精品解析：山西大同市实验中学2025-2026学年高二第二学期期末学情检测数学试题

大同市实验中学2025-2026学年第二学期 高二年级数学学科期末学情检测 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题（每题5分，共40分） 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. （25-26高一上•山西阳泉•期末） 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的值为（ ） A. 15 B. C. D. 4. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. “”是“在上恒成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数满足：，，且在内单调递增，则（    ） A. B. C. D. 二、多项选择题（每题8分，共18分） 9. 如图是函数的导函数的图象，则（ ） A. 在时，函数取得极值 B. 在时，函数取得极值 C. 函数在区间上单调递增 D. 的图象在处切线的斜率小于零 10. 下列结论正确的是（ ）. A. 当时， B. 当时，的最大值是 C. 当时，的最小值是 D. 当时，的最大值是 11. 已知函数满足，，则（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 三、填空题（每空5分，共15分） 12. 函数的零点个数为___________. 13. 已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为___________． 14. 已知曲线和有两条公切线，其中一条为直线，则另外一条公切线的方程为________． 四、简答题 15. 求抽象函数的定义域. （1）已知函数，求函数的定义域； （2）已知函数的定义域为，求的定义域. 16. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，. （1）求的值； （2）若，求函数的值域. 17. （1）已知函数．求的极值； （2）已知函数在上是严格减函数，则实数的取值范围． 18. 已知函数. （1）若实数，满足，求关于的不等式的解集； （2）若，求函数在上的最小值的解析式； （3）若，对恒成立，求实数的取值范围. 19. 设函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大同市实验中学2025-2026学年第二学期 高二年级数学学科期末学情检测 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题（每题5分，共40分） 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，，则. （25-26高一上•山西阳泉•期末） 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得，解得且， 故定义域为 3. 已知，则的值为（ ） A. 15 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合指数与对数的转化及指数运算性质即可求解. 【详解】因为，所以， 又，所以. 故选：C. 4. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，则，当时，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. 5. 已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用分段函数为增函数的性质并结合一次函数与二次函数性质列出不等式求解即可． 【详解】因为函数在上是增函数， 所以，，解得，所以实数的取值范围是． 故选：A. 6. “”是“在上恒成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】在给定区间内恒成立问题，可参变分离求解后判断 【详解】在上恒成立， 即在上恒成立， 故 “”是“”的必要不充分条件 故选：B 7. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，再取特殊点的值进行验证即可得答案. 【详解】解：由题意知，函数的定义域为， 因为， 所以为奇函数，排除A； ，排除B；，排除C. 故选：D. 8. 已知定义在上的函数满足：，，且在内单调递增，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据题意，可得函数是周期为的函数，化简可得，，，根据函数单调性即可比较大小. 【解答过程】由题意，，则， 又，所以，变形可得， 用替换其中的，可得，所以， 所以函数的周期为， 所以，， ，又，所以， 又函数在内单调递增，所以， 即. 故选：A. 二、多项选择题（每题8分，共18分） 9. 如图是函数的导函数的图象，则（ ） A. 在时，函数取得极值 B. 在时，函数取得极值 C. 函数在区间上单调递增 D. 的图象在处切线的斜率小于零 【答案】AC 【解析】 【分析】根据导数图象和极值进行辨析即可. 【详解】对于A，根据图象可知，当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增，. 所以在时，函数取得极小值，所以A正确； 对于B，根据图象可知，当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递增，. 所以在时，函数没有极值，所以B错误； 对于C，根据图象可知，在上大于等于0，所以函数在区间上单调递增，所以C正确； 对于D，因为，所以它的图象在处切线的斜率大于零，D错误. 10. 下列结论正确的是（ ）. A. 当时， B. 当时，的最大值是 C. 当时，的最小值是 D. 当时，的最大值是 【答案】ABD 【解析】 【详解】当时，，当且仅当时取到等号，由于,故等号取不到，所以故 A正确； 当时，，当，即时，等号成立，故B正确；  当时，， 当，即时，等号成立，故C错误； 当时，， 当，即时，等号成立，故D正确. 11. 已知函数满足，，则（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：令后计算即可判断；对于B：令后计算即可判断；对于C：令和，后计算即可判断；对于D：令，，用替换为，化简后得，可判断. 【详解】对于A：令，则， 又，所以，故A正确； 对于B：令，则， 即，所以，故B错误； 对于C：令，则， 令，则， 所以，则为偶函数，C正确； 对于D：令，则， 即， 将上式中的替换为，得， 上述两式消去，得， 即，D正确. 故选：ACD 三、填空题（每空5分，共15分） 12. 函数的零点个数为___________. 【答案】2 【解析】 【分析】当时，令，直接解出零点即可；当时，先判断单调性，再结合零点存在定理即可判断. 【详解】当时，令，解得，，此时有1个零点；当时， ，显然单调递增， 又，由零点存在定理知此时有1个零点；综上共有2个零点. 故答案为：2. 13. 已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复合函数单调性，结合对数函数、二次函数单调性及真数恒正列式求解. 【详解】函数在上单调递增，由函数在上单调递增， 得函数在上单调递增，且，恒成立， 因此，解得，所以实数的取值范围为. 故答案为： 14. 已知曲线和有两条公切线，其中一条为直线，则另外一条公切线的方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据两条曲线的其中一条公切线为，结合导数的几何意义求出，设出另一条切线的两条曲线的切点坐标，得到切线方程，联立方程组求解即可. 【详解】对，求导得， 设切点为，切线斜率，解得，则切点为，切线方程为，满足条件. 对，求导得. 设切点为，则切线斜率为，所以，故切点坐标为， 代入切线中得，，则. 设另一条公切线与相切于，则切线方程为， 即. 设该公切线与相切于，则切线方程为， 即. 所以，解得或. 当时，对应切线方程为，即已知切线方程； 当时，对应切线方程为. 故另外一条公切线的方程为. 四、简答题 15. 求抽象函数的定义域. （1）已知函数，求函数的定义域； （2）已知函数的定义域为，求的定义域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数解析式可知，可得出函数的定义域，再根据抽象函数的定义域求法，即可求出函数的定义域； （2）根据题意，可知，根据抽象函数的定义域求法，可求出函数的定义域，从而得出的定义域． 【小问1详解】 解：由， 得，解得：， ∴函数的定义域为； 【小问2详解】 解：∵函数的定义域为， ∴，则， 即函数的定义域为， 由，得， ∴的定义域为． 16. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，. （1）求的值； （2）若，求函数的值域. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义求解； （2）由的表达式求出的表达式，利用换元法将设为，求出的取值范围，利用二次函数的图象求值域即可得解. 【小问1详解】 函数是定义在上的奇函数， ， 当时，，， ； 【小问2详解】 当时，，， ， 令， ，， ， 函数图象开口向上，对称轴为， ， 函数的值域为. 17. （1）已知函数．求的极值； （2）已知函数在上是严格减函数，则实数的取值范围． 【答案】（1）极大值，极小值；（2） 【解析】 【分析】（1）求得，得出函数的单调性，结合极值的定义，即可求解； （2）求得，根据题意，转化为在上恒成立，结合函数的单调性，求得，得到，即可求解. 【详解】（1）由函数，可得其定义域为，且，令，即，解得或． 当时，，单调递增： 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 所以当时，取得极大值，极大值为； 当时，取得极小值，极小值为． （2）由函数，可得其定义域为，且， 因为在上是严格减函数，所以在上恒成立，且不恒为0， 即在上恒成立，即在上恒成立， 又因为在上为单调递减函数， 所以，可得，解得，经验证：时，仅在时取等号，符合题意， 所以实数的取值范围是． 18. 已知函数. （1）若实数，满足，求关于的不等式的解集； （2）若，求函数在上的最小值的解析式； （3）若，对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）答案见解析； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）含参数分类讨论解不等式计算即可； （2）利用二次函数的性质，分类讨论b的范围计算即可； （3）根据指数函数、二次函数、对勾函数的单调性结合换元法计算即可. 【小问1详解】 由得， 若，则； 若，则不等式解集为； 若，则不等式解集为； 若，则不等式解集为或； 综上所述：时，不等式解集为，时，不等式解集为， 时，不等式解集为，时，不等式解集为或； 【小问2详解】 若，即， 易知在上单调递增，在上单调递减， 若，即时，则， 若，即时，则， 若，即时，则， 综上； 【小问3详解】 若，即， 所以， 令，易知时，，设， 由对勾函数的性质知在上单调递增，所以， 故对恒成立等价于 对恒成立， 由二次函数的性质可知，所以, 即 19. 设函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增； （2）证明：由（1）知，当时，在处取得最小值， 因此，对任意，有. 只需证明 ，即 令，. 求导得，  ，故在上单调递增. 由知，当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增. 所以在处取得最小值. 因此，即成立，等号当且时取得. 【解析】 【分析】（1）先求出导函数，再对分情况讨论，分别求出函数的单调区间； （2）由（1）可知当时，的最小值为，令，利用导数得到的最小值为， 所以，即证得. 【小问1详解】 函数的导数为， 当时，恒成立，故，所以在上单调递增； 当时，令 ，得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 综上所述：当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $