3.1.1 勾股定理的发现 同步练习-2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦勾股定理发现，通过基础-中档-提升三层设计，覆盖概念理解、综合应用及拓展探究，适配新授课知识巩固与思维进阶，培养抽象能力、推理意识及几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|勾股定理概念与直接应用|选择题6辨析定理条件，填空题14直接计算第三边，夯实基础认知| |中档|定理综合应用与变式|填空题12结合分类讨论（钝角/锐角三角形），解答题16用面积法求高，提升推理能力| |提升|复杂情境与跨知识整合|解答题15综合四边形、等边三角形与勾股定理，选择题7结合正方形与全等，发展几何直观|

3.1.1 勾股定理的发现 一．选择题（共8小题） 1．如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，若CD⊥AB于点D，则CD的长为（　　） A． B． C． D． 2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以Rt△ABC的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示．若S1＝34，S3＝9，则CM的长为（　　） A．8 B． C．9 D． 3．如图，面积为2的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为﹣1，以点A为圆心，AD长为半径向右画弧，交数轴于点E，则数轴上点E所表示的数为（　　） A． B．0.414 C． D． 4．如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（　　） A．16 B．25 C．144 D．169 5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC＝3，AB＝5，则CE的长为（　　） A． B． C． D． 6．下列说法中正确的是（　　） A．已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2＝c2 B．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方 C．在Rt△ABC中，∠C＝90°，所以a2+b2＝c2 D．在Rt△ABC中，∠B＝90°，所以a2+b2＝c2 7．如图，正方形ABCD的边长为10，AG＝CH＝8，BG＝DH＝6，连接GH，则线段GH的长为（　　） A． B．2 C． D．10﹣5 8．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a+b＝14cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积是（　　） A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．60cm2 二．填空题（共6小题） 9．在△ABC中，AD是BC边上的中线，AB＝2，BC＝6，∠B＝30°，则△ABD的面积为　 　 ． 10．如图，在△ABC中，AB＝14，AC＝16，AD⊥BC垂足为D，M为AD上任意一点，则MC2﹣MB2＝　 　 ． 11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以这个三角形的三边AB，BC，AC为边向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S1+S2﹣S3＝18，则图中阴影部分的面积为　 　 ． 12．在△ABC中，AB＝13cm，AC＝20cm，BC边上的高为12cm，则△ABC的面积为 　 　 cm2． 13．把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB，则CD＝　 　 ． 14．已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为 　 　 ． 三．解答题（共4小题） 15．在四边形ABCD中，AB＝AD＝8，∠A＝60°，∠D＝150°，四边形周长为32，求BC和CD的长度． 16．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15， （1）求AB的长； （2）求CD的长． 17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．求AE的长． 18．如图，△ABC中，AB＝4，∠ABC＝45°，D是BC边上一点，且AD＝AC，若BD﹣DC＝1．求DC的长． 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．【解答】解：由勾股定理得：AB5， ∵S△ABCAC×3AB•CD， ∴CD， 故选：B． 2．【解答】解：连接AE， ∵S1＝34，S3＝9， ∴AB2＝34、AC2＝9， ∴AC＝3， ∵BC2＝AB2﹣AC2＝34﹣9＝25， ∴BC＝5， 由题意可得：BC＝CD＝DE＝BE＝5、AB＝BM、∠ABM＝∠CBE＝∠CDE＝90°， ∴∠ABM+∠ABC＝∠CBE+∠ABC， ∴∠CBM＝∠ABE， 在△BCM和△BEA中， ， ∴△BCM≌△BEA（SAS）， ∴CM＝AE， ∴∠ACB＝90°、∠BCD＝90°， ∴∠ACB+∠BCD＝180°， ∴A、C、D三点共线， AD＝AC+CD＝3+5＝8， ∴， ∴． 故选：D． 3．【解答】解：面积为2的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为﹣1，以点A为圆心，AD长为半径向右画弧，交数轴于点E， ∵正方形ABCD的面积为2， ∴， ∵以点A为圆心，AD长为半径向右画弧，交数轴于点E， ∴， ∴数轴上点E所表示的数为， 故选：A． 4．【解答】解： 根据勾股定理得出：AB， ∴EF＝AB＝5， ∴阴影部分面积是25， 故选：B． 5．【解答】方法一： 解：过点F作FG⊥AB于点G， ∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠CDA＝90°， ∴∠CAF+∠CFA＝90°，∠FAD+∠AED＝90°， ∵AF平分∠CAB， ∴∠CAF＝∠FAD， ∴∠CFA＝∠AED＝∠CEF， ∴CE＝CF， ∵AF平分∠CAB，∠ACF＝∠AGF＝90°， ∴FC＝FG， ∵∠B＝∠B，∠FGB＝∠ACB＝90°， ∴△BFG∽△BAC， ∴， ∵AC＝3，AB＝5，∠ACB＝90°， ∴BC＝4， ∴， ∵FC＝FG， ∴， 解得：FC， 即CE的长为． 故选：A． 方法二： 过点F作FG⊥AB于点G， ∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠CDA＝90°， ∴∠CAF+∠CFA＝90°，∠FAD+∠AED＝90°， ∵AF平分∠CAB， ∴∠CAF＝∠FAD， ∴∠CFA＝∠AED＝∠CEF， ∴CE＝CF， ∵AF平分∠CAB，∠ACF＝∠AGF＝90°， ∴FC＝FG， ∵AC＝3，AB＝5，∠ACB＝90°， ∴BC＝4， 在Rt△AFC和Rt△AFG中， ， ∴Rt△AFC≌Rt△AFG（HL）， ∴AC＝AG＝3， ∴设FG＝x，则BF＝4﹣x，BG＝AB﹣AG＝5﹣3＝2， ∴FG2+BG2＝BF2， 则x2+22＝（4﹣x）2， 解得：x， 即CE的长为． 故选：A． 6．【解答】解：在直角三角形中只有斜边的平方等于其他两边的平方的和，且斜边对角为直角． A、不确定c是斜边，故本命题错误，即A选项错误； B、不确定第三边是否是斜边，故本命题错误，即B选项错误； C、∠C＝90°，所以其对边为斜边，故本命题正确，即C选项正确； D、∠B＝90°，所以斜边为b，所以a2+c2＝b2，故本命题错误，即D选项错误； 故选：C． 7．【解答】解：如图，延长BG交CH于点E， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝90°，AB＝CD＝10， ∵AG＝8，BG＝6， ∴AG2+BG2＝AB2， ∴∠AGB＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， 又∵∠2+∠3＝90°， ∴∠1＝∠3， 同理：∠4＝∠6， 在△ABG和△CDH中， ， ∴△ABG≌△CDH（SSS）， ∴∠1＝∠5，∠2＝∠6， ∴∠2＝∠4， 在△ABG和△BCE中， ， ∴△ABG≌△BCE（ASA）， ∴BE＝AG＝8，CE＝BG＝6，∠BEC＝∠AGB＝90°， ∴GE＝BE﹣BG＝8﹣6＝2， 同理可得HE＝2， 在Rt△GHE中，GH2， 故选：B． 8．【解答】解：∵a+b＝14 ∴（a+b）2＝196 ∴2ab＝196﹣（a2+b2）＝96 ∴ab＝24． 故选：A． 二．填空题（共6小题） 9．【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E， ∵∠B＝30°， ∴AE1， ∵AD是BC边上的中线，BC＝6， ∴BD3， ∴△ABD的面积， 故答案为：． 10．【解答】解：∵AD⊥BC， 在直角三角形MCD中，由勾股定理得：MC2﹣MD2＝CD2， 在直角三角形MBD中，由勾股定理得：MB2﹣MD2＝BD2， 在直角三角形ABD中，由勾股定理得：AB2﹣DA2＝BD2， 在直角三角形ACD中，由勾股定理得：AC2﹣AD2＝CD2， ∴MC2﹣MD2＝AC2﹣AD2，MB2﹣MD2＝AB2﹣AD2， ∴MC2＝AC2﹣AD2+MD2，MB2＝AB2﹣AD2+MD2， ∴MC2﹣MB2 ＝AC2﹣AD2+MD2﹣（AB2﹣AD2+MD2）， ＝AC2﹣AB2 ＝162﹣142 ＝60． 故答案为：60． 11．【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+AB2＝BC2， 即S1+S3＝S2， ∵S1+S2﹣S3＝18， ∴S1＝9， 由图形可知，阴影部分的面积S1， ∴阴影部分的面积9＝4.5， 故答案为：4.5． 12．【解答】解：当∠B为锐角时（如图1）， 在Rt△ABD中， BD5（cm）， 在Rt△ADC中， CD16（cm）， ∴BC＝21， ∴S△ABC21×12＝126（cm2）； 当∠ABC为钝角时（如图2）， 在Rt△ABD中， BD5（cm）， 在Rt△ADC中， CD16（cm）， ∴BC＝CD﹣BD＝16﹣5＝11（cm）， ∴S△ABC11×12＝66（cm2）， 故答案为：126或66． 13．【解答】解：如图，过点A作AF⊥BC于F， 在Rt△ABC中，∠B＝45°， ∴BCAB＝2，BF＝AFAB＝1， ∵两个同样大小的含45°角的三角尺， ∴AD＝BC＝2， 在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF ∴CD＝BF+DF﹣BC＝121， 故答案为：1． 14．【解答】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时： 第三边的长为：； ②长为3、4的边都是直角边时： 第三边的长为：5； 综上，第三边的长为：5或． 故答案为：5或． 三．解答题（共4小题） 15．【解答】解：如图，连接BD，由AB＝AD，∠A＝60°． 则△ABD是等边三角形．即BD＝8，∠1＝60°． 又∠1+∠2＝150°，则∠2＝90°． 设BC＝x，CD＝16﹣x，由勾股定理得：x2＝82+（16﹣x）2，解得x＝10，16﹣x＝6 所以BC＝10，CD＝6． 16．【解答】解：（1）在Rt△ABC中， ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20， ∴AB25； ∴AB的长是25； （2）∵S△ABCAC•BCAB•CD， ∴AC•BC＝AB•CD ∴20×15＝25CD， ∴CD＝12． 17．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10， ∴BC6， 连接BE， ∵DE垂直平分AB， ∴AE＝BE， 设AE＝BE＝x，则CE＝8﹣x， 在Rt△BCE中，∵BC2+CE2＝BE2， ∴62+（8﹣x）2＝x2， 解得x， ∴AE． 18．【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，如图所示． ∵AD＝AC，AE⊥BC， ∴∠AEB＝90°，DE＝CE． ∵∠ABC＝45°， ∴∠BAE＝45°， ∴AE＝BE． 在Rt△ABE中，AB＝4， ∴AE2+BE2＝AB2，即BE2+BE2＝（4）2， ∴BE＝4， ∴BDDC＝4． 又∵BD﹣DC＝1， ∴DC+1DC＝4， ∴DC＝2． 学科网（北京）股份有限公司 $