1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 《用空间向量研究直线、平面的位置关系》高二数学新授课同步练，以基础巩固为核心，通过三级分层设计实现从单一向量运算到几何体综合应用的递进，培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|方向向量、法向量的平行垂直判定|以选择填空为主（如选择1-5直接考查向量坐标运算），强化概念理解| |提升层|结合简单几何体的向量应用|加入多选题（如9-11正方体、六棱锥问题）和几何情境填空题，提升空间想象| |综合层|复杂几何体中的位置关系证明|解答题（如15直三棱柱、16正方体）融合线面垂直、面面平行证明，培养逻辑推理|

1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 课时同步练习 2026-2027学年高二数学同步备课系列【基础题】——解析版 一、选择题（共8小题） 1.已知向量a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则(　　) A.x＝6，y＝15 B.x＝3，y＝ C.x＝3，y＝15 D.x＝6，y＝ 【答案】D 【解析】由题意得，＝＝，∴x＝6，y＝． 2.如果直线l的方向向量是a＝(－2，0，1)，且直线l上有一点P不在平面α内，平面α的法向量是b＝(2，0，4)，那么(　　) A.直线l与平面α垂直 B.直线l与平面α平行 C.直线l在平面α内 D.直线l与平面α相交但不垂直 【答案】B 【解析】因为直线l的方向向量是a＝(－2，0，1)，平面α的法向量是b＝(2，0，4)，又a·b＝－4＋0＋4＝0，即a⊥b，所以直线l在平面α内或与平面α平行，又直线l上有一点P不在平面α内，所以直线l与平面α平行．故选B. 3.已知平面α的法向量是(2，3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，则λ的值是(　　) A.－   B.6   C.－6   D. 【答案】B 【解析】∵α∥β， ∴α的法向量与β的法向量也互相平行． ∴＝＝，∴λ＝6. 4.与向量a＝(1，－3，2)平行的一个向量的坐标是(　　) A.   B.(－1，－3，2) C.   D.(，－3，－2) 【答案】C 【解析】a＝(1，－3，2)＝－2.故选C. 5.设l1的一个方向向量为a＝(1,3，－2)，l2的一个方向向量为b＝(－4,3，m)，若l1⊥l2，则m等于(　　) A.1   B.   C.   D.3 【答案】B 【解析】因为l1⊥l2， 所以a⊥b，从而a·b＝0， 即1×(－4)＋3×3＋(－2)×m＝0， 所以2m＝9－4＝5，即m＝. 6.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，若点Q在线段B1P上，则下列结论正确的是(　　) A.当点Q为线段B1P的中点时，DQ⊥平面A1BD B.当点Q为线段B1P的三等分点(靠近点P)时，DQ⊥平面A1BD C.在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BD D.不存在DQ与平面A1BD垂直 【答案】D 【解析】以A1为坐标原点，分别以A1B1，A1C1，A1A所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，则由已知得A1(0,0,0)，B1(1,0,0)，C1(0,1,0)，B(1,0,1)， D，P(0,2,0)，＝(1,0,1)，＝，＝(－1,2,0)，＝. 设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)， 则 取z＝－2，则x＝2，y＝1， 所以平面A1BD的一个法向量为n＝(2,1，－2)． 假设DQ⊥平面A1BD， 且＝λ＝λ(－1,2,0)＝(－λ，2λ，0)， 则＝＋＝， 因为也是平面A1BD的法向量， 所以n＝(2,1，－2)与＝共线， 于是有＝＝＝成立， 但此方程关于λ无解． 故不存在DQ与平面A1BD垂直． 7.已知平面α的法向量为a＝(1,2，－2)，平面β的法向量为b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k等于(　　) A.4 B.－4 C.5 D.－5 【答案】D 【解析】∵α⊥β，∴a⊥b， ∴a·b＝0. 即－2－8－2k＝0，∴k＝－5. 8.如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E为CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，＝(　　) A.   B.1   C.2   D.3 【答案】B 【解析】以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图空间直角坐标系，设正方形ABCD的边长为1，PA＝a，则B(1,0,0)，E，P(0,0，a)． 设F(0，y，0)，则＝(－1，y，0)，＝. 因为BF⊥PE，所以·＝(－1)×＋y＝0， 解得y＝，即F是AD的中点，故＝1.故选B. 二、多选题（共3小题） 9.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则直线OM(　　) A.和AC垂直 B.和AA1垂直 C.和MN垂直 D.与AC，MN都不垂直 【答案】AC 【解析】以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)．设正方体的棱长为2a，则D(0,0，0)，D1(0,0,2a)，M(0,0，a)，A(2a,0,0)，C(0,2a,0)，O(a，a,0)，N(0，a,2a)． ∴＝(－a，－a，a)，＝(0，a，a)，＝(－2a，2a，0)． ∴·＝0－a2＋a2＝0，·＝2a2－2a2＋0＝0， ∴OM⊥MN，OM⊥AC.OM和AA1显然不垂直．故选AC. 10.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为棱CC1上的动点(点P不与点C，C1重合)，过点P作平面α分别与棱BC，CD交于M，N两点，若CP＝CM＝CN，则下列说法正确的是(　　) A.A1C⊥平面α B.存在点P，使得AC1∥平面α C.存在点P，使得点A1到平面α的距离为 D.用过点P，M，D1的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形 【答案】ACD 【解析】连接BC1，BD，DC1，AD1，D1P. 因为CM＝CN，CB＝CD，所以＝，所以MN∥BD． 又MN⊄平面C1BD，BD⊂平面C1BD，所以MN∥平面C1BD． 同理可证MP∥BC1，MP∥平面C1BD． 又MN∩MP＝M，MN、MP⊂平面α，所以平面C1BD∥平面α. 易证A1C⊥平面C1BD，所以A1C⊥平面α，A正确. 又AC1∩平面C1BD＝C1，所以AC1与平面α相交，不存在点P，使得AC1∥平面α，B不正确. 因为|A1C|＝＝，所以点A1到平面α的距离的取值范围为，即. 又<<，所以存在点P，使得点A1到平面α的距离为，C正确. 因为AD1∥BC1，所以MP∥AD1，所以用过点P，M，D1的平面去截正方体得到的截面是四边形AD1PM. 又AD1∥MP，且AD1≠MP，所以截面为梯形，D正确.故选ACD． 11.如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论中正确的是(　　) A. PB⊥AE B. 平面ABC⊥平面PBC C. 直线BC∥平面PAE D. ∠PDA＝45° 【答案】AD 【解析】对于A，因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AE.又EA⊥AB，PA∩AB＝A，所以EA⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，所以EA⊥PB，故A正确．对于B，因为PA⊥平面ABC，所以平面ABC与平面PBC不可能垂直，故B不正确．对于C，因为在正六边形中，BC∥AD，所以BC与EA必有公共点，从而BC与平面PAE有公共点，所以直线BC与平面PAE不平行，故C不正确．对于D，由条件易得△PAD为直角三角形，且PA⊥AD.又PA＝2AB＝AD，所以∠PDA＝45°，故D正确． 三、填空题（共3小题） 12.设u＝(－2,2，t)，v＝(6，－4,5)分别是平面α，β的法向量，若α⊥β，则实数t的值是                  ． 【答案】4 【解析】因为u＝(－2,2，t)，v＝(6，－4,5)分别是平面α，β的法向量，且α⊥β，所以u⊥v， 所以u·v＝－2×6＋2×(－4)＋t·5＝0， 解得t＝4. 13.若两个不重合平面α，β的法向量分别为u＝(1，2，－1)，v＝(－3，－6，3)，则平面α，β的位置关系为                  . 【答案】α∥β 【解析】∵v＝－3u，∴v∥u.故α∥β. 14.如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E为 PC的中点，则BE与平面PAD的位置关系为                  ． 【答案】平行 【解析】以点A为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系(图略)． 设AB＝a，AD＝b，AP＝c， 则A(0，0，0)，P(0，0，c)，B(a，0，0)，C(2a，b，0)， 故E， 则＝， 又＝(a，0，0)为平面PAD的一个法向量， 且·＝0，即⊥， BE⊄平面PAD，故BE∥平面PAD. 四、解答题（共2小题） 15.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点． (1)求证：B1D⊥平面ABD； (2)求证：平面EGF∥平面ABD. 【答案】证明　如图，以B为坐标原点，分别以BA，BC，BB1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Bxyz， 则B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)． (1)设BA＝a，则A(a，0,0)． 所以＝(a，0,0)，＝(0,2,2)，＝(0,2，－2)． 所以·＝0，·＝0＋4－4＝0. 所以B1D⊥BA，B1D⊥BD. 又BA∩BD＝B，BA，BD⊂平面ABD， 所以B1D⊥平面ABD. (2)由题意及(1)，知E(0,0,3)，G，F(0,1,4)． 所以＝，＝(0,1,1)． 所以·＝0＋2－2＝0，·＝0＋2－2＝0， 所以B1D⊥EG，B1D⊥EF. 又EG∩EF＝E，EG，EF⊂平面EGF， 所以B1D⊥平面EGF. 由(1)知B1D⊥平面ABD， 且点E∉平面ABD， 故平面EGF∥平面ABD. 16.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点． (1)求证：BD1⊥平面AB1C； (2)求证：平面EAC⊥平面AB1C. 【答案】证明　(1)以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2， 则E(0,0,1)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，B(2,2,0)，D1(0,0,2)， 所以＝(－2,2,0)，＝(－2,0,1)，＝(0,2,2)，＝(－2，－2,2)． 设平面AB1C的法向量为m＝(x，y，z)，则即 令x＝1，得m＝(1,1，－1)． 因为＝－2m，所以∥m，所以BD1⊥平面AB1C. (2)设平面EAC的法向量为n＝(x′，y′，z′)， 则即 令x′＝1，则y′＝1，z′＝2.得n＝(1,1,2)， 因为m·n＝1＋1－2＝0，所以平面EAC⊥平面AB1C. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 课时同步练习 2026-2027学年高二数学同步备课系列【基础题】 一、选择题（共8小题） 1.已知向量a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则(　　) A.x＝6，y＝15 B.x＝3，y＝ C.x＝3，y＝15 D.x＝6，y＝ 2.如果直线l的方向向量是a＝(－2，0，1)，且直线l上有一点P不在平面α内，平面α的法向量是b＝(2，0，4)，那么(　　) A.直线l与平面α垂直 B.直线l与平面α平行 C.直线l在平面α内 D.直线l与平面α相交但不垂直 3.已知平面α的法向量是(2，3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，则λ的值是(　　) A.－   B.6   C.－6   D. 4.与向量a＝(1，－3，2)平行的一个向量的坐标是(　　) A.   B.(－1，－3，2) C.   D.(，－3，－2) 5.设l1的一个方向向量为a＝(1,3，－2)，l2的一个方向向量为b＝(－4,3，m)，若l1⊥l2，则m等于(　　) A.1   B.   C.   D.3 6.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，若点Q在线段B1P上，则下列结论正确的是(　　) A.当点Q为线段B1P的中点时，DQ⊥平面A1BD B.当点Q为线段B1P的三等分点(靠近点P)时，DQ⊥平面A1BD C.在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BD D.不存在DQ与平面A1BD垂直 7.已知平面α的法向量为a＝(1,2，－2)，平面β的法向量为b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k等于(　　) A.4 B.－4 C.5 D.－5 8.如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E为CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，＝(　　) A.   B.1   C.2   D.3 二、多选题（共3小题） 9.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则直线OM(　　) A.和AC垂直 B.和AA1垂直 C.和MN垂直 D.与AC，MN都不垂直 10.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为棱CC1上的动点(点P不与点C，C1重合)，过点P作平面α分别与棱BC，CD交于M，N两点，若CP＝CM＝CN，则下列说法正确的是(　　) A.A1C⊥平面α B.存在点P，使得AC1∥平面α C.存在点P，使得点A1到平面α的距离为 D.用过点P，M，D1的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形 11.如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论中正确的是(　　) A. PB⊥AE B. 平面ABC⊥平面PBC C. 直线BC∥平面PAE D. ∠PDA＝45° 三、填空题（共3小题） 12.设u＝(－2,2，t)，v＝(6，－4,5)分别是平面α，β的法向量，若α⊥β，则实数t的值是                  ． 13.若两个不重合平面α，β的法向量分别为u＝(1，2，－1)，v＝(－3，－6，3)，则平面α，β的位置关系为                  . 14.如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E为 PC的中点，则BE与平面PAD的位置关系为                  ． 四、解答题（共2小题） 15.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点． (1)求证：B1D⊥平面ABD； (2)求证：平面EGF∥平面ABD. 16.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点． (1)求证：BD1⊥平面AB1C； (2)求证：平面EAC⊥平面AB1C. 学科网（北京）股份有限公司 $