培优提升　三角恒等变换的应用-同步练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以三角恒等变换为核心，通过A级基础巩固、B级能力提升、C级素养创新三层设计，实现从公式应用到综合问题解决再到实际情境建模的知识进阶，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|三角公式直接应用、函数基本性质（最值、周期）|选择填空为主，如第1题函数最大值判断，夯实公式记忆与基础运算| |B级|含参数函数性质、综合公式应用|解答题占比增加，如第17题单调性与最值综合，培养逻辑推理能力| |C级|实际情境建模|结合几何与函数，如第18题浮桥建设问题，需数学抽象与模型构建，发展应用意识|

培优专题　三角恒等变换的应用 A级　必备知识基础练 1.下列函数的最大值是2的是(　　) A.sin x+cos x B.sin x+cos x C.sin xcos x D.sin2x-cos2x 2.(2026黑龙江哈尔滨月考)已知函数f(x)=sin xcos x+cos2x,则函数f(x)的一条对称轴方程可以是(　　) A.x=- B.x=- C.y= D.x= 3.下列函数的最小正周期为2π的是(　　) A.f(x)=sin xcos x B.f(x)= C.f(x)=cos(+x)-cos(-x) D.f(x)=sin 2x-cos 2x 4.设a=,b=sin 10°+cos 10°,c=,则有(　　) A.b<c<a B.a<b<c C.c<b<a D.a<c<b 5.已知角A为△ABC的一个内角,且sin(A+)=,则sin(2A+)=(　　) A.- B. C.± D. 6.(多选题)已知函数f(x)=2sin xcos x-2sin2x+1,则(　　) A.f(x)=sin(2x-) B.f(x)的最小正周期为π C.f(x)在()内单调递减 D.f(x)的图象关于点(-,0)对称 7.如图,矩形ABCD被分成三个相同的正方形,则α+β=　　　　　.  8.(2026广东东莞期末)在长方形ABCD中,AB=2,AD=3,E为AB的中点,F为BC边上靠近C的三等分点,AF与DE交于点M,则cos∠EMF=　　　　.  9.已知常数φ∈R,函数y=sin x+3cos(x+φ)为偶函数,则cos 2φ=　　　　　.  10.已知函数f(x)=. (1)求f(-)的值; (2)当x∈[0,)时,求函数g(x)=f(x)+sin 2x的最大值和最小值. B级　关键能力提升练 11.已知函数f(x)=1-2sin2(ωx+)(ω>0)在[0,π]上有且仅有2个零点,则ω的取值范围是(　　) A.[ B.[) C.[ D.[) 12.(2026重庆南开中学2月月考)已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0),若f(-x)=f(x),且f(x)在(0,)内有最大值,则ω的最小值为(　　) A.1 B.4 C.7 D.11 13.(2026浙江舟山期末)已知函数f(x)=2sin ωx·cos ωx+2sin2ωx(ω>0)在[]上单调递减,则ω的取值范围是(　　) A.(0,4] B.[] C.[] D.[] 14.已知函数f(x)=sin(x+)cos x,则下列选项正确的是(　　) A.f(x)=sin(2x+) B.f(x)的最大值为2 C.f(x)的图象关于直线x=-对称 D.f(x)在(0,)内单调递增 15.(多选题)(2026浙江湖州期末)如图,正方形ABCD的边长为1,P,Q分别为边AB,DA上的点,当△APQ的周长为2时,则(　　) A.∠PCQ=45° B.PQ的长度有最大值2-2 C.△APQ的面积有最大值3-2 D.△PCQ的面积有最小值-1 16.如图,现有一块半径为10 m的半圆形草坪,圆心记为O,AD是圆O的一条直径,现计划在草坪内修建一条步道A—B—C—D,点B和点C在弧AD上(不与点A,D重合), AB=CD,则步道长的最大值为　　　　　.  17.已知f(x)=sin(2x+)+sin(2x-)-2cos2x+1. (1)求函数f(x)的单调递增区间; (2)求函数f(x)在区间[-]上的最大值和最小值以及相应的x的取值; (3)若θ为锐角,f()=,求cos θ. C级　学科素养创新练 18.(2026广东肇庆期末)某人承包了一片长方形水域ABCD养殖水产,需要在四条边上建立三个饵料投放点,每两个饵料投放点之间需要建一段浮桥.已知一个投放点M在AB的中点处,另外两个投放点N,P分别在边AD,边BC上,且要求MN与MP垂直,已知AB=72 m,AD=36 m. (1)求△MPN的面积S的最大值; (2)已知建造浮桥的费用为每米100元,预估造桥费用为Q元,求Q的取值范围. 答案 1.B　sin x+cos x=sin(x+)≤,sin x+cos x=2sin(x+)≤2,sin xcos x=sin 2x≤, sin2x-cos2x=-cos 2x≤1.故选B. 2.D　因为f(x)=sin 2x+=sin(2x+)+,所以对称轴方程为2x++kπ,k∈Z,解得x=,k∈Z.令k=0,则对称轴方程为x=.故选D. 3.C　对于A,f(x)=sin xcos x=sin 2x,最小正周期为π;对于B,f(x)==tan(x+),最小正周期为π;对于C,f(x)=cos(+x)-cos(-x)=-sin x,最小正周期为2π;对于D,f(x)=sin 2x-cos 2x=2sin(2x-),最小正周期为π.故选C. 4.C　b=sin 10°+cos 10°=sin 40°>sin 30°=,a==tan 40°=>sin 40°,c==sin 20°<sin 30°=,所以c<b<a.故选C. 5.A　∵A∈(0,π),∴A+∈(),又sin(A+)=,sin(A+)>0,∴A+∈(,π),∴cos(A+)<0,∴cos(A+)=-,∴sin(2A+)=2sin(A+)cos(A+)=2××(-)=-.故选A. 6.BCD　f(x)=sin 2x+cos 2x=sin(2x+),故A错误;f(x)的最小正周期为π,故B正确;当x∈()时,2x+∈()⊆(),故C正确;因为f(-)=sin(-)=0,所以f(x)的图象关于点(-,0)对称,故D正确.故选BCD. 7.　由题图可得tan α=,tan β=, 所以tan(α+β)==1,而α,β均为锐角,即0<α+β<π,所以α+β=. 8.-　如图,在长方形ABCD中,AB=2,AD=3, 由已知BF=2,AE=1,所以∠MAE=,DE=, 所以sin∠MEA=,cos∠MEA=, 所以cos∠EMF=cos(∠MEA+) =cos∠MEA·cos-sin∠MEAsin=-. 9.　由题意∀x∈R,sin(-x)+3cos(-x+φ)-[sin x+3cos(x+φ)]=0恒成立, 所以6sin xsin φ-2sin x=0,而sin x不恒为0,则sin φ=,所以cos 2φ=1-2sin2φ=. 10.解 (1)f(x)= = ==2cos 2x, 所以f=2cos=2cos. (2)g(x)=cos 2x+sin 2x=sin. 因为x∈,所以2x+, 所以当2x+时,g(x)max=,当2x+时,g(x)min=1. 11.C　f(x)=cos(2ωx+),因为x∈[0,π],所以2ωx+∈[,2πω+].因为f(x)在[0,π]上有且仅有2个零点,所以≤2πω+,解得ω∈[).故选C. 12.C　f(x)=2sin(ωx+),因为f(-x)=f(x),所以f(x)的图象关于直线x=对称,所以ω++kπ(k∈Z),结合ω>0,解得ω=1+6k(k∈N);当x∈(0,)时,ωx+∈(ω+),因为f(x)在(0,)内有最大值,所以ω+,解得ω>2.所以当k=1时,ω取得最小值7.故选C. 13.B　f(x)=sin 2ωx+1-cos 2ωx=sin(2ωx-)+1.因为ω>0,所以当≤x≤时,ω-≤2ωx-ω-.因为函数f(x)在[]上单调递减,所以[ω-ω-]⊆[2kπ+,2kπ+](k∈Z),即(k∈Z),解得4k+≤ω≤(k∈Z),由4k+,得k≤,又ω>0,k∈Z,故k=0,则≤ω≤.所以实数ω的取值范围是[.故选B. 14.D　对于A,f(x)=sin(x+)cos x=[sin(x++x)+sin(x+-x)]=sin(2x+)+,A错误;对于B,f(x)的最大值为,B错误;对于C,当x=-时,sin(2x+)=sin≠±1,C错误;对于D,当x∈(0,)时,2x+∈()⊆(-),D正确.故选D. 15.ACD　设AQ=x,AP=y,则DQ=1-x,PB=1-y(0<x<1,0<y<1),则tan∠DCQ==1-x,tan∠BCP=1-y.在Rt△APQ中,PQ2=AQ2+AP2=x2+y2,又△APQ的周长为2,即PQ=2-(x+y),所以(2-x-y)2=x2+y2,即xy=2(x+y)-2.对于A,tan(∠DCQ+∠BCP)==1,所以∠DCQ+∠BCP=45°,所以∠PCQ=45°,故A正确;对于B,因为PQ=2-(x+y),xy=2(x+y)-2,由基本不等式2(x+y)-2=xy≤()2,当且仅当x=y=2-时,等号成立,解得x+y≤4-2,当且仅当x=y=2-时,等号成立,所以PQ≥2-2,故B错误;对于C,△APQ的面积为xy=x+y-1≤3-2,当且仅当x=y=2-时,等号成立,故C正确;对于D,因为△APQ的面积为xy,△CDQ的面积为(1-x),△PCB的面积为(1-y),所以S△PCQ=1-S△APQ-S△CDQ-S△PCB=1-xy-(1-x)-(1-y)=1-(x+y)≥-1,当且仅当x=y=2-时,等号成立,即△PCQ面积的最小值为-1,故D正确.故选ACD. 16.30 m　如图,取BC,CD的中点M,N,连接OM,ON,OB,OC. 由平面几何知识易得AD∥BC,OM⊥AD, 设∠COD=θ,0<θ<,则∠DON=∠CON=,∠COM=-θ, 故CN=DN=10sin,CM=BM=10sin(-θ)=10cos θ, 故AB+CD+BC=20sin+20sin+20cos θ=40sin+20(1-2sin2)=-40sin2+40sin+20=-40(sin)2+30, 因为0<θ<,所以0<,0<sin, 故当sin,即θ=时,-40(sin)2+30取得最大值,最大值为30,故步道长的最大值为30 m. 17.解 (1)f(x)=sin(2x+)+sin(2x-)-cos 2x=sin 2x-cos 2x=2sin(2x-), 令2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z), 解得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z), 所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+](k∈Z). (2)因为x∈[-], 所以2x-∈[-], 所以当2x-时,即x=时,f(x)max=2; 当2x-=-时,即x=-时,f(x)min=2sin(-)=-. (3)因为f()=2sin(θ-)=, 所以sin(θ-)=. 因为θ为锐角,θ-∈(-), 所以cos(θ-)=, 所以cos θ=cos(θ-)=cos(θ-)-sin(θ-)=. 18.解 (1)设∠AMN=θ,由题意∠A=∠B=∠PMN=,所以∠MPB=θ, 所以MN=,MP=. 当点N在点D时,θ最大,此时tan θ=,θ=; 当点P在点C时,θ最小,此时tan θ=,θ=, 所以θ∈[]. 所以S=MN·MP=(θ∈[]). 因为2θ∈[],所以≤sin 2θ≤1, 所以当sin 2θ=,即θ=或θ=时,Smax=1 296×=864(m2). (2)记△MPN的周长为L,由(1)知,PN=, 所以L=MN+MP+PN=, 所以L=,θ∈[]. 令m=cos θ+sin θ,则cos θsin θ=, 所以L=. 因为m=sin(θ+),θ+∈[], 所以m∈[],m-1∈[-1], 所以∈[+1,+1], 所以72(+1)≤L≤72(+1), 所以Q∈[7 200(+1),7 200(+1)]. 10 学科网（北京）股份有限公司 $