第一章 勾股定理【章末复习】（课件）-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件系统梳理了勾股定理的核心知识，包括定理内容、逆定理、验证方法及应用，通过本章知识框架图将核心公式、逻辑关系（正向求边长、反向判定）和核心方法（面积割补、构造直角三角形等）串联，结合性质、判定、应用的学习思路，帮助学生构建完整知识网络。 其亮点在于采用“知识框架+易错汇总+考点整合”的复习策略，如通过赵爽弦图证明培养推理能力，立体最短路径展平体现转化思想，实际问题（梯子、大树折断）强化模型意识。分层设计基础题、综合题及竞赛题，让学生巩固知识，教师也能精准把握学情，提升复习效率。

北师大版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月29日 章末小结 第一章 勾股定理 北师大版八年级上册 第一章 勾股定理 单元综合练习题 【本章知识框架】 本章包含三大核心内容：勾股定理、勾股定理的图形验证、勾股定理的逆定理及实际应用。核心逻辑分为正反两类：正向利用勾股定理求直角三角形边长；反向利用逆定理判定直角三角形，同时结合图形拼接、生活场景、立体图形完成综合解题。 核心公式：在Rt△中，$$a^2+b^2=c^2$$；逆定理：三角形三边满足$$a^2+b^2=c^2$$，则为直角三角形（$$c$$为最长边）。 核心方法：面积割补验证定理、构造直角三角形、立体图形展平、分类讨论思想。 ### 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 已知Rt△两直角边为6和8，则斜边长为（） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 2. 下列各组数中，是勾股数的是（） A. 2、3、4 B. 5、12、13 C. 4、5、6 D. 7、8、9 3. 赵爽弦图验证勾股定理的核心依据是（） A. 三角形全等 B. 面积割补不变原理 C. 正方形性质 D. 直角三角形性质 4. 长方体立体最短路径问题的解题关键是（） A. 直接计算空间距离 B. 展平为平面图形 C. 估算长度 D. 利用三角形全等 5. 三角形三边长为9、12、15，则该三角形面积为（） A. 54 B. 90 C. 108 D. 180 ### 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 直角三角形两直角边为5、12，则斜边长为________。 2. 勾股定理逆定理可用来判定________三角形。 3. 赵爽弦图中，直角边为3和5，中间小正方形面积为________。 4. 梯子长25米，底端离墙7米，梯子顶端距地面________米。 5. 圆柱侧面最短路径问题需要将圆柱________转化为平面求解。 ### 三、解答题（共60分） 1.（18分）完整利用赵爽弦图证明勾股定理。 2.（20分）判断三边长为10、24、26的三角形是否为直角三角形，并求其周长和面积。 3.（22分）一棵大树折断后，折断处距地面6米，树顶落地距树根8米，求大树折断前的总高度。 ### 参考答案与解析 选择题答案：1.A 2.B 3.B 4.B 5.A 填空题答案：1.13 2.直角 3.4 4.24 5.侧面展平 解答题解析 1. 证明：四个全等直角三角形直角边为$$a、b$$，斜边$$c$$，拼成大正方形。大正方形面积$$S=c^2$$；总面积也等于四个直角三角形面积加小正方形面积，即$$S=4\times\frac{1}{2}ab+(a-b)^2=2ab+a^2-2ab+b^2=a^2+b^2$$。等量代换得$$a^2+b^2=c^2$$，勾股定理得证。 2. 解：最长边为26，$$10^2+24^2=100+576=676=26^2$$，满足勾股逆定理，是直角三角形。周长=$$10+24+26=60$$，面积=$$\frac{1}{2}\times10\times24=120$$。 3. 解：折断部分为直角三角形斜边，长度为$$\sqrt{6^2+8^2}=10$$米，树原高=地面剩余高度+折断部分长度=$$6+10=16$$米。 ### 本章单元易错汇总1. 判定直角三角形未找最长边，导致判断失误；2. 已知两边求第三边未分类讨论，出现漏解；3. 立体最短路径未展平平面，误用空间边长计算；4. 图形验证定理时，面积公式推导步骤不完整；5. 实际问题不会主动构造直角三角形。 学习思路 学习内容 学习方法 直角三角形的性质 直角三角形的判定 应用 勾股定理的应用 勾股定理的逆定理 数形结合思想 勾股定理 特殊到一般 “算两次” 逆向思考 化归思想 一、勾股定理 验证方法：测量、数格子、等面积法 内容：直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方. 勾股定理 符号表示：如果用a,b和c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边的长度，那么a2+b2=c2 勾股定理 A B C ∟ a b c 较长的直角边 较短的直角边 斜边 勾 股 弦 几何语言： 在Rt△ABC中 ，若∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b， 则a2+b2=c2. 验证方法(依据面积相等列等式进行验证) 拼接法 = = = 割补法 运用勾股定理解决实际问题的一般思路： 实际问题 确定所求线段在直角三角形中 抽象出几何图形 求得线段长 数学建模 确定直角边和斜边 回归 勾股定理 6 考点1 勾股定理 1.如图，在四边形ABCD中，∠D＝∠ACB＝90°，CD＝12，AD＝16，BC＝15，则AB的长为(　　) A.20　　 B.25　　 C.35　　 D.30 返回 (第1题) B 核心考点整合 2.［2026烟台期中］如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝90°，过点A作AE⊥BD于点E，若DE＝2，AE＝8，则BC的长为(　　) A.10　　 B.12　　 C.14　　 D.16 返回 (第1题) A 核心考点整合 【点拨】因为∠ABC＝90°，所以∠ABE＋∠CBD＝90°.因为AE⊥BD，所以∠AEB＝90°，所以∠ABE＋∠BAE＝90°.所以 ∠BAE＝∠CBD.在△AEB和△BDC中， 返回 (第1题) 核心考点整合 所以△AEB≌△BDC，所以AE＝BD，BE＝DC.因为DE＝2，AE＝8，所以DC＝BE＝BD－DE＝8－2＝6.在Rt△BDC 中，BC2＝BD2＋DC2＝100，所以BC＝10.故选A. 返回 (第1题) 核心考点整合 3.［2026保定期中］如图所示，E为长方形ABCD的边BC上的一点，将长方形ABCD沿直线DE折叠，使顶点C恰好落在AB边上的点F处.已知AD＝8，BE＝3，则图中阴影部分的面积为(　　) A.10　　　 B.20　　　 C.30　　　 D.40 返回 C 核心考点整合 【点拨】因为四边形ABCD是长方形，所以AD＝BC＝8，AB＝CD，∠A＝∠B＝∠C＝90°.所以CE＝BC－BE＝8－3＝5.因为将长方形ABCD沿直 返回 线DE折叠，所以DC＝DF，CE＝EF＝5，∠DFE＝∠C＝90°，在Rt△BEF中，由勾股定理得BF＝4.在Rt△ADF中，AD2＋AF2＝DF2，所以64＋(AB－4)2＝AB2，所以AB＝10，所以AF＝6，所以阴影部分的面积为×6×8＋×3×4＝30. 核心考点整合 4.［黄冈市竞赛］如图，在直线l上依次摆放七个正方形，已知斜放的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1＋2S2＋2S3＋S4＝(　　) A.5　　 B.4　　 C.6　　 D.16 返回 C 核心考点整合 【点拨】根据题意易得△ABC≌△BDE，所以AC＝BE.根据勾股定理得，DE2＋BE2＝BD2，所以DE2＋AC2＝BD2，所以S1＋S2＝1.同理可得S2＋S3＝2，S3＋S4＝3，所以S1＋2S2＋2S3＋S4＝1＋2＋3＝6. 返回 核心考点整合 考点2 直角三角形的判定 5.下列由三条线段a，b，c构成的三角形ABC中：①∠A＋∠B＝∠C；②a＝3k，b＝4k，c＝5k(k＞0)；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a＝m2＋1，b＝m2－1，c＝2m(m为大于1的整数)，其中是直角三角形的是(　　) A.①④　　 B.①②④ C.②③④　 D.①②③ 返回 B 核心考点整合 6.如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论错误的是(　　) A.AB2＝20　 B.∠BAC＝90° C.△ABC的面积为10 D.点A到直线BC的距离是2 返回 C 核心考点整合 7.如图，在四边形ABDC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，BD＝5，CD2＝125，连接BC. (1)求BC的长； 返回 【解】因为在△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，所以BC2＝AB2＋AC2＝100，所以BC＝10. 核心考点整合 (2)求△BCD的面积. 返回 【解】因为BC＝10，BD＝5，CD2＝125， 所以BC2＋BD2＝102＋52＝125＝CD2， 所以△BCD是直角三角形，且∠CBD＝90°， 所以△BCD的面积为BD•BC＝×5×10＝25. 核心考点整合 考点3 勾股数 8.法国数学家费尔马早在17世纪就研究过形如x2＋y2＝z2的方程，显然，这个方程有无数组解.我们把满足该方程的正整数解(x，y，z)称为勾股数.如(3，4，5)就是一组勾股数. (1)请你再写出两组勾股数：　　　　　　，　 . 　　　　　； 返回 (6，8，10) (9，12，15)(答案 不唯一) 核心考点整合 (2)在研究直角三角形的勾股数时，古希腊哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，x＝2n，y＝n2－1，z＝n2＋1，那么以x，y，z为三边长的三角形为直角三角形，即(x，y，z)为勾股数.请你加以说明. 返回 【解】因为x2＋y2＝(2n)2＋(n2－1)2＝4n2＋n4－2n2＋1＝n4＋2n2＋1＝(n2＋1)2＝z2，所以(x，y，z)为勾股数. 核心考点整合 考点4 勾股定理的应用 9.如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳OA与地面垂直，摆绳长2 m，向前荡起到最高点B处时距地面的高度为1.3 m，摆动水平距离BD为1.6 m，然后向后摆到最高点C处.若前后摆动过程中绳始终拉直，且OB与OC成90°角，则小丽在C处时距离地面的高度是(　 ) A.0.9 m B.1.3 m C.1.6 m D.2 m 返回 A 核心考点整合 【点拨】如图，过点C作CE⊥OA于点E，摆绳OA与地面的垂足为F，由题意可知，OB＝OC＝2 m，BD＝1.6 m，DF＝ 1.3 m，.在Rt△OBD中，由勾股定理易得OD＝1.2 m，所以OF＝OD＋DF＝2.5 m.因为∠ODB＝90°，所以∠OBD＋∠BOD＝90°. 返回 核心考点整合 因为∠BOC＝90°，所以∠BOD＋∠COE＝90°，所以∠OBD＝ ∠COE.在△BOD和△OCE中， 所以 △BOD≌△OCE(AAS)，所以OE＝BD＝1.6 m，所以EF＝OF－OE＝0.9 m，即小丽在C处时距离地面的高度是0.9 m. 返回 核心考点整合 10. 2025年是“全运年”，第十五届全运会于2025年11月9日至21日在粤港澳大湾区举行，健身运动的热潮也席卷全国，更多的人开始运动健身.小亮坚持每天和爸爸一 起沿着公园的绿道晨跑，他们跑步的路线如图所示，已知从A点到D点有两条路线，分别是A→B→D和A→C→D.已知AB＝ 160 m，AC＝200 m，点C在点B的正东方120 m处，点D在点C的正北方50 m处. 返回 核心考点整合 (1)试判断AB与BC的位置关系，并说明理由； 返回 【解】AB⊥BC.理由如下： 由题知AB＝160 m，AC＝200 m，BC＝120 m. 因为AB2＋BC2＝1602＋1202＝2002＝AC2， 所以△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°. 所以AB⊥BC. 核心考点整合 (2)如果小亮沿着A→C→D的路线跑，爸爸沿着A→B→D的路线跑，请你通过计算比较谁跑的路线更短. 返回 【解】由题意可知BC⊥CD，CD＝50 m. 在Rt△BCD中，由勾股定理，得BD＝130 m， 所以AB＋BD＝160＋130＝290(m). 而AC＋CD＝200＋50＝250(m). 因为290 m＞250 m，即AB＋BD＞AC＋CD， 所以小亮跑的路线更短. 核心考点整合 思想1 转化思想 11.如图，这是一个台阶的示意图，每一层台阶的高是 20 cm、长是50 cm、宽是40 cm，一只蚂蚁沿台阶从点A出发爬到点B，其爬行的最短线路的长度是　　　　 cm. (第11题) 返回 130 思想方法整合 思想2 方程思想 12. 如图，在△ABC中，AB＝AC，E是边AB上一点，连接CE，在BC的右侧作BF∥AC，且BF＝AE，连接CF.若AC＝13，BC＝10，则四边形EBFC的面积为　　　　. (第12题) 返回 60 思想方法整合 【点拨】因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB.因为BF∥AC，所以∠ACB＝∠CBF.所以∠ABC＝∠CBF.所以BC平分∠ABF.过点C作CM⊥AB于点M，CN⊥BF于点N，则CM＝ 返回 (第12题) CN.因为S△ACE＝AE•CM，S△CBF＝BF•CN，且BF＝AE，所以S△CBF＝S△ACE.所以四边形EBFC的面积为S△CBF＋S△CBE＝S△ACE＋S△CBE＝S△CBA.因为AC＝13，所以AB＝13. 思想方法整合 设AM＝x，则BM＝13－x，由勾股定理，得CM2＝AC2－AM2＝BC2－BM2，所以132－x2＝102－(13－x)2，解得x＝，所以易得CM＝.所以S△CBA＝AB•CM＝60.所以四边形EBFC的面积为60. 返回 (第12题) 思想方法整合 思想3 分类讨论思想 13. 如图，点C为直线l上的一个动点，AD⊥l于点D，BE⊥l于点E，点E在点D右侧，并且点A，B在直线l的同侧，AD＝DE＝8，BE＝2，当CD的长为多少时，△ABC为直角三角形？ 返回 思想方法整合 【解】过点B作BF⊥AD于点F， 则易得四边形DEBF为长方形，所以BF＝DE＝8，DF＝BE＝2，所以AF＝AD－DF＝6.由勾股定理得，AB2＝AF2＋BF2＝100，AC2＝64＋CD2.当∠CAB＝90°时，点C在点D的左侧，此时BC2＝(CD＋8)2＋4＝CD2＋16CD＋64＋4.由勾股定理得AB2＋AC2＝BC2，所以100＋64＋CD2＝CD2＋16CD＋64＋4，解得CD＝6； 返回 思想方法整合 当∠ABC＝90°时，点C在线段DE上，此时BC2＝(8－CD)2＋4＝CD2－16CD＋64＋4. 由勾股定理得AC2＝AB2＋BC2，所以64＋CD2＝100＋CD2－16CD＋64＋4，解得CD＝； 返回 思想方法整合 当∠ACB＝90°时，易知点C在线段DE上，此时BC2＝(8－CD)2＋4＝CD2－16CD＋64＋4. 由勾股定理得AB2＝AC2＋BC2， 所以100＝64＋CD2＋CD2－16CD＋64＋4， 所以(CD－4)2＝0，所以CD＝4. 综上，当CD长为6或4或时，△ABC为直角三角形. 返回 思想方法整合 $