第06讲 等式性质与不等式性质--2026年暑假新高一数学衔接讲义（人教A版）

第06讲 等式性质与不等式性质 1.掌握等式的基本性质，能熟练运用性质进行等式变形、解方程。 2.理解实数大小比较的基本方法，掌握不等式的八大基本性质。 3.能准确运用不等式性质进行变形、证明简单不等关系，规避性质使用易错点。 4.区分等式与不等式性质的异同，掌握不等式双向、单向变形的核心规则 一、基本事实 两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b. 依据 a>b⇔a－b>0. a＝b⇔a－b＝0. a<b⇔a－b<0 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 二、等式的基本性质 1．如果a＝b，那么b＝a. 2．如果a＝b，b＝c，那么a＝c. 3．如果a＝b，那么a±c＝b±c. 4．如果a＝b，那么ac＝bc. 5．如果a＝b，c≠0，那么＝. 三、不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 考点一、用不等式变式不等关系 例1　(1)下列说法正确的是（    ） A．某人的月收入元不高于元可表示为“” B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“” C．变量不小于可表示为“” D．变量不超过可表示为“” (2)（多选）某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润.已知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件.若把提价后商品的售价设为x元，用x表示每天的利润不低于300元的不等关系为______. 跟踪训练1　(1)火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨．现计划用A，B两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知35吨甲种货物和15吨乙种货物可装满一节A型货箱，25吨甲种货物和35吨乙种货物可装满一节B型货箱，据此安排A，B两种货箱的节数，下列哪个方案不满足：（    ） A．A货箱28节，B货箱22节 B．A货箱29节，B货箱21节 C．A货箱31节，B货箱19节 D．A货箱30节，B货箱20节 （2）用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的｡已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，请从这个实事中提炼出一个不等式组是________. 考点二、利用作差法与作商法比较代数式的大小关系 例2　(1)已知，记，，则（   ） A． B． C． D．以上都有可能 (2)比较下列两式大小. (1)与； (2)时，与. 跟踪训练2　(1)，，，则，，，由大到小的顺序是________． (2)（1）比较与的大小； （2）设，比较与的大小. 考点三、利用不等式的性质比较数（式）的大小 例3　(1)已知，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． (2)（多选）已知a，b，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 跟踪训练3 (1)（多选）下列命题中错误的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 （2）学校组织高一、高二学生参观甲、乙两地博物馆，每位学生可自主选择一处前往．已知高一学生总人数多于高二学生总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数，则（     ） A．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高一学生人数 B．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高二学生人数 C．去甲地的高一学生人数不多于去乙地的高二学生人数 D．去乙地的高二学生人数不少于去甲地的高二学生人数 考点四、利用不等式的性质证明不等式 例4 (1)已知，求证:. (2)（1）已知 ，求证：； （2）已知，求证： ． 跟踪训练4 (1)已知，求证：． (2)已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：. 考点五、利用不等式的性质求取值范围 例5 (1)已知，则的范围是（    ） A． B． C． D． (2)（1）设，，求，，的范围. （2）已知，求的取值范围. 跟踪训练5 （1）已知实数，满足，，则的范围是____________ （2）已知. (1)求，的取值范围； (2)若将条件变为“”，求的范围. 一、单选题 1．限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是（    ） A． B． C． D． 2．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．设，若，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 4．已知，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．与有关 5．记小明走路去学校的速度为，跑步去学校的速度为，方式一为一半的路程走路，一半的路程跑步，方式二为一半的时间走路，一半的时间跑步，则（    ） A．方式二比方式一先到学校 B．方式一比方式二先到学校 C．两种方式到学校的时间一样 D．无法确定哪种方式先到学校 6．设，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．下列命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．已知，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．设，，，，则、的大小关系为______． 10．已知，记为，三个数中最大的数，则的最小值为___________． 四、解答题 11．已知， (1)求的取值范围； (2)比较两个代数式的大小：与． 12．（1）已知，，，求证：； （2）证明：． 13．已知，． (1)求y的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 14．对于四个正数，如果，那么称是的“下位序列”. (1)对于，试问是否为的“下位序列”，请说明理由； (2)设均为正数，且是的“下位序列”，试判断：之间的大小关系，并说明理由； 15.两次购买同一种物品，通常有两种不同的策略． 策略①不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量相同； 策略②不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的金额相同； 已知某人两次购买同一种物品，第一次、第二次购买时的价格分别为，设采用策略①时，两次购买的数量均为；采用策略②时，两次购买的金额均为． (1)若，请计算策略①购买的产品总量以及购买产品使用的总金额，以及策略②购买的产品总量以及购买产品使用的总金额． (2)请问，采用哪种策略更经济？说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 等式性质与不等式性质 1.掌握等式的基本性质，能熟练运用性质进行等式变形、解方程。 2.理解实数大小比较的基本方法，掌握不等式的八大基本性质。 3.能准确运用不等式性质进行变形、证明简单不等关系，规避性质使用易错点。 4.区分等式与不等式性质的异同，掌握不等式双向、单向变形的核心规则 一、基本事实 两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b. 依据 a>b⇔a－b>0. a＝b⇔a－b＝0. a<b⇔a－b<0 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 二、等式的基本性质 1．如果a＝b，那么b＝a. 2．如果a＝b，b＝c，那么a＝c. 3．如果a＝b，那么a±c＝b±c. 4．如果a＝b，那么ac＝bc. 5．如果a＝b，c≠0，那么＝. 三、不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 考点一、用不等式变式不等关系 例1　(1)下列说法正确的是（    ） A．某人的月收入元不高于元可表示为“” B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“” C．变量不小于可表示为“” D．变量不超过可表示为“” 【答案】C 【分析】利用不等式表示不等关系逐个选项判断即可. 【详解】对于A，某人的月收入元不高于元可表示为“”，A错误； 对于B，小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“”，B错误； 对于C，变量不小于可表示为“”，C正确； 对于D，变量不超过可表示为“”，D错误. 故选：C. (2)（多选）某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润.已知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件.若把提价后商品的售价设为x元，用x表示每天的利润不低于300元的不等关系为______. 【答案】 【详解】提价后商品的售价为元，则提高了元，销售量减少了件， 则利润为元（）， 则，化简得. 销售量为非负，结合提价要求得， 故. 跟踪训练1　(1)火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨．现计划用A，B两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知35吨甲种货物和15吨乙种货物可装满一节A型货箱，25吨甲种货物和35吨乙种货物可装满一节B型货箱，据此安排A，B两种货箱的节数，下列哪个方案不满足：（    ） A．A货箱28节，B货箱22节 B．A货箱29节，B货箱21节 C．A货箱31节，B货箱19节 D．A货箱30节，B货箱20节 【答案】C 【分析】设A、B货箱分别有x，y节，则，结合已知判断各选项是否能够装运所有货物即可． 【详解】设A、B货箱分别有x，y节，则， A：共50节且，，满足； B：共50节且，，满足； C：共50节且，，不满足； D：共50节且，，满足； 故选：C. （2）用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的｡已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，请从这个实事中提炼出一个不等式组是________. 【答案】 【分析】先根据条件列三次进入木板部分的铁钉长度，再根据受击3次后全部进入木板列不等式组. 【详解】不妨设钉长为1，则第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是， 第二次受击后进入木板部分的铁钉长度是第一次受击后进入木板部分的铁钉长度的为，第三次受击后进入木板部分的铁钉长度是第二次受击后进入木板部分的铁钉长度的为， 因为钉受击3次后全部进入木板，所以 即 故答案为： 考点二、利用作差法与作商法比较代数式的大小关系 例2　(1)已知，记，，则（   ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】C 【详解】由， 因为，所以，， 所以，即. (2)比较下列两式大小. (1)与； (2)时，与. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用作差比较两式大小； （2）利用作商比较两式大小 【详解】（1）因为，所以 （2）当时，因为，所以 跟踪训练2　(1)，，，则，，，由大到小的顺序是________． 【答案】 【分析】根据题意，利用作差法判断即可. 【详解】已知，，，则，，，， 由于，所以， 由于，所以， 所以， 综上，. (2)（1）比较与的大小； （2）设，比较与的大小. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用作差法比较大小. （2）利用作商法比较大小. 【详解】（1）， 所以. （2）由，得，，， 因此， 所以. 考点三、利用不等式的性质比较数（式）的大小 例3　(1)已知，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 对于A，，则，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，则，故C正确； 对于D，，则，所以，故D正确． (2)（多选）已知a，b，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】本题考查不等式的基本性质与幂函数单调性的应用，需结合性质或反例逐项判断命题正误。 【详解】选项A：举反例，取，，满足，但，因此A错误； 选项B：因为，且，所以，即，因此B正确； 选项C：函数在上单调递增，若，则必有，也可作差验证：，因此C正确； 选项D：由得，两边同乘负数时不等号方向改变，得，举反例：，，因此D错误. 跟踪训练3 (1)（多选）下列命题中错误的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BCD 【详解】对于A，由，，得或，则，故A正确； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，当时，满足，，而，故C错误； 对于D，当时，满足，，而，故D错误. （2）学校组织高一、高二学生参观甲、乙两地博物馆，每位学生可自主选择一处前往．已知高一学生总人数多于高二学生总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数，则（     ） A．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高一学生人数 B．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高二学生人数 C．去甲地的高一学生人数不多于去乙地的高二学生人数 D．去乙地的高二学生人数不少于去甲地的高二学生人数 【答案】B 【分析】设出高一、高二去甲、乙地的人数，根据题目条件建立不等关系，即可得出结论. 【详解】由题意，设高一学生去甲地的人数为，去乙地的人数为， 高二学生去甲地的人数为，去乙地的人数为， ∴高一总人数：，高二总人数，前往甲地的学生人数：，前往乙地的学生人数：， ∵高一总人数多于高二总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数， ∴，由不等式的性质，两侧分别相加并化简得， ∴高一学生去甲地的人数多于高二学生去乙地的人数，故B正确，A，C，D均错误. 考点四、利用不等式的性质证明不等式 例4 (1)已知，求证:. 【答案】证明：方法一：因为，所以， 所以，所以， 所以， 即，所以， 又因为，所以. 方法二： 因为，所以， 所以，所以， 所以，因此. (2)（1）已知 ，求证：； （2）已知，求证： ． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）对平方比较即可； （2）作差得，再根据，得到，即可证明． 【详解】（1），且，所以且，即； （2）， 因为，所以，，即， 所以，即． 跟踪训练4 (1)已知，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，即可得证. 【详解】证明：因为，所以，，， 所以， 所以，即， 所以． (2)已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：. 【答案】(1)，证明： 由题意，可得不等式. 证明：由， 因为，可得， 所以，即. (2) (3) 证明：因为， 根据（1）中的结论，可得， 同向不等式相加可得，①， 又由，同理可得， 则，② 综合①②，得. 【分析】（1）根据题意，得到不等式，结合作差比较法，即可得证； （2）根据题意，化简，利用上述结论，即可求解； （3）由（1）中的结论，得到，证得，再由， ，,由即可得证. 【详解】（1）略 （2）由， 由（1）中的结论，可得，即. （3）略 考点五、利用不等式的性质求取值范围 例5 (1)已知，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出的范围，再结合不等式性质可求的范围. 【详解】因为，所以， 当时，，即， 当时，，即， 综上可知， 故选：B. (2)（1）设，，求，，的范围. （2）已知，求的取值范围. 【答案】（1），，；（2） 【分析】（1）根据不等式的基本性质，先求出与的范围，再由可乘性得出的范围即可； （2）利用待定系数法设，得到方程组，解出，再根据不等式基本性质即可得到答案. 【详解】（1）因为，， 所以，，，， 所以，， 所以. 故，，． （2）设， 则，解得， 故， 由得， 由得， 所以. 跟踪训练5 （1）已知实数，满足，，则的范围是____________ 【答案】 【分析】由待定系数可得，利用不等式的可加性结合题设条件即可求的范围. 【详解】由题意，实数a，b满足，， 令，即 可得，解得， 所以， 则 ，， 所以. 故答案为：. （2）已知. (1)求，的取值范围； (2)若将条件变为“”，求的范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用不等式的性质和齐次化可求的取值范围； （2）利用待定系数法结合不等式的性质可求的范围. 【详解】（1）因为，所以，所以； 因为，所以，∴，，即 所以， （2）令，所以， 所以，则，所以. 因为，所以， 所以. 一、单选题 1．限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由限速40km/h，可知汽车的速度v小于或等于40km/h，即. 2．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件及不等式的性质求解. 【详解】因为，所以，故充分性成立； 当，时，不等式成立，但，故必要性不成立． 综上，“”是“”的充分不必要条件． 3．设，若，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，故. 选项A，若，则，. 若，易知，错误. 选项B，同理，若，则，. 若，易知，故，错误. 选项C，若，则. 若，易知，故，正确. 选项D，因为，所以，即，错误. 4．已知，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．与有关 【答案】A 【详解】，故 5．记小明走路去学校的速度为，跑步去学校的速度为，方式一为一半的路程走路，一半的路程跑步，方式二为一半的时间走路，一半的时间跑步，则（    ） A．方式二比方式一先到学校 B．方式一比方式二先到学校 C．两种方式到学校的时间一样 D．无法确定哪种方式先到学校 【答案】A 【分析】利用作差法比较大小即可． 【详解】设方式一用时间为，方式二用时间为，小明到学校的距离为， 则，得到， 则，得到， 故方式二比方式一先到学校． 6．设，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不妨设，再利用不等式性质进行变形即可. 【详解】由于表达式具有轮换对称性，不妨设， 则， ，，，的每一项都除以，不等号方向不变， ，， ，，，的每一项都除以，不等号方向不变， ，， ，将两个同向不等式相加，不等号方向不变， ， ， ， ， ，，，， ，，， ，，， ，， ，， ，，， ， ， . 的最大值是. 故选：A. 二、多选题 7．下列命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】CD 【详解】对于选项A：若，则，可得，故为假命题； 对于选项B：例如，但，故为假命题； 对于选项C：若，则，可得，故为真命题； 对于选项D：若，则，故为真命题. 8．已知，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，由，，得，则，故A正确； 对于B，由，，得，则，故B正确； 对于C，由，，得，则，故C错误； 对于D，由，，得，，则，故D正确. 三、填空题 9．设，，，，则、的大小关系为______． 【答案】 【分析】利用作差法可得出、的大小关系. 【详解】因为，，所以 ， 当且仅当时，等号成立，故. 故答案为：. 10．已知，记为，三个数中最大的数，则的最小值为___________． 【答案】2 【分析】使用不等式将问题转化为，再验证等号成立条件. 【详解】由题可知，，则，， 因为，所以，即，解得， 当且仅当，时，等号成立， 当时，，，， 故的最小值为2. 四、解答题 11．已知， (1)求的取值范围； (2)比较两个代数式的大小：与． 【答案】(1) (2) 【详解】（1），， ， ； （2）， ． 12．（1）已知，，，求证：； （2）证明：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【详解】（1）因为，所以．又，所以，则，所以，即．又，所以． （2）要证，只需证，即证，即证，即证，即证，显然成立，所以． 13．已知，． (1)求y的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过待定系数法将表示为与的线性组合，分别求出各部分范围后相加； （2）由已知求出的取值范围，再与的范围相乘得到结果； （3）将表示为与的线性组合，求出范围后再相加. 【详解】（1）设，则， 所以，解得， 所以． 因为，所以．① 因为，所以．② ①＋②得，，所以． （2）∵，，∴，∴， 所以． （3）设，则， 所以，解得 所以． 因为，所以．③ 因为，所以． ④ ③＋④得，，所以． 14．对于四个正数，如果，那么称是的“下位序列”. (1)对于，试问是否为的“下位序列”，请说明理由； (2)设均为正数，且是的“下位序列”，试判断：之间的大小关系，并说明理由； 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）根据新定义，代入计算判断即可； （2）根据新定义得到，再利用不等式的性质，结合作差法判断即可. 【详解】（1）由于，即，不满足“下位序列”的概念，所以不是“下位序列”. （2）均为正数，由是的“下位序列”，得，即， 则，即， ，即， 所以. 15.两次购买同一种物品，通常有两种不同的策略． 策略①不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量相同； 策略②不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的金额相同； 已知某人两次购买同一种物品，第一次、第二次购买时的价格分别为，设采用策略①时，两次购买的数量均为；采用策略②时，两次购买的金额均为． (1)若，请计算策略①购买的产品总量以及购买产品使用的总金额，以及策略②购买的产品总量以及购买产品使用的总金额． (2)请问，采用哪种策略更经济？说明理由． 【答案】(1)采用策略①购买的产品总量为，总金额为；策略②购买的产品总量为，总金额为 (2)采用策略②比采用策略①更经济,理由如下： 采用策略①，两次购买物品的数量均为m，则两次的平均价格为； 采用策略②，两次购买的金额均为n，购买物品的数量为， 则两次平均价格为， 因为，，于是， 当时，两次购买的平均价格相等，采用策略①与采用策略②一样经济； 当时，，采用策略②比采用策略①更经济． 【分析】（1）代入数值计算，直观对比两种策略采购数据； （2）通用推导平均价格，作差比较大小判断经济性，再分情况讨论得出结论． 【详解】（1）因为，，，， 采用策略①，两次购买物品的数量均为，且第一次、第二次购买的价格分别为，， 则采用策略①购买的产品总量为，总金额为； 采用策略②，两次购买的金额均为，其中第一次、第二次购买的价格分别为，，则策略②购买的产品总量为，总金额为． （2）略 学科网（北京）股份有限公司 $