第一个加数依次从4，5，6，7，…，这是从4开始的自然数，后一个数与前一个数相差1，4可以写成：3＋1；5可以写成5＋2；6可以写成3＋3；7可以写成3＋4；…；第n个算式的第一个加数可以写成n＋3。 每一个算式的第二个加数依次是2，8，14，20，…，后一个数与前一个数相差6；2可以写成：6×1－4；8可以写成：6×2－4；14可以写成：6×3－4；20可以写成：6×4－4；…，第二个数可以写成：（6n－4）；第n个算式的得数是：（n＋3）＋（6n－4），再化简为：7n－1，计算出n＝10时的结果。 【详解】根据分析可知，第n个算式的得数是：7n－1。 当n＝10时： 7×10－1 ＝70－1 ＝69 有一组算式如：4＋2，5＋8，6＋14，7＋20，…那么，第10个算式的得数是69。 3．6764 【分析】这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。把前18项全写出来相加，计算量会很大，可以运用裂项法解决。 【详解】因为第一项：， 第二项： 第三项： 所以， ， ， ， …… ， ， 所以它的前18项的和是。 4．5 【分析】第一次从左到右循环报数的周期规律，周期为；第二次从右到左循环报数的周期规律；周期为，和的最小公倍数为，即每人会出现一次既报又报的情况。（组），所以既报又报的雷达兵有名。 【详解】第一次报数的循环周期是，第二次报数的循环周期是， 5和4的最小公倍数是：， 按照20人分组，每组的报数情况如下： 其中每组中既报又报的士兵只有人， （名）， 所以名雷达兵列队排成一排，第一次从左到右按循环报数，第二次按从右到左循环报数。那么既报又报的雷达兵有名。 5．102 【分析】由题意可得从1开始，轮流加3和4，则这列数中的奇数项的数依次相差7，第一个数为1，第三个数为1＋1×7，第五个数为1＋2×7，第七个数为1＋3×7，以此类推，第（2n＋1）个数为1＋7n，要计算这列数中最小的三位数，假设是第（2n＋1）个数符合条件，即7n＋1≥100，由此先确定n的值，代入n的值计算这个三位数，这个数的前一位是比它小4的数，如果它的前一位仍是三位数，则前一位是最小的三位数，如果前一位是两位数，则这个数是最小的三位数。 【详解】假设第（2n＋1）个数是最小的三位数，则 7n＋1≥100， 7n≥99， n≥14.14 因为n是整数，所以n的最小值是15 7×15＋1 ＝105＋1 ＝106 106－4＝102＞100，符合条件，这列数中最小的三位数是102。 6． 【分析】观察数列发现，可以将分母相同的分数分成一组，即分组如下：，（，，），（，，，，），（，，，，，，），…，每组分别有1、3、5、7…个数； 前n组共有1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）＝n2个分数。 求第150个数是多少，将150拆分成12的平方加6，即可得出第150个数是第13组的第6个数，据此得出这个分数。 【详解】观察数列，发现： 分母为1的分数有1个，1＝2×1－1； 分母为2的分数有3个，3＝2×2－1； 分母为3的分数有5个，5＝2×3－1； 分母为4的分数有7个，7＝2×4－1； …… 规律：分母为n的分数有（2n－1）个； 前n个分母的分数总个数是1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）＝n2。 150＝122＋6 所以，数列中第150个是分母为13的第6个数，即。 7． 40 4n 【分析】 观察图可知，第1个图形有4个，第2个图形有4×2＝8个，第3个图形有4×3＝12个，由此可得规律：第n个图形有4n个，据此规律解答。 【详解】10×4＝40（个） n×4＝4n（个） 即第10个图形需要10×4＝40个，第n个图形需要4n个。 8． 9 3n＋7/7＋3n 【分析】从图中可知，（5－3）个花盆上升的高度是（22－16）cm，用除法计算出1个花盆上升的高度；3个花盆叠起来的高度是16cm，则用16cm减去2个花盆上升的高度，就是1个花盆的高度；由此可以得出，花盆叠起来的高度＝1个花盆上升的高度×（花盆个数－1）＋1个花盆的高度，据此解答。 【详解】（22－16）÷（5－3） ＝6÷2 ＝3（cm） 16－3×2 ＝16－6 ＝10（cm） （34－10）÷3＋1 ＝24÷3＋1 ＝8＋1 ＝9（个） （n－1）×3＋10 ＝3n－3＋10 ＝（3n＋7）cm 故（9）个花盆叠起来高34cm，n个花盆叠起来的高度是（3n＋7）cm。 9．4n－3 【分析】第1个图形中圆点有1个，1＝1×4－3； 第2个图形中圆点有5个，5＝2×4－3； 第3个图形中圆点有9个，9＝3×4－3； 第4个图形中圆点有13个，13＝4×4－3 规律：第n个图形中圆点有（4n－3）个；按此规律解答。 【详解】由分析可得：如图是用圆点拼成的点阵图形，根据圆点的变化规律，第n个图形中圆点有（4n－3）个。 10．599 【分析】由题可知，对应的数分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9，…，可得共6个数为1个周期，1个周期中字母出现2次，先用200除以2求出循环的周期数，再乘6，然后再减去最后一个数字即可。 【详解】200÷2×6－1 ＝100×6－1 ＝600－1 ＝599 因此当字母C第200次出现时，恰好数到的数是599。 【点睛】明确1个周期中字母出现2次是解答此题的关键。 11．193 【分析】由图可知第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有3个数，由此规律可得第19行有19个数；且第19行最后一个数为（1＋2＋3＋4＋5＋…＋18＋19），计算出第19行的最后一个数，则第20行的第3个数为第19行最后一个数＋3，据此解答。 【详解】1＋2＋3＋4＋5＋…＋18＋19 ＝（1＋19）×（19÷2） ＝20×9.5 ＝190 190＋3＝193 因此第20行的第3个数是193。 【点睛】解答本题的关键是计算出第19行的最后一个数，结合排列规律可知，第20行的第3个数等于第19行最后一个数加上3得到。 12． 12 2（n＋1）/2n＋2 【分析】观察图片可得： 第1个图形：实心圆个数为4个；4可以写成2×（1＋1） 第2个图形：实心圆个数为6个；6可以写成2×（2＋1） 第3个图形：实心圆个数为8个；8可以写成2×（3＋1） 第n个图形：实心圆的个数为2（n＋1）个。 【详解】第5个图形：实心圆的个数为2×（5＋1）＝12（个）； 第n个图形：实心圆的个数为2（n＋1）个。 2（n＋1）＝2n＋2，第n个图形实心圆的个数也可以写成（2n＋2）个。 13．B 【分析】观察数列可总结出分子、分母及符号的规律，结合2026的奇偶性即可得出结果。 【详解】观察数列可得规律：第n个数的分子是1，分母等于n；n为奇数时符号为负，n为偶数时符号为正。2026是偶数，因此第2026个数是。 14．C 【分析】组成“U形结构”的数的规律是7个数的和是2＋4＋9＋11＋16＋17＋18＝77，77÷7＝11；商11加上6就是最底下中间数17，即7个数总和一定能被7整除，再用商＋6即可得到最底中间数。先拿四个选项除以7，把除不尽的选项直接排除；剩下能整除的选项，再看对应的日期能不能画出U形结构即可。 【详解】106÷7、78÷7都得不到整数，106和78不符合题意； 若总和98，98÷7＝14，14＋6＝20，最底中间数是20，往左推左上角日期是5，5在周五列，列位置不对，画不出U形，排除98； 若总和84：84÷7＝12，12＋6＝18，最底中间数是18，向上推出其余日期都在对应周四、周六列，能画出U形，84符合条件。 15．C 【分析】根据已知信息和图形信息，可知： 第①个图形有3个点，可表示为1＋2＝3； 第②个图形有7个点，可表示为1＋2＋4＝7； 第③个图形有13个点，可表示为1＋2＋4＋6＝13； 可以发现其中1为固定数，第几个图形就再往后按顺序加几个偶数， 因此，第n个图形点的个数为：1＋2＋4＋6＋…＋2n。 【详解】根据规律式，可得 第⑤个图形的点数为： 1＋2＋4＋6＋8＋10 ＝（1＋2）＋（4＋6）＋（8＋10） ＝3＋10＋18 ＝13＋18 ＝31（个） 所以，第⑤个图形有31个点。 故答案为：C 16．D 【分析】根据图示，摆第1个三角形需3根小棒，此后每增加1个三角形，只新添2根小棒（因为会与前面图形共用一条边），所以当摆了a个三角形时所用小棒总数为[3＋2（a－1）]根， 【详解】由分析知： 3＋2（a－1） ＝3＋2a－2 ＝（1＋2a）根 即那么摆a个三角形要用（1＋2a）根小棒。 故答案为：D 17．A 【分析】观察可知，第几个数就是2×（几－1），据此分析。 【详解】有这样一组数，0，2，4，6，8，…那么第n个数是2（n－1）。 故答案为：A 【点睛】字母可以表示任意数，可以用字母将数量关系表示出来。 18．× 【分析】按规律排列的图形遵循统一的排列规则，前后图形存在对应关联，并非没有关联。 【详解】规律排列的图形所有图形都符合固定的排列规律，后一个图形的特征和排列规律、前序图形有关，和前面的图形存在关联，题干说法错误。 故答案为：× 19．× 【分析】先分析前几个图形的棋子数，找出规律，再验证第五个图形和第n个图形的棋子数是否符合规律。 【详解】第1个图形，数棋子可得有（个）棋子； 第2个图形，数棋子可得有（个）棋子； 第3个图形，数棋子可得有（个）棋子； 由此可推出第n个图形棋子数为个； 当n＝5时，棋子数为（个）； 所以题中说法错误。 故答案为：× 20．× 【分析】 通过观察可知，这组图形按照“”为一组重复排列，每组有5个图形。用总数除以每组的个数，根据余数确定第14个图形在循环组中的位置，从而判断图形形状。 【详解】14÷5＝2（组）……4（个） 余数是4，则是第3组中的第4个图形，即。 原题说法错误。 故答案为：× 21．√ 【分析】通过观察前三个数与它们序号的关系，发现每个数都是序号的5倍。 【详解】观察数列规律： 第1个数5＝5×1，第2个数10＝5×2，第3个数15＝5×3，因此第m个数就是5×m＝5m。 故答案为：√ 22．√ 【分析】观察算式可以发现：一个因数9保持不变，另一个因数依次增加一个6，积的首位数字都是5，末位数字都是4，中间9的个数比另一个因数中6的个数少1。根据规律判断666666×9的结果是否和题目一致。 【详解】在666666×9中，因数9不变，另一个因数666666中有6个6。 根据上述规律，积的首位数字是5，末位数字是4，中间9的个数应该是6－1＝5个，即666666×9＝5999994。所以该说法正确。 故答案为：√ 23．(1) 5 (2) 6排 (3) 飞机总数=从1加到排数的和（答案不唯一） 【分析】（1）由图知第一排有1架飞机、第二排有2架飞机、第三排有3架飞机，第几排就有几架飞机，所以第5排就有5架飞机； （2）由（1）推测第几排就有几架飞机，可以从第一排开始依次把每排数量相加，等于21架的时候加到多少排，飞机就有多少排； （3）由（1）知第几排就有几架飞机，即排数等于该排的飞机架数，飞机的总数就等于从1开始一直加到排数的和，假设飞机有n排，则飞机总数为：1＋2＋3＋4＋⋯⋯＋n表达合理、清楚即可，答案不唯一。 【详解】（1）第5排就有5架飞机。 （2）1＋2＋3＋4＋5＋6＝21（架） 所以一共有21架飞机时，这些飞机一共6排。 （3）假设飞机有n排，则飞机总数为：1＋2＋3＋4＋⋯⋯＋n。 24．(1)五个数的和是正中间数的5倍 (2) x－7 x＋7 【分析】（1）设“十”字框正中间的数为a，通过观察数表规律，上面的数比正中间数小7，即为a－7；下面的数比正中间数大7，即为a＋7；左边的数比正中间数小1，即为a－1；右边的数比正中间数大1，即为a＋1。这五个数的和（（a－7）＋（a－1）＋a＋（a＋1）＋（a＋7）），化简这个式子，－7与＋7抵消，－1与＋1抵消，结果为5a，所以五个数的和是正中间数的5倍。 （2）由前面分析数表规律可知，“十”字框中上面的数比正中间数小7，当正中间数是x时，上面的数就是x－7；下面的数比正中间数大7，所以下面的数是x＋7。 【详解】（1）“十”字框中五个数的和与该“十”字框正中间的数的关系：五个数的和是正中间数的5倍。 （2）如果“十”字框正中间的数是x，那么上面的数是（x－7），下面的数是（x＋7）。 25．(1) 25 6 (2) (3) 【分析】（1）观察发现，分数减法算式中，被减数的分母由两部分构成，项数的平方＋项数，分子为1；减数的分母由两部分构成，（项数＋1）的平方＋（项数＋1），分子为1；差的分母是从项数开始，连续的三个自然数的乘积，分子为2；则第n项对应的式子为： ，据此填空； （2）将n＝5代入（1）中含字母的等式即可填空； （3）＝＝＝，＝，据此规律，利用乘法分配律进行裂项相减计算。 【详解】（1）a＝（4＋1）2＝52＝25 b＝5＋1＝6 （2）n＝5时，有， 即 （3） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 26．(1) (2)210块 (3)（2＋n）×（n＋1）÷2；1596块 【分析】由图可知，第一个图形有3块白瓷砖，1块黑瓷砖；第二个图形有6块白瓷砖，3块黑瓷砖；第三个图形有10块白瓷砖，6块黑瓷砖。 （1）第一个图形共4块瓷砖，第二个图形共9块瓷砖，第三个图形共16块瓷砖，找出瓷砖的总块数的规律，用含有n的式子表示。 （2）将n＝20代入式子1＋2＋3＋…＋n计算即可。根据公式：（第一个数＋最后一个数）×这组数的个数÷2，代入数据计算即可。 （3）第一个图形白瓷砖比黑瓷砖多2块，第二个图形白瓷砖比黑瓷砖多3块，第三个图形白瓷砖比黑瓷砖多4块，……，第n个图形白瓷砖比黑瓷砖多（n＋1）块。 由第（2）问可知，第n个图形中黑瓷砖的块数可以表示为（1＋2＋3＋…＋n），据此计算。 【详解】（1）第一个图形共4块瓷砖，4＝＝ 第二个图形共9块瓷砖，9＝＝ 第三个图形共16块瓷砖，16＝＝ 第n个图形瓷砖总块数： （2）1＋2＋3＋…＋20 ＝（1＋20）×20÷2 ＝21×20÷2 ＝210（块） 答：第20个图形中黑瓷砖的块数是210块。 （3）由分析可知，第n个图形白瓷砖比黑瓷砖多（n＋1）块，第n个图形中黑瓷砖的块数可以表示为（1＋2＋3＋…＋n），所以第n个图形中白瓷砖的块数可以表示为1＋2＋3＋…＋n＋（n＋1）＝（1＋n＋1）×（n＋1）÷2＝（2＋n）×（n＋1）÷2。 当n＝55时， （2＋55）×（55＋1）÷2 ＝57×56÷2 ＝3192÷2 ＝1596（块） 答：第55个图形中共有1596块白瓷砖。 27．（1）分子，和 （2）① ②19 【分析】（1）观察算式可知，若两个分数的分子相同，且分母之和等于分子，所以这两个分数的和等于它们的积； （2）①根据（1）中发现的规律进行计算即可； ②根据规律可知＝，然后根据发现的规律求出m的值即可。 【详解】（1）我发现的规律：两个分数的分子相同，并且等于分母之和，则这两个分数的和就等于它们的积。 （2）① ② ＝ ＝ 所以6＋m＝25 m＝19 【点睛】本题考查算式的变化规律，发现规律，利用规律是解题的关键。 28．(1)76个 (2)49，50 【详解】(1)观察图形可得 第1个图形中有个4+1×2=6小圆点 第2个图形中有4+2×3=10个小圆点 第3个图形中有4+3×4=16个小圆点 第4个图形中有4+4×5=24个小圆点 通过总结可得,第8个图形有4+8×9=76个小圆点: (2)第n个图形中,小圆点的个数为:4+n(n+1)=(n²+n+4)个． 第n-1个图形中,小圆点的个数为:4+(n-1)n=(n²-n+4)个． 它们的差是:2n=100,所以n=50 所以这两个图形分别是第50个和第49个图形． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $