5.5.2 简单的三角恒等变换(一) 课时作业-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学同步练，聚焦简单的三角恒等变换，适配新授课，分层设计清晰，基础层夯实公式应用与运算能力，综合层提升综合推理与问题解决能力，形成从单一到综合的知识巩固路径。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础全面练|半角公式、二倍角公式、三角函数化简、比较大小|选择填空为主，直接应用公式，夯实运算能力，如利用半角公式求sin(α/2)值| |综合应用练|公式综合应用、函数周期、多解问题、综合化简证明|解答题为主，一题多解（如第14题），结合函数性质，培养推理意识与应用能力|

　简单的三角恒等变换(一) (时间:45分钟　分值:95分) 【基础全面练】 1.(5分)已知cos α=-,<α<π,则sin = (　　) A.-　 B.　 C.-　 D. 2.(5分)已知cos θ=-,π<θ<2π,则tan的值为 (　　) A.3 B.-3 C. D.- 3.(5分)化简的结果是 (　　) A.-cos 1　 B.cos 1 C.cos 1　 D.-cos 1 4.(5分)设a=cos 6°-sin 6°,b=,c=,则有 (　　) A.a>b>c　 B.a<b<c C.a<c<b　 D.b<c<a 5.(5分)若sin (π-α)=-且α∈(π,),则sin (+)= (　　) A.- B.- C. D. 6.(5分)(多选)已知sin α=-,且180°<α<270°,则下列结论正确的是 (　　) A.sin 2α=- B.sin C.cos =- D.tan =-2 7.(5分)设5π<θ<6π,cos =a,则sin =　 .  8.(5分)已知α,β∈(0,π),且cos α=-,cos β=,则sin的值为　　.  9.(10分)已知<α<3π,试化简:+cos. 10.(10分)求证:=tan (+). 【综合应用练】 11.(5分)(多选)下列各式与tan α相等的是 (　　) A. B. C.·(α∈(0,π)) D. 12.(5分)(2025·株洲高一检测)在下列函数中,周期为2π的函数是 (　　) A.y=2sin xcos x B.y=cos2x-sin2x C.y=sin x+cos x D.y= 13.(5分)若θ是第二象限角,且25sin2θ+sin θ-24=0,则cos =　.  14.(10分)化简: (1)(一题多解)sin 2(α-)+sin 2(α+)-sin 2α; (2)cos 2A+cos 2(60°-A)+cos 2(60°+A). 15.(10分)已知α为钝角,β为锐角,且sin α=,sin β=,求cos 与tan 的值. 　 答案解析 【基础全面练】 1.(5分)已知cos α=-,<α<π,则sin = (　　) A.-　 B.　 C.-　 D. 【解析】选D.由<α<π可知,,故sin . 2.(5分)已知cos θ=-,π<θ<2π,则tan的值为 (　　) A.3 B.-3 C. D.- 【解析】选B.因为π<θ<2π,所以<π,所以tan=-=-3. 3.(5分)化简的结果是 (　　) A.-cos 1　 B.cos 1 C.cos 1　 D.-cos 1 【解析】选C.原式=,因为0<1<,故原式=cos 1. 4.(5分)设a=cos 6°-sin 6°,b=,c=,则有 (　　) A.a>b>c　 B.a<b<c C.a<c<b　 D.b<c<a 【解析】选C.a=cos 6°-sin 6°=sin 30°cos 6°-cos 30°sin 6°=sin(30°-6°)=sin 24°, b==tan 26°=>=sin 26°,c==sin 25°, 因为当0°<x<90°时,y=sin x为增函数,所以sin 26°>sin 25°>sin 24°,故a<c<b. 5.(5分)若sin (π-α)=-且α∈(π,),则sin (+)= (　　) A.- B.- C. D. 【解析】选B.由题意知sin α=-,α∈(π,),所以cos α=-. 因为∈(,),所以sin (+)=cos =-=-. 6.(5分)(多选)已知sin α=-,且180°<α<270°,则下列结论正确的是 (　　) A.sin 2α=- B.sin C.cos =- D.tan =-2 【解析】选BCD.因为180°<α<270°,所以cos α=-,所以sin 2α=2sin αcos α=2×(-)×(-)=,故A错误;因为90°<<135°,所以sin ,故B正确;cos =-= -=-,故C正确;tan =-2,故D正确. 7.(5分)设5π<θ<6π,cos =a,则sin =　-　.  【解析】因为5π<θ<6π,所以,所以sin =-=-. 8.(5分)已知α,β∈(0,π),且cos α=-,cos β=,则sin的值为　　.  【解析】因为α,β∈(0,π)且cos α=-,cos β=, 所以α为钝角,β为锐角,所以sin α=,sin β=,所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=. 因为<α<π,0<β<,所以0<α-β<π,0<,所以sin>0, 所以sin. 9.(10分)已知<α<3π,试化简:+cos. 【解析】因为<α<3π,所以,所以cos α<0,sin<0. 故原式=+cos=+cos+cos=-sin+cos. 10.(10分)求证:=tan (+). 【证明】左边= =tan (+)=右边. 所以原等式成立. 【综合应用练】 11.(5分)(多选)下列各式与tan α相等的是 (　　) A. B. C.·(α∈(0,π)) D. 【解析】选CD.A不符合,=|tan α|; B不符合,=tan ; C符合,因为α∈(0,π),所以原式=·=tan α; D符合,=tan α. 12.(5分)(2025·株洲高一检测)在下列函数中,周期为2π的函数是 (　　) A.y=2sin xcos x B.y=cos2x-sin2x C.y=sin x+cos x D.y= 【解析】选C.对于A,y=2sin xcos x=sin 2x,周期为π,A不是; 对于B,y=cos2x-sin2x=cos 2x,周期为π,B不是; 对于C,y=sin x+cos x=sin(x+),周期为2π,C是; 对于D,y==tan(x+),周期为π,D不是. 13.(5分)若θ是第二象限角,且25sin2θ+sin θ-24=0,则cos =　±　.  【解析】由25sin2θ+sin θ-24=0,又θ是第二象限角,得sin θ=或sin θ=-1(舍去). 故cos θ=-=-,由cos2得cos2. 又是第一、三象限角,所以cos =±. 14.(10分)化简: (1)(一题多解)sin 2(α-)+sin 2(α+)-sin 2α; 【解析】(1)方法一:由半角公式得,原式=+- =-[cos (2α-)+cos (2α+)-cos 2α]=-(2cos 2αcos -cos 2α)=. 方法二:sin 2(α-)+sin 2(α+)-sin 2α=+-sin 2α =sin 2α+cos 2α-sin 2α=. (2)cos 2A+cos 2(60°-A)+cos 2(60°+A). 【解析】(2)原式=(1+cos 2A)+[1+cos(120°-2A)]+[1+cos(120°+2A)] =+cos 2A+[cos(120°-2A)+cos(2A+120°)] =+cos 2A+(cos 120°cos 2A+sin 120°sin 2A+cos 2Acos 120°-sin 2Asin 120°) =+cos 2A+×2cos 120°cos 2A=+cos 2A-cos 2A=. 15.(10分)已知α为钝角,β为锐角,且sin α=,sin β=,求cos 与tan 的值. 【解析】因为α为钝角,β为锐角,sin α=,sin β=,所以cos α=-,cos β=. 所以cos (α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-+. 因为<α<π,且0<β<,所以0<α-β<π. 方法一:由0<α-β<π可得,0<, 所以cos ,sin . 所以tan . 方法二:同方法一,求得cos . 由0<α-β<π,cos (α-β)=,得sin (α-β)=. 所以tan . 学科网（北京）股份有限公司 $