第10讲 2.2一元二次方程的解法（第3课时） 暑假预习讲义 2026- 2027学年苏科版八升九年级数学上册

苏科版数学九年级上册暑假预习讲义 第10讲　2.2　一元二次方程的解法（第3课时） 【学习目标】 1. 掌握用配方法解二次项系数不为的一元二次方程的一般步骤。 1. 能在配方前先将二次项系数化为，再进行配方。 1. 进一步体会“转化”的数学思想——将系数不为1的情形转化为系数为1的情形。 【知识梳理】 一、二次项系数不为1时的处理策略 当一元二次方程的二次项系数时，不能直接配方。应先将二次项系数化为，再进行配方。 核心思路：方程两边同除以二次项系数，将其转化为二次项系数为的方程。 二、用配方法解二次项系数不为1的方程的步骤 以为例： 步骤 操作 示例 第一步　化系数 两边同除以二次项系数 第二步　移项 将常数项移到等号右边 第三步　配方 两边加一次项系数一半的平方 第四步　变形 左边写成完全平方式 第五步　开方 用直接开平方法求解 ，或 口诀：先化1，再移项，配方开方得答案。 做一做（即时练习）： 1. 方程两边同除以后，得______。 1. 用配方法解方程时，第一步应______。 1. 方程配方后为______。 1. 方程中，二次项系数为______，两边同除以______后，一次项系数为______。 1. 用配方法解方程时，配方后为______。 【典例精讲】 【例1】（化系数为1后配方） 用配方法解下列方程： （1）　　（2） 【分析】 二次项系数分别为和，均不为。先两边同除以二次项系数，将系数化为，再按配方法步骤求解。 【解答】 （1） 两边同除以，得， 移项，得， 配方，两边同加，得， 变形，得， 开方，得， 解得，。 （2） 两边同除以，得， 移项，得， 配方，两边同加，得， 变形，得， 开方，得， 解得，。 【反思】 化系数为时，方程每一项都要除以二次项系数，包括常数项。 【例2】（二次项系数为负数的处理） 用配方法解方程。 【分析】 二次项系数为，可以先两边同乘以将二次项系数化为正数，再同除以化为。 【解答】 两边同乘以，得， 两边同除以，得， 移项，得， 配方，两边同加，得， 变形，得， 开方，得， 解得，。 【反思】 二次项系数为负数时，先化为正数再配方，可以避免符号错误。 【例3】（配方法在求最值中的应用） 用配方法求代数式的最大值。 【分析】 将代数式配方成的形式，利用完全平方式的非负性求最值。 【解答】 提取二次项系数，得 括号内配方，，得 。 ， 。 当时，代数式取得最大值。 【反思】 配方法不仅可以解方程，还可以求代数式的最值。 【跟踪练习1】 1. 用配方法解下列方程： （1）　　（2） 1. 用配方法解方程。 1. 用配方法求代数式的最小值。 【举一反三】 1. 方程两边同除以后，得______。 1. 用配方法解方程时，第一步应______。 1. 方程配方后为______。 1. 用配方法解方程时，应先______。 1. 代数式的最小值为______。 1. 用配方法解方程，配方后为______。 1. 若方程用配方法求解时，第一步两边同除以，则的取值范围是______。 1. 用配方法解方程的解为______。 【分层训练】 ◆ A组·基础过关 一、填空题。 1. 方程两边同除以后，得______。 1. 用配方法解方程时，第一步应______。 1. 方程配方后为______。 1. 方程中，两边同除以后，一次项系数为______。 1. 用配方法解方程时，应先______。 1. 代数式的最小值为______。 二、判断题。（对的打“√”，错的打“×”） 1. 解二次项系数不为1的方程时，必须先将二次项系数化为1。（　　） 1. 方程配方后为。（　　） 1. 用配方法解方程时，二次项系数为负数也可以直接配方。（　　） 1. 代数式的最大值为。（　　） 三、选择题。 1. 用配方法解方程，配方后为（　　） · A. 　　B. 　　C. 　　D. 1. 用配方法解方程，配方后为（　　） · A. 　　B. 　　C. 　　D. 1. 方程的解为（　　） · A. 　　B. 　　C. 　　D. 1. 代数式的最大值为（　　） · A. 　　B. 　　C. 　　D. 15.若代数式P＝2a2﹣2a+3，Q＝a2+1，则P和Q的大小关系是（　　） A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．无法确定 ◆ B组·能力提升 16.用配方法解下列方程： （1）　　（2）　　（3） 17.△ABC的三边分别为a，b，c，有b+c＝8，bc＝a2﹣12a+52，按边分类，则△ABC是______三角形． 18.用配方法证明：代数式的值恒为负数。 ◆ C组·思维拓展 19. 用配方法求代数式的最大值。 20. 已知的最小值，用配方法求解。 21. 若关于的方程配方后为，求的值。 【本讲总结】 知识框架 分类 核心内容 关键要点 化系数为1 两边同除以（） 每一项都要除以 配方步骤 化1→移项→配方→变形→开方 比系数为1时多一步 系数为负 先化为正数再配方 避免符号错误 最值问题 配方成 利用非负性求最值 常见错误提醒 错误类型 正确理解 化系数时只化二次项 方程每一项都要除以二次项系数 系数为负时符号处理错误 先乘以化为正数，或配方时小心符号 配方时忘记右边也要加 等式两边同时加同一个数 学习建议 1. 解二次项系数不为1的方程时，先检查系数，先化1，再配方。 1. 化系数时注意每一项都要除以同一个数。 1. 求最值时，配方后利用的性质判断。 【参考答案与详细解析】 知识梳理·做一做 1. 答案： 1. 答案：两边同除以 1. 答案：（或） 1. 答案：；； 1. 答案：（或） 典例精讲·跟踪练习1 1. 答案：（1），；（2）， 解析：（1）两边同除以2得，。（2）两边同除以3得，。 1. 答案：， 解析：，两边同乘得，两边同除以3得，。 1. 答案：最小值为 解析：，最小值为。 举一反三 1. 答案： 1. 答案：两边同除以 1. 答案：（或） 1. 答案：两边同乘以（将二次项系数化为正数） 1. 答案： 解析：，最小值为。 1. 答案： 1. 答案： 1. 答案：， A组·基础过关 1. 答案： 1. 答案：两边同除以 1. 答案： 1. 答案： 1. 答案：两边同乘以（或先化为正数） 1. 答案： 1. 答案：√ 1. 答案：√ 1. 答案：√ 1. 答案：√（） 1. 答案：A 1. 答案：A 1. 答案：A 解析：，，，。 1. 答案：B 1. A B组·能力提升 15. 答案： （1），，，。 （2），，，。 （3），，，，，。 17.答案： 解析：解：∵b+c＝8， ∴b＝8﹣c， ∴bc＝（8﹣c）c＝﹣c2+8c， ∴bc＝a2﹣12a+52＝﹣c2+8c， ∴a2﹣12a+36+16+c2﹣8c＝0， 整理得：（a﹣6）2+（c﹣4）2＝0， ∵（a﹣6）2≥0，（c﹣4）2≥0， ∴a﹣6＝0，即a＝6；c﹣4＝0，即c＝4， ∴b＝8﹣4＝4， ∴△ABC为等腰三角形． 18.答案：，，，恒为负数。 C组·思维拓展 19.答案：最大值为 解析：。 20.答案：最小值为 解析：。 21.答案： 解析：，展开得，，两边同乘以得，故。 【本讲完成情况】 项目 完成情况（✔） 自我评价 知识梳理阅读 （　） 已理解 / 需再读 做一做（5题） （　） 全对 / 错______题 典例精讲学习 （　） 已掌握 / 需再练 跟踪练习1（3题） （　） 全对 / 错______题 举一反三（8题） （　） 全对 / 错______题 A组·基础过关（14题） （　） 全对 / 错______题 B组·能力提升（3题） （　） 全对 / 错______题 C组·思维拓展（3题） （　） 全对 / 错______题 错题号：________________ 订正笔记： ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $