第13章三角形中的边角关系、命题与证明 单元测试卷 2026--2027学年沪科版八年级数学上册

2026-2027学年数学沪科版八上第13章 三角形中的边角关系、命题与证明单元测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 满分：150分 ） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（    ） A．1，2，3 B．3，4，5 C．2，3，4 D．4，5，6 2．下列语句不是命题的是（   ） A．负数与负数的和仍是负数 B．画线段 C．两个锐角之和是钝角 D．两个负数，绝对值大的反而小 3．下列说法中，正确的有（   ） ①三角形的中线、角平分线、高都是线段； ②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部； ③直角三角形只有一条高； ④三角形的三条角平分线交于一点，这个交点叫做重心． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．下列图形中，具有稳定性的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，是的一个外角，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，已知点D、E、F分别为边的中点，且的面积为，则阴影部分面积等于（    ） A． B． C． D． 7．如图，，平分，，，则（    ） A． B． C． D． 8．可以用来说明“若则”是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 9．若等腰三角形的周长为19cm,一边长为7cm,则腰长为(   ) A．7cm B．5cm C．7cm或5cm D．7cm或6cm 10．如图，将直尺与含角的直角三角尺叠放在一起，三角尺的顶点落在直尺的边上．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11．命题“如果，，那么”的逆命题是________________．它是________命题（填“真”或“假”）． 12．已知三角形两边长分别为2和5，且周长为偶数，则第三边的长为_________． 13．如图，在中，且，则________． 14．如图，△ABC面积为1，第一次操作：分别延长至点,使、，顺次连接,得到.第二次操作：分别延长, 1、至点使,顺次连接得到…按此规律，经过2015次操作后的面积为________． 三.（本题共16分） 15． 如果等腰三角形的两个内角的度数之比为，那么这个三角形三个内角各是多少度？ 16．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出命题的条件是什么？结论是什么？ （1）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； （2）对顶角相等． 四.（本题共16分） 17．（1）如图1，．写出与，之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，在（1）的条件下，延长交于点E，若，，求的度数； （3）如图3，结合（1）中的结论，探究与，，之间的数量关系，并说明理由．    18．如图，在中，平分，是边上的高． (1)在图中将图形补充完整； (2)当时，求的度数； (3)若，试说明：． 五．（本题共20分） 19．如图，，点是直线上一点，是直线与直线之间一点，连接，． (1)求证：； (2)如图，过点作平分，过点作交的角平分线于点，过点作交于点，探索和的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，是直线的一点，请直接写出和的数量关系． 20．如图：在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 六.（本题共12分） 21．综合与实践 已知直线，直线分别交、于点A、B．点C在直线上且在点B的左侧，点D在直线上且在点A的右侧，E是直线上的动点，且不与A、B重合．连接，设，． (1)如图1，当点E在线段上，且，时，求的值． (2)如图2，当点E在线段的延长线上，且时，请写出，之间的数量关系，并证明． (3)如图3，分别作和的平分线相交于点G，则________．（用含，的代数式表示） 七.（本题共12分） 22．已知的三边长分别为a，b，c． (1)若，，且c为整数，求周长的最大值． (2)化简：． 八.（本题共14分） 23．在中，，平分，点在射线上，连接，点在的延长线上． (1)如图，． 若，分别求和的度数； 若直线与的一条边垂直，求的度数； (2)若平分，请直接写出的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A D C B C A D C 1．B 【详解】解：选项A，最长边为，，不能构成三角形，不符合题意． 选项B，最长边为，计算得，，，能作为直角三角形三边长，符合题意． 选项C，最长边为，计算得，，，不能作为直角三角形三边长，不符合题意． 选项D，最长边为，计算得，，，不能作为直角三角形三边长，不符合题意． 2．B 【分析】本题考查命题的定义，解题的关键是掌握命题的定义． 命题是可以判断真假的陈述句，据此逐一分析各选项即可得出答案． 【详解】解：A选项是可判断真假的陈述句，属于命题； B选项是操作类指令，不是可判断真假的陈述句，不属于命题； C选项是可判断真假的陈述句，属于命题； D选项是可判断真假的陈述句，属于命题； 故选：B． 3．A 【分析】根据三角形中线、角平分线、高的定义，以及三角形相关交点的名称，逐一判断每个说法的正误，统计正确个数即可得到答案． 【详解】解：对四个说法逐一判断： ① 三角形的中线是连接三角形顶点和它对边中点的线段，角平分线是三角形内角平分线与对边相交，顶点到交点的线段，高是三角形顶点到对边所在直线的垂线段，因此三者都是线段，故①正确； ② ∵钝角三角形的两条高在三角形外部，直角三角形的两条高在三角形的边上，∴②错误； ③ ∵直角三角形有三条高，两条直角边本身就是两条高，还有一条斜边上的高，∴③错误； ④ ∵三角形三条中线的交点叫做重心，三条角平分线的交点不是重心是内心，∴④错误； 综上，只有1个说法正确，故选A． 4．D 【详解】 解：根据三角形的稳定性可得，具有稳定性的是． 5．C 【分析】直接利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵是的一个外角，，， ∴． 6．B 【分析】本题主要考查了三角形的中线的性质，根据三角形的中线平分三角形的面积可得，，则可证明，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵点F是的中点， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴ ∴， ∴， ， ∴，即阴影部分的面积为． 故选：B． 7．C 【分析】本题考查平行的性质、平分线的性质和三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质和三角形内角和定理是解题的关键，根据，可得，再由平分，得到，最后利用三角形内角和定理即可求得的度数． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， 故选：C． 8．A 【分析】此题考查了反证法的应用． 本题需找到满足“”但不满足“”的反例，以此证明原命题为假命题． 【详解】∵选项A中，， ∴， ∵，即，且，即 ∴该选项满足原命题的前提但不满足结论，可作为反例说明原命题是假命题 选项B中，，符合原命题结论，不是反例 选项C、D中，，不满足原命题的前提，均不是反例 故选：A 9．D 【分析】此题要分情况考虑：7cm是底或7cm是腰．根据周长求得另一边，再进一步根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，判断是否能够组成三角形． 【详解】当7cm是底时，则腰长是（19-7）÷2=6（cm），此时能够组成三角形； 当7cm是腰时，则底是19-7×2=5（cm），此时5+7＞7，此时能够组成三角形； 故选D. 【点睛】此题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题关键在于已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答． 10．C 【分析】根据角的和差关系，两直线平行，同旁内角互补，以及三角形的外角的性质，进行求解即可. 【详解】解：由图和题意，可知： ∵， ∴， ∴， ∴. 11． 如果，那么， 假 【分析】本题考查了写出命题的逆命题，并判断是真（假）命题，把命题的题设和结论对调即可得它的逆命题，解题的关键是分清题设和结论．交换命题的题设与结论得到原命题的逆命题，再通过举反例判断命题的真假． 【详解】解：逆命题是“如果，那么，” ； 当时，也有，， “如果，那么，”的结论不成立， 逆命题是假命题． 故答案为：如果，那么，．假． 12．5 【分析】设三角形第三边长为，根据三角形三边关系定理得到的取值范围，再结合周长为偶数确定的奇偶性，进而求出符合条件的第三边长． 【详解】解：设三角形第三边长为， ∵三角形两边长分别为2和5， ∴， ∴， ∴三角形周长为， ∵ 周长为偶数，7为奇数， ∴ x为奇数， ， ∴． 13． 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，三角形外角的定义和性质，设，由三角形外角的定义和性质可得出，再根据已知条件进一步得出，最后根据三角形内角和定理列出关系式求解即可． 【详解】解：设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14． 【分析】如图1，连接，，，将分成、、、四个三角形的面积和，得到面积；同理，如图2，连接，，，将分成、、、四个三角形的面积和，得到面积；然后根据面积的关系推导出一般性规律，然后进行求解即可． 【详解】解：如图1，连接，， ∵，， ∴，； ，； ，； ∴； 如图2，连接，， ∵，， ∴，； ，； ，； ∴ ； ∴可推导一般性规律为：； ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了规律探究，三角形中线．解题的关键在于根据三角形的面积及等积变换推导出一般性规律． 15．，，或，， 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理应用，一元一次方程的应用，分两种情况：当较小角为底角时， 当较大角为底角时，分别列出方程，解方程即可． 【详解】解：①当较小角为底角时，设较小角为， 则， 解得， 则， 故三角形三个内角的度数分别为，，； ②当较大角为底角时，设较小角为， 则， 解得， 则， 故三角形三个内角的度数分别为，，． 综上所述，三角形三个内角的度数分别为：，，或，，． 16．（1）详见解析；（2）详见解析 【分析】根据语句先找出命题的组成部分题设和结论，再把题设和结论放进“如果……那么……”形式即可得出答案． 【详解】（1）如果一个四边形的对角线互相垂直平分且相等，那么这个四边形是正方形． 条件：一个四边形的对角线互相垂直平分且相等，结论：这个四边形是正方形． （2）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 条件：两个角是对顶角，结论：这两个角相等． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识点，把命题写成“如果……那么……”形式，“如果”后面的是条件，“那么”后面的是结论，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 17．（1），理由见解析；（2）；（3）． 【分析】（1）作，根据平行线的性质求解即可； （2）首先根据和邻补角互补得到，然后利用三角形外角的性质求解即可； （3）延长交于点G，根据三角形的外角性质求解即可． 【详解】（1），理由如下： 如图所示，作    ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）∵， ∴ ∴ ∵ ∴； （3）．理由如下： 如图所示，延长交于点G，    ∴， ∵ ∴． 【点睛】此题考查了平行线的性质和判定，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 18．(1) 如图所示． (2) (3) 证明：分别是的高和角平分线， ， ． 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义以及直角三角形的性质，主要围绕三角形中的角平分线和高展开，通过三角形内角和定理以及角之间的关系来求解角度，熟练运用三角形内角和定理、角平分线定义以及直角三角形的性质来建立角之间的关系是解题的关键． （1）根据角平分线和高的定义补充图形； （2）先利用三角形内角和定理求出，再根据角平分线性质求出，最后结合直角三角形的性质求出； （3）通过用和表示和，进而推导出与、的关系． 【详解】（1）略 （2）解：∵在中，， ． 平分， ． 是边上的高， ， ， ． （3）略 19．(1)证明：如图过作 ， ， ， ， ， ． (2) ，理由如下： 平分，平分， 可设，, ． 由（1）同理可得，． ， ，即， ． ， ， ，即． (3)或 【分析】（1）过点作 ，利用平行线性质将和转移为的两部分； （2）设，，则，，由（1）结论得．由得，从而，利用三角形内角和定理求得，代入计算化简得； （3）由（2）的结论设，，，，作延长线得，利用（1）结论得，代入，解得，再分点在直线左侧和右侧两种情况，利用三角形内角和、邻补角关系及角度代换，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：根据题意，设，， 由（2）得，，， 如图，作的延长线，点是延长线上一点， ， ， ，即， 由（1）同理可得， ，即， 解得， ． 如图，当在左侧时， ，， ，即 ， ， 即． 如图，当在右侧时， 同理，， ， ，即． 综上，或． 20．(1)证明：连接， ∵的垂直平分线交于点E， ∴， ∵， ∴， ∵D为线段的中点， ∴； (2) 【分析】（1）连接，利用线段垂直平分线的性质证得，再根据等腰三角形的三线合一性质即可求证结论； （2）由三角形的内角和可得，进而得到． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 21．(1) (2) 解：．证明如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， 即； (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理． （1）利用三角形内角和定理求得，再利用平行线的性质即可求解； （2）利用平行线的性质得到，再利用三角形内角和定理即可求解； （3）利用角平分线的定义求得，，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）略 （3）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴． 故答案为：． 22．(1)27 (2) 【分析】（1）根据三角形的三边关系确定c的取值范围，进而求得c的最大值，最后求周长即可； （2）先根据三角形的三边关系确定、、的正负，再化简绝对值，然后再合并同类项即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ，即， ∵c为整数， ∴当，周长的最大值为； （2）解：的三边长为a，b，c， ，，， ∴ ． 23．【答案】(1)，； 的度数为，或； (2)的度数为． 【解析】（1），， ； 平分， ， ， ； ， ， 当时，如下图所示，； 当时，如下图所示，， ； 当时，如下图所示， ， ∴． 综上，当直线与的一条边垂直时，的度数为，或； （2）解：， 平分， ， ．． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $