第13章三角形的边角关系、命题与证明单元测试题2025-2026学年沪科版（2024）数学八年级上册

第13章三角形的边角关系、命题与证明单元测试题 一、单选题 1．小亮有两根长度分别为和的木条，他想钉一个三角形木框，现有以下4根不同长度的木条，他应选择的木条的长度为（    ） A． B． C． D． 2．对于命题“若，则．”能说明它属于假命题的反例是（　） A． B． C． D． 3．下图是四位同学在钝角三角形中画边上的高，其中画法正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列条件中，能判定△ABC为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在△ABC中，将折叠压平，使点落在边上， 则，，三者之间的等量关系为（　　） A． B． C． D． 6．如图．等于（ ） A． B． C． D． 7．如图，在△ABC中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（ ） A． B． C. D． （第7题图） （第8题图） 8．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在三边上，E是的中点，，，，交于一点G，，，则的面积是（    ） A．30 B．28 C．56 D．60 9．在数学活动课上，小明同学将含角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺上，测得，则的度数是（    ） A． B． C． D． （第9题图） （第10题图） 10．如图，BP平分∠ABC交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，若∠A＝40°，∠P＝38°，则∠C的度数为（    ）   A．36° B．39° C．38° D．40° 二、填空题 11．等腰三角形的两边长分别是6和10，则该三角形的周长是 ． 12．命题“互为补角的两个角和为180°”的逆命题是 . 13．如图，已知，则的度数为 ． （第13题图） （第14题图） （第15题图） 14．如图，在△ABC中，于点E，AD平分，F是AD延长线上的一点，过点F作于点G，若，，则的度数为 ． 15．如图，在△ABC中，已知分别是边的中点，且阴影部分图形的面积为7，则△ABC的面积为 ． 16．已知命题“如果一个数的立方根为负数，那么这个数是负数”，则关于该命题和它的逆命题，给出下列说法：该命题和它的逆命题都是真命题；该命题是真命题，它的逆命题是假命题；该命题是假命题，它的逆命题是真命题；该命题和它的逆命题都是假命题．其中正确的是 ．（填序号） 三、解答题 17．已知：△ABC中，，，求的度数． 18．已知三角形的三条边长分别为是，，． (1)求出的取值范围； (2)若此三角形是一个等腰三角形，求出的值，并计算三角形的周长． 19．如图，在中，点是延长线上的点，点在边上，连接，且， ，，求的度数． 20．在△ABC中，，交于点 E，平分．求的度数． 21．如图，在△ABC中，是边上的中线，若和的周长之差为4，与的和为14，求和的长． 22．如图，有如下三个论断：①，②，③．请以其中2个条件为题设，另1个条件为结论构成一个真命题． (1)你选择作为题设的条件是______；作为结论的条件是______．（填序号） (2)请证明你选择的命题． 23．小明想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程，请你帮他把探究过程补充完整． 如图，在△ABC的边上任取一点，作交于点，作交于点． ， ___________，___________．（_____________________） ， _____________________．（_____________________） ∵， _____________________．（_____________________） _____________________．（_____________________） ， _____________________． 24．【综合与探究】 (1)如图1，是和的平分线且相交于点，请猜想与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，是和外角的平分线且相交于点，请猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，为的平分线，为外角的平分线，它们相交于点，请猜想与之间的数量关系，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B D C A D D C A 1．D 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键． 设木条的长度为，再由三角形的三边关系即可得出结论． 【详解】解：设木条的长度为，由题意可得：， ∴， 故选：D． 2．B 【分析】本题考查了举反例判断命题真假．反例就是符合已知条件但不满足结论的例子，可据此判断出正确的选项． 【详解】解：A、，满足，，不能作为反例，故不符合题意； B、，满足，，能作为反例，故符合题意； C、，不满足，不能作为反例，故不符合题意； D、，满足，，不能作为反例，故不符合题意； 故选：B． 3．B 【分析】本题考查了三角形的高线，解决本题的关键是掌握三角形高的画法． 根据过三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫做高判断即可． 【详解】解：A、不符合边的高的做法，不符合题意； B、高交的延长线于点D，符合题意； C、做的是边上的高线，不符合题意； D、不符合边的高的做法，不符合题意． 故选B． 4．D 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，直角三角形的定义，根据三角形内角和定理，直角三角形的定义一一判断即可． 【详解】解：．∵，， ∴，∴，则不能判定为直角三角形，故该选项不符合题意； ．∵，， ∴，∴，无法确定或是否为，则不能判定为直角三角形，故该选项不符合题意； ．∵，， ∴，∴，，，则不能判定为直角三角形，故该选项不符合题意； ．∵，，∴，则为直角三角形，故该选项符合题意； 故选：D． 5．C 【分析】本题考查了三角形翻折与三角形内角和，熟练掌握三角形内角和为及翻折中的角度不变是解题的关键．利用翻折得，，可分别求出和，再利用三角形内角和可求． 【详解】解：如图所示： 由翻折知，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 6．A 【分析】本题考查了三角形外角、三角形内角和的知识，熟练掌握三角形的外角的性质与内角和定理是解题的关键．延长，交于点G，根据三角形外角的性质，得，，再根据三角形内角和的性质计算，即可得到答案． 【详解】如图，延长，交于点G， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 7．D 【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断．本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的概念是解题的关键． 【详解】解：∵是的中线， ∴，A说法正确，不符合题意； ∵是角平分线， ∴，B说法正确，不符合题意； ∵是高， ∴， ∴，C说法正确，不符合题意； ∵是角平分线， ∴不一定是的中点，即不一定成立， ∴不一定成立，D说法错误，符合题意． 故选：D． 8．D 【分析】本题考查了三角形面积的求法，根据得出和面积之间的关系，根据E是的中点得出和面积之间的关系，从而求出的面积，再根据是的中线即可求出的面积，熟知三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， 故选：D． 9．C 【分析】本题主要考查了平行线的性质、三角形的外角性质等知识点，灵活运用三角形外角的性质是解题的关键． 根据平行线的性质和三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：如图： ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴． 故选：C． 10．A 【分析】根据角平分线的定义可得∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，再根据三角形的内角和定理列出等式整理即可得解． 【详解】∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC， ∴∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA， ∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP， ∠C+∠CBP=∠P+∠PDF， ∴∠A+∠C=2∠P， ∵∠A=40°，∠P=38°， ∴∠C=2×38°-40°=36°， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记定理并理解“8字形”的等式是解题的关键． 11．22或26 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据等腰三角形的两边长分别是6和10，进行分类讨论，如果满足三边关系，则计算周长，即可作答． 【详解】解：∵等腰三角形的两边长分别是6和10， ∴当腰长为6时，三边分别是 则， ∴， ∴当腰长为10时，三边分别是 则， ∴， 故答案为：22或26． 12．和为180°的两个角互为补角 【分析】把原命题的条件与结论互换进而得出答案． 【详解】解：命题“互为补交的两个角和为”的逆命题是：和为的两个角互为补角． 故答案为：和为的两个角互为补角． 【点睛】此题主要考查了命题与定理，正确理清条件与结论是解题关键． 13． 【分析】本题主要考查了三角形外角的定义和性质，求角的邻补角，根据三角形外角的定义和性质以及邻补角的定义代入求解即可． 【详解】解：， 故答案为： 14．/18度 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，直角三角形的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 先根据三角形内角和定求出，再由角平分线求出，然后根据直角三角形锐角互余求出，最后由得到，即可求解． 【详解】，， ． 平分， ． ， ， ． ， ， ． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了与中线有关的三角形面积的计算． 由是的中点可得，由是的中点可得，，从而得到，再由即可得到答案． 【详解】解：是的中点， ， 是的中点， ，， ， ， ， 故答案为：． 16． 【分析】此题考查了互逆命题，根据互逆命题的定义即把一个命题的题设和结论互换和性质定理进行解答，即可求出答案，掌握互逆命题的定义即两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题是解题的关键． 【详解】解：如果一个数的立方根为负数，那么这个数是负数，是真命题， 则它逆命题为：如果一个数为负数，那么这个数的立方根是负数，是真命题， ∴该命题和它的逆命题都是真命题， 故答案为：． 17． 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，熟知三角形的内角和是180度是解题的关键 设，根据三角形的内角和是180度列方程求解即可． 【详解】解：设，则，，   则， 解得， ∴． 18．(1) (2)三角形的周长为15 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系的知识，解题的关键是掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． （1）直接根据三角形的三边关系求出x的取值范围； （2）根据三角形是等腰三角形，确定第三边是，进而求出三角形的周长． 【详解】（1）解：根据三角形三边关系，得 ∴； （2）解：∵三角形是等腰三角形，且， 则， ∴第三边只能是， ∴周长为． 19． 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，根据三角形的外角的性质可得，，即可求解． 【详解】解：∵，分别是的一个外角， ∴，． ∵， ，， ∴． 20． 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的内角和定理求出的度数，的度数，角平分线求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵交于点 E，平分， ∴，， ∴， ∴． 21． 【分析】本题考查了三角形的中线定义，二元一次方程组的求解，根据周长的差得出边和的差等于4是解题的关键．根据三角形中线的定义，．所以和的周长之差也就是和的差，然后联立关于和的二元一次方程组，利用加减消元法求解即可． 【详解】解：是边上的中线， ， 的周长的周长， 即①， 又②， 得．， 解得：， 得，， 解得， 和的长分别为：． 22．(1)①②，③或②③，①或①③，② (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据平行直线的性质和判断即可得到答案； （2）根据平行直线的性质：两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，再结合平行直线的判断方法，即可证得． 【详解】（1）解：①选择作为题设的条件是，，作为结论的条件是； ②选择作为题设的条件是，，作为结论的条件是； ③选择作为题设的条件是，，作为结论的条件是； （2）解：①如果，，那么； 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如果，，那么； 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ③如果，，那么； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的证明，平行线的性质，根据平行线的性质和已给出的推理过程进行证明即可． 【详解】解：，， ，（两直线平行，同位角相等）． ， （两直线平行，同位角相等）． ∵， （两直线平行，内错角相等）， （等量代换）． ， ． 24．(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，熟知三角形内角和定理和三角形外角的性质是解题的关键． （1）由三角形内角和定理可得，再由角平分线的定义推出，则由三角形内角和定理可得答案； （2）由三角形内角和定理可得，再由角平分线的定义和平角的定义推出，则由三角形内角和定理可得答案； （3）由三角形外角的性质和角平分线的定义可推出，据此可得结论． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵在中，， ∴； ∵是和的平分线且相交于点， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵在中，， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵是和外角的平分线且相交于点， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 由三角形外角的性质可得， ∵为的平分线，为外角的平分线， ∴， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $