2.4《用一元二次方程解决问题1》教案 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

该教案聚焦用一元二次方程解决面积问题与几何体计算，通过矩形地毯面积问题导入，衔接前置的方程解法，搭建从“解方程”到“建模”的学习支架，覆盖靠墙围矩形、道路平移、无盖盒子等情境。 以数学建模为主线，通过分层例题（如道路平移割补）和A/B/C层练习，培养直观想象（图形转化）和逻辑推理（验根），结合思维导图梳理知识，助力学生掌握建模六步，为教师提供结构化资源，提升教学效率。

苏科版数学 九年级上册 2.4 用一元二次方程解决问题（1） 面积问题与几何体计算 教 案 执教年级 九年级 教材版本 2026-2027 学年苏科版九年级数学上册 课时安排 40 分钟 / 第 1 课时 授课教师 学校： 姓名： 一、教学内容分析 本课为苏科版九年级上册第2章《一元二次方程》第4节第1课时.学生已掌握一元二次方程的概念、三种解法（配方法、因式分解法、公式法）以及根与系数关系，本节课进入应用层面——用方程模型解决现实世界中的面积问题与几何体计算问题.核心内容覆盖两类情境：面积问题（一边靠墙围矩形、道路平移割补、四周镶边）与几何体计算（矩形铁皮剪角折成无盖长方体盒子）.教学主线是让学生经历完整的数学建模过程：审→设→列→解→检→答. 知识脉络 位置 内容 与本课关系 前置知识 2.1-2.3 一元二次方程概念、三种解法、根与系数关系 已学，本节课灵活选用 本课内容 2.4（1） 面积问题与几何体计算 建立方程模型、求解、验根 后续内容 2.4（2） 增长率、利润问题 未学，不提前出现 二、学情分析 ▶ 学习定位 已学：一元二次方程概念、三种解法、根与系数关系、八下平面几何（矩形/三角形面积、勾股定理）. 本课：从“会解方程”转向“会用方程描述现实”，关键是把图形语言转化为代数式并建立等量关系. 未学：增长率/利润问题（2.4后续）、二次函数（九下）、圆与统计概率（第3-5章），本课不出现. 维度 学生情况 教学对策 知识基础 会解一元二次方程，但对“列方程”建模仍较生疏 例题示范“审设列解检答”六步，放慢找等量关系的节奏 认知难点 复杂图形中找等量关系、含x的边长表达 用几何图+动画/平移法直观呈现，先画图标量再列式 易错点 根的合理性检验常被忽略；列方程时单位不统一 每题都设“检验”环节，强调长度必须为正、边长不能超原尺寸 能力差异 部分学生仍依赖猜数，对抽象建模有畏难情绪 A/B/C分层：基础题建立信心，变式题强化方法，拓展题培养建模能力 三、教学目标（核心素养） 核心素养 课时目标 数学建模 能根据面积/体积问题中的数量关系列出一元二次方程，体会方程是刻画现实问题的有效模型；能规范完成“审、设、列、解、检、答”六步. 数学运算 能根据方程特征灵活选用已学解法（因式分解、配方、公式法）求解，并准确进行根的合理性检验与取舍. 直观想象 能借助图形（平移法、割补法、展开图）理解面积与几何体的数量关系，体会数形结合思想. 逻辑推理 能结合实际问题约束（如长度>0、边长不超过原材料尺寸等）说明弃根理由，表述完整、严谨. 四、教学重难点 ▶ 教学重点 根据面积、几何体问题中的等量关系，建立一元二次方程模型并正确求解. ▶ 教学难点 将不规则或复杂图形中的面积关系转化为规则图形的等量关系；根据实际意义对两根进行合理取舍（如负根、超界根）. 五、教学方法与教具 项目 说明 教学方法 问题驱动、启发引导、合作探究、讲练结合 教学教具 多媒体课件、几何图形卡片、直尺、板书 学法指导 先画图、再标量、后列式；解题一律走“审设列解检答”六步；解后必检验 六、教学过程 本节课按40分钟设计，五个环节完整：导入约4分钟，新授约22分钟，巩固约8分钟，小结约3分钟，作业布置约2分钟. 图1 用一元二次方程解决问题的建模六步 环节一 导入新课（约4分钟） 教师先出示一个生活情境：老师家书房要铺一块矩形地毯，已知长比宽多2 m，面积是48 m².让学生先尝试“不测量”求出长与宽. 图2 矩形地毯：长比宽多2 m，面积48 m² 学生尝试后，教师引导列方程.设宽为x m，则长为(x+2)m，由矩形面积公式得： 整理并因式分解： 解得 因宽度不能为负，舍去x=-8，得宽6 m、长8 m.教师顺势追问：如果把“铺地毯”换成“在矩形空地四周留1 m宽步道，中间绿地面积已知”，或“一边靠墙用篱笆围矩形”，我们还能用同样的思路解决吗？引出课题：2.4 用一元二次方程解决问题（1）——面积问题与几何体计算. 环节二 新知探究与例题示范（约22分钟） 例题1 一边靠墙围矩形（面积问题） ▶ 审题·思路 关键信息：一面靠墙，篱笆只围三边；篱笆总长20 m；面积48 m². 设元策略：通常设垂直于墙的边（宽）为x m，则平行于墙的边（长）为(20-2x)m. 等量关系：矩形面积 = 长×宽，即 x(20-2x)=48. 图3 例1：一面靠墙用20 m篱笆围矩形 ▶ 突破·关键 “靠墙”意味着长只有一条篱笆边.不要误写为长=20-x，否则方程会丢解或产生错误限制. 解：设垂直于墙的边长为x m，则平行于墙的边长为(20-2x)m.由题意，得 整理，得 因式分解，得 所以 检验：当x=4时，长=20-2×4=12（m）；当x=6时，长=20-2×6=8（m）.两者均为正，且墙足够长，均符合题意.答：矩形花圃长12 m、宽4 m，或长8 m、宽6 m. ▶ 方法小结 一边靠墙围矩形：辨清“靠墙边”与“篱笆边”，设宽为x，长=总长-2x.本题出现两个合理解，均要保留并作答. 例题2 道路平移割补（面积问题） ▶ 审题·思路 关键信息：矩形地长40 m、宽22 m；修两条互相垂直、宽度相等的道路；剩余草坪面积为760 m². 设元策略：设路宽为x m. 关键转化：把两条道路分别平移到矩形边缘，剩余草坪可拼成一个长(40-x)m、宽(22-x)m的新矩形. 图4 例2：道路平移后，草坪拼成新矩形 ▶ 突破·关键 “互相垂直”两条道路交叉，若直接算4块草坪面积再相加会很繁琐.平移法把“分散”的草坪拼成“完整”矩形，是处理道路面积问题的通法. 解：设道路宽为x m.平移后草坪为长(40-x)m、宽(22-x)m的矩形.由题意，得 整理，得 因式分解，得 所以 检验：x=2时，道路宽2 m，草坪长38 m、宽20 m，面积760 m²，符合题意；x=60超过原场地宽度22 m，不合实际，舍去.答：道路的宽为2 m. ▶ 方法小结 道路面积问题：平移法是核心技巧，把“剩余面积”转化为“规则矩形面积”.注意交叉处只能减一次路宽，不可重复. 例题3 无盖长方体盒子（几何体计算） ▶ 审题·思路 关键信息：矩形铁皮长40 cm、宽30 cm；四角各剪去边长为x cm的正方形；折成无盖长方体盒子；盒子的底面积为600 cm². 设元策略：设剪去的小正方形边长为x cm. 关键转化：盒子底面的长=(40-2x)cm，宽=(30-2x)cm，高=x cm.本课先利用“底面积”建立一元二次方程. 图5 例3：剪角折起后，无盖长方体盒子底面积为600 cm² ▶ 突破·关键 四角都剪去边长x的正方形，因此长和宽各减少2x，不是x.剪去的正方形边长x必须满足2x<30（即x<15），否则无法折成盒子. 解：设剪去的小正方形边长为x cm，则盒子底面长为(40-2x)cm，宽为(30-2x)cm.由底面积，得 整理，得 因式分解，得 所以 检验：x=5时，底面长30 cm、宽20 cm，底面积600 cm²，符合题意；x=30时，30>15，铁皮宽不够剪，舍去.答：剪去的小正方形边长为5 cm. ▶ 方法小结 无盖盒子问题：底面积=（原长-2x)(原宽-2x）.实际问题中，x既要使方程成立，又要满足“2x<原宽”等几何约束，这正是“检验”的重要性. 环节三 课堂巩固（约8分钟） 学生独立完成后再交流；教师巡视关注画图、含x边长表达、验根三个要点. ▶ A层 基础（全员必做） A1. 用24 m篱笆一面靠墙围成一个面积为54 m²的矩形菜园，求长和宽. A2. 一幅长80 cm、宽50 cm的矩形画，四周镶上同样宽的金色纸边后总面积为5400 cm²，求纸边宽. 题号 设计意图 A1 直接迁移例1，巩固“靠墙围矩形”模型. A2 巩固“四周镶边”的边长表达. 图6 A2 镶边挂图示意 ▶ B层 提升（多数完成） B1. 一块长28 m、宽20 m的矩形草坪内修两条互相垂直的等宽小路，剩余草坪面积为468 m²，求小路宽. B2. 用长50 cm、宽40 cm的矩形铁皮，四角各剪去同样大小的正方形后折成无盖盒子，使底面积为1200 cm²，求剪去正方形的边长. 题号 设计意图 B1 巩固平移法处理道路面积. B2 迁移例3，换数强化几何约束意识. ▶ C层 拓展（挑战选做） C. 在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6 cm，BC=8 cm.点P从A沿AB向B以1 cm/s运动，点Q从B沿BC向C以2 cm/s运动.几秒后△PBQ的面积为8 cm²？ 图7 C 动点三角形示意 环节四 课堂小结（约3分钟） 师生共同梳理：本节课解决的是哪两类问题？列方程的核心步骤是什么？验根时要注意什么？学生口答，教师板书关键词. 图8 本课知识结构思维导图 ▶ 课堂小结要点 两类模型：面积问题（靠墙围矩形、道路平移、四周镶边）与几何体计算（无盖长方体盒子）. 六步建模：审→设→列→解→检→答. 验根双关：① 根是否满足所列方程；② 根是否符合实际意义（长度为正、不超限、几何可构造）. 数形结合：先画图、再标量、后列式. 环节五 作业布置（约2分钟） 课后作业分层布置，学生按自己情况选做.下节课先检查A层完成情况，再集中讲评B、C层典型错误. 层级 内容 要求 A层 全员必做 用30 m篱笆一面靠墙围面积为112 m²的矩形花坛，求长与宽；一幅30 cm×20 cm的矩形相框四周镶边后总面积为936 cm²，求镶边宽. 巩固基本建模与验根 B层 多数完成 用长50 cm的铁丝弯成面积为288 cm²的矩形框，求长与宽；用40 cm×30 cm铁皮四角剪去小正方形后折成底面积为1056 cm²的无盖盒，求小正方形边长. 提升方程建模与几何约束判断 C层 挑战选做 在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=8 cm，BC=6 cm.点P从B沿BA以1 cm/s运动，点Q从C沿CB以2 cm/s运动，求几秒后△PBQ的面积为10 cm². 动点面积综合 七、板书设计 主板书（左侧） 侧板书（右侧） 课题：2.4 用一元二次方程解决问题（1） 建模六步：审→设→列→解→检→答 例1 一边靠墙围矩形 设宽x，长=20-2x x(20-2x)=48 → x=4或6 例2 道路平移 (40-x)(22-x)=760 → x=2 例3 无盖盒子 (40-2x)(30-2x)=600 → x=5 易错提醒： 1. 靠墙时长=总长-2x 2. 道路平移后，长和宽各减x 3. 盒子剪角：长和宽各减2x 4. 验根：方程根+实际意义 八、题型覆盖清单 本节课例题与练习覆盖本节常见考法，教师上课前可按此清单自查是否遗漏. 序号 考法类型 对应例题/练习 ① 一边靠墙围矩形 例1、A1、作业A层 ② 道路平移割补（十字路/平行路） 例2、B1 ③ 四周镶边 A2、作业A层 ④ 无盖长方体盒子（几何体） 例3、B2、作业B层 ⑤ 动点三角形面积 C、作业C层 ⑥ 根的合理性取舍（含约束） 例1、例2、例3、附加1 ⑦ 开放探究（能否达到某值/最大面积） 附加3 九、附加拓展提高 以下为课后拓展与培优材料，供学有余力的学生选做.每题均标注核心素养指向，并在下一课时前集中讲评. ▶ 【核心素养：数学运算·逻辑推理】附加1 墙长受限问题 用18 m篱笆一面靠墙（墙长9 m）围一个面积为40 m²的矩形菜地，求长和宽. 提示：先不考虑墙长限制解方程，再用“长≤9 m”这一实际约束舍根. ▶ 【核心素养：数学建模·直观想象】附加2 公式法求矩形绿地尺寸 某矩形绿地长比宽多6 m，面积为91 m².设宽为x m，求长和宽. 提示：本题方程不易因式分解，可展示用公式法或配方法解，复习判别式. ▶ 【核心素养：数学运算·逻辑推理】附加3 探究：能否围出指定面积？ 用20 m篱笆一面靠墙围矩形，能否围出面积为26 m²的矩形？若能，求长和宽；若不能，说明理由并求最大面积. 提示：由x(20-2x)=26得一元二次方程，用判别式Δ判断是否有实数解；求最大面积可用配方法. 十、参考答案与详细解析 导入情境解析 设矩形地毯宽为x m，则长为(x+2)m.由面积48 m²，列方程 x(x+2)=48.整理得 x²+2x-48=0，因式分解 (x-6)(x+8)=0，解得 x1=6，x2=-8.宽度不能为负，舍去x=-8.所以宽为6 m，长为8 m.（见图2） 例1 解析 设垂直于墙的边长为x m，则平行于墙的边长为(20-2x)m.列方程 x(20-2x)=48，整理得 x²-10x+24=0，因式分解 (x-4)(x-6)=0，解得x1=4，x2=6. 当x=4时，长=12 m；当x=6时，长=8 m.两者均为正且墙足够长，均符合题意.答：长12 m、宽4 m或长8 m、宽6 m. 例2 解析 设道路宽为x m.由平移法，剩余草坪为长(40-x)m、宽(22-x)m的矩形.列方程 (40-x)(22-x)=760，整理得 x²-62x+120=0，因式分解 (x-2)(x-60)=0，解得x1=2，x2=60.因为路宽不能超过原场地宽22 m，所以x=60舍去.答：道路宽为2 m. 例3 解析 设剪去的小正方形边长为x cm.盒子底面长为(40-2x)cm，宽为(30-2x)cm.列方程 (40-2x)(30-2x)=600，整理得 x²-35x+150=0，因式分解 (x-5)(x-30)=0，解得x1=5，x2=30.由于2x<30（否则铁皮宽不够剪），即x<15，所以x=30舍去.答：剪去的小正方形边长为5 cm. 课堂巩固解析 A1. 设宽为x m，则长为(24-2x)m.列方程 x(24-2x)=54，整理得 x²-12x+27=0，因式分解 (x-3)(x-9)=0，解得x1=3，x2=9.当x=3时，长=18 m；当x=9时，长=6 m.均符合题意.答：长18 m、宽3 m或长6 m、宽9 m. A2. 设纸边宽为x cm.外框长为(80+2x)cm，宽为(50+2x)cm.列方程 (80+2x)(50+2x)=5400，整理得 x²+65x-350=0，因式分解 (x+70)(x-5)=0，解得 x1=5，x2=-70.宽度不能为负，舍去x=-70.答：纸边宽为5 cm. B1. 设小路宽为x m.平移后草坪长(28-x)m、宽(20-x)m.列方程 (28-x)(20-x)=468，整理得 x²-48x+92=0，因式分解 (x-2)(x-46)=0，解得 x1=2，x2=46.因为46>20，不合实际，舍去.答：小路宽为2 m. B2. 设剪去的小正方形边长为x cm.盒子底面长(50-2x)cm、宽(40-2x)cm.列方程 (50-2x)(40-2x)=1200，整理得 x²-45x+200=0，因式分解 (x-5)(x-40)=0，解得x1=5，x2=40.由于x<20，所以x=40舍去.答：剪去的小正方形边长为5 cm. C. 设运动时间为t s，则 BP=(6-t)cm，BQ=2t cm.由三角形面积公式，列方程 整理得 t²-6t+8=0，因式分解 (t-2)(t-4)=0，解得 t1=2，t2=4.当t=4时，BQ=8 cm，点Q恰好到达点C，仍在运动范围内.答：2 s或4 s后，△PBQ的面积为8 cm². 附加拓展解析 附加1. 设宽为x m，则长为(18-2x)m.列方程 x(18-2x)=40，整理得 x²-9x+20=0，因式分解 (x-4)(x-5)=0，解得 x1=4，x2=5.当x=4时，长=10 m>9 m（墙长），不合题意，舍去；当x=5时，长=8 m≤9 m，符合.答：长8 m、宽5 m. 附加2. 设宽为x m，则长为(x+6)m.列方程 x(x+6)=91，整理得 x²+6x-91=0.判别式 Δ=36+364=400，由求根公式得 解得 x1=7，x2=-13.宽度不能为负，舍去x=-13.所以宽7 m，长13 m.答：长13 m、宽7 m. 附加3. 设垂直于墙的边长为x m，则平行于墙的边长为(20-2x)m.列方程 x(20-2x)=26，整理得 2x²-20x+26=0，即 x²-10x+13=0.判别式 Δ=100-52=48>0，所以方程有两个实数根，面积为26 m²可以达到.解得 x=5±2√3.当x=5-2√3≈1.54时，长≈16.92 m；当x=5+2√3≈8.46时，长≈3.08 m，两者均为正，均符合.求最大面积：S=x(20-2x)=-2x²+20x=-2(x-5)²+50.当x=5时，Smax=50 m².答：能围出面积为26 m²的矩形；最大面积为50 m²，此时长10 m、宽5 m. 课后作业解析 A层.（1）设宽为x m，则长为(30-2x)m.列方程 x(30-2x)=112，整理得 x²-15x+56=0，因式分解 (x-7)(x-8)=0，解得 x1=7，x2=8.当x=7时，长=16 m；当x=8时，长=14 m.均符合.答：长16 m、宽7 m或长14 m、宽8 m.（2）设镶边宽为x cm.列方程 (30+2x)(20+2x)=936，整理得 x²+25x-84=0，因式分解 (x+28)(x-3)=0，解得 x1=3，x2=-28（舍去）.答：镶边宽为3 cm. B层.（1）设矩形框的长为x cm，则宽为(25-x)cm.列方程 x(25-x)=288，整理得 x²-25x+288=0.判别式 Δ=625-1152=-527<0，无实数解.说明用50 cm铁丝不能围成面积为288 cm²的矩形框.（教师注意：此题为无解题，可训练学生用判别式判断）.（2）设剪去的小正方形边长为x cm.列方程 (40-2x)(30-2x)=1056，整理得 x²-35x+276=0，因式分解 (x-12)(x-23)=0，解得 x1=12，x2=23.由于x<15，所以x=23舍去.答：剪去的小正方形边长为12 cm. C层. 设运动时间为t s，则 BP=(8-t)cm，BQ=(6-2t)cm（注意Q从C出发沿CB向B，速度2 cm/s）.由题意，列方程 整理得 t²-8t+10=0.判别式 Δ=64-40=24，解得 t=4±√6.当t=4-√6≈1.55时，BQ=6-2(4-√6)=2√6-2≈2.90>0；当t=4+√6≈6.45时，BQ=6-2(4+√6)=-2√6-2<0，不合实际，舍去.答：约1.55 s后，△PBQ的面积为10 cm². 本课结束 审 · 设 · 列 · 解 · 检 · 答 用方程建模，让数学解决真实问题 学科网（北京）股份有限公司 $