精品解析：四川省德阳市什邡市北师大什邡附属外国语中学2021-2022学年九年级上学期 期中数学试题

初三上数学期中考试试题 一、选择题（共12小题，满分48分，每小题4分） 1. 在平面直角坐标系中，点和点关于原点对称，则m的值为（ ） A. 2 B. C. D. 1 2. 下列图形是轴对称图形而不是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知关于的方程的一个根为，则实数的值为　　 A. 1 B. ﹣1 C. 2 D. ﹣2 5. 对于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象的对称轴是直线 C. 图象的顶点是 D. 当时，随的增大而增大 6. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过（     ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 如图，三角形OCD是由三角形OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，则∠BOD的度数是（　　） A. 33° B. 35° C. 40° D. 45° 8. 下列4种图形：平行四边形、矩形、菱形、正方形，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的有 （ ）种 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，当点落在边上时，线段的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 10. 如图，已知BD是⊙O的直径，BD⊥AC于点E，∠AOC＝100°，则∠BDC的度数是（　　） A. 20° B. 25° C. 30° D. 40° 11. 如图，直径为10的经过点和点，点是轴右侧优弧上一点，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A(﹣3，0)，其对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：①abc＜0；②a＋b＋c＜0；③2a－b＝0；④4ac﹣b2＞0；⑤若P(﹣5，y1)，Q(m，y2)是抛物线上两点，且y1＞y2，则实数m的取值范围是﹣5＜m＜3．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 13. 二次函数y＝﹣x2＋3x﹣2与x轴的交点坐标是_______． 14. 函数的最小值为________． 15. 在直径为200 cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB＝160 cm，则油的最大深度为_________ cm. 16. 某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到1210辆，则该厂四、五月份的月平均增长率为______________． 17. 已知关于x的方程m（x+a）2+n＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，则关于x的方程m（x+a﹣2）2+n＝0的解是_____． 18. 如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为_______． 三、解答题（共7小题，满分78分） 19. 解方程： （1） （2） （3） （4） 20. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）若k为满足条件的最大的整数，求此时方程的解． 21. 在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，的位置如图所示，先作关于原点成中心对称的，再把向上平移4个单位长度得到． （1）画出和； （2）与关于某点成中心对称，直接写出对称中心的坐标是__________； （3）已知为轴上一点．若的面积为3，直接写出点的坐标__________： 22. 某书店销售一本畅销的小说，每本进价为20元，根据以往经验，当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本． （1）请求出书店销售该小说每天的销售量y（本）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）书店决定每销售1本该小说，就捐赠2元给山区贫困儿童，若想每天扣除捐赠后获得最大利润，则每本该小说售价为多少元？最大利润是多少？ 23. 如图，是的直径，是的弦，如果 （1）求的度数； （2）若，求的长． 24. 如图，已知BC是⊙O的直径，弦AD⊥BC于点H，与弦BF交于点E，AD=8，BH=2． （1）求⊙O的半径； （2）连接AB，若∠EAB=∠EBA，求证：BF=2AH． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B． （1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式； （2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积； （3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M、N的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三上数学期中考试试题 一、选择题（共12小题，满分48分，每小题4分） 1. 在平面直角坐标系中，点和点关于原点对称，则m的值为（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中任意一点（x，y），关于原点的对称点是（−x，−y），然后直接作答即可． 【详解】解：根据中心对称的性质，可知：点和点关于原点对称，则m=-2， 故选：B． 【点睛】本题考查关于原点对称的点坐标的关系，是需要熟记的基本问题，记忆方法可以结合平面直角坐标系的图形． 2. 下列图形是轴对称图形而不是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各项进行分析判断即可． 【详解】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意； D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形要寻找对称中心，旋转180°后两部分重合． 3. 下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据根的判别式逐一判断即可． 【详解】A.变形为，此时△=4-4=0，此方程有两个相等的实数根，故选项A正确； B.中△=0-4=-4＜0，此时方程无实数根，故选项B错误； C.整理为，此时△=4+12=16＞0，此方程有两个不相等的实数根，故此选项错误； D.中，△=4＞0，此方程有两个不相等的实数根，故选项D错误. 故选：A. 【点睛】本题主要考查根的判别式，熟练掌握根的情况与判别式间的关系是解题的关键． 4. 已知关于的方程的一个根为，则实数的值为　　 A. 1 B. ﹣1 C. 2 D. ﹣2 【答案】A 【解析】 【分析】利用方程解的定义就可以得到关于的方程，从而求得的值． 【详解】解：关于的方程的一个根为， ， 解得． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了方程的解的定义．解题的关键是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 5. 对于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象的对称轴是直线 C. 图象的顶点是 D. 当时，随的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质得二次函数y＝﹣2（x﹣3）2﹣1的开口向下，对称轴为直线x＝3，抛物线的顶点坐标为（3，﹣1）；当x＜3时，y随x的增大而增大；当x＞3时，y随x的增大而减小，然后依次对各命题进行判断即可． 【详解】解：A、∵a＝﹣2＜0，∴图象的开口向下，故A选项错误； B、图象的对称轴为直线x＝3，故B选项错误； C、其图象顶点坐标为（3，﹣1），故C选项正确； D、∵抛物线的开口向下，对称轴为x＝3，∴当x＜3时，y随x的增大而增大；当x＞3时，y随x的增大而减小，故D选项错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要考查了函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标以及函数的增减性，都是基本性质，熟练掌握性质是解题的关键． 6. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过（     ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，由二次函数的图象得出二次函数开口向下，对称轴在轴右侧，交轴于正半轴，推出，，，再结合一次函数的性质即可得出答案． 【详解】解：由图象可得：二次函数开口向下，对称轴在轴右侧，交轴于正半轴， ∴，，， ∴， ∴， ∴一次函数的图象不经过第二象限， 故选：B． 7. 如图，三角形OCD是由三角形OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，则∠BOD的度数是（　　） A. 33° B. 35° C. 40° D. 45° 【答案】C 【解析】 【分析】由旋转的性质即可求得∠BOD．旋转性质： 图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动．①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等，即旋转前后图形的大小和形状没有改变．④旋转中心是唯一不动的点．⑤一组对应点的连线所在的直线所交的角等于旋转角度． 【详解】解：∵△OCD是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形， ∴∠BOD＝40°， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，理解旋转的性质是解题的关键． 8. 下列4种图形：平行四边形、矩形、菱形、正方形，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的有 （ ）种 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义判断即可． 【详解】根据中心对称图形和轴对称图形的定义可知： 平行四边形是中心对称图形，不符合题意； 矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 菱形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 正方形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 共有3个既是中心对称图形又是轴对称图形； 故选C． 【点睛】此题考查中心对称图形和轴对称图形的定义，掌握中心对称图形和轴对称图形的定义是解题的关键． 9. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，当点落在边上时，线段的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，得AC＝2，∠CAC'＝60°，再根据旋转的性质可推出△CAC'为等边三角形，从而得到CC'＝AC＝2． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4， ∴AC＝2，∠CAC'＝60°， ∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C'，当点落在边上， ∴AC'＝AC＝2， ∴△CAC'为等边三角形， ∴CC'＝AC＝2， 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，含30°角的直角三角形性质，明确旋转前后对应边相等是解题的关键． 10. 如图，已知BD是⊙O的直径，BD⊥AC于点E，∠AOC＝100°，则∠BDC的度数是（　　） A. 20° B. 25° C. 30° D. 40° 【答案】B 【解析】 【分析】由垂径定理知∠BOC＝∠AOC＝50°，再根据圆周角定理可得答案． 【详解】解：∵BO⊥AC，∠AOC＝100°， ∴∠BOC＝∠AOC＝50°， 则∠BDC＝∠BOC＝25°， 故选：B． 【点睛】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握垂径定理及圆周角定理等知识点． 11. 如图，直径为10的经过点和点，点是轴右侧优弧上一点，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先设⊙A与x轴另一个的交点为点D，连接CD，由∠COD＝90°，根据90°的圆周角所对的弦是直径，即可得CD是⊙A的直径，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠ODC的度数，继而求得点C的坐标． 【详解】解：设⊙A与x轴另一个的交点为点D，连接CD， ∵∠COD＝90°， ∴CD是⊙A的直径， 即CD＝10， ∵∠OBC＝30°， ∴∠ODC＝30°， ∴OC＝CD＝5， ∴点C的坐标为：（0，5）． 故选：B． 【点睛】此题考查了圆周角定理与含30°角的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键，注意数形结合思想的应用． 12. 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A(﹣3，0)，其对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：①abc＜0；②a＋b＋c＜0；③2a－b＝0；④4ac﹣b2＞0；⑤若P(﹣5，y1)，Q(m，y2)是抛物线上两点，且y1＞y2，则实数m的取值范围是﹣5＜m＜3．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴、及与y轴的交点位置可对①进行判断；根据对称轴和抛物线与x轴的一个交点（-3，0）可得另一个交点坐标为（1，0）可对②进行判断；根据可对③进行判断，根据b2-4ac>0可对④进行判断；结合二次函数的对称性可对⑤进行判断． 【详解】∵抛物线开口向上，与y轴交点在y轴负半轴， ∴a>0，c<0， ∵对称轴x==-1<0， ∴b>0，b=2a， ∴abc<0，2a－b＝0，故①、③正确， ∵对称轴为x=-1，与x轴的一个交点为A（-3，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0）， ∴a＋b＋c=0，故②错误， ∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点， ∴b2-4ac>0，则4ac﹣b2＜0，故④错误， 由二次函数对称性可得：当x=-5与x=3时，函数值相等，均可表示为y1， 结合抛物线开口向上，可知：当-5＜x＜3时的函数值均小于y1， ∴实数m的取值范围是﹣5＜m＜3，故⑤正确， 综上，①③⑤正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点． 二、填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 13. 二次函数y＝﹣x2＋3x﹣2与x轴的交点坐标是_______． 【答案】， 【解析】 【分析】令y＝0，解关于x的一元二次方程即可． 【详解】解：令y＝0，得：， 两边同时乘以-1得： ∴ 即，或 解得： ∴二次函数与x轴的交点坐标是（1，0）、（2，0）． 故答案为：（1，0）、（2，0）． 【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程关系，熟练掌握两者之间联系并能准确计算是解题的关键． 14. 函数的最小值为________． 【答案】-18 【解析】 【分析】把二次函数化为顶点式，进而即可求解． 【详解】解：∵ ∴函数的最小值为-18， 故答案是：-18． 【点睛】本题主要考查二次函数的最值，把二次函数的一般形式化为顶点式，是解题的关键． 15. 在直径为200 cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB＝160 cm，则油的最大深度为_________ cm. 【答案】40 【解析】 【详解】解：如图，连接OA，过点O作OE⊥AB，交AB于点M， ∵直径为200cm，AB=160cm， ∴OA=OE=100cm，AM=80cm， ∴OM=（cm）， ∴ME=OE﹣OM=100﹣60=40cm． 即油的最大深度为40cm． 故答案为：40． 16. 某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到1210辆，则该厂四、五月份的月平均增长率为______________． 【答案】10%． 【解析】 【分析】设出四、五月份的平均增长率，则四月份的市场需求量是1000（1+x），五月份的产量是1000（1+x）2，据此列方程解答即可． 【详解】解：设四、五月份的月平均增长率为x，根据题意得： 1000（1+x）2＝1210， 解得x1＝0.1，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）， 则该厂四、五月份的月平均增长率为10%． 故答案为：10%． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是正确列出一元二次方程．原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a×（1±x），再经过第二次调整就是a×（1±x）（1±x）＝a（1±x）2．增长用“+”，下降用“﹣”． 17. 已知关于x的方程m（x+a）2+n＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，则关于x的方程m（x+a﹣2）2+n＝0的解是_____． 【答案】x1＝﹣1，x2＝3． 【解析】 【分析】由题意先对方程变形为m[（x﹣2）+a]2+n＝0，进而代入x﹣2＝﹣3或x﹣2＝1求出方程m（x+a﹣2）2+n＝0的解即可． 【详解】解：∵关于x的方程m（x+a）2+n＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1， ∴方程m（x+a﹣2）2+n＝0可变形为m[（x﹣2）+a]2+n＝0， ∵此方程中x﹣2＝﹣3或x﹣2＝1， 解得x1＝﹣1或x2＝3． 故答案为：x1＝﹣1，x2＝3． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程以及方程的解的定义．解决问题的关键是由两个方程的结构特点进行简便计算． 18. 如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为_______． 【答案】10.5 【解析】 【分析】将求GE+FH的最大值转化为GH-EF的值，因为EF是△ABC的中位线，EF=，AB的长度不变，所以只要GH的长最大即可，当GH为直径时，其长度最大. 【详解】如图，连接OA，OB， ∵∠ACB=30°， ∴∠AOB=60°． ∵OA=OB， ∴△OAB是等边三角形． ∴OA=OB=AB=7． ∵E、F是AC、BC的中点， ∴EF==3.5． ∵GE+FH=GH－EF，EF为定值，∴要使GE+FH最大，即要GH最大． ∴当GH为直径时，GE+FH的最大值为14-3.5=10.5． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和三角形的中位线的性质.将求GE+FH的最大值转化为求GH-EF的最大值，是解题的关键. 三、解答题（共7小题，满分78分） 19. 解方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1），； （2），； （3），； （4），． 【解析】 【分析】（1）用配方法解一元二次方程； （2）用提取公因式法因式分解解一元二次方程； （3）用公式法解一元二次方程； （4）用十字相乘法因式分解解一元二次方程． 【小问1详解】 解： 即或 解得，． 【小问2详解】 即或 解得，． 【小问3详解】 这里，， ∴ ∴，． 【小问4详解】 即或 解得，． 20. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）若k为满足条件的最大的整数，求此时方程的解． 【答案】（1）k＜3；（2） 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根,令△＞0，即可解题， （2）根据k的取值范围确定k的值,代入原方程即可求解． 【详解】解：（1）， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得k＜3 ； （2）取k＝2，得 ， 解得：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和求解，属于简单题,熟悉根的判别式的概念是解题关键． 21. 在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，的位置如图所示，先作关于原点成中心对称的，再把向上平移4个单位长度得到． （1）画出和； （2）与关于某点成中心对称，直接写出对称中心的坐标是__________； （3）已知为轴上一点．若的面积为3，直接写出点的坐标__________： 【答案】（1） 解：如图，和为所作； （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换． （1）利用中心对称的点的坐标特征写出的坐标，描点得到，利用点平移的坐标特征写出的坐标，然后描点得到； （2）连接，它们相交于Q点，则Q点为对称中心； （3）设P点坐标为，利用三角形面积公式得到，然后解得P点坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，与关于Q点成中心对称，Q点的坐标为； 故答案为：； 【小问3详解】 解：设P点坐标为， ∵的面积为3， ∴， 解得， ∴P点坐标为或． 故答案为：或． 22. 某书店销售一本畅销的小说，每本进价为20元，根据以往经验，当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本． （1）请求出书店销售该小说每天的销售量y（本）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）书店决定每销售1本该小说，就捐赠2元给山区贫困儿童，若想每天扣除捐赠后获得最大利润，则每本该小说售价为多少元？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）每本该小说售价为36元，最大利润是1960元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）结合“当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本”，即可确定答案； （2）根据题意可得，由二次函数的性质即可获得答案． 【小问1详解】 解：根据题意得，； 【小问2详解】 设每天扣除捐赠后可获得利润为w元， 由已知得： ， ∵， ∴时，w取得最大值，最大值为1960， 答：每本该小说售价为36元，最大利润是1960元． 23. 如图，是的直径，是的弦，如果 （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径． （1）根据圆周角定理得到，，然后利用互余可计算出的度数； （2）利用含30度的直角三角形三边的关系求解． 【小问1详解】 解：是的直径， ， ， ； 【小问2详解】 解：在中，， ， ． 24. 如图，已知BC是⊙O的直径，弦AD⊥BC于点H，与弦BF交于点E，AD=8，BH=2． （1）求⊙O的半径； （2）连接AB，若∠EAB=∠EBA，求证：BF=2AH． 【答案】（1）⊙O的半径为5；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）连接OA交BF于G，如图，⊙O的半径为r，根据垂径定理得到AH=DH=4，在Rt△OHA中，根据勾股定理得r2=42+（r-2）2，解得r=5； （2）连接CF，如图，根据垂径定理得到=，而∠EAB=∠EBA，所以=，则=，得到AD=BF，所以BF=2AH． 【详解】（1）解：连接OA，如图， 设⊙O的半径为r， ∵AD⊥OB， ∴AH=DH=4， 在Rt△OHA中，OH=r-2，OA=r， ∴r2=42+（r-2）2， 解得r=5， 即⊙O的半径为5； （2）∵AD⊥OB， ∴=，AH=DH， ∵∠EAB=∠EBA， ∴=， ∴=， ∴=， ∴BF=AD=2AH． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B． （1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式； （2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积； （3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M、N的坐标． 【答案】（1）y=﹣x2+4x+5；（2）点P（，）时，S四边形APCD最大=；（3）当M点的坐标为（1，8）时，N点坐标为（2，13），当M点的坐标为（3，8）时，N点坐标为（2，3）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）设出抛物线解析式，用待定系数法求解即可；（2）先求出直线AB解析式，设出点P坐标（x，﹣x2+4x+5），建立函数关系式S四边形APCD=﹣2x2+10x，根据二次函数求出极值；（3）先判断出△HMN≌△AOE，求出M点的横坐标，从而求出点M，N的坐标． 试题解析：（1）设抛物线解析式为y=a+9，∵抛物线与y轴交于点A（0，5）， ∴4a+9=5， ∴a=﹣1， y=﹣+9=-+4x+5， （2）当y=0时，-+4x+5=0，∴x1=﹣1，x2=5，∴E（﹣1，0），B（5，0）， 设直线AB的解析式为y=mx+n，∵A（0，5），B（5，0），∴m=﹣1，n=5， ∴直线AB的解析式为y=﹣x+5；设P（x，﹣+4x+5）， ∴D（x，﹣x+5）， ∴PD=-+4x+5+x﹣5=-+5x， ∵AC=4， ∴S四边形APCD=×AC×PD=2（-+5x）=-2+10x， ∴当x=时， ∴S四边形APCD最大=， （3）如图， 过M作MH垂直于对称轴，垂足为H，∵MN∥AE，MN=AE，∴△HMN≌△AOE，∴HM=OE=1， ∴M点的横坐标为x=3或x=1，当x=1时，M点纵坐标为8，当x=3时，M点纵坐标为8， ∴M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8），∵A（0，5），E（﹣1，0）， ∴直线AE解析式为y=5x+5， ∵MN∥AE，∴MN的解析式为y=5x+b，∵点N在抛物线对称轴x=2上，∴N（2，10+b）， ∵AE2=OA2+0E2=26 ∵MN=AE ∴MN2=AE2， ∴MN2=（2﹣1）2+[8﹣（10+b）]2=1+（b+2）2 ∵M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8）， ∴点M1，M2关于抛物线对称轴x=2对称， ∵点N在抛物线对称轴上， ∴M1N=M2N， ∴1+（b+2）2=26， ∴b=3，或b=﹣7， ∴10+b=13或10+b=3 ∴当M点的坐标为（1，8）时，N点坐标为（2，13）， 当M点的坐标为（3，8）时，N点坐标为（2，3）， 考点：（1）待定系数法求函数关系式；（2）函数极值额确定方法；（3）平行四边形的性质和判定 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $