5.4.3正切函数的性质与图像同步练习--2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本练习通过基础、中档、提升三层设计，覆盖正切函数性质与图像核心知识点，从概念理解到综合应用，适配新授课巩固需求，培养数学抽象与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|正切函数定义、单调性、周期|单选题（如判断单调性）、填空题（周期计算），直接考查单一性质| |中档|奇偶性、对称中心、性质综合|多选题（奇偶性与周期结合）、填空题（解不等式），需综合2-3个性质| |提升|实际应用、综合求解|解答题（定义域与值域）、情境题（音叉振动模型），培养模型意识与应用能力|

5.4.3 正切函数的性质与图像 同步练习 （附解析） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知，则（　　） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（   ） A．是增函数 B．在第一象限是增函数 C．在某一区间上是减函数 D．在区间上是增函数 3．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 4．若，，，则（    ） A． B． C． D． 5．函数（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 6．已知函数，若，则（    ） A．5 B．3 C．1 D．0 7．已知函数的图象的两个相邻对称中心之间的距离为，则（   ） A．2 B．4 C．8 D．12 8．已知函数的最小正周期是，且经过点，则，的值分别是（   ） A．1， B．1， C．3， D．3， 9．函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．下列函数中，同时满足：①在上是增函数；②为奇函数；③最小正周期为的函数有（   ） A． B． C． D． 11．已知函数，则（   ） A． B．的最小正周期为 C．图象的对称中心为 D．不等式的解集为 三、填空题 12．函数的最小正周期为_________． 13．在内使得成立的的取值范围是___________. 14．已知函数,，则函数的最小值为___________________ 15．已知函数（）的最小正周期为，则__________. 16．函数的图像的相邻两支曲线截直线所得线段长为，则实数__________. 17．音叉是呈“”形的钢质或铝合金发声器（如图1），各种音叉可因其质量和叉长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音，敲击某个音叉时，在一定时间内，音叉上点离开平衡位置的位移与时间的函数关系为，图2是该函数在一个周期内的图象. 根据图中数据可确定的值为________. 四、解答题 18．解答下列问题： (1)求的周期； (2)判断的奇偶性． 19．解答下列问题： (1)求函数的单调区间； (2)比较、、的大小． 20．解答下列问题． (1)求函数的定义域； (2)求函数，的值域． 21．已知函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为． (1)求的值； (2)求等式的解集． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《5.4.3 正切函数的性质与图像 同步练习 （附解析）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A D B A B A C AD 题号 11 答案 AD 1．A 【知识点】比较指数幂的大小、正切函数的定义、比较对数式的大小 【分析】根据题意得，即可求解. 【详解】因为，， ， 所以. 故选：A. 2．D 【知识点】求正切型三角函数的单调性 【分析】由正切函数的图象性质可得的递增区间为. 【详解】有无数个递增区间，无递减区间，且在整个定义域上不是增函数， 故选：D. 3．A 【知识点】正切函数图象的应用、正弦函数图象的应用、余弦函数图象的应用 【分析】根据三角函数图象及性质，判断函数周期和单调性，求出结果即可. 【详解】画出图象，如下图所示， 可知函数最小正周期为且在区间上单调递减，所以A正确； 对于可知函数最小正周期为，所以B错误； 对于，可知函数在区间上单调递增，所以C错误； 画出图象，如下图所示， 可知函数在区间上单调递增，所以D错误； 故选：A. 4．D 【知识点】诱导公式二、三、四、比较正切值的大小 【分析】利用正切函数的性质化简三个三角式，再结合正切函数在上的单调性比较大小. 【详解】，，， 因为在上单调递增，且，因此， 所以. 5．B 【知识点】求含tanx的函数的奇偶性 【分析】先判断的定义域是否对称，再利用函数奇偶性的定义判断即可. 【详解】的定义域为，定义域对称， 因为， 所以是偶函数. 故选：B. 6．A 【知识点】由正弦函数的奇偶性求函数值、由正切函数的奇偶性求函数值 【分析】根据诱导公式，结合函数的奇偶性进行求解即可. 【详解】设， 因为， 所以函数是奇函数， 因此， 故选：A 7．B 【知识点】正切函数对称性的应用、由正切函数的周期求值 【详解】设的最小正周期为T，由函数的图象的相邻两个对称中心之间的距离为，所以，解得，由，解得 8．A 【知识点】由正切函数的周期求值、由正切型函数的性质确定图象（解析式） 【分析】根据正切型函数的性质，，求出的取值，再带入点，结合的限制条件，求出的取值. 【详解】根据函数性质，，求得， 代入点得，又有，. 故选：A. 9．C 【知识点】求正切（型）函数的值域及最值 【详解】因为函数在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递增， 因为，， 所以函数，的值域为． 10．AD 【知识点】求余弦（型）函数的最小正周期、求正切型三角函数的单调性、求cosx型三角函数的单调性、求正切（型）函数的周期、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】利用三角函数的性质可判断. 【详解】对于A，在上单调递增，，所以在上单调递增， 又因为是奇函数，最小正周期为，满足3个条件，故A正确； 对于B，因为，所以为偶函数，不满足条件②，故B错误； 对于C，的最小正周期为，不满足条件③，故C错误； 对于D，因为，所以为奇函数，最小正周期为， 由，，得，， 所以取，得的一个单调递增区间为， 因为，所以在上单调递增，满足3个条件，故D正确. 11．AD 【知识点】求正切（型）函数的对称中心、解正切不等式、求正切（型）函数的周期 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，最小正周期，故B错误； 对于C，由得，，则的对称中心为，故C错误； 对于D，由得，则， 解得，，故D正确. 12． 【知识点】求正切（型）函数的周期 【详解】由正切函数周期公式得：. 13． 【知识点】解正弦不等式、解正切不等式 【分析】结合正余弦函数，正切函数的性质分，，三种情况讨论求解即可. 【详解】当时，，解得； 当时，，满足题意； 当时，，显然成立， 综上，在内使得成立的的取值范围为 14． 【知识点】求正切（型）函数的值域及最值 【分析】利用正切函数的单调性可得结果. 【详解】因为函数在上为增函数，故该函数的最小值为. 15． 【知识点】诱导公式二、三、四、由正切函数的周期求值、特殊角的三角函数值 【分析】根据正切函数的周期性求得，再求的值. 【详解】因为函数（）的最小正周期为， 所以，解得， 即， 则. 16．4 【知识点】由正切函数的周期求值、求正切（型）函数的周期 【分析】正切函数相邻两支截平行于轴的直线所得线段长等于函数周期，代入正切函数周期公式即可求解. 【详解】 函数相邻两支曲线截平行于轴的直线所得线段的长度，就是正切函数的周期，因此， 所以，解得 . 17． 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】先结合正弦型函数图像最值位置，利用正弦函数取最值的条件列式，再根据正弦函数最大值对应角度为，代入已知条件构造方程，最后解方程求出即可. 【详解】由图象可知，当时，函数取得最大值， 因为函数在时过原点，且随增大先向上运动， 所以第一次取得最大值时，， 代入，得， 解得. 18．(1) (2)奇函数 【知识点】求正弦（型）函数的奇偶性、求正切（型）函数的奇偶性、求正切（型）函数的周期 【分析】（1）由正切函数的周期性公式即可计算的周期； （2）由正弦函数与正切函数的奇偶性，结合函数奇偶性的判定，即可求得的奇偶性. 【详解】（1）由题意的周期. （2）函数的定义域是，定义域关于原点对称， 设，则， 所以函数是奇函数． 19．(1)单调递减区间为， (2) 【知识点】求正切型三角函数的单调性、比较正切值的大小 【分析】（1）先由正切函数的奇偶性将原式化为，结合正切函数的单调区间即可求解； （2）由诱导公式可得，，此时在同一单调区间内，由正切函数的图象的单调性即可求解. 【详解】（1）， 由，，得，， 所以的递减区间为，. （2），， 因为，所以， 因为，所以． 显然， 又在内是增函数， 所以． 即． 20．(1)， (2) 【知识点】求正切（型）函数的定义域、求正切（型）函数的值域及最值 【分析】（1）由题意结合对数函数的定义域可得，即，进而解得，结合正切函数的周期，可得该函数的定义域为，． （2）令，结合，可解得，由正切函数的单调性可知，函数在上是增函数，所以有，即. 【详解】（1）由题意得，即． 在内，满足上述不等式的x的取值范围是． 又的周期为， 所以，． 所以的定义域为，． （2）令， 因为，则有． 因为在上是增函数， 所以，即． 所以的值域为． 21．(1) (2)或 【知识点】由正弦（型）函数的周期性求值、正、余弦型三角函数图象的应用 【分析】（1）根据正弦函数周期，求出即可； （2）列出方程，根据换元法，求出结果即可； 【详解】（1）由题知，可知，所以，解得； （2）由题知，则或，， 解得或，， 故的解集为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $