第06讲 等式性质与不等式性质（知识详解+5典例精讲+课后作业）-2026年新高一数学暑假预习讲义（人教A版必修第一册）

第06 等式性质与不等式性质（知识详解+5典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：用不等式(组)表示不等关系 知识点02：作差法比较大小 知识点03：重要不等式 知识点04：等式性质与不等式的性质 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：用不等式表示不等关系 题型02：作差法比较代数式的大小 题型03：由不等式的性质比较数(式)大小 题型04：由已知条件判断所给不等式是否正确 题型05：由不等式的性质证明不等式 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】用不等式(组)表示不等关系 常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 注意点： (1)仔细审题，注意同一个题目的单位是否一致． (2)用适当的不等号连接． (3)多个不等关系用不等式组表示． 【例1】用不等式或不等式组表示下列不等关系： （1）的三倍不小于5；（2）介于1和8之间（不含边界）；（3）正数至多为4。 【知识点02】作差法比较大小 基本事实 依据 a>b⇔a－b>0； a＝b⇔a－b＝0； a<b⇔a－b<0 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 注意点： (1)利用作差法比较大小，只需判断差的符号，通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式． (2)对于两个正值，也可采用作商的方法，比较商与1的大小． (3)对于某些问题也可以采用取中间值的方法比较大小． 【例2】用作差法比较与的大小。 【知识点03】重要不等式 一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立． 【例3】利用重要不等式证明：对任意实数，，并说明等号成立条件。 【知识点04】等式性质与不等式的性质 不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 注意点： 1. 倒数不等式必须保证两数同号ab>0，异号不能使用; 1. 两个负数，数值越小，倒数反而越大 1. 不能直接由a>b草率得到 1. 证明倒数不等式的通用方法:两边同时除以正数ab，不等号保持不变 【例4】已知 ，，利用不等式性质证明：。 【题型01】用不等式表示不等关系 【典例1-1】（25-26高一上·安徽合肥·期中）某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高一·全国·寒假作业）（多选）下面列出的几种不等关系中，正确的是（    ） A．x与2的和是非负数，可表示为“” B．小明的体重为x，小华的体重为y，则小明比小华轻可表示为“” C．的两边之和大于第三边，记三边分别为a，b，c，则可表示为“且且” D．若某天的最低温度为，最高温度为，则这天的温度t可表示为“” 【变式1-2】（24-25高一上·广东佛山·期中）甲去水果店里买水果，店老板说店里只有一个两边臂长不相等的天平．店老板分别将水果放在天平两端各称一次，获得两个重量：（单位：）．店老板提议按作为真实的重量进行付款，请问该提议是否对甲有利？__________（填是/否）．水果的真实重量与老板提议的重量之差为__________． 【变式1-3】（25-26高一上·江苏·期中）某车工计划在15天里加工零件408个，最初三天中，每天加工24个，则以后平均每天至少需加工多少个零件，才能在规定的时间内超额完成任务？列出解决此问题需要构建的不等关系式. 【题型02】作差法比较代数式的大小 【典例2-1】（2025高一上·全国·专题练习）已知实数满足，，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高一上·甘肃陇南·阶段检测）设，，，，则、的大小关系为______． 【变式2-2】（24-25高一上·广西河池·期中）比较与的大小. 【变式2-3】（26-27高一·全国·暑假作业）已知非零实数，，用作差法比较讨论：与的大小关系. 【题型03】由不等式的性质比较数(式)大小 【典例3-1】（25-26高一下·海南省直辖县级单位·阶段检测）“”是“且”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-1】（25-26高一上·天津滨海新区·期末）如果，，那么________（用不等号“>”或“<”填空）. 【变式3-2】（24-25高一上·安徽合肥·阶段检测）已知，，，则与的大小关系为_________. 【变式3-3】（25-26高一上·全国·课堂例题）若，，，比较与的值的大小，并说明理由. 【题型04】由已知条件判断所给不等式是否正确 【典例4-1】（25-26高一上·福建泉州·期中）如果，那么下列式子中正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高一下·浙江·期中）设、、，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4-2】（25-26高一上·浙江金华·期末）已知非零实数、、，则下列选项中一定成立的是（    ） A． B．若，则 C． D．若，则 【变式4-3】（24-25高一上·广西河池·期中）（多选）给出下列不等式，其中错误的是（   ） A．若，则； B．若，则； C．若，则； D．若，则. 【题型05】由不等式的性质证明不等式 【典例5-1】（2024高一上·全国·专题练习）若，，证明：． 【变式5-1】（2024高一上·全国·专题练习）已知，且，求证： 【变式5-2】（24-25高一上·甘肃兰州·期中）（1）比较与的大小； （2）已知，求证：. 【变式5-3】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）（1）比较与的大小； （2）已知均为正实数，且，求证：； 知识点01不等关系的表示 通过文字语义转化为不等式（组），是数学建模基础。 常用语义转换： 至少、不小于 ；至多、不大于 大于、超过 ；小于、不足 取值在两数之间 双向不等式 知识点02 作差法比较大小（通用方法） 适用范围：任意两个实数、代数式大小比较，高中最基础、最通用的比较方法。 判定依据： 标准解题四步骤：作差→变形（配方、因式分解、通分）→判号→下结论。 知识点03重要不等式（必考基础结论） 对任意实数，恒有： 等号成立条件：当且仅当 时取等号。 推导核心：由平方非负性 展开移项得到，是基本不等式的前置核心公式。 知识点04等式与不等式的核心性质 （1）等式基本性质 对称性： 传递性： 可加性： 可乘性： 可除性： （2）不等式七大核心性质 对称性： 传递性： 可加性： 可乘性：； 同向可加： 同向正可乘： 可乘方（拓展）： 知识点05高频简约易错点 ① 不等式两边乘除负数，忘记反转不等号（最高频易错）； ② 混淆等式与不等式性质，随意使用异向相加、负数相乘； ③ 重要不等式忽略等号成立条件，解题漏条件扣分； ④ 作差变形不彻底，无法准确判断差值正负； ⑤ 文字转不等式时，混淆至多、至少、不大于、不小于的符号。 一、单选题 1．（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测）某厂日生产文具盒的总成本（元）与日产量（套）之间的关系为．而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（　　） A．5000套 B．6000套 C．3000套 D．4000套 2．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知是非零实数，且是任意实数，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·四川成都·期中）已知，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．与有关 4．（25-26高一上·湖北孝感·期末）下列命题是假命题的为（    ） A．若，，则 B．若且，则 C．若，则 D．若，则 5．（25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．（25-26高一下·浙江·期中）给出下列命题，其中是真命题的是（    ） A．若,则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 8．（23-24高一上·陕西西安·阶段检测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）已知均为实数，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若， D．若，则 10．（25-26高一下·四川成都·期中）已知，，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·河北石家庄·阶段检测）火车站有某公司待运的甲种货物吨，乙种货物吨．现计划用、两种型号的货箱共节运送这批货物．已知吨甲种货物和吨乙种货物可装满一节型货箱，吨甲种货物和吨乙种货物可装满一节型货箱，据此安排、两种货箱的节数，下列哪些方案满足（    ） A．货箱节，货箱节 B．货箱节，货箱节 C．货箱节，货箱节 D．货箱节，货箱节 三、填空题 12．（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）已知，则___________．（填“>”或“<”） 13．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知a，，则下列选项中能使成立的是________，能使成立的是________（填上正确的序号）． ①    ②    ③   ④ 14．（24-25高一上·福建漳州·阶段检测）有外表一样、重量不同的四个小球甲、乙、丙、丁，它们的重量分别是a，b，c，d，已知，，，则这四个小球中最重的是________，最轻的是________． 四、解答题 15．（2024高一上·全国·专题练习）某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的型汽车和型汽车，根据需要，型汽车至少买5辆，型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式（组）. 16．（2025高一上·全国·专题练习）已知均为正实数，且，求证：． 17．（25-26高一上·陕西汉中·阶段检测）（1）已知，求证：； （2）已知且，比较和的大小． 18．（24-25高一上·广东中山·阶段检测）设正有理数是的一个近似值，令，求证： (1)介于与之间； (2)比更接近于． 19．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知（）克糖水中含有（）克糖，向杯中再添加（）克糖（全部溶解），糖水变甜了.这其中蕴含着著名的“糖水不等式”. (1)请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立； (2)已知，，是三角形的三边，求证：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 等式性质与不等式性质 （知识详解+5典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：用不等式(组)表示不等关系 知识点02：作差法比较大小 知识点03：重要不等式 知识点04：等式性质与不等式的性质 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：用不等式表示不等关系 题型02：作差法比较代数式的大小 题型03：由不等式的性质比较数(式)大小 题型04：由已知条件判断所给不等式是否正确 题型05：由不等式的性质证明不等式 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】用不等式(组)表示不等关系 常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 注意点： (1)仔细审题，注意同一个题目的单位是否一致． (2)用适当的不等号连接． (3)多个不等关系用不等式组表示． 【例1】用不等式或不等式组表示下列不等关系： （1）的三倍不小于5；（2）介于1和8之间（不含边界）；（3）正数至多为4。 解：（1）“三倍”为，“不小于”即大于等于： （2）介于1和8之间，即大于1且小于8： （3）为正数且至多为4，列不等式组： 答案：（1）；（2）；（3） 【知识点02】作差法比较大小 基本事实 依据 a>b⇔a－b>0； a＝b⇔a－b＝0； a<b⇔a－b<0 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 注意点： (1)利用作差法比较大小，只需判断差的符号，通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式． (2)对于两个正值，也可采用作商的方法，比较商与1的大小． (3)对于某些问题也可以采用取中间值的方法比较大小． 【例2】用作差法比较与的大小。 解：第一步：作差 第二步：配方变形 第三步：判断正负由平方非负性可知： 因此 第四步：得出结论 答案： 【知识点03】重要不等式 一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立． 【例3】利用重要不等式证明：对任意实数，，并说明等号成立条件。 解：由实数平方的非负性可知：任意实数的平方恒大于等于0，即： 将左侧完全平方展开： 移项整理可得： 当且仅当 ，即 时，不等式取等号。 结论：重要不等式恒成立，等号成立条件为。 【知识点04】等式性质与不等式的性质 不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 注意点： （1） 倒数不等式必须保证两数同号ab>0，异号不能使用; （2） 两个负数，数值越小，倒数反而越大 （3） 不能直接由a>b草率得到 （4） 证明倒数不等式的通用方法:两边同时除以正数ab，不等号保持不变 【例4】已知 ，，利用不等式性质证明：。 解：1. 根据不等式可乘性：不等式两边同时乘以负数，不等号方向改变 已知 ，，可得： 2. 根据不等式可加性：不等式两边同时加同一个实数，不等号方向不变 两边同时加上，得： 结论：原式得证。 【题型01】用不等式表示不等关系 【典例1-1】（25-26高一上·安徽合肥·期中）某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意计算每段耗时，相加即可求解. 【详解】由题意汽车所用时间加上动车所用时间小于1小时， 即． 故选：D． 【变式1-1】（24-25高一·全国·寒假作业）（多选）下面列出的几种不等关系中，正确的是（    ） A．x与2的和是非负数，可表示为“” B．小明的体重为x，小华的体重为y，则小明比小华轻可表示为“” C．的两边之和大于第三边，记三边分别为a，b，c，则可表示为“且且” D．若某天的最低温度为，最高温度为，则这天的温度t可表示为“” 【答案】CD 【分析】根据已知结合不等式与不等关系逐个选项判断即可. 【详解】对于A，x与2的和是非负数，应表示为“”，故A错误； 对于B，小明比小华轻，应表示为“”，故B错误； 对于C，的两边之和大于第三边，记三边分别为a，b，c， 则可表示为“且且”，C正确； 对于D，若某天的最低温度为，最高温度为，则这天的温度t可表示为“”，D正确. 故选：CD 【变式1-2】（24-25高一上·广东佛山·期中）甲去水果店里买水果，店老板说店里只有一个两边臂长不相等的天平．店老板分别将水果放在天平两端各称一次，获得两个重量：（单位：）．店老板提议按作为真实的重量进行付款，请问该提议是否对甲有利？__________（填是/否）．水果的真实重量与老板提议的重量之差为__________． 【答案】 否 【分析】根据天平的原理求得真实重量后比较可得. 【详解】设水果实际重量为 ，天平两边臂长分别为， 则有，两式相乘得，所以， ，因此用算术平均值作为真实的重量进行付款，该提议对甲不利， 水果的真实重量与老板提议的重量之差为 故答案为：否；. 【变式1-3】（25-26高一上·江苏·期中）某车工计划在15天里加工零件408个，最初三天中，每天加工24个，则以后平均每天至少需加工多少个零件，才能在规定的时间内超额完成任务？列出解决此问题需要构建的不等关系式. 【答案】 【分析】设该车工3天后平均每天需加工个零件，由前3天加工的零件个数与后12天加工的零件个数和大于总个数即得． 【详解】设该车工3天后平均每天需加工个零件，加工天共加工个零件， 15天里共加工个零件， 因为在规定的时间内超额完成任务， 则． 故不等关系表示为． 【题型02】作差法比较代数式的大小 【典例2-1】（2025高一上·全国·专题练习）已知实数满足，，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差比较法求解. 【详解】， 所以，当时，, 将题中两式作差得，即. 因为，所以， 所以， 选择:A 【变式2-1】（25-26高一上·甘肃陇南·阶段检测）设，，，，则、的大小关系为______． 【答案】 【分析】利用作差法可得出、的大小关系. 【详解】因为，，所以 ， 当且仅当时，等号成立，故. 故答案为：. 【变式2-2】（24-25高一上·广西河池·期中）比较与的大小. 【答案】 【详解】 . 【变式2-3】（26-27高一·全国·暑假作业）已知非零实数，，用作差法比较讨论：与的大小关系. 【答案】当时，；当时，；当时，. 【详解】， 当时，，所以，即， 当时，，所以，即， 当时，，所以，即， 综上，当时，；当时，；当时，. 【题型03】由不等式的性质比较数(式)大小 【典例3-1】（25-26高一下·海南省直辖县级单位·阶段检测）“”是“且”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用不等式的性质验证推出关系，不满足的可以举反例. 【详解】取，满足，但不满足“，” 故且； 反过来，若且，则， 即且. 故“”是“且”的必要不充分条件. 【变式3-1】（25-26高一上·天津滨海新区·期末）如果，，那么________（用不等号“>”或“<”填空）. 【答案】> 【分析】根据不等式的性质比较大小即可得解. 【详解】因为，所以， 因为，， 所以， 故答案为： 【变式3-2】（24-25高一上·安徽合肥·阶段检测）已知，，，则与的大小关系为_________. 【答案】 【分析】根据已知条件，利用不等式的性质进行比较大小即可. 【详解】由，， 则， 则， 又， 则. 故答案为： 【变式3-3】（25-26高一上·全国·课堂例题）若，，，比较与的值的大小，并说明理由. 【答案】，理由见解析. 【分析】利用不等式的基本性质，直接判断两式的大小关系. 【详解】，理由如下： 由得：. 因为，所以 所以. 又因为，所以. 【题型04】由已知条件判断所给不等式是否正确 【典例4-1】（25-26高一上·福建泉州·期中）如果，那么下列式子中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，又因为所以， 故A错误； 因为，所以， 故B错误； 因为，由糖水不等式得，故C正确； 因为，所以，因此，又因为，所以，故D错误.故选C 【变式4-1】（25-26高一下·浙江·期中）设、、，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用不等式的基本性质、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，则，由不等式的基本性质可得， 即“”“”； 若，不妨取，，，则， 但，所以“”“”. 所以“”是“”的充分不必要条件. 【变式4-2】（25-26高一上·浙江金华·期末）已知非零实数、、，则下列选项中一定成立的是（    ） A． B．若，则 C． D．若，则 【答案】B 【分析】利用不等式的基本性质可判断B选项；利用特殊值法可判断ACD选项. 【详解】对于A选项，不妨取，，则，A错； 对于B选项，因为，则，即，由不等式的基本性质得，B对； 对于C选项，不妨取，，则，C错； 对于D选项，不妨取，，，则，D错. 故选：B. 【变式4-3】（24-25高一上·广西河池·期中）（多选）给出下列不等式，其中错误的是（   ） A．若，则； B．若，则； C．若，则； D．若，则. 【答案】ACD 【详解】选项A：取反例：令 ，，此时 ，满足 ，但  ，与结论矛盾，因此该不等式错误. 选项B：根据不等式的基本性质可得 ，该结论恒成立，因此该不等式正确. 选项C：当 时，；当 时， ，因此该不等式错误.. 选项D：取反例：令 ，，，，满足 的条件， 但 ，，此时 ，与结论矛盾，因此该不等式错误. 【题型05】由不等式的性质证明不等式 【典例5-1】（2024高一上·全国·专题练习）若，，证明：． 【答案】证明见解析 【分析】根据不等式的性质利用综合法即可证明． 【详解】∵，∴， 又∵，∴， ∴，则有：， 又∵， ∴． 【变式5-1】（2024高一上·全国·专题练习）已知，且，求证： 【答案】证明见解析． 【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，结合综合法，即可得证. 【详解】因为，且，可得，， 所以， 所以，可得， 又因为， 所以， 所以，所以， 因为，由不等式的性质，可得，故． 【变式5-2】（24-25高一上·甘肃兰州·期中）（1）比较与的大小； （2）已知，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）利用作差法比较大小； （2）根据，得到，再由，根据不等式的性质可得，从而得证. 【详解】（1）因为 ， 所以； （2）因为，所以， 又，所以，得证. 【变式5-3】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）（1）比较与的大小； （2）已知均为正实数，且，求证：； 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）经过适当变形，结合不等式的性质即可求解； （2）由作差法比较大小即可. 【详解】（1），， ， 所以， （2）证明：因为，则， 又因为，所以 所以，. 知识点01不等关系的表示 通过文字语义转化为不等式（组），是数学建模基础。 常用语义转换： 至少、不小于 ；至多、不大于 大于、超过 ；小于、不足 取值在两数之间 双向不等式 知识点02 作差法比较大小（通用方法） 适用范围：任意两个实数、代数式大小比较，高中最基础、最通用的比较方法。 判定依据： 标准解题四步骤：作差→变形（配方、因式分解、通分）→判号→下结论。 知识点03重要不等式（必考基础结论） 对任意实数，恒有： 等号成立条件：当且仅当 时取等号。 推导核心：由平方非负性 展开移项得到，是基本不等式的前置核心公式。 知识点04等式与不等式的核心性质 （1）等式基本性质 对称性： 传递性： 可加性： 可乘性： 可除性： （2）不等式七大核心性质 对称性： 传递性： 可加性： 可乘性：； 同向可加： 同向正可乘： 可乘方（拓展）： 知识点05高频简约易错点 ① 不等式两边乘除负数，忘记反转不等号（最高频易错）； ② 混淆等式与不等式性质，随意使用异向相加、负数相乘； ③ 重要不等式忽略等号成立条件，解题漏条件扣分； ④ 作差变形不彻底，无法准确判断差值正负； ⑤ 文字转不等式时，混淆至多、至少、不大于、不小于的符号。 一、单选题 1．（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测）某厂日生产文具盒的总成本（元）与日产量（套）之间的关系为．而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（　　） A．5000套 B．6000套 C．3000套 D．4000套 【答案】A 【分析】根据题意可得不等式，代入解不等式即可. 【详解】由题意可得：，解得， 所以要使该厂不亏本，至少日生产文具盒5000套. 故选：A. 2．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知是非零实数，且是任意实数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】ACD选项举反例说明，B选项根据作差法说明. 【详解】对于A，不妨取，此时，即A错误； 对于B，由题意可知，所以，因此，即B正确； 对于C，当时，，可得C错误； 对于D，当时，可得，即D错误． 故选：B 3．（25-26高一下·四川成都·期中）已知，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．与有关 【答案】A 【详解】，故 4．（25-26高一上·湖北孝感·期末）下列命题是假命题的为（    ） A．若，，则 B．若且，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据不等式的性质逐项验证即可求解. 【详解】对于A：由，所以，故A正确； 对于B：由，得，所以，又，所以，故B正确； 对于C：当时，，故C错误； 对于D：由，所以，所以，故D正确. 5．（25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据不等式的性质及利用特例对各项进行判断，从而求解． 【详解】对于A项：因为：，所以得：， 又因为：，所以得：，故A项错误； 对于B项：令，所以得：，但，故B项错误； 对于C项：若，则，所以C选项错误； 对于D项：由，得：， 所以得：，故D项正确. 故选：D. 6．（25-26高一下·浙江·期中）给出下列命题，其中是真命题的是（    ） A．若,则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】选项A：. 又，即，即，错误. 选项B：当时，满足，，错误. 选项C：当时，，错误. 选项D：， 代入，原式.正确. 7．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】C 【分析】由不等式的性质及特例逐项判断即可. 【详解】选项A，取，，，，满足条件，但，A错误； 选项B，当，时，满足，但，B错误； 选项C，当时，有，， ， 则，所以，C正确； 选项D，且，则，， 则，得，D错误. 8．（23-24高一上·陕西西安·阶段检测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于选项A根据题干用作差法比较大小，对于B，C，D均用取特殊值验证的方法验证即可. 【详解】对于A，，因为，所以，所以即，故选项A正确. 对于B，，取，，，，则，故选项B错误. 对于C，，取，，，，则，故选项C错误. 对于D，，取，，则，故选项D错误. 故选：A. 二、多选题 9．（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）已知均为实数，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若， D．若，则 【答案】AD 【分析】利用不等式的性质，逐项验证即可求解. 【详解】由，所以，所以，故A正确； 令，所以，得，故B错误； 当时，，故C错误； 由，又，，所以，即，故D正确. 10．（25-26高一下·四川成都·期中）已知，，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据不等式的性质及特值法逐项分析判断即可. 【详解】对于A：，，则，故，A正确. 对于B：当，，，时，，故B错误. 对于 C：因为，所以，所以，C正确. 对于D：当，，，时，，，故，D错误. 11．（24-25高一上·河北石家庄·阶段检测）火车站有某公司待运的甲种货物吨，乙种货物吨．现计划用、两种型号的货箱共节运送这批货物．已知吨甲种货物和吨乙种货物可装满一节型货箱，吨甲种货物和吨乙种货物可装满一节型货箱，据此安排、两种货箱的节数，下列哪些方案满足（    ） A．货箱节，货箱节 B．货箱节，货箱节 C．货箱节，货箱节 D．货箱节，货箱节 【答案】ABD 【分析】设安排种型号的车厢节，种型号的车厢节，根据题意列出、满足的约束条件，求出的取值范围，进而得出答案． 【详解】解：设安排种型号的车厢节，种型号的车厢节， 则，则，解得， ，解得，所以，， 则或或，共种方案． 故选：ABD． 三、填空题 12．（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）已知，则___________．（填“>”或“<”） 【答案】 【分析】作差法比较大小即可. 【详解】， 所以， 故答案为：. 13．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知a，，则下列选项中能使成立的是________，能使成立的是________（填上正确的序号）． ①    ②    ③   ④ 【答案】 ①④ ②④ 【分析】由不等式的性质逐一判断即可求解. 【详解】①得， ④得， 故能使成立的是①④； ，则， 由②故，由④， 故，故能使成立的是②④． 故答案为：①④，②④. 14．（24-25高一上·福建漳州·阶段检测）有外表一样、重量不同的四个小球甲、乙、丙、丁，它们的重量分别是a，b，c，d，已知，，，则这四个小球中最重的是________，最轻的是________． 【答案】 丁 丙 【分析】利用不等式的性质来化简证明即可. 【详解】由，，可得， 再由，代入，可得：， 再由，因为，所以，即， 所以四个小球中最重的是丁，最轻的是丙， 故答案为：丁，丙. 四、解答题 15．（2024高一上·全国·专题练习）某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的型汽车和型汽车，根据需要，型汽车至少买5辆，型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式（组）. 【答案】 【分析】设购买型汽车和型汽车分别为辆，辆，再根据题意列出不等式组即可. 【详解】设购买型汽车和型汽车分别为辆，辆， 根据题意可得. 16．（2025高一上·全国·专题练习）已知均为正实数，且，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据不等式的基本性质，结合已知条件，利用作差法计算证明结论． 【详解】 ，， ， 又 ， ，故， ，，， ，即． 17．（25-26高一上·陕西汉中·阶段检测）（1）已知，求证：； （2）已知且，比较和的大小． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）作差后配方即可比较大小； （2）作差后通分、因式分解即可比较大小. 【详解】（1）因为， 所以． （2）因为且， 所以 所以． 18．（24-25高一上·广东中山·阶段检测）设正有理数是的一个近似值，令，求证： (1)介于与之间； (2)比更接近于． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用作差法对式子进行化简，判断符号即可得出结果. （2）化简，判断式子的符号即可得出结果. 【详解】（1）证明：， 因为若，则，又，则； 若，则，又，则， 所以介于与之间． （2）， 因为，，， 所以， 所以， 所以比更接近于． 19．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知（）克糖水中含有（）克糖，向杯中再添加（）克糖（全部溶解），糖水变甜了.这其中蕴含着著名的“糖水不等式”. (1)请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立； (2)已知，，是三角形的三边，求证：. 【答案】(1)，证明见解析； (2)证明见解析 【分析】（1）写出“糖水不等式”，再利用作差证明即得； （2）利用“糖水不等式”，结合不等式的性质推理得证. 【详解】（1）“糖水不等式”为：实数，则， 由，得， 所以. （2）由（1）及，，是三角形的三边，得，则， 同理， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $