专题06 等式性质与不等式性质8种常见考法归类（51题）-2026年新高一暑假人教A版2019必修第一册考点通关提升讲义

2026-2027年新高一暑假人教A版2019必修第一册考点通关提升讲义 专题06 等式性质与不等式性质8种常见考法归类（51题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 用不等式(组)表示不等关系 考点二 数（式）大小的比较 （一）作差法比较大小 （二）作商法比较大小 考点三 不等式的实际应用 考点四 由已知条件判断所给不等式是否正确 考点五 利用不等式的性质判断命题的真假 考点六 不等式的性质与充分、必要条件 考点七 利用不等式的性质证明简单的不等式 考点八 利用不等式的性质求范围 知识点1：不等式的概念 在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式. 自然语言 大于 小于 大于或等于 小于或等于 至多 至少 不少于 不多于 符号语言 知识点2：实数大小的比较 1、如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对. 2、作差法比大小：①；②；③ 3、不等式性质 性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 知识点3：不等式的探究 一般地，，有，当且仅当时，等号成立. 知识点4：不等式的性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 （等价于） 传递性 （推出） 可加性 （等价于 可乘性 注意的符号（涉及分类讨论的思想） 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 ，同为正数 可开方性 考点一 用不等式(组)表示不等关系 策略方法 1. 核心逻辑 把文字描述的数量限制，转化为数学不等号式子；多个约束条件联立为不等式组；牢记文字语言与不等号对应关系。 文字对应：至少/不低于 ；至多/不超过 ；大于/超过 ；小于/少于 。 2. 解题步骤 (1)审题：找出题干中所有带有限制含义的关键词； (2)设变量：用字母代表题目中的未知量； (3)列式：根据文字对应不等号写出单个不等式； (4)联立：存在多条限制时，组合成不等式组； (5)补充实际约束：长度、数量、面积等变量默认大于0。 3. 易错提醒 1.“”代表小于或等于，不是同时成立； 2.实际问题漏写变量正数范围； 3.单位不统一直接列式，导致关系式错误。 题型训练 1．（2026高二·全国·暑假作业）一般的人，下半身长与全身长的比值小于且不小于，用不等式表示为（   ） A． B． C． D． 2．（2026高三·全国·专题练习）某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润.已知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件.若把提价后商品的售价设为x元，用x表示每天的利润不低于300元的不等关系为______. 3．（2026高三·全国·专题练习）限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是（    ） A． B． C． D． 4．（2026高三·辽宁锦州·期末）平流层是地球大气层的第2层，位于对流层之上，特点是空气以水平流动为主，大气稳定且几乎无云雨，是飞机平稳飞行的理想区域．某地平流层是地球表面以上10km（不含）到50km（不含）的区域，下述不等式中能表示平流层高度的是（   ） A． B． C． D． 5．（2026高一·云南曲靖·期中）下列说法正确的是（    ） A．某人的月收入元不高于元可表示为“” B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“” C．变量不小于可表示为“” D．变量不超过可表示为“” 6．（2026高一·湖南娄底·期中）用表示某产品销售的利润，表示该产品生产的成本，其中销售利润大于生产成本，将称作该商品的成本利润率，通过对该产品进行优化，该产品利润与成本同时增加时，成本利润率却有所降低.基于该事实，可以列出的不等式为（    ） A． B． C． D． 考点二 数（式）大小的比较 策略方法 1. 核心逻辑 作差法（通用，无正负限制） ；； 作商法（仅适用于同号两正数） 若 ：； 2. 解题步骤 作差法通用四步 (1)作差：计算 ； (2)变形：配方、因式分解、通分、有理化，化成易判断符号形式； (3)定号：结合已知条件判断差值正负； (4)结论：写出两式大小关系。 作商法四步 (1)先验证 ； (2)两式相除化简； (3)商与1比较； (4)推出原式大小。 3. 易错提醒 1.含有负数时直接用作商法，结论出错； 2.作差后不化简，无法判断正负； 3.带根式忘记保证式子为正，平方比较会产生增根。 题型训练 （1） 作差法比较大小 7．（2026高二·河北沧州·期末）已知，记，，则（   ） A． B． C． D．以上都有可能 8．（2026高二·安徽芜湖·期末）记小明走路去学校的速度为，跑步去学校的速度为，方式一为一半的路程走路，一半的路程跑步，方式二为一半的时间走路，一半的时间跑步，则（    ） A．方式二比方式一先到学校 B．方式一比方式二先到学校 C．两种方式到学校的时间一样 D．无法确定哪种方式先到学校 9．（2026高一·湖北武汉·期末）已知，，记，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 10．（第06讲等式性质与不等式性质（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）已知非零实数，，用作差法比较讨论：与的大小关系. 11．（2026高三·全国·专题练习）已知，，，判断M，N的关系? 12．试比较下列各数的大小，并说明理由： (1)与； (2)与． （2） 作商法比较大小 13．（2026高三·全国·一轮复习）设，，且，则和的大小关系是_________． 14．（2026高一·云南玉溪·阶段检测）（1）比较大小：与； （2）设，比较与的大小. 15．（2026高一·全国·课后作业）已知，试比较和的大小. 考点三 不等式的实际应用 策略方法 1. 核心逻辑 结合生活场景（运输、建材、采购、面积规划），用不等式组限定变量，求解可行方案并计算最优最值（成本、运费、面积）。 2. 解题步骤 (1)设未知数，梳理题目中的数量限制； (2)根据总量、容量、价格约束列出不等式组； (3)解不等式组，筛选符合实际的整数解； (4)建立目标函数（运费、成本、面积），代入可行解比较求出最优方案。 3. 易错提醒 1.物品数量、车厢节数忽略必须为正整数； 2.求最优方案时只解不等式，不代入计算对比； 3.混淆“至多”“至少”对应的不等号。 题型训练 16．（山东省菏泽市2025-2026学年高一学期11月期中考试数学试题（A））“双节”遇上亚运会，民宿成为潮流趋势．民宿的改造中，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好．现有一所地板面积为180平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为______平方米． 17．（2026高一·江苏连云港·期中）火车站有某公司待运的甲种货物，乙种货物.现计划用，两种型号的货厢共50节运送这批货物.已知甲种货物和乙种货物可装满一节型货厢，甲种货物和乙种货物可装满一节型货厢. (1)据此安排，两种货厢的节数，共有几种方案？ (2)若每节型货厢的运费是万元，每节型货厢的运费是万元，哪种方案的运费较少？ 18．【多选】（2026高一·河北石家庄·阶段检测）火车站有某公司待运的甲种货物吨，乙种货物吨．现计划用、两种型号的货箱共节运送这批货物．已知吨甲种货物和吨乙种货物可装满一节型货箱，吨甲种货物和吨乙种货物可装满一节型货箱，据此安排、两种货箱的节数，下列哪些方案满足（    ） A．货箱节，货箱节 B．货箱节，货箱节 C．货箱节，货箱节 D．货箱节，货箱节 19．（吉林省长春市实验中学2025-2026学年高一学期期中考试数学试题）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好. (1)若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米? (2)若同时增加相同的窗户和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了?请计算说明. 考点四 由已知条件判断所给不等式是否正确 策略方法 1. 核心逻辑 依靠基础不等式性质推理；无法直接推导时，举特殊值反例快速排除错误选项。 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 2. 解题步骤 (1)熟记不等式性质，逐条核对选项变形是否满足条件； (2)正向推导：满足性质条件则不等式成立； (3)反向排除：取一组符合题干条件的特殊值代入，式子不成立直接排除； (4)多选项题综合两种方法验证。 3. 易错提醒 1.两边同乘负数忘记颠倒不等号； 2.随意相减、相除两个不等式； 3.忽略乘方、开方要求变量均为正数的前提。 题型训练 20．（2026高一·广西柳州·期末）已知，，，，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 21．（2026高二·北京·期末）已知，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 22．（2026高二·浙江·学业考试）已知，则下列不等式正确的是（        ） A． B． C． D． 23．（2026高三·全国·专题练习）若，，那么下列不等式中，错误的是（   ） A． B． C． D． 24．（2026高二·江西萍乡·期末）已知实数，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 25．【多选】（2026高二·山东临沂·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 26．【多选】（2026高二·浙江温州·学业考试）已知，，则（   ） A． B． C． D． 考点五 利用不等式的性质判断命题的真假 策略方法 1. 核心逻辑 命题为真：严格符合不等式性质全部条件；命题为假：只需举出1组满足题干、但结论不成立的特殊值。 2. 解题步骤 (1)拆分命题条件与结论； (2)正向推导：看能否由条件推出结论； (3)举反例：找简单数字验证，找到反例直接判定为假命题； (4)多选题逐个验证，区分真假命题。 3. 易错提醒 1.弱化性质成立条件，凭空构造变形规则； 2.判断倒数关系忘记 的前提； 3.只正向推导，不举反例，误判假命题为真。 题型训练 27．【多选】（2026高一·湖北荆门·期末）已知，，为实数，则（     ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，都大于，则 D．若，，，则 28．【多选】（2026高二·辽宁大连·期末）已知a，b，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 29．（2026高一·福建宁德·阶段检测）下列运用等式或不等式的性质变形中，正确的是（    ） A．如果那么 B．如果那么 C．如果那么 D．如果，那么 30．【多选】（2026高一·江苏镇江·期末）下列不等式中成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 考点六 不等式的性质与充分、必要条件 策略方法 1.核心逻辑 设条件、结论： 1.，：是充分不必要； 2.，：是必要不充分； 3.：充要条件； 利用不等式性质判断双向能否互相推出。 2.解题步骤 (1)判断充分性：条件成立时，结论是否一定成立；不成立举反例； (2)判断必要性：结论成立时，条件是否一定成立；不成立举反例； (3)结合两步结果，匹配充分/必要/充要/既不充分也不必要。 3.易错提醒 1.单向能推出就直接判定充要条件； 2.不等关系推导时忽略正负限制，推导错误。 题型训练 31．（2026高二·天津·期末）若，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 32．（2026高二·上海·期末）已知实数 ，那么“”是“”的（     ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 33．（2026·安徽合肥·模拟预测）设，，则是的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 34．（2026高二·天津河西·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 35．（2026高三·江苏常州·期末）已知实数，则“”是“”的（   ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 36．（2026高一·浙江·期中）设、、，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 37．（2026高一·河北保定·期中）设，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 38．（2026高一·上海·期末）若，则“”是“”的（    ）条件. A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既不必要也不充分 考点七 利用不等式的性质证明简单的不等式 策略方法 1. 核心逻辑 综合法：从已知大小关系出发，严格套用不等式性质逐步变形，推导出目标不等式，每一步变形都要有对应性质支撑。 2. 解题步骤 (1)整理题干给出的所有不等条件； (2)依据不等式对称性、传递性、可加可乘性质逐步推导； (3)同向不等式相加、正数同向相乘；乘除负数同步变号； (4)层层递推，直到得到要证明的式子。 3. 易错提醒 1.跳步推导，缺少性质依据； 2.乘除负数不改变不等号方向； 3.无正数前提直接使用乘方、开方性质。 题型训练 39．已知，求证:. 40．（2026高二·全国·课后作业）已知均为正实数，且，求证：． 41．（2026高一·海南省直辖县级单位·期中）已知，. (1)求证：； (2)求证：. 42．（2026高一·甘肃兰州·期中）（1）比较与的大小； （2）已知，求证：. 43．（2026高一·天津河北·阶段检测）（1）设，．试比较与的大小． （2）已知，，．求证：． 考点八 利用不等式的性质求范围 策略方法 利用不等式的性质求取值范围的策略 (1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围． (2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围． 注意：求解这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围． 题型训练 44．（2026高二·上海·期末）已知，，则的取值范围是________． 45．（2026高一·黑龙江大庆·阶段检测）已知， (1)求的取值范围； (2)比较两个代数式的大小：与． 46．（2026高一·广西河池·期中）已知，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 47．（2026高二·北京朝阳·阶段检测）已知实数． (1)若，则的取值范围； (2)若，求的取值范围． 48．（2026高三·山西·阶段检测）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 49．（2026高一·陕西渭南·阶段检测）已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 50．（2026高一·内蒙古锡林郭勒·期末）已知，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 51．【多选】（2026高三·云南楚雄·期中）已知，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． $2026-2027年新高一暑假人教A版2019必修第一册考点通关提升讲义 专题06 等式性质与不等式性质8种常见考法归类（51题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 用不等式(组)表示不等关系 考点二 数（式）大小的比较 （一）作差法比较大小 （二）作商法比较大小 考点三 不等式的实际应用 考点四 由已知条件判断所给不等式是否正确 考点五 利用不等式的性质判断命题的真假 考点六 不等式的性质与充分、必要条件 考点七 利用不等式的性质证明简单的不等式 考点八 利用不等式的性质求范围 知识点1：不等式的概念 在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式. 自然语言 大于 小于 大于或等于 小于或等于 至多 至少 不少于 不多于 符号语言 知识点2：实数大小的比较 1、如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对. 2、作差法比大小：①；②；③ 3、不等式性质 性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 知识点3：不等式的探究 一般地，，有，当且仅当时，等号成立. 知识点4：不等式的性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 （等价于） 传递性 （推出） 可加性 （等价于 可乘性 注意的符号（涉及分类讨论的思想） 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 ，同为正数 可开方性 考点一 用不等式(组)表示不等关系 策略方法 1. 核心逻辑 把文字描述的数量限制，转化为数学不等号式子；多个约束条件联立为不等式组；牢记文字语言与不等号对应关系。 文字对应：至少/不低于 ；至多/不超过 ；大于/超过 ；小于/少于 。 2. 解题步骤 (1)审题：找出题干中所有带有限制含义的关键词； (2)设变量：用字母代表题目中的未知量； (3)列式：根据文字对应不等号写出单个不等式； (4)联立：存在多条限制时，组合成不等式组； (5)补充实际约束：长度、数量、面积等变量默认大于0。 3. 易错提醒 1.“”代表小于或等于，不是同时成立； 2.实际问题漏写变量正数范围； 3.单位不统一直接列式，导致关系式错误。 题型训练 1．（2026高二·全国·暑假作业）一般的人，下半身长与全身长的比值小于且不小于，用不等式表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】小于且不小于，. 2．（2026高三·全国·专题练习）某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润.已知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件.若把提价后商品的售价设为x元，用x表示每天的利润不低于300元的不等关系为______. 【答案】 【详解】提价后商品的售价为元，则提高了元，销售量减少了件， 则利润为元（）， 则，化简得. 销售量为非负，结合提价要求得， 故. 3．（2026高三·全国·专题练习）限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由限速40km/h，可知汽车的速度v小于或等于40km/h，即. 4．（2026高三·辽宁锦州·期末）平流层是地球大气层的第2层，位于对流层之上，特点是空气以水平流动为主，大气稳定且几乎无云雨，是飞机平稳飞行的理想区域．某地平流层是地球表面以上10km（不含）到50km（不含）的区域，下述不等式中能表示平流层高度的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求解每个选项中的绝对值不等式对照题意判断即可. 【详解】对于A：由，得，解得，不满足题意，故A不正确； 对于B：由，得，解得，不满足题意，故B不正确； 对于C：由，得，解得，不满足题意，故C不正确； 对于D：由，得，解得，满足题意，故D正确. 故选：D. 5．（2026高一·云南曲靖·期中）下列说法正确的是（    ） A．某人的月收入元不高于元可表示为“” B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“” C．变量不小于可表示为“” D．变量不超过可表示为“” 【答案】C 【分析】利用不等式表示不等关系逐个选项判断即可. 【详解】对于A，某人的月收入元不高于元可表示为“”，A错误； 对于B，小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“”，B错误； 对于C，变量不小于可表示为“”，C正确； 对于D，变量不超过可表示为“”，D错误. 故选：C. 6．（2026高一·湖南娄底·期中）用表示某产品销售的利润，表示该产品生产的成本，其中销售利润大于生产成本，将称作该商品的成本利润率，通过对该产品进行优化，该产品利润与成本同时增加时，成本利润率却有所降低.基于该事实，可以列出的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意建立不等式模型即可. 【详解】“利润率降低”意味着原来的利润率大于新的利润率，故. 故选：A. 考点二 数（式）大小的比较 策略方法 1. 核心逻辑 作差法（通用，无正负限制） ；； 作商法（仅适用于同号两正数） 若 ：； 2. 解题步骤 作差法通用四步 (1)作差：计算 ； (2)变形：配方、因式分解、通分、有理化，化成易判断符号形式； (3)定号：结合已知条件判断差值正负； (4)结论：写出两式大小关系。 作商法四步 (1)先验证 ； (2)两式相除化简； (3)商与1比较； (4)推出原式大小。 3. 易错提醒 1.含有负数时直接用作商法，结论出错； 2.作差后不化简，无法判断正负； 3.带根式忘记保证式子为正，平方比较会产生增根。 题型训练 （1） 作差法比较大小 7．（2026高二·河北沧州·期末）已知，记，，则（   ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】C 【详解】由， 因为，所以，， 所以，即. 8．（2026高二·安徽芜湖·期末）记小明走路去学校的速度为，跑步去学校的速度为，方式一为一半的路程走路，一半的路程跑步，方式二为一半的时间走路，一半的时间跑步，则（    ） A．方式二比方式一先到学校 B．方式一比方式二先到学校 C．两种方式到学校的时间一样 D．无法确定哪种方式先到学校 【答案】A 【分析】利用作差法比较大小即可． 【详解】设方式一用时间为，方式二用时间为，小明到学校的距离为， 则，得到， 则，得到， 故方式二比方式一先到学校． 9．（2026高一·湖北武汉·期末）已知，，记，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 【答案】A 【分析】利用作差法可判断. 【详解】 因为，， 所以，. 所以，得，即. 10．（第06讲等式性质与不等式性质（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）已知非零实数，，用作差法比较讨论：与的大小关系. 【答案】当时，；当时，；当时，. 【详解】， 当时，，所以，即， 当时，，所以，即， 当时，，所以，即， 综上，当时，；当时，；当时，. 11．（2026高三·全国·专题练习）已知，，，判断M，N的关系? 【答案】当或时，； 当，中一个小于或等于1，另一个大于或等于1时，. 【详解】由. ①当时，，即； ②当时，，即； ③当，中一个小于或等于1，另一个大于或等于1时，，即. 综上所述，当或时，； 当，中一个小于或等于1，另一个大于或等于1时，. 12．试比较下列各数的大小，并说明理由： (1)与； (2)与． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）两数大小即为的大小，平方后可得它们的大小关系； （2）利用作商法结合分母有理化可得它们大小关系； 【详解】（1） 理由：， 由于，且 所以，即， 因此. （2） 理由： 因为，所以即得， 即，又， 故. 【点睛】比较含无理数的式子之间的大小关系适合用作差法或作商法. （2） 作商法比较大小 13．（2026高三·全国·一轮复习）设，，且，则和的大小关系是_________． 【答案】 【分析】由，，且，得到，再分和讨论求解. 【详解】因为，，且，所以， 当时，由，，可得，所以． 当时，由，，可得，所以． 综上可得，． 故答案为：． 14．（2026高一·云南玉溪·阶段检测）（1）比较大小：与； （2）设，比较与的大小. 【答案】（1）. （2）. 【分析】（1）利用作差法比较大小. （2）利用作商法比较大小. 【详解】（1） ， 因为，所以， 即. （2）由，得，，， 因此， 所以. 15．（2026高一·全国·课后作业）已知，试比较和的大小. 【答案】 【分析】方法1：采用作商比较法，结合分母有理化即可求解；方法2：先计算，从而可得，进而可求解. 【详解】（方法1）因为，所以. 所以. 因为，所以，即； （方法2）所以， 又， 所以 , 所以. 考点三 不等式的实际应用 策略方法 1. 核心逻辑 结合生活场景（运输、建材、采购、面积规划），用不等式组限定变量，求解可行方案并计算最优最值（成本、运费、面积）。 2. 解题步骤 (1)设未知数，梳理题目中的数量限制； (2)根据总量、容量、价格约束列出不等式组； (3)解不等式组，筛选符合实际的整数解； (4)建立目标函数（运费、成本、面积），代入可行解比较求出最优方案。 3. 易错提醒 1.物品数量、车厢节数忽略必须为正整数； 2.求最优方案时只解不等式，不代入计算对比； 3.混淆“至多”“至少”对应的不等号。 题型训练 16．（山东省菏泽市2025-2026学年高一学期11月期中考试数学试题（A））“双节”遇上亚运会，民宿成为潮流趋势．民宿的改造中，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好．现有一所地板面积为180平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为______平方米． 【答案】 【分析】根据已知条件列不等式，从而求得正确答案. 【详解】设改造前的窗户面积为，窗户增加的面积为，， 依题意，即， 所以改造前的窗户面积最大为平方米. 故答案为： 17．（2026高一·江苏连云港·期中）火车站有某公司待运的甲种货物，乙种货物.现计划用，两种型号的货厢共50节运送这批货物.已知甲种货物和乙种货物可装满一节型货厢，甲种货物和乙种货物可装满一节型货厢. (1)据此安排，两种货厢的节数，共有几种方案？ (2)若每节型货厢的运费是万元，每节型货厢的运费是万元，哪种方案的运费较少？ 【答案】(1)共有三种方案： 方案一，安排型货厢28节，型货厢22节； 方案二，安排型货厢29节，型货厢21节； 方案三，安排型货厢30节，型货厢20节. (2)安排型货厢30节，型货厢20节时运费最少 【分析】（1）根据不等关系列出相应不等式以及方程，解出型货厢的节数，可分为三种方案； （2）根据相应货厢的运费，得出方案三运费较少. 【详解】（1）设安排两种货厢分别为节，节， 则可列不等式组， 利用不等式即可解得， ，或，或. 共有三种方案： 方案一，安排型货厢28节，型货厢22节； 方案二，安排型货厢29节，型货厢21节； 方案三，安排型货厢30节，型货厢20节. （2）共有三种方案，运费分别为： 安排两种货厢分别为28节，22节，运费为万元 安排两种货厢分别为29节，21节，运费为万元. 安排两种货厢分别为30节，20节，运费为万元. 易知安排型货厢30节，型货厢20节时，运费最少，为31万元. 18．【多选】（2026高一·河北石家庄·阶段检测）火车站有某公司待运的甲种货物吨，乙种货物吨．现计划用、两种型号的货箱共节运送这批货物．已知吨甲种货物和吨乙种货物可装满一节型货箱，吨甲种货物和吨乙种货物可装满一节型货箱，据此安排、两种货箱的节数，下列哪些方案满足（    ） A．货箱节，货箱节 B．货箱节，货箱节 C．货箱节，货箱节 D．货箱节，货箱节 【答案】ABD 【分析】设安排种型号的车厢节，种型号的车厢节，根据题意列出、满足的约束条件，求出的取值范围，进而得出答案． 【详解】解：设安排种型号的车厢节，种型号的车厢节， 则，则，解得， ，解得，所以，， 则或或，共种方案． 故选：ABD． 19．（吉林省长春市实验中学2025-2026学年高一学期期中考试数学试题）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好. (1)若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米? (2)若同时增加相同的窗户和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了?请计算说明. 【答案】(1)； (2)变好，理由见详解. 【分析】（1）设该公寓窗户面积为，依题意列出不等式组求解可得. （2）记窗户面积为a和地板面积为b，同时增加的面积为c，表示出增加面积前后的比值作差比较即可作出判断. 【详解】（1）设该公寓窗户面积为，则地板面积为， 依题意，，解得， 所以这所公寓的窗户面积至少为. （2）记窗户面积为a、地板面积为b，同时增加的面积为c， 依题意，，增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为， 由，且， 得，因此, 所以同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果变好了. 考点四 由已知条件判断所给不等式是否正确 策略方法 1. 核心逻辑 依靠基础不等式性质推理；无法直接推导时，举特殊值反例快速排除错误选项。 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 2. 解题步骤 (1)熟记不等式性质，逐条核对选项变形是否满足条件； (2)正向推导：满足性质条件则不等式成立； (3)反向排除：取一组符合题干条件的特殊值代入，式子不成立直接排除； (4)多选项题综合两种方法验证。 3. 易错提醒 1.两边同乘负数忘记颠倒不等号； 2.随意相减、相除两个不等式； 3.忽略乘方、开方要求变量均为正数的前提。 题型训练 20．（2026高一·广西柳州·期末）已知，，，，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用举反例判断ACD，分和判断B. 【详解】对于A，当时，，A错误； 对于B，当时，由于，则， 当时，由于，则，B正确； 对于C，当时，，C错误； 对于D，当时，，D错误. 21．（2026高二·北京·期末）已知，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质，结合的条件逐一验证各选项的恒成立性. 【详解】选项A.已知，则， 已知，则. 因此，故A错误. 选项B.已知，则. 因为，则，故B正确. 选项C.由，所以，进而，故C错误. 选项D.取，左边，右边，，不等式不成立，故D错误. 22．（2026高二·浙江·学业考试）已知，则下列不等式正确的是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，则，则，故B正确，A错误； 因为，所以，故C错误； 因为，所以，故D错误. 23．（2026高三·全国·专题练习）若，，那么下列不等式中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 对于选项A：因为，所以，故A正确； 对于选项B：因为，，则，所以，故B正确； 对于选项C：因为，则，所以，故C正确； 对于选项D：可得，故D错误. 24．（2026高二·江西萍乡·期末）已知实数，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，因为，所以，故，A正确； 对于B，因为，所以，所以，B错误； 对于C，因为，所以，所以，C正确； 对于D，因为，所以， 故，所以，D正确. 25．【多选】（2026高二·山东临沂·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由可知，且. 选项A：因为在上单调递增，且，因此，A正确； 选项B：因为，所以，，因此，B错误； 选项C：由，可得，，由得，C正确； 选项D：变形不等式， 已知即，且即，因此乘积为负，不等式成立，D正确. 26．【多选】（2026高二·浙江温州·学业考试）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】已知，，则， ，故，A正确； ，则， ， ， ，故B正确； 取，满足，， 此时，即， 故不恒成立，故C错误； ，则， ， 则，故，故D正确． 考点五 利用不等式的性质判断命题的真假 策略方法 1. 核心逻辑 命题为真：严格符合不等式性质全部条件；命题为假：只需举出1组满足题干、但结论不成立的特殊值。 2. 解题步骤 (1)拆分命题条件与结论； (2)正向推导：看能否由条件推出结论； (3)举反例：找简单数字验证，找到反例直接判定为假命题； (4)多选题逐个验证，区分真假命题。 3. 易错提醒 1.弱化性质成立条件，凭空构造变形规则； 2.判断倒数关系忘记 的前提； 3.只正向推导，不举反例，误判假命题为真。 题型训练 27．（2026高一·湖北荆门·期末）已知，，为实数，则（     ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，都大于，则 D．若，，，则 【答案】A 【分析】根据不等式性质、作差法比较大小及基本不等式的应用逐一分析 【详解】对于A，因为，所以，故，可得，A对； 对于B，举特殊值，取，，则，与结论矛盾，B错； 对于C，作差得，若，则，反之，，C错； 对于D，举特殊值，取，，则，与结论矛盾，D错； 28．【多选】（2026高二·辽宁大连·期末）已知a，b，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】本题考查不等式的基本性质与幂函数单调性的应用，需结合性质或反例逐项判断命题正误。 【详解】选项A：举反例，取，，满足，但，因此A错误； 选项B：因为，且，所以，即，因此B正确； 选项C：函数在上单调递增，若，则必有，也可作差验证：，因此C正确； 选项D：由得，两边同乘负数时不等号方向改变，得，举反例：，，因此D错误. 29．（2026高一·福建宁德·阶段检测）下列运用等式或不等式的性质变形中，正确的是（    ） A．如果那么 B．如果那么 C．如果那么 D．如果，那么 【答案】B 【详解】对于A，若，则等式变形不成立；A错误； 对于B，若，则，， 所以，B正确； 对于C，时，满足，但，C错误； 对于D，， 因为，所以，但的符号不确定， 当时，，当时，，当时，，D错误. 30．【多选】（2026高一·江苏镇江·期末）下列不等式中成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【详解】对于A：当时， ，故A错误； 对于B：因为，则，故得，故B正确； 对于 C：若取，，满足， 因，，，显然不满足，故 C错误； 对于D：由，得且， 因，可得，故D正确. 考点六 不等式的性质与充分、必要条件 策略方法 1.核心逻辑 设条件、结论： 1.，：是充分不必要； 2.，：是必要不充分； 3.：充要条件； 利用不等式性质判断双向能否互相推出。 2.解题步骤 (1)判断充分性：条件成立时，结论是否一定成立；不成立举反例； (2)判断必要性：结论成立时，条件是否一定成立；不成立举反例； (3)结合两步结果，匹配充分/必要/充要/既不充分也不必要。 3.易错提醒 1.单向能推出就直接判定充要条件； 2.不等关系推导时忽略正负限制，推导错误。 题型训练 31．（2026高二·天津·期末）若，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】先利用不等式性质验证充分性成立，再举反例验证必要性不成立，即可判断结果. 【详解】验证充分性： 已知，根据不等式的基本性质， 对，两边同乘正数，得，即； 对，两边同乘正数，得，即. 综上可得，故充分性成立. 验证必要性：举反例：取，，此时，，，满足，但，不满足，故必要性不成立. 因此“”是“的”充分不必要条件. 32．（2026高二·上海·期末）已知实数 ，那么“”是“”的（     ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【详解】先判断充分性： ∵ 当，时，，满足， 此时，不满足， ∴ 由无法推出，充分性不成立. 再判断必要性： ∵ 若，则，同号， 根据绝对值的运算性质，同号两数和的绝对值等于绝对值的和，即恒成立， ∴ 由可推出，必要性成立. 综上，“”是“”的必要非充分条件. 33．（2026·安徽合肥·模拟预测）设，，则是的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义结合不等式的性质判断. 【详解】充分性：若，由不等式的性质可知成立， 必要性：若成立，但不一定成立， 例如：，成立，但不满足， 所以是的充分不必要条件. 34．（2026高二·天津河西·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用作差法根据不等式性质即可得充分性成立，取特殊值可知必要性不成立，可得出结论. 【详解】若，则，， 所以，即充分性成立， 令，则，，满足关系，但， 即必要性不成立； 故“”是“”的充分不必要条件. 35．（2026高三·江苏常州·期末）已知实数，则“”是“”的（   ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，不妨取,,此时,所以不能推出， 若等价于,因为，所以, 即能推出, 综上，“”是“”的必要且不充分条件， 故选：B 36．（2026高一·浙江·期中）设、、，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用不等式的基本性质、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，则，由不等式的基本性质可得， 即“”“”； 若，不妨取，，，则， 但，所以“”“”. 所以“”是“”的充分不必要条件. 37．（2026高一·河北保定·期中）设，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】D 【分析】由不等式的性质结合充分条件、必要条件的概念即可判断. 【详解】， ，若，则，所以不成立； 当时，，当时，，所以不成立． 因此，“”是“”的既不充分又不必要条件． 故选：D． 38．（2026高一·上海·期末）若，则“”是“”的（    ）条件. A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既不必要也不充分 【答案】C 【详解】充分性：由“”可得，但当时，，不满足“”， 因此充分性不成立； 必要性：由“”可得，所以，即，可知必要性成立； 因此“”是“”的必要非充分条件. 考点七 利用不等式的性质证明简单的不等式 策略方法 1. 核心逻辑 综合法：从已知大小关系出发，严格套用不等式性质逐步变形，推导出目标不等式，每一步变形都要有对应性质支撑。 2. 解题步骤 (1)整理题干给出的所有不等条件； (2)依据不等式对称性、传递性、可加可乘性质逐步推导； (3)同向不等式相加、正数同向相乘；乘除负数同步变号； (4)层层递推，直到得到要证明的式子。 3. 易错提醒 1.跳步推导，缺少性质依据； 2.乘除负数不改变不等号方向； 3.无正数前提直接使用乘方、开方性质。 题型训练 39．已知，求证:. 【答案】证明：方法一：因为，所以， 所以，所以， 所以， 即，所以， 又因为，所以. 方法二： 因为，所以， 所以，所以， 所以，因此. 【分析】利用不等式的性质及作差法比较，即可得到结论． 【详解】略. 40．（2026高二·全国·课后作业）已知均为正实数，且，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据不等式的基本性质，结合已知条件，利用作差法计算证明结论． 【详解】，， ， 又， ，故， ，，， ，即． 41．（2026高一·海南省直辖县级单位·期中）已知，. (1)求证：； (2)求证：. 【答案】(1) 由，则，故， 由，则，故， 所以，得证. (2) 由，而， 所以，即，得证. 【分析】（1）利用不等式的性质证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证. 【详解】（1）略 （2）略 42．（2026高一·甘肃兰州·期中）（1）比较与的大小； （2）已知，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）利用作差法比较大小； （2）根据，得到，再由，根据不等式的性质可得，从而得证. 【详解】（1）因为 ， 所以； （2）因为，所以， 又，所以，得证. 43．（2026高一·天津河北·阶段检测）（1）设，．试比较与的大小． （2）已知，，．求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）根据题意，利用作差比较法，即可求解； （2）根据题意，利用不等式的基本性质，即可得证. 【详解】（1）解：由，， 则， 因为，可得，所以； （2）证明：因为，可得， 又因为，所以，所以， 因为，所以. 考点八 利用不等式的性质求范围 策略方法 利用不等式的性质求取值范围的策略 (1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围． (2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围． 注意：求解这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围． 题型训练 44．（2026高二·上海·期末）已知，，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】利用不等式的性质来确定的取值范围. 【详解】，，又因为， ，即． 45．（2026高一·黑龙江大庆·阶段检测）已知， (1)求的取值范围； (2)比较两个代数式的大小：与． 【答案】(1) (2) 【详解】（1），， ， ； （2）， ． 46．（2026高一·广西河池·期中）已知，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，而，则. 47．（2026高二·北京朝阳·阶段检测）已知实数． (1)若，则的取值范围； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用不等式性质求出范围. （2）将用表示出，再利用不等式的性质求出范围. 【详解】（1）由，得， 当时，，则，即， 当时，，因此， 所以的取值范围是. （2）依题意，， 由，得， 则，所以的取值范围是. 48．（2026高三·山西·阶段检测）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简，再应用不等式性质计算求解. 【详解】原式的分子和分母同时除以，得， 由条件得，，所以，即， 所以， 所以，则则的取值范围是. 故选：D. 49．（2026高一·陕西渭南·阶段检测）已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将用和表示出来，再根据已知不等式利用性质求出的取值范围. 【详解】设，则， 所以，解得， 即， ， 则， 因此. 故选：D. 50．（2026高一·内蒙古锡林郭勒·期末）已知，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质依次讨论各选项即可得出判断. 【详解】因为，， 所以，，， ， 故A选项错误，C选项正确； 所以，，故BD选项错误； 故选：C 51．【多选】（2026高三·云南楚雄·期中）已知，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质逐项分析判断. 【详解】对于A，由，得，而，则，A错误； 对于B，由，得，而，则，B正确； 对于C，由，得，而，则，C错误； 对于D，由，得；由，得，则， 因此，即，D正确. 故选：BD $