2.1 认识实数课件 2025-2026学年 北师大版八年级数学上册

第二章 实数 1 认识实数 第1课时　无限不循环小数 知识关联 探究与应用 课堂小结与检测 知识关联 同学们,我们已经学过很多数了,回忆一下,我们都学过哪些数? 在小学我们学过自然数、小数、分数,在七年级我们还学过负数. 【探究1】不是有理数的数 图中是两个边长为1的小正方形,剪一剪、拼一拼,设法得到一个大的正方形. 探究与应用 (1)设大正方形的边长为a,a满足什么条件? (2)a可能是整数吗?说说你的理由. (3)a可能是分数吗?说说你的理由,并与同伴进行交流. 归纳：事实上,满足等式a2=2的a既不是整数,也不是分数,所以a不是有理数. 韵 (韵) - 师生活动:先指导学生得出两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积,所以可以计算出新拼接后的大正方形的面积为2.然后让学生讨论交流上面的三个问题,最后教师进行讲评. 【探究1】不是有理数的数 【尝试·思考】 (1)如图,以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少? (2)设该正方形的边长为b,b满足什么条件? (3)b是有理数吗? 探究与应用 解 (1)在直角三角形中,由勾股定理,得斜边2=12+22=5,所以以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是5. (2)满足b2=5. (3)b不是有理数. 在上面的两个问题中,数a,b确实存在,但都不是有理数. 翟世静 (翟) - 处理方式：在说明b满足的条件时,如果有的同学根据直角三角形中最长边为斜边和三角形的三边关系,确定出b的取值范围,教师应给予鼓励和表扬. 【探究2】 无限不循环小数的认识 面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢? (1)如图,三个正方形的边长之间有怎样的大小关系?说说你的理由. (2)边长a的整数部分是几?十分位是几?百分位呢?千分位呢?……借助计算器进行探索. 探究与应用 根据正方形的面积之间 的关系可知1<a<2. 韵 (韵) - 处理方式：让学生先猜想,然后利用计算器进行验证,即将猜想得到的数平方后看是否在1和4之间,并在小组内进行交流. 【探究2】 无限不循环小数的认识 (3)小明将他的探索过程整理如下: 还可以继续算下去吗?a可能是有限小数吗? 探究与应用 a是无限不循环小数 【探究2】 无限不循环小数的认识 (4)面积为5的正方形的边长b的值是多少?b可能是有限小数吗?与同伴进行交流. 探究与应用 b2=5, 2<b<3, b不是有限小数. 事实上，本题中的a=1.41421356…,b=2.236067977…,它们都不是有理数,都是无限不循环小数. 【应用】 例　如图,B,C是一个生活小区的两个路口,BC长为2千米,A处是一个公园,从A到B,C两路口的距离都是2千米.现要从公园到生活小区修一条最短的路,这条路的长可能是整数吗?可能是分数吗?说明理由. 探究与应用 解：这条路的长不可能是整数，也不可能是分数．理由如下： 如图，过点A作AD⊥BC于D，则AD是从公园到生活小区 修的最短的路， ∵BC=AB=AC=2，∴△ABC是等边三角形， 又∵AD⊥BC，∴BD=BC=1， 在Rt△ABD中，AD2=AB2-BD2=22-12=3， ∴这条路AD的长不可能是整数，也不可能是分数． D 【拓展提升】 1.面积为6的长方形,长是宽的2倍,则宽为 (　　) A.整数　　　　　　　B.分数 C.无限不循环小数 D.不能确定 2.已知正数m满足m2=38,则m的整数部分为　　　　.  探究与应用 C 6 达标测评 1.一个长方形的长与宽分别是3 cm,1 cm,它的对角线的长是 (　　) A.整数　　　　　　　　　　B.分数 C.既不是整数,也不是分数 D.无法确定 2.以下各正方形的边长是无限不循环小数的是 (　　) A.面积为25的正方形 B.面积为的正方形 C.面积为8的正方形 D.面积为1.44的正方形 C C 课堂小结与检测 第二章 实数 1 认识实数 第2课时　实数 课堂引入 探究与应用 课堂小结与检测 课堂引入 本节中我们将引入一种新数——“无理数”.她像一篇读不完的长诗,既不循环,也不枯竭,无穷无尽,数学家称之为一种特殊的数,有人说无理数是蛮不讲理的数,难道他真是“不讲理”的数吗? 猜想：什么样的数是无理数？ 【探究1】实数 在上一节课中，我们知道存在不是有理数而是无限不循环小数的数，那么不是有理数的数都是无限不循环小数吗?为了研究这个问题我们不妨看看有理数的小数表示有什么共同特征. 把下列各数表示成小数，你发现了什么？ 3，，，- ，. 探究与应用 事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示， 反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数. 翟世静 (翟) - 说明：不是有理数的数,用小数表示是无限不循环小数,无限不循环小数不是有理数. 【探究1】实数 【概括新知】 无限不循环小数称为无理数. 有理数和无理数统称实数,即实数可以分为有理数和无理数. 探究与应用 【探究1】实数 探究与应用 【应用】 例　下列各数中,哪些是有理数?哪些是无理数? 3.14,- , ,0.1010001000001…(相邻两个1之间0的个数逐次加2). 解:有理数有:3.14,- , 无理数有:0.1010001000001…(相邻两个1之间0的个数逐次加2) 【探究2】实数的分类及性质 【尝试·思考】 无理数和有理数一样,也有正、负之分. (1)请你把上面例题中的各数填入下面相应的集合内. 探究与应用 3.14,0. ,0.1010001000001…(相邻两个1之间0的个数逐次加2) 【探究3】实数的分类及性质 (2)还记得有理数的分类方法吗?你能用类似的方法对实数进行分类吗? 探究与应用 分类方法: (1)实数（　 (2)实数（按大小分） 【概括新知】 【探究2】实数的分类及性质 【思考】若a是一个有理数,它的相反数是　　　　,它的绝对值 是 　　　 　, 当a≠0时,它的倒数是　　　　. 探究与应用 -a |a|= 归纳：在实数范围内,相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样.实数和有理数一样,可以进行加、减、乘、除、乘方运算,而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用. 若a是一个实数呢?  【探究3】 实数与数轴上的点的对应关系 【思考·交流】 前面讨论的两个正方形,边长分别是a,b,且满足a2=2,b2=5. (1)如图,OA=OB,数轴上点A对应a,b中的哪个数? (2)你能在数轴上找到另一个数对应的点吗?与同伴进行交流. 探究与应用 解:(1)点A对应a (2)b对应的点在数轴上表示如图所示: 翟世静 (翟) - 师生互动:让学生观察数轴,回顾上节中两个正方形a²=2,b²=5的得出过程,然后再讨论上面的两个问题.数b要注意让学生理解以下几个问题:(1)由2<b<3,可知b在数轴上对应的点在2和3之间;(2)借助两直角边分别为2和1的直角三角形在数轴上表示b. 【探究3】 实数与数轴上的点的对应关系 【概括新知】 事实上,每一个实数都可以用数轴上的一个点表示;反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数.也就是说,实数和数轴上的点是一一对应的. 探究与应用 【拓展提升】 如图,正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小方格的顶点叫作格点,以格点为顶点分别按下列要求画三角形: (1)在图①中画一个直角三角形,使它的三边长都是有理数; (2)在图②中画一个直角三角形,使它的三边长都是无理数; (3)在图③中画一个等腰三角形,使它的三边长都是无理数(和图②画的三角形不全等). 探究与应用 达标测评 1.和数轴上的点一一对应的是 (　　) A.整数　　　B.无理数　　　C.实数　　　D.有理数 2.在2π, 0.4583, -2., 3.14, 4, -23.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)中,无理数的个数为 (　　) A.4 B.3 C.2 D.1 C C 课堂小结与检测 达标测评 3.将下列各数填入相应的括号内: -2.5, 0, 8, , -1.2121121112…(相邻两个2之间1的个数逐次加1), , -0.. 正数集合:{　 …};  有理数集合:{　 …};  负数集合:{　 …};  无理数集合:{　 …}.  8, ， 课堂小结与检测 -2.5, 0, 8, ，-0.. -2.5,-1.2121121112…(相邻两个2之间1的个数逐次加1), - 0.. , -1.2121121112…(相邻两个2之间1的个数逐次加1) $