专题01 三角形中的线与角的六类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 聚焦三角形线与角六类题型，以解题通法为纲，题型归纳为目，构建“特征-方法-变式”三阶训练体系，强化几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1模块|内角和/外角定理、中线倍长、角平分线+平行出等腰等核心解法|从线角性质到综合应用，构建“概念-原理-易错点”逻辑链| |六类题型|每题型1典例+3变式|题型模版含特征（如中线求面积）与方法（如倍长构造全等）|按“三边关系-中线-高线-角平分线-折叠-内外角”递进，线角关联紧密| |压轴挑战|12题|综合应用与拓展迁移|融合多知识点，提升复杂问题解决能力，对接中考命题趋势|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01三角形中的线与角的六类综合题型 目 录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夺实解题根基 题型一、利用三角形中的三边关系化简 题型二、利用三角形中的中线求解 题型三、利用三角形中的高线求解 题型四、利用三角形中的角平分线求解 题型五、利用三角形中的折叠求解 题型六、利用三角形中的内外角关系求解 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 夙通法通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型特征：涉及角平分线、中线、高线、中垂线及内角和、外角定理，常与平行线、折叠结合求角度或 线段长。 解题方法：利用内角和180°、外角等于不相邻两内角和；角平分线+平行出等腰；中线倍长构造全等： 高线注意直角三角形分拆：中垂线转化等距。 -易错提醒：外角定理误用为相邻外角：高线可能在三角形外部（钝角三角形）；角平分线性质定理需对 应比例线段；忽视“三角形三边关系”隐含条件。 夙题型归纳一精讲臭型题法，寿尖解题报基 题型一、利用三角形中的三边关系化简 典例1.(25-26八年级上：陕西延安期末)已知a、b、c分别是△ABC的三边长，化简： 1/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 la+b-c-a-c-bl 题型模版 1.特征：利用两边之和大于第三边等性质，判断线段能否构成三角形或进行范围限定。 2方法：根据三角形三边关系列出不等式组，消去绝对值或化简含绝对值的代数式，确定变量范围。 变式1-1.(25-26八年级上·贵州安顺阶段检测)已知△ABC的三边长是4，b,c. (1)若a=6,b=8,求c的取值范围： (②化简a+h-+le-a-b 变式1-2.(25-26八年级上安徽期末)已知△ABC的三边长分别为a,b,c. 化简：a-b-d-2b-c-a+la+b-d (2)若a=6,b=3,且c为整数，求△ABC周长的最大值及最小值. 变式1-3.(25-26八年级上全国期末)已知△ABC的三边长为a,b,c,且a,b,c都是整数. (①)若a=2,b=5,且c为奇数，求△ABC的周长. (②化简：a-c+b-b-c-a-la+b+d 题型二、利用三角形中的中线求解 典例2.(25-26七年级下山西临汾期末)如图，CD、CE分别是△ABC的高和中线，若AC=5Cm, BC=12cm,AB=13cm,∠ACB=90° D (I)求CD的长 (2)求△BCE与△ACE的周长差 题型模版 1特征：己知三角形中线长度或位置，求边长、面积或角度，常涉及倍长中线构造全等。 2/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2方法：倍长中线构造平行四边形或全等三角形，利用全等性质及勾股定理建立边角关系求解。 变式2-1.(25-26七年级下·北京期末)如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线， D (1)若△ABD的周长比△ACD的周长大4，AB+AC=14,则AC= (2)若△ABC的面积为17，则△ACD的面积为 (3)若BC=6,AD=4,则△ABC的面积的最大值为 变式2-2.(25-26七年级下江苏南通期末)【课本再现】 八年级上册课本上有一道题：如图1，在△ABC中，AB=2,BC=4,则△ABC的高AD与CE的比是多少？ B D D (图1) (图2) (图3) (1)请解答上述问题： 【问题探究】 爱思考的小东做完这道题后发现三角形的面积与边长之间存在一定的数量关系，他提出了以下猜想：如图 2若aABC中，D是边BC上的点，则SAC CD (2)你认为小东的猜想正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由： 【拓展应用】 (3)如图3，△ABC中，D,E分别是边BC,AC上的点，AD与BE交于点O.若BD=CD,AE=2CE, AO 请直接写出AD的值， 变式2-3.(25-26七年级下四川资阳期末)综合实践： 定义：三角形三条中线的交点叫三角形的重心. 发现：如图①，将一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处悬吊起来，发现纸板处于水平状 3/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 态 探究：关于三角形的重心还有哪些性质呢？ 图① 图② 图③ 图④ ①如图②，HD是△HBC的中线，则△BD与△ACD 的面积关系为： SABD S.D(填、<或）： (2)如图③，点G是△ABC的重心，猜想△BFG与△CEG的面积之间的关系，并说明理由； (3)如图③，点G是△ABC的重心，三条中线AD、BE、CF分别交BC、AC、AB于点D、E、F,求 DG AG的值； (4)如图④，点G是△ABC的重心，且BD⊥CE,若BD=6,CE=4,求四边形AEGD的面积. 题型三、利用三角形中的高线求解 典例3.(25-26七年级下·河南郑州：阶段检测)如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3cm, BC=4cm,AB=5cm. B (I)点A到直线BC的距离是垂线段 的长度，该长度是 cm (2)画出表示点C到直线AB的距离的线段，并求这个距离. 题型模版 1特征：己知三角形高线（或垂足位置），求边长、面积或角度，常涉及直角三角形与勾股定理。 2方法：利用高线构造直角三角形，结合已知边角与勾股定理（或面积法），列方程求解未知量。 变式3-1.(25-26七年级下内蒙古包头期末)如图，AD、BE分别是△ABC的高线、中线，若SM=8 BC=8,则高线AD长为— 4/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式3-2.(25-26八年级上山东日照期末)在△ABC中，AB=AC,D为直线BC上任意一点，连接AD, DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,BG⊥AC于点G. D 图1 图2 (I)如图1，观察、测量、猜想、证明DE,DF,BG之间的数量关系，完善空格内容. S.ABC= 小明是这样证明的： +S。ACD “2AC-BG=)AB-DE+ 2 AB=AC, (2)如图1，当点D为BC中点时，试判断BG与DE的数量关系」 (3)如图2，当点D在BC的延长线上时，请猜想DE,DF,BG之间的数量关系并证明. 变式3-3.(25-26七年级下·河南南阳·阶段检测)综合探究 C D B D B D D 图1 图2 图3 (①如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90,BC=3,AC=4,AB=5,CD LAB,则CD的长为一 (2)如图2，在△ABC中，AB=6,BC=3,CD,AE为△ABC的高，试分析CD,AE的数量关系. (3)如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D,P分别在边AB,AC上，且BP=AP,DE⊥BP,DF⊥AP 5/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 垂足分别为E,F.若BC=m,求DE+DF的值（用含m的代数式表示）. 题型四、利用三角形中的角平分线求解 典例4.(25-26八年级上江西上饶阶段检测)如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上（不 与点A,B重合)，CD与BE交于点O. D (I)若CD是中线，BC=7,AC=5,则△BCD与△ACD的周长差为 (2)若∠ABC=64°，CD是△ABC的高，求∠BOC的度数. 题型模版 1特征：已知角平分线，求边长比例或角度，常涉及角平分线定理、面积法或全等构造。 2方法：利用角平分线定理（对边比等于邻边比）列比例；或作对称构造全等，结合等面积法求解。 变式41.(25-26八年级上重庆九龙坡阶段检测)如图，在△ABC中，D,E分别是边AC,BC上的点， 且AC=3CD,BE=3EC,连接BD、AE交于点F,∠BAF的平分线交BD于点G,且AF:AB=1:2,若 △AGB的面积为16，则△AGD的面积为 B、 变式42.(25-26八年级上江西上饶期中)如图，AD是△ABC的高，CE是△BC的角平分线，BF是 △ABC的中线. (I)若∠ACB=50°，∠AEC=55°，求∠BAD的度数； 6/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若BC=15,△BCF与△BAF的周长差为6，求AB的长 变式43.(25-26八年级上全国·单元测试)【概念理解】在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个 角度数的4倍，那么我们称这样的三角形为“完美三角形”，例如三个内角分别为130°，40°，10°的三角形是 “完美三角形”· M 图① 图② 【简单应用】如图O,∠MON=72°，在射线OM上找一点A,过点A作AB⊥OM交射线ON于点B,以A 为端点作射线AD,交线段OB于点C(点C不与点O,B重合) (1)∠AB0= 。,∠AOB= °，△AOB “完美三角形”（填“是”或“不是”）； (2)若∠ACB=90°，求证：△A0C是“完美三角形”： 【应用拓展】如图②，点D在△ABC的边AB上，连接DC,DE平分∠ADC,DE∥BC.若△BCD是“完 美三角形”，请直接写出∠B的度数. 题型五、利用三角形中的折叠求解 典例5.(25-26七年级下·全国课后作业)如图，△ABC是一张纸片，把∠C沿DE折叠，使点C落在点 C的位置. (1)当∠C=45°时，求∠1+∠2的度数. (2)若∠C=0,请直接写出∠1+∠2的度数.（用含“的代数式表示） 题型模版 7/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.特征：三角形沿某直线折叠，出现重合边角，形成轴对称图形，求折痕或对应线段长度。 2方法：利用折叠前后对应角、对应边相等，找出全等或等腰关系，勾股定理（常设未知数）建立方程求 解。 变式5-1.(2025八年级上·全国·专题练习)如图，在折纸活动中，小明制作了一张三角形纸片ABC,点 D,E分别在边AB,AC上.将△ABC沿着DE所在直线折叠并压平，使点A与点N重合. (①)若∠B=35°，∠C=60°，求∠A的度数. (2)若∠A=70°，求∠1+∠2的度数， 变式5-2.(2425八年级上河南漯河阶段检测)如图(1)所示，把△ABC沿DE折叠， E 图(1) 图(2) 图(3) (1)当点C落在四边形BCDE内部时，∠C与∠I、∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这 个规律，请你写出规律并证明你的规律， (2)当点A落在四边形AC上方时，∠C与∠1、∠2之间数量关系是_· (3)当点A落在四边形BC下方时，∠C与∠1、∠2之间数量关系是_· 变式5-3.(2425八年级上江西阶段检测)(1)如图1，若∠A=90°；则∠1+∠2= (2②把三角形纸片18C顶角4沿DE折希，点A落到点4处，记∠D8为4MBC为2 ①如图2，∠1，∠2与∠A的数量关系是 ②如图3，∠1，∠2与∠A的数量关系是 (3)如图4，把一个三角形纸片ABC的三个顶角分别向内折叠之后，3个顶点不重合，那么图中 8/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= A B B 图1 图2 图3 图4 题型六、利用三角形中的内外角关系求解 典例6.(25-26七年级下重庆綦江期末)如图，AB∥CD,CE平分∠ACD交AB于点E,点F在BA的 延长线上且∠AFC=110° D A B (I)证明：∠ACE=∠CEA (2)若∠ACF=30°，求∠DCE的度数. 题型模版 1特征：已知三角形某外角与内角关系，或外角平分线，求角度，常涉及外角等于不相邻内角和。 2方法：利用外角定理（等于不相邻两内角和）及邻补角关系，设未知角列方程求解；或结合角平分线性 质推导。 变式6-1.(25-26八年级下山东潍坊期末)如图，在△ABC中，OA、OB、OC是三个内角的平分线， OD⊥OB交BC于点D. (1)若LABC=40°，求∠ODC的度数： (2)判断∠AOC与∠ODC的数量关系并说明理由. 9/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式6-2.(25-26七年级下江苏宿迁期末)如图，△ABC中，D为AC边上一点，过D作DE∥AB,交 BC于E,F为AB边上一点，连接DF并延长，交CB的延长线于G,且∠DFA=∠A, G B E (1)DE平分∠CDF吗？若是，请证明；若不是，请说明理由； (2)若∠C=80°，∠ABC=60°，求∠G的度数. 变式6-3.(25-26七年级下河北邯郸期末)如图，已知直线MNP№，点B为直线PO上一定点，点C 为直线MN上的一个动点，连接BC.在直线MN、PQ之间找点A使∠ABC=90°，∠ACB=30°，设 ∠ABP=a,∠ACM=B g E B B (1)当a=40°时，求B的度数. (2)a与B有怎样的数量关系？并给出证明. (3)设∠CAB的角平分线AE与MN交于点E,当∠AEM=20°时，求a. ◆◆ 同压轴挑战一支克高难压轴，变威思缘上保 一、单选题 1.(25-26七年级下·广东揭阳阶段检测)已知a,b,c是△ABC的三边长，则化简 la+b-c+b-c-al-c-a+2b 的结果为() A.3a-2b-3c B.3a-2b-c C.a-3c D.b 10/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(25-26七年级下·山东潍坊阶段检测)如图，在△ABC中，AD为边BC上的中线，DE⊥AC.若 SA4c=12cm',AC=3cm,则DE的长为(） E B A.2cm B.3cm C.4cm D.6cm 3.(25-26七年级下河南郑州期中)如图，在△ABC中，已知点E、F分别是AD、CE边上的中点，且 S△BEr=4cm2 Sc的值为(） B A.8cm2 B.16cm2 C.24cm2 D.32cm2 4.(2425七年级下山东泰安期末)在三角形纸片ABC中，∠A=90,∠C=25°，点D为AC边上靠近 点C处一定点，点E为BC边上一动点，沿DE折叠三角形纸片，点C落在点C'处， ①如图1，当点C落在BC边上时，∠ADC=50°； ②如图2，当点C'落在△ABC内部时，∠ADC'+∠BEC'=50°： ③如图3，当点C'落在△ABC上方时，∠BEC'-∠ADC'=50°： ④当CE∥AB时，∠CDE=32.5°或∠CDE=123.5°，以上结论正确的个数是() 11/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A A 图1 图2 图3 A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题 5.(25-26七年级下山东枣庄阶段检测)如图，在△ABC中，AB=AC=8,该三角形的面积为20，O是 边BC上任意一点，OE⊥AB于点E,OF⊥AC于点F,则OE+OF等于 6.(25-26七年级下江苏宿迁·期末)如图1，△ABC中，D是AC边上的点，先将△ABD沿着BD翻折， 使点A落在点A处，且AD∥BC,AB交AC于点E(如图2)，又将△BCE沿着AB翻折，使点C落在 点C处，若点C恰好落在BD上（如图3），且∠CEB=72°，则∠C=°. A D B B B 图1 图2 图3 7.(25-26七年级下河北衡水期中)如图，△ABC的面积为1.第一次操作：分别延长AB,BC,CA至点 A B,C AB=AB,BC=BC,CA=CA 4B,C,得到 △ABC ，使 ，顺次连接 .第二次操作：分别延 长4，BCGA,至点4，G,使L8=A4B,G=BGGA=CA,顺次连接 B,C,得 12/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 到 A,BC ，…按此规律，最少经过 次操作，得到的三角形面积超过2026. B A B A C2 8(25-26七年级下上海闵行期中)设△BC的面积为1，如图0.B,D分别是4C,BC的中点， E D BE AD O△BOD,△AOE S 相交于点， 与 的面积差记为：如图②， E2 D. ,D分别是1C,BC的3等分 点， BE,.AD:相交于点， 点0，a80,D与40，E 的面积差记为，如图③。气， D分别是4C,BC的4 BEs AD 等分点， 点0，aB0D与AM0, 相交于点， 的面积差记为5“依此类推，则8“的值为 A E2 E D D D: 图① 图② 图③ 三、解答题 9.(25-26七年级下·上海浦东新期中)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,P为线段AD上的一个动点， PE⊥AD交BC的延长线于点E. 13/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D (①若∠ACB=75°，∠B=45°，求∠E的度数： (2)当P点在线段AD上运动时，猜想∠B、∠ACB与∠E的数量关系，并证明. 10.(25-26八年级上安徽合肥阶段检测)如图，在△ABC中，AB=AC,P是射线BC上一点，过点P作 PD⊥AB,PE⊥AC 塞足分别为，过点2作听11C,看足为么连接护 D,E D 图1 图2 ()如图1，点P在边BC上，写出线段PD,PE,BF之间的数量关系，并说明理由. (②如图2，点P在BC的延长线上.当 4Bc=10,AB=5,PE=2 时，求线段PD的长。 11.(25-26七年级下·河南南阳·阶段检测)阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的 度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”.例如，一个三角形三个内角 的度数分别是120°，40°，20°，这个三角形就是一个“梦想三角形”.反之，若一个三角形是“梦想三角 形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍. 14/16 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M A B D 图1 图2 (1)如图1，已知∠MON=60°，在射线OM上取一点A,作AB⊥OM交ON于点B,以A为端点作射线 AD,交线段OB于点C(点C不与点O,B重合).若∠ACB=80°，则△AOB“梦想三角形”， △AOC“梦想三角形”（均填“是”或“不是”）： (2)如图2，点D在△ABC的边AB上，连接CD,DE平分∠ADC交AC于点E,作EFI‖AB交DC于点F, ∠B=∠DEF.若△BCD是“梦想三角形”，求∠B的度数； (3)如果一个“梦想三角形”有一个角为72°，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为 12.(21-22七年级下江苏无锡期中)综合探究 图1 图2 图3 图4 ()【基础知识】我们知道：如果两个三角形的高相同，那么它们的面积比等于对应底边的比.如图1，点 S△MBY=BM M是△ABC的边BC上一点，试证明：S△4CM CM SABN (②)【知识应用】如图2，△ABC的边BC上有一点M,V为AM上任意一点，利用上述结论，猜想S。4cw与 B CM之间的关系，直接写出结论，不必证明. (3)【知识迁移】如图3，在△ABC中，D、F分别在边AB、AC上，且AD=2DB,CF=2AF.若△ABC 的面积为1，求四边形ADPF的面积. 15/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (4)【知识延伸】如图4，在△ABC中，D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且AD=2DB,BE=2EC, CF=2AF,连接AE、BF、CD,交点为P、Q、M,若△POM的面积为I,则△ABC的面积为 16/16 专题01 三角形中的线与角的六类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用三角形中的三边关系化简 题型二、利用三角形中的中线求解 题型三、利用三角形中的高线求解 题型四、利用三角形中的角平分线求解 题型五、利用三角形中的折叠求解 题型六、利用三角形中的内外角关系求解 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：涉及角平分线、中线、高线、中垂线及内角和、外角定理，常与平行线、折叠结合求角度或线段长。 - 解题方法：利用内角和180°、外角等于不相邻两内角和；角平分线+平行出等腰；中线倍长构造全等；高线注意直角三角形分拆；中垂线转化等距。 - 易错提醒：外角定理误用为相邻外角；高线可能在三角形外部（钝角三角形）；角平分线性质定理需对应比例线段；忽视“三角形三边关系”隐含条件。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用三角形中的三边关系化简 典例1．（25-26八年级上·陕西延安·期末）已知、、分别是的三边长，化简：． 【答案】 【分析】根据三角形的三边关系，可得，，再根据绝对值的性质，化简合并即可． 【详解】解：、、分别是的三边长， ，， ，， 则原式 ． 题型模版 1.特征：利用两边之和大于第三边等性质，判断线段能否构成三角形或进行范围限定。 2.方法：根据三角形三边关系列出不等式组，消去绝对值或化简含绝对值的代数式，确定变量范围。 变式1-1．（25-26八年级上·贵州安顺·阶段检测）已知的三边长是a，b，c． (1)若，，求的取值范围； (2)化简． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形的三边关系，化简绝对值，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据三角形的三边关系，进行求解即可； （2）根据三角形的三边关系和绝对值的意义，进行化简即可． 【详解】（1）解：的三边长为，，，且，， ， 即． 故答案为：； （2）解：是的三边长， ∴，则， 原式 ． 变式1-2．（25-26八年级上·安徽·期末）已知的三边长分别为a，b，c． (1)化简：； (2)若，，且c为整数，求周长的最大值及最小值． 【答案】(1)； (2)周长的最大值是17，最小值是13 【分析】本题主要考查三角形三边的关系，利用三角形三边的关系判断参数的取值范围是解题的关键． （1）首先利用三角形三边的关系判断绝对值里的代数式的正负，再去掉绝对值，合并同类项化简后得到最简结果； （2）首先根据三角形的三边关系确定第三边的参数取值范围，结合整数的条件求周长的最小值和最大值． 【详解】（1）解：①∵的三边长分别为a，b，c， ∴，，， ∴ ； （2）∵，， ∴根据三角形三边关系可知， ∵c为整数， ∴当时，的周长为最大，即为； 当时，的周长为最小，即为； 综上所述，周长的最大值是17，最小值是13． 变式1-3．（25-26八年级上·全国·期末）已知的三边长为，，，且，，都是整数． (1)若，，且为奇数，求的周长． (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形三边关系、绝对值的化简及整数的应用，熟练掌握三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）是解题的关键． （1）根据三角形三边关系确定的取值范围，结合是奇数求出的值，再计算周长． （2）根据三角形三边关系判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值符号后化简． 【详解】（1）解：∵三角形三边关系为， ，， ∴，即． ∵是奇数， ∴． ∴的周长． （2）解：∵三角形三边关系为，， ∴，，． ∴ ． 题型二、利用三角形中的中线求解 典例2．（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图，、分别是的高和中线，若，，， (1)求的长 (2)求与的周长差 【答案】(1) (2) 【分析】根据三角形的面积公式解答即可； 利用三角形中线的定义可得，即得的周长的周长，代入已知数据即可求解． 【详解】（1）解：∵是的高，， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：∵是的中线， ∴， ∴的周长的周长 ． 题型模版 1.特征：已知三角形中线长度或位置，求边长、面积或角度，常涉及倍长中线构造全等。 2.方法：倍长中线构造平行四边形或全等三角形，利用全等性质及勾股定理建立边角关系求解。 变式2-1．（25-26七年级下·北京·期末）如图，在中，为边上的中线． （1）若的周长比的周长大4，，则___________； （2）若的面积为17，则的面积为___________； （3）若，，则的面积的最大值为___________． 【答案】 5 12 【分析】（1）先得出，再根据三角形的周长公式可得，与联立求解即可； （2）根据三角形的中线性质即可得； （3）过点作于点，先求出的面积为，再根据垂线段最短求出的最大值即可． 【详解】解：（1）∵在中，为边上的中线， ∴， ∵的周长比的周长大4， ∴， ∴，即， ∵， ∴联立， 解得． （2）∵在中，为边上的中线，且的面积为17， ∴． （3）如图，过点作于点， ∵， ∴的面积为， ∴要使得的面积最大，则需的值最大， 由垂线段最短可知，（当且仅当点重合时，等号成立）， ∵， ∴， ∴的最大值为4， ∴的面积的最大值为． 变式2-2．（25-26七年级下·江苏南通·期末）【课本再现】 八年级上册课本上有一道题：如图1，在中，，，则的高与的比是多少？ (1)请解答上述问题； 【问题探究】 爱思考的小东做完这道题后发现三角形的面积与边长之间存在一定的数量关系．他提出了以下猜想：如图，若中，是边上的点，则． (2)你认为小东的猜想正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由； 【拓展应用】 (3)如图3，中，，分别是边，上的点，与交于点．若，，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)猜想正确， 证明：如图，过点作于点， ∴，． ∴． (3) 【分析】（1）根据三角形的面积公式得出，即可求解； （2）过点作于点，根据三角形的面积公式，分别表示出、的面积，再求比值，即可求解； （3）连接，设，，根据已知条件，分别得出，，结合图形分别求得，的面积，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴． （2）略 （3）连接， 设，． ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴．即， ∴， ∴． ∴，． ∴． ∴的值为． 变式2-3．（25-26七年级下·四川资阳·期末）综合实践： 定义：三角形三条中线的交点叫三角形的重心． 发现：如图①，将一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处悬吊起来，发现纸板处于水平状态． 探究：关于三角形的重心还有哪些性质呢？ (1)如图②，是的中线，则与的面积关系为：_______（填>、<或=）； (2)如图③，点是的重心，猜想与的面积之间的关系，并说明理由； (3)如图③，点是的重心，三条中线、、分别交、、于点、、，求的值； (4)如图④，点是的重心，且，若，，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)，理由如下：     点是的重心， ， 和同高，设高为， ， 同理得， ∴， ， ∴； (3) (4) 【分析】本题考查三角形中线的性质以及三角形面积的计算： （1）根据的中线得到，由于高相同，利用三角形面积公式可得出结论； （2）根据题干中关于重心的定义得，由于和同高，和同高，得出，去掉公共三角形，即可得到与的面积相等； （3）根据题干中关于重心的定义得，利用三角形面积公式得，去掉公共部分，得，利用三角形等底同高得，，即可得出结论； （4）连接交于点，先求出，通过各三角形底边之间的关系，得到、，进而求出四边形的面积． 【详解】（1）解：是三角形的中线， ， 和的底边分别是和，它们共用同一个顶点， 它们的高相等，设为， ． （2）解：，理由略． （3）解：点是的重心， ， 和同高，设高为， ， ， ∴， 同理：等底同高，等底同高， ，， ∴， ∴． （4）解：如图，连接交于点， 是的重心， 由（3）可得出，，，， 设，， ∴， 同理得，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 同高， 设它们的高为， ，，且， ， 、和同高，设高为， ，，， ， ， ， ， ， 同理可得，， ∴． 题型三、利用三角形中的高线求解 典例3．（25-26七年级下·河南郑州·阶段检测）如图，在直角三角形中，，，，． (1)点到直线的距离是垂线段___________的长度，该长度是___________． (2)画出表示点到直线的距离的线段，并求这个距离． 【答案】(1)，3 (2)图见解析， 【分析】（1）根据点到直线的距离即可解答； （2）作于点，则垂线段的长度就是点到直线的距离，再利用等积法即可求出的长． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴点到直线的距离是垂线段的长度，该长度是； （2）解：如图，作于点，则垂线段的长度就是点到直线的距离， ∵， ∴． 题型模版 1.特征：已知三角形高线（或垂足位置），求边长、面积或角度，常涉及直角三角形与勾股定理。 2.方法：利用高线构造直角三角形，结合已知边角与勾股定理（或面积法），列方程求解未知量。 变式3-1．（25-26七年级下·内蒙古包头·期末）如图，、分别是的高线、中线，若，，则高线长为________． 【答案】4 【分析】因为是的中线，所以中线将三角形分成面积相等的两个三角形，可根据求出．因为是边上的高线，所以三角形面积公式为，将已知的和的长度代入公式，即可求解的长度． 【详解】解：∵是的中线，， ∴． ∵是边上的高线， ∴， 将、代入， 得， 解得． 变式3-2．（25-26八年级上·山东日照·期末）在中，，为直线上任意一点，连接，于点，于点，于点． (1)如图1，观察、测量、猜想、证明，，之间的数量关系，完善空格内容． 小明是这样证明的：__________． __________． ， __________． (2)如图，当点为中点时，试判断与的数量关系__________． (3)如图2，当点在的延长线上时，请猜想，，之间的数量关系并证明． 【答案】(1)；；； (2) (3)；证明见解析 【分析】（1）根据已有的过程结合面积之间的关系列式，即可作答； （2）由点D为中点，得到，结合，推出，然后结合即可作答； （3）同（1）的方法求解． 【详解】（1）解：； 证明：， ， ， ； （2）解：点为中点， ∴ ， ， ； ， ； （3）解：，理由如下： ， ， ， ∴． 变式3-3．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）综合探究 (1)如图1，在中，，则的长为_____． (2)如图2，在中，，，，为的高，试分析，的数量关系． (3)如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，垂足分别为．若，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3)m 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型． （1）利用面积法求出即可． （2）利用面积法求出高与的比即可． （3）利用面积法求出，可得结论． 【详解】（1）解：在中，， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：，，， ， ， 又， ， 即． 题型四、利用三角形中的角平分线求解 典例4．（25-26八年级上·江西上饶·阶段检测）如图，在中，是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），与交于点O． (1)若是中线，，则与的周长差为______． (2)若，是的高，求的度数． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题主要考查了三角形中线，高，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余： （1）根据三角形中线的定义可得，即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，再由三角形高的定义可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∵， ∴与的周长差为； （2）解：∵是角平分线，， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴． 题型模版 1.特征：已知角平分线，求边长比例或角度，常涉及角平分线定理、面积法或全等构造。 2.方法：利用角平分线定理（对边比等于邻边比）列比例；或作对称构造全等，结合等面积法求解。 变式4-1．（25-26八年级上·重庆九龙坡·阶段检测）如图，在中，，分别是边，上的点，且，，连接、交于点的平分线交于点，且，若的面积为16，则的面积为___________． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积比，熟练根据底边之比进行三角形面积的转换是解题的关键． 连接，根据角平分线的性质，可得点G到和的距离相等，则可得的面积，再根据，得到，进而求得的面积，根据求得和的面积，再根据即可求得的面积，最后求得的面积，即可求得的面积， 【详解】解：由题意得是的平分线，且， 设点G到的距离为，到的距离为，则， ∵，， 又∵且， ∴， ∴的面积为：， 连接，如下图， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 又∵， ∴，， 又∵， ∴，， ∴ ， ∴ ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 变式4-2．（25-26八年级上·江西上饶·期中）如图，是的高，是的角平分线，是的中线． (1)若，求的度数； (2)若，与的周长差为，求的长． 【答案】(1) (2)或 【分析】（）由三角形角平分线的定义得，进而由三角形外角性质得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解； （）由三角形中线的定义得，即得到的周长的周长，进而得到或，据此即可求解； 本题考查了三角形的角平分线、高和中线，三角形的外角性质，直角三角形两锐角互余，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是的中线， ∴， ∵的周长，的周长， ∴的周长的周长， 又∵与的周长差为， ∴或， ∵， ∴或． 变式4-3．（25-26八年级上·全国·单元测试）【概念理解】在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么我们称这样的三角形为“完美三角形”．例如三个内角分别为的三角形是“完美三角形”．    【简单应用】如图①，，在射线上找一点A，过点A作交射线于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（点C不与点O，B重合）． （1）______°，______°，______“完美三角形”（填“是”或“不是”）； （2）若，求证：是“完美三角形”； 【应用拓展】如图②，点在的边上，连接平分，．若是“完美三角形”，请直接写出的度数． 【答案】[简单应用]（1）18，72，是；（2）见解析 [应用拓展]或 【分析】（1）利用垂直得出直角三角形，求出各角的度数，根据“完美三角形”的定义进行判断即可； （2）利用垂直得出直角三角形，求出各角的度数，根据“完美三角形”的定义进行判断即可； （3）利用角平分线的定义和平行线的性质得出，然后分两种情况进行讨论，根据“完美三角形”的定义求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴； ； ∵， ∴是“完美三角形”； 故答案为：18，72，是； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴是“完美三角形”； （3）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据“完美三角形”的定义得， 当时，， ∴； 当时，， ∴， ∴； ∴的度数为或． 题型五、利用三角形中的折叠求解 典例5．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，是一张纸片，把沿折叠，使点C落在点的位置． (1)当时，求的度数． (2)若，请直接写出的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查折叠的性质与三角形内角和定理，掌握“折叠前后对应角相等、三角形内角和为”是解题的关键． （1）根据折叠性质，，故，，； （2）根据（1）以及折叠的性质，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵点C沿折叠落在点， ∴， 在中， ， ，， ∴． （2）解：由（1）可得：， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型模版 1.特征：三角形沿某直线折叠，出现重合边角，形成轴对称图形，求折痕或对应线段长度。 2.方法：利用折叠前后对应角、对应边相等，找出全等或等腰关系，勾股定理（常设未知数）建立方程求解。 变式5-1．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在折纸活动中，小明制作了一张三角形纸片ABC，点D，E分别在边AB，AC上．将沿着DE所在直线折叠并压平，使点A与点N重合． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换的性质，平角的意义，渗透整体思想，掌握三角形的内角和是解决问题的关键． （1）直接利用三角形的内角和求得答案即可； （2）根据三角形的内角和等于求出，再根据翻折变换的性质可得． ，然后利用平角等于列式计算即可得解． 【详解】（1）解：， ． （2）解：， ． 由题意，得， ． 变式5-2．（24-25八年级上·河南漯河·阶段检测）如图（1）所示， 把沿折叠， (1)当点C落在四边形内部时，与、之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，请你写出规律并证明你的规律． (2)当点A落在四边形上方时，与、之间数量关系是 ． (3)当点A落在四边形下方时，与、之间数量关系是 ． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由折叠的性质可得，，由邻补角的定义可得，，由三角形内角和定理可得，由此计算即可得解； （2）由折叠的性质可得，，从而得出，，由三角形内角和定理可得，由此计算即可得解； （3）由折叠的性质可得，，从而得出，，由三角形内角和定理可得，由此计算即可得解． 【详解】（1）解：，证明如下： 由折叠的性质可得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即； （2）解：由折叠的性质可得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即 （3）解：由折叠的性质可得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即． 变式5-3．（24-25八年级上·江西·阶段检测）（1）如图1，若；则_______； （2）把三角形纸片顶角A沿折叠，点A落到点处，记为为． ①如图2，与的数量关系是_______； ②如图3，与的数量关系是_______； （3）如图4，把一个三角形纸片的三个顶角分别向内折叠之后，3个顶点不重合，那么图中_______． 【答案】（1）；（2）①，②；（3） 【分析】本题考查了翻着变换（折叠问题），以及三角形内角和定理．根据题意给出的条件，折叠角相等以及三角形内角相加为等知识即可推导出答案． 【详解】解：（1）∵，∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）①题图2中，由折叠得， ∵ ∴， ， 故答案为：． ②题图3中，∵， ∴，由折叠得， ∴， ∴． 故答案为：． （3）由（2）知， 同理得，， ∴ ． 故答案为：． 题型六、利用三角形中的内外角关系求解 典例6．（25-26七年级下·重庆綦江·期末）如图，，平分交于点，点在的延长线上且． (1)证明：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ． 平分， ， ； (2) 【分析】（1）首先由平行的性质可知，然后根据角平分线的定义即可证明； （2）首先由三角形的内角和求出，然后根据平行线的性质求出，进而由平分求出． 【详解】（1）略； （2）在中，， ． ， ． 平分， ． 题型模版 1.特征：已知三角形某外角与内角关系，或外角平分线，求角度，常涉及外角等于不相邻内角和。 2.方法：利用外角定理（等于不相邻两内角和）及邻补角关系，设未知角列方程求解；或结合角平分线性质推导。 变式6-1．（25-26八年级下·山东潍坊·期末）如图，在中，、、是三个内角的平分线，交于点． (1)若，求的度数； (2)判断与的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2)， 证明：设， ∴， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴ ∴． 【分析】（1）根据角平分线可知，进而由三角形的外角即可求解； （2）设，根据角平分线以及三角形的内角关系即可求解． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵ ∴ ∴ （2）略 变式6-2．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）如图，中，为边上一点，过作，交于，为边上一点，连接并延长，交的延长线于，且． (1)平分吗？若是，请证明；若不是，请说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)是， 证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴平分； (2) 【分析】（1）根据得到，，结合，得到即可． （2）先求得，结合，三角形外角性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 变式6-3．（25-26七年级下·河北邯郸·期末）如图，已知直线，点为直线上一定点，点为直线上的一个动点，连接．在直线、之间找点使，，设，． (1)当时，求的度数． (2)与有怎样的数量关系？并给出证明． (3)设的角平分线与交于点，当时，求． 【答案】(1) (2) 证明：过点作，如图， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． (3) 【分析】（1）根据平行线性质和三角形内角和定理计算即可． （2）根据平行线性质计算即可． （3）根据平行线性质和角平分线性质计算即可． 【详解】（1）解：过点作，如图， ∴， ∵， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）略 （3）解：∵，， ∴， 如图， ∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 由（2）可知， ∴． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）已知a，b，c是的三边长，则化简的结果为（     ） A． B． C． D．b 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”判断每个绝对值内式子的正负，再去掉绝对值符号，合并同类项即可得到化简结果． 【详解】∵，，是的三边长， ∴根据三角形三边关系可得 ，，， ∴ ， ， ， ∴ ． 2．（25-26七年级下·山东潍坊·阶段检测）如图，在中，为边上的中线，．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形中线的性质可得，再结合直角三角形面积公式，代入与的面积，进而求出垂线段的长度． 【详解】解：为边上的中线， ， ， ， ． 3．（25-26七年级下·河南郑州·期中）如图，在中，已知点E、F分别是、边上的中点，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点、分别是、的中点，得到，，，继而得到，解答即可． 【详解】解：根据点、分别是、的中点， 得到，，， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴． 4．（24-25七年级下·山东泰安·期末）在三角形纸片中，，点为边上靠近点处一定点，点为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点落在点处． ①如图1，当点落在边上时，； ②如图2，当点落在内部时，； ③如图3，当点落在上方时，； ④当时，或，以上结论正确的个数是（  ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】该题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，综合运用相关知识是解题的关键． ①如图1，当点落在边上时，根据折叠性质和三角形外角的性质求解即可；②如图2，当点落在内部时，根据折叠性质以及平角的定义即可求解；③如图3，当点落在上方时，根据折叠性质可得，根据 即可求解；④当时，分别画出图形根据折叠性质和平行线性质求解即可； 【详解】解：①如图1，当点落在边上时， 根据折叠性质可得， ∴，故①正确； ②如图2，当点落在内部时， 根据折叠性质可得 ∴ ，故②正确； ③如图3，当点落在上方时，； 根据折叠性质可得 ∴ ，故③正确； ④当时，    ∵， ∴， ∵， ∴， 根据折叠性质可得， ∴， ∴； 当时，      ∵， ∴ ∵， ∴， 根据折叠性质可得，， ∴， ∴， ∴； 综上或；故④错误； 故选：C． 二、填空题 5．（25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测）如图，在中，，该三角形的面积为，是边上任意一点，于点，于点，则等于________． 【答案】5 【分析】根据的面积的面积的面积，利用面积公式和已知条件，求出答案即可． 【详解】解：如图所示：连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）如图1，中，是边上的点，先将沿着翻折，使点落在点处，且，交于点（如图2），又将沿着翻折，使点落在点处，若点恰好落在上（如图3），且，则______． 【答案】84 【分析】根据翻折，平行的性质得到，结合题意得到，在中，由三角形内角和定理得到，最后在中由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵先将沿着翻折， ∴，， ∵， ∴， ∵将沿着翻折，使点落在点处，点恰好落在上， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，即， 解得，， ∴， 在中， ， 故答案为：． 7．（25-26七年级下·河北衡水·期中）如图，的面积为1．第一次操作：分别延长至点，使，顺次连接，得到．第二次操作：分别延长，至点，使，顺次连接，得到，…按此规律，最少经过________次操作，得到的三角形面积超过2026． 【答案】4 【分析】首先分析第一次操作后新三角形与原三角形的面积关系，利用等底同高的三角形面积相等，计算每次延长后新增的3个小三角形的面积，结合原三角形面积得到第一次操作后的总面积．同样得到第二次操作后的总面积．因为每次操作的延长规则相同，所以相邻两次操作后的三角形面积是固定的倍数关系，据此推导n次操作后三角形面积的公式．令规律表达式的结果大于2026，解指数不等式得到最小的正整数n． 【详解】解：连接，过点C作于点D，过点作于点E， ∵，且， ∴， ∵，且， ∴， ∴． 同理可得，， ∴第一次操作后，​的面积． 连接，同理，， ∴， 同理， ∴第二次操作后，​的面积． 按操作规律，每次操作后新三角形面积都是上一次的倍， ∴次操作后三角形面积为． ∵，，，， ∴最少经过次操作． 8．（25-26七年级下·上海闵行·期中）设的面积为1．如图①，，分别是，的中点，，相交于点，与的面积差记为；如图②，，分别是，的3等分点，，相交于点，与的面积差记为；如图③，，分别是，的4等分点，，相交于点，与的面积差记为依此类推，则的值为_____． 【答案】 【分析】由题意可得，再根据点，的位置，表示出相应的三角形的面积，从而可得出相应的规律，即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵，分别是，的中点， ，， ． 同理可得：． 则，，……， ． ． 三、解答题 9．（25-26七年级下·上海浦东新·期中）如图，在中，平分，P为线段上的一个动点，交的延长线于点E． (1)若，求的度数； (2)当P点在线段上运动时，猜想与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2) ；证明见解析 【分析】（1）首先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出的度数，进一步求得的度数； （2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解： ；证明如下： 根据题意得：， ∵平分， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ， 即 ． 10．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在中,是射线上一点，过点P作，垂足分别为，过点B作，垂足为F，连接． (1)如图1，点P在边上，写出线段之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，点P在的延长线上．当时，求线段的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)6 【分析】本题考查了三角形的高及三角形面积公式的应用，解题的关键是通过分割（或拆分）三角形面积，结合三角形的高推导线段间的数量关系． （1）由题意得出，则有，再结合即可得出结论； （2）由题意得出，则有，再结合，得出，由三角形的面积求出的长，最后即可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴，即， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴，即， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， 所以， 整理得：， 解得， ∴， 所以线段的长为6． 11．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”．例如，一个三角形三个内角的度数分别是，，，这个三角形就是一个“梦想三角形”．反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍． (1)如图1，已知，在射线上取一点，作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与点，重合）．若，则_____“梦想三角形”，_____“梦想三角形”（均填“是”或“不是”）； (2)如图2，点在的边上，连接，平分交于点，作交于点，．若是“梦想三角形”，求的度数； (3)如果一个“梦想三角形”有一个角为，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为_______． 【答案】(1)是，是 (2)的度数为或 (3)或 【分析】（1）根据三角形内角和为分别求解出与中每个角度，判断是否存在“某个内角的度数是另一个内角度数的3倍”即可； （2）先由平行线的性质以及角平分线的性质得到，再由平角的性质可得，根据三角形内角和为以及“梦想三角形”的定义列式求解即可； （3）先设出其余两个内角为，再由三角形内角和为以及“梦想三角形”的定义列式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴是“梦想三角形”； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是“梦想三角形”； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是“梦想三角形”， 当，即，解得， 此时中，，满足条件； 当，即，解得， 此时中，，满足条件； 综上，的度数为或； （3）解：如果一个“梦想三角形”有一个角为， 设该“梦想三角形”的另外两个内角为， 则有， 当时，解得， 此时，故最小内角的度数为； 当时，解得，不满足题意； 当时，则有，解得， 此时，故最小内角的度数为； 综上，这个“梦想三角形”的最小内角的度数为或． 12．（21-22七年级下·江苏无锡·期中）综合探究 (1)【基础知识】我们知道：如果两个三角形的高相同，那么它们的面积比等于对应底边的比．如图1，点M是的边上一点，试证明：． (2)【知识应用】如图2，的边上有一点M，N为上任意一点，利用上述结论，猜想与之间的关系，直接写出结论，不必证明． (3)【知识迁移】如图3，在中，D、F分别在边、上，且，．若△ABC的面积为1，求四边形的面积． (4)【知识延伸】如图4，在中，D、E、F分别在边、、上，且，，，连接、、，交点为P、Q、M，若的面积为1，则的面积为________． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4)7 【分析】（1）过点A作于H，根据三角形的面积公式得出，，代入求解即可得证； （2）利用（1）的结论求解即可； （3）连接，设，，，由（1）知：，结合，得出，同法可求，，，即，，求出，，则可得出，∵，求出，即可求解； （4）连接，，设，，由（3）可求出，，则可得出，同法可求，根据（1）的结论可求出，，，则，进而得出，则，求出，，，结合又，得出，求出，则，最后再利用（1）中结论求解即可． 【详解】（1）证明：过点A作于H， 则，， ∴； （2）解：由（1）知，，， ∴，， ∴； （3）解：连接，设，，， 由（1）知：， ∵， ∴， 同法可求， ∵，， ∴，， 即，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）解：连接，，设，， 由（3）可求出，， ∴， ∴， 同法可求， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $