5.5.2 简单的三角恒等变换(二) 课时作业-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 分层清晰，基础全面练（10题60分）与综合应用练（5题30分）梯度衔接，覆盖三角恒等变换公式应用、函数性质及实际问题，从单一知识点到综合应用，适配新授课巩固与能力提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础全面练|三角恒等变换公式（二倍角、辅助角）、函数最值与周期|选择（6题）、填空（2题）、解答（2题），基础题型为主，融入喷泉、扇形等情境，培养运算能力与几何直观| |综合应用练|公式综合应用（几何证明、实际问题）、函数性质综合|多选（1题）、填空（2题）、解答（2题），含正方形截取、函数零点与对称轴问题，提升推理能力与模型意识|

　简单的三角恒等变换(二) (时间:45分钟　分值:90分) 【基础全面练】 1.(5分)函数y=2sin 2x+sin 2x的最大值为 (　　) A.1- B.3 C.+1 D. 2.(5分)= (　　) A. B.1 C. D. 3.(5分)(2025·菏泽高一检测)已知sin α-sin(α+)=,则cos(-2α)= (　　) A.-　 B.- C.　 D. 4.(5分)公元前6世纪,古希腊毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时,发现了黄金分割数,其近似值为0.618,这是一个伟大的发现,这一数值也表示为a=2sin 18°,若a2+b=4,则= (　　) A. B.2 C. D.4 5.(5分)若sin x+cos x=4-m,则实数m的取值范围是 (　　) A.[2,6] B.[-6,6] C.(2,6) D.[2,4] 6.(5分)(多选)下列各式中,值为的有 (　　) A.sin 7°cos 23°+sin 83°cos 67° B.cos 36°-cos 72° C. D. 7.(5分)喷泉是流动的艺术,美妙绝伦的喷泉给人以无限的享受,若不考虑空气阻力,当喷泉水柱以与水平方向夹角为α的速度v喷向空气中时,水柱在水平方向上移动的距离为D=sin 2α,能够达到的最高高度为H=(1-cos 2α)(如图所示,其中g为重力加速度).若tan α=,则H与D的比值为　　.  8.(5分)如图,扇形OAB的半径为1,圆心角为,若P为上异于A,B的点,且PQ⊥OB交OB于Q点,当△POQ的面积大于时,设∠POQ=θ,则f(θ)=sin θsin (+θ)的取值范围为　　.  9.(10分)已知函数f(x)=(sin x+cos x)2-2sin2x. (1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间; (2)若x∈[0,],求函数的值域. 10.(10分)如图,矩形ABCD的长AD=2,宽AB=1,A,D两点分别在x,y轴的正半轴上移动,B,C两点在第一象限,求OB2的最大值. 【综合应用练】 11.(5分)若f(x)=2tan x+,则f()的值是 (　　) A.2 B.0 C.-2 D.-1 12.(5分)(多选)已知函数f(x)=sin2x+2sin xcos x-cos2x,x∈R,则 (　　) A.-2≤f(x)≤2 B.f(x)在区间(0,π)上只有1个零点 C.f(x)的最小正周期为π D.直线x=π为f(x)图象的一条对称轴 13.(5分)(2025·日照高一检测)已知扇形AOB的半径为10,以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系,已知A(10,0),B(8,6),则的中点C的坐标为　　.  14.(5分)如图所示,有一块正方形的钢板ABCD,其中一个角有部分损坏,现要把它截成一块正方形的钢板EFGH,其面积是原正方形钢板面积的三分之二,则应按角度x=　来截.  15.(10分)(2026·朔州高一检测)已知函数f(x)=cos 2(-x)-cos 2x. (1)证明:f(x)≤; (2)求f(x)的单调递增区间; (3)若函数y=f(ωx)-(ω>0)在区间[,)上存在2个零点和1个对称轴,求实数ω的取值范围. 　 答案解析 【基础全面练】 1.(5分)函数y=2sin 2x+sin 2x的最大值为 (　　) A.1- B.3 C.+1 D. 【解析】选C.因为y=2sin 2x+sin 2x=sin 2x-cos 2x+1=sin (2x-)+1, 故当2x-+2kπ(k∈Z),即x=kπ+(k∈Z)时,函数y=2sin 2x+sin 2x取最大值+1. 2.(5分)= (　　) A. B.1 C. D. 【解析】选A.= ===. 3.(5分)(2025·菏泽高一检测)已知sin α-sin(α+)=,则cos(-2α)= (　　) A.-　 B.- C.　 D. 【解析】选A.由题意sin α-(sin α+cos α)=,得:sin α-cos α=,即sin(α-)=. 故cos(-2α)=cos(π+-2α)=-cos 2(-α)=2sin2(α-)-1=2×()2-1=-. 4.(5分)公元前6世纪,古希腊毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时,发现了黄金分割数,其近似值为0.618,这是一个伟大的发现,这一数值也表示为a=2sin 18°,若a2+b=4,则= (　　) A. B.2 C. D.4 【解析】选B.因为a=2sin 18°,a2+b=4,所以b=4-a2=4-4sin218°=4(1-sin218°)=4cos218°, 所以=2. 5.(5分)若sin x+cos x=4-m,则实数m的取值范围是 (　　) A.[2,6] B.[-6,6] C.(2,6) D.[2,4] 【解析】选A.因为sin x+cos x=4-m,所以sin x+cos x=, 所以sinsin x+coscos x=,所以cos(x-)=. 因为-1≤cos(x-)≤1,所以-1≤≤1,所以2≤m≤6. 6.(5分)(多选)下列各式中,值为的有 (　　) A.sin 7°cos 23°+sin 83°cos 67° B.cos 36°-cos 72° C. D. 【解析】选AB.对A,sin 7°cos 23°+sin 83°cos 67°=sin 7°cos 23°+cos 7°sin 23° =sin(7°+23°)=sin 30°=,A正确; 对B,cos 36°-cos 72°=cos(54°-18°)-cos(54°+18°)=2sin 54°sin 18°=2cos 36°cos 72° =,B正确; 对C,=2,C错误; 对D,== =, 设f(x)=(1-tan 37°tan 18°)x+1+tan 18°tan 37°,tan 37°tan 18°<tan245°=1,所以f(x)单调递增. 又f(1)=2,所以f(tan 55°)>f(tan 45°)=2,所以,D错误. 7.(5分)喷泉是流动的艺术,美妙绝伦的喷泉给人以无限的享受,若不考虑空气阻力,当喷泉水柱以与水平方向夹角为α的速度v喷向空气中时,水柱在水平方向上移动的距离为D=sin 2α,能够达到的最高高度为H=(1-cos 2α)(如图所示,其中g为重力加速度).若tan α=,则H与D的比值为　　.  【解题指南】先表示,然后结合二倍角公式进行化简即可求解. 【解析】=tan α=. 8.(5分)如图,扇形OAB的半径为1,圆心角为,若P为上异于A,B的点,且PQ⊥OB交OB于Q点,当△POQ的面积大于时,设∠POQ=θ,则f(θ)=sin θsin (+θ)的取值范围为　(,)　.  【解析】由于△POQ的面积S=OP·OQsin θ=×1·cos θsin θ=sin 2θ>, 所以sin 2θ>,因为0<θ<,则0<2θ<π,则2θ∈(,),故θ∈(,). 又f(θ)=sin θsin (+θ)=[cos -cos (2θ+)]=-cos (2θ+), 而2θ+∈(,π),cos (2θ+)∈(-1,-),所以f(θ)∈(,). 9.(10分)已知函数f(x)=(sin x+cos x)2-2sin2x. (1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间; 【解析】(1)因为f(x)=(sin x+cos x)2-2sin 2x=sin 2x+2sin xcos x+cos 2x-2sin 2x =2sin xcos x+cos 2x-sin 2x=sin 2x+cos 2x=sin (2x+), 所以f(x)的最小正周期为T==π.令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z, 解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以f(x)的单调递增区间为[-+kπ,+kπ],k∈Z. (2)若x∈[0,],求函数的值域. 【解析】(2)当x∈[0,]时,2x∈[0,π],所以2x+∈[,], 所以sin (2x+)∈[-,1],所以函数f(x)的值域是[-1,]. 10.(10分)如图,矩形ABCD的长AD=2,宽AB=1,A,D两点分别在x,y轴的正半轴上移动,B,C两点在第一象限,求OB2的最大值. 【解析】过点B作BH⊥OA,垂足为H. 设∠OAD=θ(0<θ<),则∠BAH=-θ, OA=2cos θ,BH=sin(-θ)=cos θ,AH=cos(-θ)=sin θ, 所以点B坐标为(2cos θ+sin θ,cos θ), OB2=(2cos θ+sin θ)2+cos2θ=7+6cos 2θ+2sin 2θ=7+4sin(2θ+). 由0<θ<,知<2θ+,所以当θ=时,OB2取得最大值7+4. 【综合应用练】 11.(5分)若f(x)=2tan x+,则f()的值是 (　　) A.2 B.0 C.-2 D.-1 【解析】选B.f(x)=2tan x+=2tan x+=2tan x-,因为tan =-1, 所以f()=2tan -=0. 12.(5分)(多选)已知函数f(x)=sin2x+2sin xcos x-cos2x,x∈R,则 (　　) A.-2≤f(x)≤2 B.f(x)在区间(0,π)上只有1个零点 C.f(x)的最小正周期为π D.直线x=π为f(x)图象的一条对称轴 【解析】选AC.f(x)=sin2x+2sin xcos x-cos2x=sin 2x-cos 2x=2sin(2x-), 所以-2≤f(x)≤2,故A正确; 令2x-=kπ,k∈Z,可得x=+,k∈Z,满足x∈(0,π)的有,,故B错误; f(x)的最小正周期为π,故C正确; 当x=π时,f(x)=-1,所以直线x=π不是f(x)图象的一条对称轴,故D错误. 13.(5分)(2025·日照高一检测)已知扇形AOB的半径为10,以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系,已知A(10,0),B(8,6),则的中点C的坐标为　(3,)　.  【解析】令∠AOC=α,则∠AOB=2α,tan 2α=,解得tan α=,即, 又sin2α+cos2α=1,α∈(0,),解得sin α=,cos α=,C(10×,10×),即C(3,). 14.(5分)如图所示,有一块正方形的钢板ABCD,其中一个角有部分损坏,现要把它截成一块正方形的钢板EFGH,其面积是原正方形钢板面积的三分之二,则应按角度x=　或　来截.  【解析】设原正方形钢板的边长为a,截后的正方形钢板边长为b,则,. 又a=GC+CF=bsin x+bcos x,所以sin x+cos x=,所以sin(x+)=. 因为0<x<,<x+,所以x+或,则x=或. 15.(10分)(2026·朔州高一检测)已知函数f(x)=cos 2(-x)-cos 2x. (1)证明:f(x)≤; 【解析】(1)因为f(x)=-cos 2x=sin 2x-cos 2x+=sin(2x-)+. 当2x-=2kπ+,k∈Z,即x=+kπ,k∈Z时,f(x)max=,故f(x)≤. (2)求f(x)的单调递增区间; 【解析】(2)令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z, 故f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+](k∈Z). (3)若函数y=f(ωx)-(ω>0)在区间[,)上存在2个零点和1个对称轴,求实数ω的取值范围. 【解析】(3)y=f(ωx)-=sin(ωx-),设函数y=sin (ωx-)的最小正周期为T, 由题意可知,<T,即,解得4<ω<8,由正弦函数的图象可知,两个相邻零点之间必有一条对称轴.由sin (ωx-)=0,得ωx-=kπ,k∈Z,由x∈[,)得ωx-∈[-,-), 又4<ω<8,所以≤-,≤-,则或, 解得<ω≤或<ω≤,故实数ω的取值范围为(,]∪(,]. 学科网（北京）股份有限公司 $