5.4.3正切函数的性质与图象同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 练习聚焦正切函数性质与图象，分“基础全面练”“综合应用练”两层，基础题夯实概念与运算，综合题提升逻辑推理与综合应用能力，适配新授课分层巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础全面练|定义域、值域、单调性、周期性、对称性|以选择填空为主，如定义域求解（第1题）、周期计算（第5题），强化单一知识点理解| |综合应用练|单调性与参数范围、分段函数图象、跨知识点综合|含解答题与多选，如参数ω范围讨论（第15题）、绝对值与正切函数结合（第11题），培养数学思维与问题解决能力|

　正切函数的性质与图象 (时间:45分钟　分值:85分) 【基础全面练】 1.(5分)函数y=的定义域为 (　　) A.[kπ,kπ+),k∈Z B.[kπ,kπ+),k∈Z C.(kπ-,kπ+],k∈Z D.(kπ-,kπ],k∈Z 2.(5分)函数y=tan (x-),x∈(-,)的值域为 (　　) A.(-,1) B.(-1,) C.(1,) D.(,1) 3.(5分)下列区间中,是函数f(x)=3tan (-2x+)的单调递减区间的是 (　　) A.(-π,-)　 B.(-,) C.(-,)　 D.(0,π) 4.(5分)不等式tan x≤-1的解集是 (　　) A.(2kπ-,2kπ-](k∈Z) B.[2kπ-,2kπ+](k∈Z) C.(kπ-,kπ-](k∈Z) D.[2kπ+,2kπ+](k∈Z) 5.(5分)已知函数f(x)=tan ωx(0<ω<1),且经过点(,1),则函数f(x)=tan ωx的最小正周期是 (　　) A. B.π C.2π D.4π 6.(5分)(多选)(2025·枣庄高一检测)已知函数f(x)=tan(x+),则 (　　) A.f(x)的定义域和值域均为R B.f(x)的最小正周期为2 C.f(x)在区间(0,2)内单调递增 D.f(x)的图象关于点(,0)对称 7.(5分)已知a=tan 1,b=tan 2,c=tan 3,则它们的大小关系为　　(用“>”连接).  8.(5分)函数y=tan2x-2tan x(|x|≤)的值域为　　.  9.(5分)已知函数f(x)=tan(2x+φ)(0<φ<)的图象关于点(-,0)对称,求f(x)的单调递增区间. 10.(10分)已知函数f(x)=3tan(-). (1)求f(x)的单调递减区间; (2)试比较f(π)与f()的大小. 【综合应用练】 11.(5分)函数y=tan x+sin x-|tan x-sin x|在区间(,)内的图象是 (　　) 12.(5分)(2025·天津高一检测)设函数f(x)=2tan(ωx-)(ω>0)的图象的一个对称中心为(,0),则f(x)的一个最小正周期是 (　　) A.　 B.　 C.　 D. 13.(5分)(2025·昆明高一检测)已知函数y=tan ωx在区间(-,)内单调递减,则 (　　) A.0<ω≤1 B.-1≤ω<0 C.ω≥1 D.ω≤-1 14.(5分)比较下列两个数的大小(用“>”或“<”填空): (1)tan 　　tan ;  (2)tan 　　tan (-).  15.(10分)已知函数f(x)=tan (ωx+)(ω>0). (1)若函数f(x)的最小正周期为π,求f(x)的定义域及单调递增区间; (2)若函数f(x)在区间(,)上单调递增,求ω的取值范围. 答案解析 【基础全面练】 1.(5分)函数y=的定义域为 (　　) A.[kπ,kπ+),k∈Z B.[kπ,kπ+),k∈Z C.(kπ-,kπ+],k∈Z D.(kπ-,kπ],k∈Z 【解析】选A.由题意得:tan (x+)-1≥0,故tan (x+)≥1, 故kπ+≤x+<kπ+,即x∈[kπ,kπ+),k∈Z. 2.(5分)函数y=tan (x-),x∈(-,)的值域为 (　　) A.(-,1) B.(-1,) C.(1,) D.(,1) 【解析】选A.设z=x-,因为x∈(-,),所以z∈(-,). 因为正切函数y=tan z在区间(-,)上单调递增,且tan (-)=-,tan =1, 所以tan z∈(-,1). 3.(5分)下列区间中,是函数f(x)=3tan (-2x+)的单调递减区间的是 (　　) A.(-π,-)　 B.(-,) C.(-,)　 D.(0,π) 【解析】选C.令kπ-π<-2x+<kπ+π,k∈Z,解得-kπ-<x<-kπ+,k∈Z,令k=0,可得x∈(-,). 4.(5分)不等式tan x≤-1的解集是 (　　) A.(2kπ-,2kπ-](k∈Z) B.[2kπ-,2kπ+](k∈Z) C.(kπ-,kπ-](k∈Z) D.[2kπ+,2kπ+](k∈Z) 【解析】选C.由于正切函数是周期等于π的周期函数,由不等式tan x≤-1,结合正切函数的图象,可得在一个周期(-,)上,不等式的解集为(-,-],故在R上,不等式tan x≤-1的解集是(kπ-,kπ-],k∈Z. 5.(5分)已知函数f(x)=tan ωx(0<ω<1),且经过点(,1),则函数f(x)=tan ωx的最小正周期是 (　　) A. B.π C.2π D.4π 【解析】选C.因为函数过点(,1),所以tan =1,则=kπ+(k∈Z), 所以ω=2k+(k∈Z),又0<ω<1,所以ω=,所以函数的最小正周期为T==2π. 6.(5分)(多选)(2025·枣庄高一检测)已知函数f(x)=tan(x+),则 (　　) A.f(x)的定义域和值域均为R B.f(x)的最小正周期为2 C.f(x)在区间(0,2)内单调递增 D.f(x)的图象关于点(,0)对称 【解析】选BD.对于A,由题可得x+≠+kπ(k∈Z),即x≠+2k(k∈Z), 所以函数f(x)的定义域为{x|x≠+2k(k∈Z)},值域为R,故A错误; 对于B,函数f(x)的最小正周期为=2,故B正确; 对于C,由A得,当k=0时,x≠,即f(x)在x=处无定义,故C错误; 对于D,由于y=tan x的图象关于点(,0)(k∈Z)对称, 令x+(k∈Z),则x=-+k(k∈Z), 令k=1,则x=,故f(x)的图象关于点(,0)对称,故D正确. 7.(5分)已知a=tan 1,b=tan 2,c=tan 3,则它们的大小关系为　a>c>b　(用“>”连接).  【解析】因为0<1<<2<3<π,所以tan 1>0,tan 2<0,tan 3<0, 由正切函数的性质得y=tan x在(,π)上单调递增,所以tan 3>tan 2,故tan 1>tan 3>tan 2,即a>c>b. 8.(5分)函数y=tan2x-2tan x(|x|≤)的值域为　[-1,3+2]　.  【解析】令u=tan x,因为|x|≤,所以由正切函数的单调性可知u∈[-,], 所以原函数可化为y=u2-2u,u∈[-,], 因为二次函数y=u2-2u=(u-1)2-1的图象开口向上,对称轴为直线u=1, 所以当u=1时,ymin=-1, 当u=-时,ymax=3+2,所以原函数的值域为[-1,3+2]. 9.(5分)已知函数f(x)=tan(2x+φ)(0<φ<)的图象关于点(-,0)对称,求f(x)的单调递增区间. 【解析】令2x+φ=,k∈Z,可得:x=-,k∈Z,结合0<φ<, 令k=0,可得x=-,得-=-,解得φ=, 再令kπ-<2x+<kπ+,k∈Z,可得-<x<+,k∈Z, 所以f(x)的单调递增区间为(-+,+),k∈Z. 10.(10分)已知函数f(x)=3tan(-). (1)求f(x)的单调递减区间; 【解析】(1)f(x)=3tan(-)=-3tan(-),由kπ--<kπ+,k∈Z,得4kπ-<x<4kπ+,k∈Z. 因为y=3tan(-)在(4kπ-,4kπ+),k∈Z上单调递增, 所以f(x)=-3tan(-)在(4kπ-,4kπ+),k∈Z上单调递减. 故原函数的单调递减区间为(4kπ-,4kπ+),k∈Z. (2)试比较f(π)与f()的大小. 【解析】(2)f(π)=3tan(-)=3tan(-)=-3tan ,f()=3tan(-)=3tan(-)=-3tan , 因为0<,且y=tan x在(0,)上单调递增,所以tan <tan ,所以f(π)>f(). 【综合应用练】 11.(5分)函数y=tan x+sin x-|tan x-sin x|在区间(,)内的图象是 (　　) 【解析】选D.当<x<π时,tan x<sin x,y=2tan x<0;当x=π时,y=0; 当π<x<时,tan x>sin x,y=2sin x,且-2<y<0.所以只有D选项符合题意. 12.(5分)(2025·天津高一检测)设函数f(x)=2tan(ωx-)(ω>0)的图象的一个对称中心为(,0),则f(x)的一个最小正周期是 (　　) A.　 B.　 C.　 D. 【解析】选C.因为函数f(x)=2tan(ωx-)的图象的一个对称中心为(,0),则ω-,k∈Z,解得ω=3k+2,k∈Z,且ω>0,所以函数f(x)的最小正周期为T=,k∈N, 对于选项A:若,此时k∉N,不符合题意,故A错误; 对于选项B:若,此时k∉N,不符合题意,故B错误; 对于选项C:若,解得k=1,故C符合题意; 对于选项D:若,此时k∉N,不符合题意,故D错误. 13.(5分)(2025·昆明高一检测)已知函数y=tan ωx在区间(-,)内单调递减,则 (　　) A.0<ω≤1 B.-1≤ω<0 C.ω≥1 D.ω≤-1 【解析】选B.因为y=tan ωx在(-,)内单调递减,所以ω<0且T=≥π,所以-1≤ω<0. 14.(5分)比较下列两个数的大小(用“>”或“<”填空): (1)tan 　<　tan ;  (2)tan 　<　tan (-).  【解析】(1)tan =tan ,因为0<,y=tan x在(0,)上单调递增, 所以tan <tan ,即tan <tan . (2)tan =tan ,tan (-)=tan ,因为0<, y=tan x在(0,)上单调递增,所以tan <tan ,即tan <tan (-). 15.(10分)已知函数f(x)=tan (ωx+)(ω>0). (1)若函数f(x)的最小正周期为π,求f(x)的定义域及单调递增区间; 【解析】(1)由题意可知,函数f(x)的最小正周期T==π,则ω=1,f(x)=tan (x+). x+≠kπ+,k∈Z,即x≠kπ+,k∈Z,所以函数f(x)的定义域为; 令kπ-<x+<kπ+,k∈Z,化简得kπ-π<x<kπ+,k∈Z, 所以函数f(x)的单调递增区间为(kπ-π,kπ+),k∈Z. (2)若函数f(x)在区间(,)上单调递增,求ω的取值范围. 【解析】(2)令t=ωx+,因为x∈(,),所以t∈(+,+), 因为函数f(x)在(,)上单调递增,所以t∈(+,+)⊆(kπ-,kπ+),k∈Z, 所以,k∈Z,即,则有, 解得-<k≤,又因为k∈Z,所以k=0或1, 则0<ω≤或1≤ω≤,即ω的取值范围为(0,]∪[1,]. 学科网（北京）股份有限公司 $