精品解析：湖南省岳阳市岳阳经济技术开发区平地中学2021-2022学年九年级下学期 数学学科知识竞赛试卷

2022年学科知识竞赛试卷 九年级数学 （时量：90分钟 满分：100分） 一、选择题（本题共5个小题，每个小题6分，满分30分） 1. 若，其中，则的值为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 2. 从-3，-2，-1，1，2，3这六个数中，随机抽取一个数记作，使关于的分式方程有整数解，且使关于的方程有实数解，则符合条件的的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，在（1）DC•AB＝AC•BC；（2）；（3）；（4）AC+BC＞CD+AB中正确的个数是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 4. 如图，在中，，，，若是边上的动点，则的最小值（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD＝12 m，塔影长DE＝18 m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为(　　) A. 24m B. 22m C. 20m D. 18m 二、填空题（本题共5个小题，每个小题6分，满分30分） 6. 如图，点在反比例函数的图像上，点C，D分别是x轴、y轴上的动点（C，D不同时与原点重合），则四边形的周长的最小值为______． 7. 已知等腰三角形中，，，的长是关于的方程的两个实数根，则的值为_____． 8. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有_____（填序号）． ①方程是“倍根方程”； ②若是“倍根方程”，则； ③若满足，则关于x的方程是“倍根方程”； ④若方程是“倍根方程”，则必有． 9. 如图，正内接于正方形，其中，，分别在边，，上，若，则__________． 10. 在平面坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为，延长交轴于点，作正方形，延长交轴于点，作正方形，按这样的规律进行下去，第个正方形的面积为__________． 三、解答题（本题共三个小题，分别为12分，12分，16分） 11. 已知直线上点，过点作轴交轴于点，交双曲线于点，过点作轴交轴于点，交双曲线于点，若是的中点，且四边形的面积为． （1）求的值； （2）若，是双曲线第一象限上的任一点，求证：为常数. （3）现在双曲线上选一处建一座码头，向，，，两地转运货物，经测算，从到，从到修建公路的费用都是每单位长度万元，则码头应建在何处，才能使修建两条公路的总费用最低？提示：利用的结论转化) 12. 等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度做直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S． （1）求出S关于t的函数关系式； （2）当点P运动几秒时，S△PCQ=S△ABC？ （3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论． 13. 在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣kx﹣2k（k为常数）的顶点为N． （1）如图，若此抛物线过点A（3，﹣1），求抛物线的函数表达式； （2）在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B， ①求∠ABO的度数； ②连接AB，点P为线段AB上不与点A，B重合的一个动点，过点P作轴交抛物线在第四象限部分于点C，交y轴于点D，连接PN，当△BPN∽△BNA时，线段CD的长为　 　． （3）无论k取何值，抛物线都过定点H，点M的坐标为（2，0），当∠MHN=90°时，请直接写出k的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年学科知识竞赛试卷 九年级数学 （时量：90分钟 满分：100分） 一、选择题（本题共5个小题，每个小题6分，满分30分） 1. 若，其中，则的值为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对已知等式左边因式分解，得到与的数量关系，代入分式计算，即可解答． 【详解】解：左边因式分解，得； ∵， ∴，， ∴或， 解得：或； 当时，， ∴； 当时，， ∴． 2. 从-3，-2，-1，1，2，3这六个数中，随机抽取一个数记作，使关于的分式方程有整数解，且使关于的方程有实数解，则符合条件的的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】首先求解分式方程，并结合题意以及增根问题进行的初步判断，然后再结合整式方程有实数解，讨论的范围，最后综合两部分内容进行求解即可． 【详解】解：∵的分式方程有整数解， ∴， ∵是整数， ∴； ∵分式方程有意义， ∴或2， ∴， ∴， ∵关于的方程有实数解， ∴当时，该方程为一元一次方程，有实数解，符合题意； 当时，，解得：； ∴或， ∴使关于的分式方程有整数解，且使关于的方程有实数解的值为–2， 故选：B． 【点睛】本题考查含参分式方程以及一元二次方程含参讨论问题，掌握分式方程的定义与解法，以及一元二次方程的定义是解题关键． 3. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，在（1）DC•AB＝AC•BC；（2）；（3）；（4）AC+BC＞CD+AB中正确的个数是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】（1）根据题意可以得到△ACD∽△ABC，然后用相似三角形的对应边的比相等证明其成立． （2）用射影定理得到，，代入等式可以证明其成立． （3）根据射影定理有：AC2=AD•AB，BC2=BD•AB，然后由△ACD∽△CBD，得到CD2=AD•BD，代入等式可以证明其成立， （4）根据三角形三边的关系，只能得到AC+BC>AB，不能把三角形的高代进去比较大小． 【详解】解：（1）根据直角三角形斜边上的高分直角三角形所得的两个三角形与原三角形相似，有：△ACD∽△ABC， ∴AC：AB＝DC：BC， ∴DC•AB＝AC•BC．所以（1）正确． （2）由射影定理有：，， ∴，所以（2）正确． （3）∵，， 又△ACD∽△CBD，∴ 所以（3）正确． （4）根据三角形两边之和大于第三边，只能得到AC+BC＞AB，不能得到AC+BC＞AB+CD．所以（4）不正确． 故选：B． 【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质、三角形三边关系，解题关键在于掌握相似三角形的判定. 4. 如图，在中，，，，若是边上的动点，则的最小值（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作点A关于BC的对称点A'，连接AA', A'D,过D作DE⊥AC于E，易得2DE = CD，AD= A'D，从而得出AD+ DE = A'D+ DE，当A'，D, E在同一直线上时，AD + DE的最小值等于A' E的长是3，进而求出2AD十CD的最小值． 【详解】如图所示，作点A关于BC的对称点A',连接AA', A'D,过D作DE⊥AC于E ∵∠BAC = 90o，∠B = 60o，AB= 2 ∴BH=1,AH=,AA'=2，∠C= 30o ∴DE =CD,即2DE = CD ∵A与A'关于BC对称 ∴AD= A'D ∴AD+ DE = A'D+ DE ∴当A'，D, E在同一直线上时 AD + DE的最小值等于A' E的长, 在Rt△AA' E中：A' E= sin60o×AA'=×2= 3 ∴AD十DE的最小值为3 ∴2AD十CD的最小值为6 故选B 【点睛】本题主要考查了三角形的动点最值问题，做完辅助线后先求出AD + DE的最小值是解题关键． 5. 如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD＝12 m，塔影长DE＝18 m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为(　　) A. 24m B. 22m C. 20m D. 18m 【答案】A 【解析】 【分析】过点D构造矩形，把塔高的影长分解为平地上的BD，斜坡上的DE．然后根据影长的比分别求得AG，GB长，把它们相加即可． 【详解】解：过D作DF⊥CD，交AE于点F，过F作FG⊥AB，垂足为G． 由题意得：． ∴DF=DE×1.6÷2=14.4（m）． ∴GF=BD=CD=6m． 又∵． ∴AG=1.6×6=9.6（m）． ∴AB=14.4+9.6=24（m）． 答：铁塔的高度为24m． 故选A． 二、填空题（本题共5个小题，每个小题6分，满分30分） 6. 如图，点在反比例函数的图像上，点C，D分别是x轴、y轴上的动点（C，D不同时与原点重合），则四边形的周长的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出，再作A点关于y轴的对称点P，B点关于x轴的对称点Q，根据对称的性质得到，，PQ分别交x轴、y轴于C点、D点，根据两点之间线段最短，此时四边形的周长最小，然后利用两点间的距离公式求解可得． 【详解】∵点在反比例函数的图像上， ∴，， ∴ 如图，作A点关于y轴的对称点P，B点关于x轴的对称点Q， ∴，， 连接分别交x轴、y轴于C点、D点， ∴四边形的周长 ∴当点P，D，C，Q四点共线时，四边形的周长最小，即的长度 ∴． ∴四边形的周长的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，轴对称性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征、熟练运用两点之间线段最短解决有关几何图形周长最短的问题是解题的关键． 7. 已知等腰三角形中，，，的长是关于的方程的两个实数根，则的值为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】应分两种情况进行讨论，分别利用根与系数的关系、三角形三边关系定理求得方程的两个根，进而求得答案． 【详解】解：∵关于x的方程， ∴，，， ∴，， ∵是等腰三角形，、的长是关于x的方程的两根， ∴①当为底时，则、均为等腰三角形的腰，有且， ∴，此时等腰三角形的三边分别为、、，根据三角形三边关系定理可知可以构成三角形，则； ②当为腰时，则、中一个为腰一个为底，有，即，此时等腰三角形的三边分别为、、，根据三角形三边关系定理可知可以构成三角形，则． ∴综上所述，的值为或． 8. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有_____（填序号）． ①方程是“倍根方程”； ②若是“倍根方程”，则； ③若满足，则关于x的方程是“倍根方程”； ④若方程是“倍根方程”，则必有． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】①求出方程的根，再判断是否为“倍根方程”； ②根据“倍根方程”和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m，n之间的关系； ③当满足时，有，求出两个根，再根据代入可得两个根之间的关系，讲而判断是否为“倍根方程”； ④用求根公式求出两个根，当或时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可． 【详解】①解方程，得， ， 方程不是“倍根方程”．故①不正确； ②是“倍根方程”，且， 因此或． 当时，， 当时，， ，故②正确； ③， ， ， ， 因此是“倍根方程”，故③正确； ④方程的根为， 若，则， 即， ， ， ， ， ， 若，则， ， ， ， ， ．故④正确， 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查了解一元二次方程以及一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键． 9. 如图，正内接于正方形，其中，，分别在边，，上，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】过作于，设，，，利用勾股定理、等边三角形的性质表示出，在中，利用勾股定理列方程求解，最终得到的值． 【详解】解：设，，， 如图所示，过作于，则． ， 解得，即， 故． 10. 在平面坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为，延长交轴于点，作正方形，延长交轴于点，作正方形，按这样的规律进行下去，第个正方形的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由点和点的坐标即可求得与的长，然后由勾股定理即可求得的长，继而求得正方形的面积，再利用相似可求得正方形的面积，观察可得规律，最终得到第个正方形的面积． 【详解】解：设正方形的面积为，，…，． 点的坐标为，点的坐标为， ，． 在中，， 正方形的面积． 四边形是正方形， ，． ，， ． ， ， ，即，解得． ， 正方形的面积． 同理可得正方形的面积， 第个正方形的面积为． 三、解答题（本题共三个小题，分别为12分，12分，16分） 11. 已知直线上点，过点作轴交轴于点，交双曲线于点，过点作轴交轴于点，交双曲线于点，若是的中点，且四边形的面积为． （1）求的值； （2）若，是双曲线第一象限上的任一点，求证：为常数. （3）现在双曲线上选一处建一座码头，向，，，两地转运货物，经测算，从到，从到修建公路的费用都是每单位长度万元，则码头应建在何处，才能使修建两条公路的总费用最低？提示：利用的结论转化) 【答案】（1） （2） 证明：由（1）得， ∴， 设， 则 ， 即为常数 （3）点在连线与双曲线的交点上 【解析】 【分析】（1）设，则，根据，即可求解； （2）由（1）得，设，，根据两点距离公式，整理得出，即可求解． （3）由知，从而得，当点在连线与双曲线的交点上时，取得最小值，据此可得． 【小问1详解】 解：设，则， ∴， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（）知， ， ， 则当点在连线与双曲线的交点上时，取得最小值， ， ， 最低总费用为万元． 【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，因式分解的应用，熟练掌握待定系数法求解析式及两点间的距离公式、两点间线段最短是解题的关键． 12. 等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度做直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S． （1）求出S关于t的函数关系式； （2）当点P运动几秒时，S△PCQ=S△ABC？ （3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论． 【答案】（1）S=（t<10），（t>10）； （2）； （3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变 证明：过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M 在Rt△APE和Rt△QCM中 ∵∠A=45°，∠QCM=∠ACB=45° ∴∠A=∠QCM ∵AP=QC=t, ∠QMC=∠AEP=90° ∴△APE≌△QCM ∴AE=PE=CM=QM=t， ∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半 又∵EM=AC=10 ∴DE=5 ∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变 同理，当点P在点B右侧时，DE=5 综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变． 【解析】 【分析】（1）由题可以看出P沿AB向右运动，Q沿BC向上运动，且速度都为1cm/s，S=QC×PB，所以求出QC、PB与t的关系式就可得出S与t的关系， (2)根据s△ABC=AB•BC＝50，设P运动的时间为t秒，分别分析当t＜10秒时，以及当t＞10秒时得出t的值即可； (3) 根据当t＜10秒时，P在线段AB上，得出△APE≌△QCF，以及当t＞10秒时，P在线段AB的延长线上，得出DE的长． 【详解】解：（1）当t＜10秒时，P在线段AB上，如图1，此时CQ=t，PB=10-t S△PCQ=CQ•PB． ∴s=×t×(10−t)=(10t−t2) 当t＞10秒时，P在线段AB得延长线上如图2，此时CQ=t，PB=t-10 S△PCQ=CQ•PB． ∴s=×t×(t−10)=(t2−10t) （2）∵S△ABC=AB•BC=50 ∴当t＜10秒时，S△PCQ=(10t−t2)=50 整理得t2-10t+100=0无解 当t＞10秒时，S△PCQ=(t2−10t)=50 整理得t2-10t-100=0解得x=5±5（舍去负值） ∴当点P运动5+5秒时，S△PCQ=S△ABC. （3） 略 13. 在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣kx﹣2k（k为常数）的顶点为N． （1）如图，若此抛物线过点A（3，﹣1），求抛物线的函数表达式； （2）在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B， ①求∠ABO的度数； ②连接AB，点P为线段AB上不与点A，B重合的一个动点，过点P作轴交抛物线在第四象限部分于点C，交y轴于点D，连接PN，当△BPN∽△BNA时，线段CD的长为　 　． （3）无论k取何值，抛物线都过定点H，点M的坐标为（2，0），当∠MHN=90°时，请直接写出k的值． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣4 （2）①45°；②1+ （3）-6 【解析】 【分析】（1）将点A的坐标代入y＝x2﹣kx﹣2k，即可求解； （2）①求出B点的坐标，即可求解；②由△BPN∽△BNA，得到，求出，可得点，即可求解； （3）证明∠NHG＝∠HMO，则tan∠NHG＝tan∠HMO，即，，解得k＝﹣4或﹣6，即可求解． 【小问1详解】 解：将点A的坐标代入y＝x2﹣kx﹣2k， 解得：k＝2， 故抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣4； 【小问2详解】 解：①对于y＝x2﹣2x﹣4，令x＝0，则，则点 而点A（3，﹣1），如图，过作于 ∠ABO＝45°； ②由抛物线的表达式知，y＝x2﹣2x﹣4，则点， 由点可得： ∵△BPN∽△BNA， ∴，即， 由①知，∠ABO＝45°，而轴， ， 当时，即x2﹣2x﹣4＝， 解得（舍去负根）， 故CD的长为， 故答案为1+； 【小问3详解】 解：y＝x2﹣kx﹣2k＝x2﹣k（x+2）， 当x＝﹣2时，y＝x2﹣kx﹣2k＝4，即点 如图，过点H作y轴的平行线交过点N与x轴的平行线于点G， 由抛物线的表达式知，y＝x2﹣kx﹣2k ∵∠NHG+∠MHG＝90°，∠MHG+∠HMO＝90°， ∴∠NHG＝∠HMO， ∴tan∠NHG＝tan∠HMO，即， ∴，解得k＝﹣4或﹣6，经检验都是原方程的根， 当k＝﹣4时，点N的坐标为，与重合，故舍去k＝﹣4， 故k＝﹣6． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，相似三角形的性质、解直角三角形等，灵活应用以上知识解题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $