精品解析：山西大同市北京师范大学大同附属中学校2025-2026学年高二第二学期期末考试数学试题

2025-2026学年高二第二学期期末考试数学试卷 一、单选题（每小题5分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别明确集合、，再根据并集的概念求两个集合的并集. 【详解】由，所以集合； 因为函数的定义域为，所以. 所以. 故选：A 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为带量词的命题的否定只需改变量词，否定结论， 所以命题“”的否定是“”. 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】移项通分，转化为一元二次不等式即可求解. 【详解】，可得， 即为，且，可得 故选：C 4. 已知函数，则（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求，再求得解. 【详解】因为，所以. 故选：B. 5. 某中学从名男生和名女生中推荐人参加社会公益活动，若选出的人中既有男生又有女生，则不同的选法共有 A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【详解】分析：根据题意，选用排除法，分3步，①计算从6人中，任取3人参加社会公益活动选法，②计算选出的全部为男生或女生的情况数目，③由事件间的关系，计算可得答案． 详解：分3步来计算， ①从6人中，任取3人参加社会公益活动，分析可得，这是组合问题，共种情况； ②选出的3人都为男生时，有 种情况， ③根据排除法，可得符合题意的选法共种； 故选B． 点睛：本题考查计数原理的运用，注意对于本类题型，可以使用排除法，即当从正面来解所包含的情况比较多时，则采取从反面来解，用所有的结果减去不合题意的结果 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合对数函数单调性，利用中间量“”比较大小即可. 【详解】因为，所以 又，即； 因为， 所以，即， 综上，，即. 7. 若是奇函数，则的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由可得，再结合不等式的运算求解值域即可. 【详解】函数的定义域为， 由是奇函数即， 所以，解得， 则， 因为且，所以，，则， 即，可得， 所以函数的值域为． 8. “函数在区间上单调递增”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性，结合复合函数单调性的性质、充分性和必要性的定义进行判断即可. 【详解】二次函数的对称轴为， 函数在区间上单调递增，则，解得， 由可得，但是由得不到， 所以函数在区间上单调递增是的必要不充分条件. 二、多选题（每小题6分，部分答对得部分分，错选得0分） 9. 下列说法中正确为（ ） A. 已知函数，若，有成立，则实数a的值为4 B. 若关于x的不等式恒成立，则k的取值范围为 C. 设集合，则“”是“”的充分不必要条件 D. 函数与函数是同一个函数 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数的对称性，可求得a值，即可判断A的正误；分别讨论和两种情况，结合二次型函数的性质，可判断B的正误；根据集合的包含关系及充分、必要条件的概念，可判断C的正误；根据同一函数的定义，可判断D的正误，即可得答案. 【详解】对于A：由成立，可得函数的对称轴为， 又二次函数的对称轴为， 所以，解得，故A正确； 对于B：当时，可得成立，满足题意， 当时，可得，解得， 综上k的取值范围为，故B错误； 对于C：当时，，所以，充分性成立， 若，则或，解得或，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件，故C正确； 对于D：函数定义域为R，函数的定义域为， 定义域不同，故不是同一函数，故D错误， 故选：AC 10. 将3颗骰子各掷一次，记事件A为“三个点数都不相同”，事件B为“至少出现一个1点”，则下列说法中正确的是（ ） A. “至少出现一个1点”所包含的样本点数为 B. “三个点数都不相同”所包含的样本点数为 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用排除法结合分步乘法计算原理计算判断A；利用排列列式计算判断B；利用缩小空间的方法计算条件概率判断CD作答. 【详解】将3枚骰子各掷一次，三个点数都不同的事件含有的基本事件数为，B正确； 至少出现一个1点的事件含有的基本事件数为，A正确； 事件含有的基本事件数为，于是，，C正确，D错误. 故选：ABC 11. 若为函数的导函数，对任意的，恒有，且，则（ ） A. B. C. 为奇函数 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，令求解即可；对于B，由即可判断；对于C，令得，判断出为偶函数即可作出判断；对于D，通过赋值法，分别求出，发现具有周期性，再利用周期性求解即可. 【详解】原式移项得，即， 对于A，令，则由可得， 故（舍去）或，故A正确； 对于B，由，故B错误； 对于C，令，则，即， 因为，所以，所以为偶函数， 对两边同时求导得，，所以为奇函数，故C正确； 对于D，由A选项，若， 令，则，即，， 令，，则，即，， 令，，则，即，， 令，，则，即，， 令，，则，即，， 令，，则，即，， 令，，则，即，， 由此可得的值有周期性，且周期为6， 且， 故，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（每小题5分） 12. 二项式的展开式中的常数项为________． 【答案】60 【解析】 【分析】利用展开式的通项公式，可求常数项. 【详解】展开式的通项为． 令，得，则的常数项为． 故答案为：． 13. 一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，记下颜色后放回，一共拿4次，设拿出黄球的次数为，则________. 【答案】2 【解析】 【分析】由二项分布均值公式即可求解. 【详解】每一次拿球拿到黄球的概率是，则， 所以. 故答案为：2 14. 已知函数，若方程有三个根，则 的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的图象，数形结合得解. 【详解】函数的图象如图所示： 若方程 有三个根， 则与的图象有3个交点， 由图象可得，解得， 故答案为： 四、解答题（15题13分，16，17每小题15分，18，19每小题17分） 15. 已知椭圆，点在椭圆上，且点到两焦点和的距离之和为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若点的坐标为，过点的直线与椭圆交于（异于点）两点，且直线的斜率为，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义求得后即可求得椭圆的标准方程； （2）由题意求得直线方程，直线与椭圆联立方程根据弦长公式求得，再利用点到直线的距离公式及三角形面积公式计算即可求解. 【小问1详解】 由已知可得，化简可得， ， 则椭圆方程为； 【小问2详解】 设，， 由已知可得直线，即， 联立直线与椭圆，消去可得， 则，， 则， 又点到直线的距离， 所以； 16. 已知等差数列的前n项和为，且. （1）求； （2）求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据的关系求通项公式即可； （2）裂项相消法求和即可得解. 【小问1详解】 由① 所以当时，② ①②得：，整理得：， 所以. 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 所以. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，直线与平面所成角为，为线段的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：取中点,连接, 则,, 又因为,, 所以,, 所以四边形是平行四边形， 所以, 又因为平面,平面, 所以平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）取中点,连接,由题意可得四边形是平行四边形，从而得,由线面平行的判定定理即可得证； （2）以为坐标原点，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系,利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 因为平面，， 所以以为坐标原点，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系： 又直线与平面所成角为， 即, 又因为， 所以，， 所以， 易知平面的法向量为， 因为, 设平面的法向量为， 则， 则有， 取， 设平面与平面的夹角为， 所以. 18. 甲、乙两选手进行乒乓球比赛，采用5局3胜制，假设每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立. （1）求赛完4局且乙获胜的概率； （2）若规定每局获胜者得2分，负者得分，记比赛结束时甲最终得分为，求的分布列和数学期望. 【答案】（1）； （2） 1 4 5 6 . 【解析】 【分析】（1）根据已知分析赛完4局且乙获胜的对应事件，再应用独立事件乘法公式求概率； （2）由题设确定的可能取值并求出对应概率，写出分布列，进而求期望. 【小问1详解】 设“赛完4局且乙获胜”为事件，即乙前3局中获胜2局输1局，且第4局获胜. 【小问2详解】 的可能取值为，，1，4，5，6， 则，，， ，，， 的分布列如表所示 1 4 5 6 所以. 19. 已知函数. （1）当时，求的单调区间 （2）讨论的单调性； （3）当时，证明. 【答案】（1）在单调递增，在单调递减 （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）当时，求出导函数，解不等式求的单调区间即可； （2）分、情况讨论与的大小关系可得结论； （3）利用函数的单调性把所证不等式转化成，构造函数，利用导数求函数最值即可证明. 【小问1详解】 当时，，的定义域为， 则， 故当时，；当时，. 故在单调递增，在单调递减； 【小问2详解】 的定义域为，． 若，则当时，，故在单调递增， 若，则当时，；当时，. 故在单调递增，在单调递减； 【小问3详解】 由（1）知，当时，在取得最大值，最大值为， 所以等价于，即， 设，则，当时，，当时， 所以在单调递增，在单调递减， 故当时，取得最大值，最大值为，所以当时，， 从而当时，，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二第二学期期末考试数学试卷 一、单选题（每小题5分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则（ ） A. 8 B. C. D. 5. 某中学从名男生和名女生中推荐人参加社会公益活动，若选出的人中既有男生又有女生，则不同的选法共有 A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 若是奇函数，则的值域为（ ） A. B. C. D. 8. “函数在区间上单调递增”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 二、多选题（每小题6分，部分答对得部分分，错选得0分） 9. 下列说法中正确为（ ） A. 已知函数，若，有成立，则实数a的值为4 B. 若关于x的不等式恒成立，则k的取值范围为 C. 设集合，则“”是“”的充分不必要条件 D. 函数与函数是同一个函数 10. 将3颗骰子各掷一次，记事件A为“三个点数都不相同”，事件B为“至少出现一个1点”，则下列说法中正确的是（ ） A. “至少出现一个1点”所包含的样本点数为 B. “三个点数都不相同”所包含的样本点数为 C. D. 11. 若为函数的导函数，对任意的，恒有，且，则（ ） A. B. C. 为奇函数 D. 若，则 三、填空题（每小题5分） 12. 二项式的展开式中的常数项为________． 13. 一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，记下颜色后放回，一共拿4次，设拿出黄球的次数为，则________. 14. 已知函数，若方程有三个根，则 的取值范围是_______. 四、解答题（15题13分，16，17每小题15分，18，19每小题17分） 15. 已知椭圆，点在椭圆上，且点到两焦点和的距离之和为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若点的坐标为，过点的直线与椭圆交于（异于点）两点，且直线的斜率为，求的面积． 16. 已知等差数列的前n项和为，且. （1）求； （2）求数列的前n项和. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，直线与平面所成角为，为线段的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 甲、乙两选手进行乒乓球比赛，采用5局3胜制，假设每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立. （1）求赛完4局且乙获胜的概率； （2）若规定每局获胜者得2分，负者得分，记比赛结束时甲最终得分为，求的分布列和数学期望. 19. 已知函数. （1）当时，求的单调区间 （2）讨论的单调性； （3）当时，证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $