第一章 勾股定理【章末复习】（课件）--2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件系统梳理勾股定理及其逆定理、勾股数、立体图形最短路径及实际应用等核心知识，通过对比定理与逆定理的区别联系，串联公式、定义及应用场景，帮助学生构建完整的知识网络。 其亮点在于采用分层练习设计，从基础选择填空到综合解答题再到拓展应用题，如立体图形展开求最短路径、梯子滑动测距等实例，培养学生的空间观念、推理能力和模型意识。易错点总结及详细解析助力学生巩固知识，也为教师提供精准复习参考。

授课教师： . 班 级： 八年级（ ）班 . 时 间： . 北师大版（2024）数学八年级上册教学课件 第一章 勾股定理 章末复习 2026年8月2日 第一章 勾股定理 单元综合练习题 第一章 勾股定理 综合同步练习 章节核心知识点梳理 1. 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。若直角边为$$a、b$$，斜边为$$c$$，则 $$a^2+b^2=c^2$$。仅适用于直角三角形。 2. 勾股定理逆定理（直角三角形判定）：若三角形三边长$$a、b、c$$满足 $$a^2+b^2=c^2$$，则这个三角形是直角三角形，且最长边$$c$$所对的角为直角。 6. 立体图形最短路径：将立体图形（圆柱、长方体）侧面展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”，结合勾股定理求最短距离。 8. 实际应用：折叠问题、航海测距、梯子滑动、高度距离计算，核心是构造直角三角形建模求解。 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 直角三角形两直角边为3和4，则斜边长度为（） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 下列各组数中，是勾股数的是（） A. 1、2、3 B. 5、12、13 C. 2、3、4 D. 4、5、6 6. 一个三角形三边长为6、8、10，则该三角形是（） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断 8. 已知直角三角形斜边为13，一条直角边为5，则另一条直角边为（） A. 10 B. 11 C. 12 D. 14 10. 下列说法正确的是（） A. 任意三角形都满足勾股定理 B. 勾股定理可判定任意三角形形状 C. 满足$$a^2+b^2=c^2$$的三角形为直角三角形 D. 勾股数可以是小数 12. 长方体表面求两点最短路径，核心方法是（） A. 直接测量 B. 展开为平面，用勾股定理 C. 估算长度 D. 平移线段 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 直角三角形中，两直角边平方和等于________的平方。 4. 三角形三边长满足________，可判定为直角三角形。 6. 常见勾股数 3、4、5 的2倍勾股数是________。 8. 直角三角形两直角边长为9、12，则斜边长为________。 10. 立体图形最短距离问题，需将立体图形________为平面图形计算。 三、解答计算题（共56分） 1. （12分）在Rt△ABC中，∠C=90°： （1）已知a=6，b=8，求斜边c； （2）已知c=25，a=7，求直角边b。 4. （14分）判断下列三角形是否为直角三角形： （1）三边长 9、12、15； （2）三边长 4、5、6。 6. （14分）已知直角三角形一直角边为8，斜边为17，求另一条直角边的长度和三角形面积。 8. （16分）一架梯子长25米，斜靠在墙上，梯子底端离墙7米。 （1）求梯子顶端距离地面的高度； （2）若梯子顶端下滑4米，求梯子底端滑动的距离。 四、拓展应用题（附加10分） 一个圆柱高8cm，底面圆周长12cm，将圆柱侧面展开，求圆柱底面底端一点到顶端对应点的最短爬行距离。 --- 参考答案与详细解析 一、选择题 1.A 2.B 3.B 4.C 5.C 6.B 二、填空题 1. 斜边 2. $$a^2+b^2=c^2$$ 3. 6、8、10 4. 15 5. 展开 三、解答题 1. 解：（1）由勾股定理： $$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$$； （2）$$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{25^2-7^2}=\sqrt{576}=24$$。 4. 解：（1）$$9^2+12^2=81+144=225=15^2$$，满足勾股定理，是直角三角形； （2）$$4^2+5^2=16+25=41 eq36=6^2$$，不满足，不是直角三角形。 6. 解：另一直角边$$=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{225}=15$$， 面积$$=\dfrac{1}{2}\times8\times15=60$$。 答：直角边长15，面积为60。 8. 解：（1）由勾股定理： 高$$=\sqrt{25^2-7^2}=24$$米； （2）下滑4米后高为$$24-4=20$$米， 新底端距离：$$\sqrt{25^2-20^2}=15$$米， 滑动距离：$$15-7=8$$米。 答：顶端高24米，底端滑动8米。 拓展题答案 解：侧面展开为长方形，长12cm，高8cm， 最短距离为长方形对角线： $$\sqrt{12^2+8^2}=\sqrt{144+64}=\sqrt{208}=4\sqrt{13}\ \text{cm}$$。 答：最短距离为$$4\sqrt{13}\ \text{cm}$$。 章节易错点总结 1. 勾股定理只适用于直角三角形，不可乱用在普通三角形； 4. 判定直角三角形时，必须用最长边的平方对比另外两边平方和； 6. 勾股数必须是正整数，小数、分数组合不属于勾股数； 8. 立体最短路径必须先展开平面，再用勾股定理，不能直接空间连线估算。 知识梳理 直角 正整 2 03 知识梳理 勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么 a2 + b2 = c2 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 在直角三角形中才可以运用 勾股定理的应用条件 03 知识梳理 勾股定理逆定理与勾股数 勾股逆定理 如果三角形的三边长a，b，c满足a2 +b2=c2 ， 那么这个三角形是直角三角形. 勾股数 满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数. 03 知识梳理 勾股定理与勾股逆定理的比较 勾股定理 逆定理 区别 以“一个三角形是直角三角形”为条件，得出三角形三边有a2+b2=c2关系式成立. 一个三角形的三边a、b、c满足a2+b2=c2为条件,得出这个三角形是直角三角形的结论. 联系 都与三角形三边有关都与直角三角形有关 04 问题导学 验证勾股定理 04 问题导学 验证勾股定理 05 学以致用 题型一 直角三角形中已知两边，求第三边。 1、已知：一个直角三角形的两直角边长分别是3cm和4cm,第三边长的平方为 。2、已知：一个直角三角形的两边长分别是3cm和4cm, 第三边长的平方为 。 25 7或25 05 学以致用 题型二 勾股定理的逆应用 1、下列各组数中，以它们为边的三角形不是直角三角形的是( )A．1.5，2，3 B. 8，15，17 C．6，8，10 D. 3，4，52、如图，在四边形ABCD中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD⊥BD． A 证明： ∴AD⊥BD. 05 学以致用 题型三 最短路线问题 如图，有一个长方体的长、宽、高分别是6、4、4，在底面A处有一只蚂蚁，它想吃到长方体上面与A相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是 核心考点巩固 考点1 勾股定理 （第1题） 1.如图，在中， ， ，，点为线段上一动点，则 的最小值为( ) B A.4 B.4.8 C.5 D.6 返回 考试考法 11 （第2题） 2.［2025西安阎良区期中］如图，在 中， ，分别以， 为边向外作正方形， 面积分别为，，若，，则 的长 为( ) B A.4 B.2 C.5 D.3 返回 考试考法 12 3.如图，在中， ， ， 。分别以点和点为圆心，大于 的长为 半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交 于 点，连接，则 的周长是____。 18 返回 考试考法 13 考点2 直角三角形的判定 4.下列条件中，不能判定，，分别是，，的对边 为直角三角形的是( ) A A. B. C. D.,, 返回 考试考法 14 5.［教材习题 变式］ 在单位长度为1的正方形网格中，下面的三 角形是直角三角形的是( ) C A. B. C. D. 返回 考试考法 15 考点3 勾股数 6.下列各组数中，不是勾股数的是( ) D A.6，8，10 B.9，12，15 C.7，24，25 D.，， 返回 考试考法 16 7. 勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四， 径隅五。”下列各组勾股数：6，8，10；8，15，17；10，24，26；12， 35，37；14，48，50; ，当一组勾股数的勾为， 为正整 数时，它的股、径分别为和 。若一组勾股数的勾为26， 则径为_____。 170 返回 考试考法 17 考点4 勾股定理的应用 8.［教材习题 变式］ 桌上有一个长方体盒子 （如图），其长、宽、高分别是，， ， 在的中点处有一滴蜜糖，一只小虫从 处沿盒子表面 爬到 处去吃，则小虫爬行的最短路程为_______。 返回 考试考法 18 9. ［2025宝鸡期中］学习了“勾股定理”后，某校数学 兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题活动，利用课余 时间完成了实践调查，并形成了如下的活动报告，请根据活动报告完成 下面试题。 考试考法 19 报告 测量风筝的垂直高度 工具 皮尺等 示意图 ___________________________ 方案 先测量风筝的水平距离 ，然后根据手中剩余线的长度 得出风筝线长，最后测量放风筝的同学的身高 数据 ，， ， 考试考法 20 （1）求此时风筝的垂直高度 ； 解：在 中，由勾股定理得 ，所以 ，所以 。 考试考法 21 （2）若站在点不动，想把风筝沿方向从点的位置上升至点 的位置（即，点，， 在一条直线上，图中所有点均在同 一平面内），则还需放出风筝线多少米？ 解：因为，，所以 ， 在中， ，所以 ， 所以 。 答：还需放出风筝线 。 返回 考试考法 22 考点5 直角三角形判定的应用 10. ［2025西安曲江一中期中］如图是某品 牌婴儿车简化结构示意图，现测得 ， ，，其中与 之间由一个固 定为 的零件连接即 ，根据安全标准需 满足 ，通过计算说明该车是否符合安全标准。 考试考法 23 解：因为 ，， ，所以 ，因为 ， ,所以在中， ， 所以，所以是直角三角形，且 ， 所以 ，所以该车符合安全标准。 返回 考试考法 24 谢谢观看 THANKS $