四川省广安加德学校2025-2026学年高二（领航班）上学期10月月考数学试题

广安加德学校2025—2026学年度上学期高2024级1班第一次月考 数学试卷 考试时长：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 过，两点的直线倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，已知点，若点与点关于平面对称，则（ ） A. B. C. D. 3. 若两平行直线与之间的距离是，则（ ） A. B. C. 12 D. 14 4. 下列试验中是古典概型的是（ ） A. 在适宜的条件下，种下一粒大豆，观察它是否发芽 B. 口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球 C. 向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点都是等可能的 D. 射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环 5. 在平行六面体中，点为棱的中点，点为棱上靠近的三等分点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，直线l：，则A到l的距离的最大值为（ ） A. 3 B. C. D. 5 7. 某学校组织学生开展环保知识测试活动，现把100名学生的成绩绘制成了如图所示的频率分布直方图，根据图中数据得（ ） A. ，此样本数据的66%分位数为82.5 B. ，此样本数据的66%分位数为82.5 C. ，此样本数据的66%分位数为85 D. ，此样本数据的66%分位数为85 8. 三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，，直线AC与BD所成角为，则三棱锥外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选错或不选对0分． 9. 已知直线，直线，下列说法正确的是（ ） A. 直线在轴上的截距等于直线在轴上的截距 B. 若点在直线上，则点也在直线上 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知是一个随机试验中的三个事件，则下列结论一定正确的是（ ） A. 若事件两两互斥，则 B. 若事件相互独立，则与也相互独立 C. 若，，则事件相互独立与互斥能同时成立 D. 若两两独立，则 11. 在棱长为2的正方体中，点P满足，且，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则平面 B. 若，则 C. 若，则P到平面的距离为 D. 若，时，直线与平面所成角为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则__________. 13. 已知点在直线上，则的最小值为__________ 14. 已知正数a，b，c，d互不相等，若数据a，b，c的方差和数据b，c，d的方差相等，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，满分77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的三个顶点的坐标为，，．求： （1）点D的坐标，使四边形ABCD是平行四边形； （2）点C关于直线AB对称点的坐标； （3）求的面积． 16. 为探究某药物对小白鼠的生长抑制作用，将生长情况相同的80只小白鼠随机均分为两组：对照组（不添加药物）和实验组（添加药物），饲养相同时间后，分别测量这两组小白鼠的体重增加量（单位：g），这些小白鼠的体重增加量都在内，按照，，，，，分组，得到如下频率分布直方图. （1）估计对照组小白鼠体重增加量的平均数（每组以该组所在区间的中点值为代表）及中位数； （2）求a的值及实验组中体重增加量不大于20g的小白鼠的只数； （3）现从实验组和对照组中各随机抓取1只小白鼠，用事件A表示“所取2只小白鼠体重增加量均超过20g”，事件B表示“2只小白鼠仅有1只体重增加量不超过25g”，求，，并判断A，B是否相互独立. 17. 如图1，在四边形中，，，，如图2，把沿折起，使点到达点处，且平面平面，为的中点. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值； （3）判断线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18. 某种质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别标有数字0，1，2，3，将这个玩具抛掷次，记第次抛掷后玩具与桌面接触的面上所标的数字为. （1）分别计算事件“”和“”的概率； （2），令.记是3的倍数的概率为； ①求； ②试推导与之间的关系. 19. 已知与轴分别相交于，过点的直线交圆于． （1）当时，求直线的方程； （2）当的面积取得最大值时，将圆沿轴折成直二面角，如图，在上半圆上是否存在一点，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由； （3）在圆上任取一点，过作轴的垂线段，为垂足，当在圆上运动时，线段 的中点的轨迹记为曲线，曲线与直线交于，直线与直线相交于，在定直线上，直线与直线相交于，在定直线上，判断直线，的位置关系，并注明． 广安加德学校2025—2026学年度上学期高2024级1班第一次月考 数学试卷 考试时长：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选错或不选对0分． 【9题答案】 【答案】BD 【10题答案】 【答案】AB 【11题答案】 【答案】AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】4 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，满分77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2） （3）3 【16题答案】 【答案】（1）平均数为19，中位数为20 （2）24 （3），，A，B不相互独立. 【17题答案】 【答案】（1）证明：在图1中，由，，得，则， 所以，由，得，即， 在图2中，，取的中点，连接，由为的中点， 得，则，由，得，而， 平面，则平面，又平面，所以. （2） （3）线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为，且 【18题答案】 【答案】（1） （2）①；；② 【19题答案】 【答案】（1） （2）存在，理由如下， 易知直线的斜率不为0，设，即， 由（1），，，又， 化简得， 令，则， ，又 ， 故最大时，由对勾函数的单调性可得，故此时 ， 建立空间直角坐标系，如图，则，，， ，， 设平面的法向量为，则，即， 取，则， 设，其中，则，， 设平面的法向量为，则，即， 取，易得， ，解得，， （3） 设， 联立，化简得， ， ， ， 设，， 联立，得， 又，代入得， 即点在定直线上， 易得， 联立，化简得， 设，则， 所以，同理，在定直线上， 所以与重合. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $