第六单元 数学广角：鸽巢问题（教学设计）2026-2027学年六年级上册数学人教版

*数学广角：鸽巢问题

【教材分析】

《鸽巢问题》是新人教版六年级上册数学广角的教学内容，属于小学数学逻辑推理与数学建模的拓展性知识，也是小学阶段渗透组合数学思想的重要内容。本节课核心内容包含基础鸽巢原理、鸽巢原理通用公式及实际应用，教材通过生活中常见的分物品、归置物体等真实情境，引导学生从具体操作、枚举验证到抽象推理，逐步理解“总有、至少”的核心含义，总结出鸽巢问题的解题规律。本内容是学生后续学习概率问题、逻辑推理问题的基础，能够有效培养学生的抽象思维、归纳推理和数学建模能力，助力学生完成从具象解题到抽象逻辑思考的思维升级，贴合小学高段学生数学核心素养的培养要求。

【学情分析】

六年级学生已经具备一定的动手操作、观察对比、简单归纳的数学学习能力，能够独立完成分物、列举数据等基础探究活动，且在生活中对“物品分配、人员分组”等场景有丰富体验，为本课学习奠定了生活和能力基础。但学生存在明显的认知短板：一是对“总有、至少”两个数学专属关键词的精准含义难以理解，容易片面解读；二是擅长具象操作，不擅长抽象推理和规律总结，无法快速将生活问题转化为鸽巢问题数学模型；三是容易混淆“物体数”和“抽屉数”，在变式题型和生活复杂情境中解题容易出错。教学中需依托真实生活情境，通过动手实操、对比辨析、分层练习突破认知难点。

【教学目标】

1.知识与技能：

理解鸽巢问题的基本原理，精准掌握“总有、至少”的数学含义；掌握枚举法、假设法两种探究方法，熟练运用“物体数÷抽屉数=商……余数，至少数=商+1”的通用规律解决基础及变式问题，能准确区分生活情境中的物体和抽屉。

2.数学思考：

经历“情境观察—动手操作—数据对比—归纳总结—建模应用”的完整探究过程，培养有序思考、逻辑推理、抽象概括的数学思维，渗透数形结合、数学建模、极限思想。

3.问题解决：

能将生活中的分配、分组、归类问题抽象为鸽巢问题模型，独立解决填空、判断、选择、解决问题等各类题型，能应对变式习题、对比习题和生活拓展题型，提升运用数学知识解决实际问题的能力。

4.情感态度：

感受数学与生活的紧密联系，体会数学逻辑的严谨性和趣味性，在自主探究和小组合作中获得成就感，激发数学学习兴趣，培养主动探究、乐于思考的学习习惯。

【教学重点】

1.理解鸽巢问题的基本原理，明确“总有、至少”的精准含义。

2.掌握鸽巢问题的通用解题规律，能运用规律解决基础实际问题。

【教学难点】

准确区分复杂生活情境中的物体数和抽屉数，理解“平均分”是推导至少数的核心依据，灵活运用鸽巢原理解决变式及思维拓展类问题，完成生活问题到数学模型的转化。

【教学准备】

教师准备：多媒体课件、4个纸杯、5支铅笔、课堂习题课件、生活情境素材图片。

学生准备：练习本、草稿纸、铅笔、直尺。

【教学课时】2课时

第一课时 鸽巢问题基础原理

【教学过程】

导入新课（游戏情境，激趣导入）

创设真实课堂游戏情境：上课前，老师邀请4名同学参与“抢座位”游戏，现场摆放3把椅

子，规则为4名同学同时站好，老师喊口令后必须全部坐到椅子上。游戏结束后，老师直接断言：“不管怎么坐，总有一把椅子上至少坐2名同学。”

教师活动：组织学生现场游戏，重复2-3次游戏，每次游戏后引导学生观察结果，抛出问题：“多次游戏结果都符合这个结论，大家知道这是为什么吗？这其中藏着一个有趣的数学原理，今天我们就一起来学习——鸽巢问题。”板书课题。

学生活动：参与游戏、观察游戏结果，发现无论如何落座，都必然出现一把椅子坐2人及以上的情况，产生探究疑问，主动进入新课学习。

预设问题答案：学生疑惑为什么必然出现该结果，无法随意推翻结论，激发探究欲望。

环节一：动手实操，探究基础鸽巢问题（4支铅笔放进3个纸杯）

创设生活情境：班级文具整理场景，要把4支相同的铅笔放进3个相同的纸杯里，允许纸杯空着，有几种不同的放法？

1.教师活动：布置小组探究任务，让学生以4人为一小组，用铅笔和纸杯动手摆放，记录所有不同的摆放结果，提醒学生有序列举，避免重复、遗漏。巡视各小组操作情况，指导学困生有序列举。

学生活动：小组合作动手操作，逐一摆放铅笔，记录所有摆放情况，整理出全部放法。

预设学生操作结果：共有4种放法，分别是（4,0,0）、（3,1,0）、（2,2,0）、（2,1,1）。

2.教师活动：课件展示4种放法，提问：“观察所有放法，每一种放法中，数量最多的纸杯里分别有几支铅笔？”

学生活动：逐一观察数据，对比分析，回答问题。

预设答案：分别是4支、3支、2支、2支。

3.教师活动：追问核心问题：“结合所有结果，我们可以得到什么结论？是不是总有一个纸杯里的铅笔数量不少于2支？”引导学生理解关键词。

学生活动：集体观察、讨论、归纳，尝试总结结论。

预设答案：把4支铅笔放进3个纸杯里，总有一个纸杯里至少有2支铅笔。

4.教师活动：精准解读关键词：“总有”指一定存在、必然出现；“至少2支”指最少2支，包含2支及2支以上。提问：“有没有可能所有纸杯里都只有1支及以下铅笔？”

学生活动：结合摆放结果辨析关键词含义，反向验证结论。

预设答案：不可能，3个纸杯各放1支，只用了3支，还剩1支，必须放进任意一个纸杯，所以必然有一个纸杯至少2支。

5.教师活动：引导学生思考：“不用逐一列举，有没有更简便的方法快速推出结论？”引出假设平均分法。

学生活动：自主思考、小组讨论，尝试用平均分的思路推导。

预设思路：先给每个纸杯平均分1支铅笔，3个纸杯分掉3支，剩下1支任意放入一个纸杯，这个纸杯就有2支。

6.教师活动：梳理方法，小结：平均分法是鸽巢问题最简便的推理方法，比枚举法更高效，适合所有同类问题。

[设计意图]通过真实的文具整理情境，让学生动手实操、自主列举，从具象操作中直观感知鸽巢问题，精准突破“总有、至少”两个核心难点，初步掌握枚举法和假设平均分法，培养有序思考的能力。

环节二：变式探究，归纳基础规律

创设递进情境：班级分发练习本，依次探究三组问题：①5本练习本分给4名同学；②6本练习本分给5名同学；③10本书放进9个抽屉。

1.教师活动：依次出示问题，要求学生不用枚举，直接用平均分法推理结论，逐题提问学生。

学生活动：独立思考、口头推理，逐一说出结论和推理过程。

预设答案：①总有一名同学至少分到2本；②总有一名同学至少分到2本；③总有一个抽屉至少放2本书。推理过程：物体数量比抽屉数量多1，平均分后剩余1个，必然有一个抽屉多1个。

2.教师活动：引导学生对比所有例题数据，提问：“观察每组数据的物体数和抽屉数，有什么共同特点？”

学生活动：对比数据、小组讨论，总结共性。

预设答案：物体数量比抽屉数量多1。

3.教师活动：引导学生归纳通用基础结论：当物体数比抽屉数多1时，总有一个抽屉至少放2个物体。

学生活动：记录规律，齐读结论，加深记忆。

4.教师活动：回扣课前抢椅子游戏，提问：“现在大家能解释游戏结论了吗？这里的物体和抽屉分别是什么？”

学生活动：结合规律解释游戏现象，区分物体和抽屉。

预设答案：物体是4名同学，抽屉是3把椅子，4比3多1，所以总有一把椅子至少坐2名同学。

5.教师活动：拓展提问：“5只鸽子飞进4个鸽笼，会有什么结论？”

学生活动：快速抢答，运用规律解题。

预设答案：总有一个鸽笼至少飞进2只鸽子。

6.教师活动：课堂小结基础知识点，梳理本节课探究的原理和方法。

[设计意图]通过递进式变式情境，让学生脱离具象操作，逐步走向抽象推理，归纳出基础鸽巢原理，完成从实操到思维的提升，同时回扣导入情境，做到首尾呼应，巩固新知。

环节三：基础辨析，巩固核心概念

创设易错辨析情境：展示3道易错题，引导学生辨析对错、说明理由，深化对“总有、至少”的理解。

1.教师活动：出示题目1：“3个苹果放进2个盘子，一定有一个盘子至少放2个苹果。”提问对错并说明理由。

学生活动：独立判断、说理辨析。

预设答案：对，平均分各放1个，剩余1个，总有一个盘子至少2个。

2.教师活动：出示题目2：“4支铅笔放进3个纸杯，一定有一个纸杯刚好放2支。”提问对错并说明理由。

学生活动：对比之前的摆放结果，辨析错误原因。

预设答案：错，可能有纸杯放3支、4支，“至少2支”不是“刚好2支”。

3.教师活动：出示题目3：“5名学生分4组做游戏，总有一组至少有2名学生。”提问对错并说明理由。

学生活动：独立思考，规范说理。

预设答案：对，5比4多1，符合鸽巢原理。

4.教师活动：重点强调易错点：“至少”是最小值，包含大于的情况，不能等同于“刚好”。

学生活动：记录易错点，加深概念认知。

5.教师活动：随机抽查学生复述核心原理和关键词含义。

学生活动：主动举手复述，巩固知识点。

6.教师活动：梳理本节课易错知识点，形成简单记忆口诀。

[设计意图]针对学生高频易错点设计辨析情境，精准纠正认知误区，深化对核心概念的理解，规范学生的数学说理能力，夯实本节课基础知识点。

 

第二课时 鸽巢问题通用公式及综合应用

【教学过程】

导入新课（复习导入，衔接新知）

创设复习情境：回顾上节课知识，提问：“物体数比抽屉数多1时，我们可以得到什么结论？如果物体数比抽屉数多2、多3，结论还一样吗？今天我们继续探究鸽巢问题的通用规律。”

教师活动：提问旧知，引发新思考，板书课题副标题：鸽巢问题通用规律及应用。