精品解析：2022年北京市各区一模数学试题分类——代数压轴题

北京市各区一模试题分类——代数压轴题 （海淀） 1. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． （1）求该二次函数的解析式以及图象顶点的坐标； （2）一次函数的图象经过点A，点在一次函数的图象上，点在二次函数的图象上．若，求m的取值范围． （西城） 2. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点． （1）若， ①求此抛物线的对称轴； ②当时，直接写出y的取值范围； （2）已知点，在此抛物线上，其中．若，且，比较，的大小，并说明理由． （朝阳） 3. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上． （1）若，求的值； （2）若，求值的取值范围． （通州） 4. 已知抛物线过，，三点． （1）求n的值（用含有a的代数式表示）； （2）若，求a的取值范围． （顺义） 5. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上． （1）求该抛物线的对称轴； （2）已知点，，在抛物线上．若，比较，，的大小，并说明理由． （燕山） 6. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点为点和点B． （1）用含a的式子表示b； （2）求抛物线的对称轴和点B的坐标； （3）分别过点和点作x轴的垂线，交抛物线于点M和点N，记抛物线在M，N之间的部分为图象G（包括M，N两点）．记图形G上任意一点的纵坐标的最大值是m，最小值为n． ①当时，求的最小值； ②若存在实数t，使得，直接写出a的取值范围． （门头沟） 7. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（是常数）． （1）求该抛物线的顶点坐标（用含代数式表示）； （2）如果该抛物线上有且只有两个点到直线的距离为1，求出的取值范围； （3）如果点，都在该抛物线上，当它的顶点在第四象限运动时，总有，求的取值范围． （平谷） 8. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线． （1）当抛物线过点（2，0）时，求抛物线的表达式； （2）求这个二次函数的对称轴（用含b的式子表示）； （3）若抛物线上存在两点A（b﹣1，）和B（b+2，），当时，求b的取值范围． （房山） 9. 已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（1，0）与点C（0，-3），其顶点为P． （1）求二次函数的解析式及P点坐标； （2）当m≤x≤m+1时，y的取值范围是-4≤y≤2m，求m的值． （丰台） 10. 在平面直角坐标系xOy中，点M（2，m），N（4，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上． （1）若m＝n，求该抛物线的对称轴； （2）已知点P（﹣1，P）在该抛物线上，设该抛物线的对称轴为x＝t．若mn＜0，且m＜p＜n，求t的取值范围． （大兴） 11. 在平面直角坐标系xOy中，已知关于x的二次函数． （1）若此二次函数图象的对称轴为． ①求此二次函数的解析式； ②当时，函数值y______5（填“>”，“<”，或“≥”或“≤”）； （2）若，当时，函数值都大于a，求a的取值范围． （石景山） 12. 在平面直角坐标xOy中，点在抛物线上． （1）求抛物线的对称轴； （2）抛物线上两点，，且，． ①当时，比较，的大小关系，并说明理由； ②若对于，，都有，直接写出t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市各区一模试题分类——代数压轴题 （海淀） 1. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． （1）求该二次函数的解析式以及图象顶点的坐标； （2）一次函数的图象经过点A，点在一次函数的图象上，点在二次函数的图象上．若，求m的取值范围． 【答案】（1），（1，-1）； （2） 【解析】 【分析】（1）把点代入，即可求解； （2）先求出一次函数的解析式为，再根据题意列出不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点． ∴，解得：a=1， ∴该二次函数的解析式为， ∵， ∴图象顶点的坐标为（1，-1）； 【小问2详解】 解：∵一次函数的图象经过点A， ∴，解得：b=5， ∴一次函数的解析式为， ∵点在一次函数的图象上，点在二次函数的图象上． ∴，， ∵， ∴，即， 解得：． 【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数和一次函数的图象和性质是解题的关键． （西城） 2. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点． （1）若， ①求此抛物线的对称轴； ②当时，直接写出y的取值范围； （2）已知点，在此抛物线上，其中．若，且，比较，的大小，并说明理由． 【答案】（1）①，② （2） 【解析】 【分析】（1）①抛物线经过点，求出a，再代入对称轴公式求解即可；②因为，所以顶点是最低点，分别求出x=1和x=5时y的值，即可求解； （2）根据得>，说明 的中点 在对称轴的左侧，即离对称轴较近，离对称轴较远，由即可求解． 【小问1详解】 解：①∵抛物线经过点． ∴ 解得a=1， ∴ ∴对称轴； ②当 时，y 当x=1时，y=-1， 当x=5时，y=3 ∴当时， ． 【小问2详解】 解：∵抛物线经过点． ∴m=4a-2(a+4)+3=2a-5>0 ∴a 对称轴 ∵a ∴ ∴ ∵ ∴ ∴> ， 又∵ ∴ 的中点 在对称轴的右侧，即离对称轴较近，离对称轴较远， 又∵a>0，抛物线的开口向上，则自变量x离对称轴距离越近函数值越小 ∴ 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式、对称轴公式、顶点坐标、二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （朝阳） 3. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上． （1）若，求的值； （2）若，求值的取值范围． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】（1）将和分别代入函数解析式，根据，可解出b的值，再将代入函数解析式，可解出c的值； （2）若，由于函数图像开口向上，函数值越小离对称轴越近，函数值越大离对称轴越远，结合二次函数对称性可判断出对称轴的取值范围，把点带入中求出，进而可求出值的取值范围． 【小问1详解】 解：将和分别代入解析式， 得， ， ， ， 解得， 把点带入中， 得， 解得， 函数解析式为 当， ； 【小问2详解】 解：，中，， 函数图像开口向上， 又 ，， ， 解得， 把点带入中， 得， ， 将代入解析式， 得， ， ， ， ， 即． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式和二次函数图像的性质，牢固掌握以上知识点并学会数形结合是做出本题的关键． （通州） 4. 已知抛物线过，，三点． （1）求n的值（用含有a的代数式表示）； （2）若，求a的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【小问1详解】 解：点在抛物线上， 把代入得：， 即． 【小问2详解】 、都在抛物线上， 把，分别代入得： ， ， 抛物线的对称轴为：直线， 与轴的交点坐标为， ①当时，函数的最小值为， ， ， ∴要使，则，， 即， 解不等式组得：； ②当时，函数有最大值为， ∵函数图象与轴的交点坐标为， ∴最大值一定是一个正的，即此时， ∴要使，必须时使m、p一个为正一个为负， 点A离对称轴比C较远， ， ，， 即， 解不等式组得：， 综上分析可知，a的取值范围是或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、解一元一次不等式组，根据a正负情况进行分类讨论是解题的关键． （顺义） 5. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上． （1）求该抛物线的对称轴； （2）已知点，，在抛物线上．若，比较，，的大小，并说明理由． 【答案】（1）x=1； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的对称轴公式求得即可； （2）结合函数的图象，根据二次函数的增减性可得结论； 【小问1详解】 ∵点在抛物线上， ∴， ∴b=-2a， ∴抛物线函数关系式为：， 抛物线的对称轴为：直线；； 【小问2详解】 ∵a＜0，开口向下，且对称轴为：x=1， ∴结合函数图象可知，当抛物线开口向下时，距离对称轴越近，值越大， ∵， ∴，，， ∴，，这三个点，离对称轴最近，离对称轴最远， ∴． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，二次函数与一次函数交点问题等，题目难度适中，数形结合思想及求二次函数与一次函数交点需要联立方程是解题基础． （燕山） 6. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点为点和点B． （1）用含a的式子表示b； （2）求抛物线的对称轴和点B的坐标； （3）分别过点和点作x轴的垂线，交抛物线于点M和点N，记抛物线在M，N之间的部分为图象G（包括M，N两点）．记图形G上任意一点的纵坐标的最大值是m，最小值为n． ①当时，求的最小值； ②若存在实数t，使得，直接写出a的取值范围． 【答案】（1） （2）， （3）①1；②或 【解析】 【分析】（1）把点代入即可得； （2）由对称轴公式可得抛物线的对称轴为直线，由抛物线对称性得点坐标； （3）①当时，，即得抛物线与轴交点坐标为，，与轴交点坐标为，顶点坐标为，当图象为对称图形时有最小值，可得，，即得的最小值为； ②由（1）知抛物线为，得，，，顶点坐标为，可分四种情况讨论的取值：（Ⅰ）当，且时，，解得，可得；（Ⅱ）当，且时，，可得，（Ⅲ）当，且时，，可得；（Ⅳ）当，且时，，可得，即知当时，，同理可得：当时，也符合条件． 【小问1详解】 解：把点代入得： ， ； 【小问2详解】 解：由（1）知抛物线为， 抛物线的对称轴为直线， 而关于直线的对称点是， 由抛物线对称性得：点坐标； 【小问3详解】 解：①如图： 当时，， 抛物线与轴交点坐标为，，与轴交点坐标为，顶点坐标为， 由图象知：当图象为对称图形时有最小值， 又，，， ， ， 过点和点作轴的垂线，交抛物线于点和点， ，， 顶点坐标为， 的最小值为； ②点和点作轴的垂线，交抛物线于点和点， 由（1）知抛物线为， ，，， 又抛物线对称轴为直线，顶点坐标为， 根据、点的相对位置和抛物线的开口方向可分以下四种情况讨论的取值： （Ⅰ）当，且时，即图象在对称轴左侧时， 此时点的纵坐标最大，点的纵坐标最小， ， 解得， 又，， 且， ； （Ⅱ）当，且时，即图象在对称轴右侧时， 此时点的纵坐标最大，点的纵坐标最小， ， 解得， 又，， 且， ， （Ⅲ）当，且时，即最低点是抛物线顶点且点纵坐标大时， 此时，， ， 解得， 又，， ， ， ； （Ⅳ）当，且时，即最低点是抛物线顶点时且点纵坐标大， 此时，， ， 解得， 又，， ， ， 综上所述，当时，， 同理可得：当时，也符合条件， 的取值范围为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，难度较大，解题的关键是分类讨论图象上纵坐标的大小值． （门头沟） 7. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（是常数）． （1）求该抛物线的顶点坐标（用含代数式表示）； （2）如果该抛物线上有且只有两个点到直线的距离为1，求出的取值范围； （3）如果点，都在该抛物线上，当它的顶点在第四象限运动时，总有，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将一般式配方转化为顶点式即可． （2）当抛物线与直线有两个交点且与直线无交点时满足题意，代入式子求出范围即可． （3）求出对称轴，将，两点的位置分类讨论，求出范围即可． 【小问1详解】 解∵， ∴抛物线顶点坐标为． 【小问2详解】 解：∵抛物线开口向下， ∴当抛物线与直线有两个交点且与直线无交点时满足题意， ∵抛物线顶点坐标为， ∴， 解得． 【小问3详解】 解：∵抛物线的顶点在第四象限， ∴， 解得， ∵抛物线开口向下， ∴时，随增大而增大， ∴点，在对称轴右侧时，满足题意，即， 当点在对称轴左侧时，设点关于对称轴对称点坐标为， ∴点在右侧时，满足题意，即， 解得， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，相关知识点有：解一元一次不等式，熟练运用二次函数的性质是解题关键． （平谷） 8. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线． （1）当抛物线过点（2，0）时，求抛物线的表达式； （2）求这个二次函数的对称轴（用含b的式子表示）； （3）若抛物线上存在两点A（b﹣1，）和B（b+2，），当时，求b的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）或 【解析】 【分析】（1）把代入解析式，解答即可； （2）根据对称轴为直线计算即可； （3）把坐标代入解析式后，整理，最终转化为解不等式问题求解． 【小问1详解】 解：把代入解析式， ， 解得， 抛物线的解析式为：． 【小问2详解】 解：二次函数的对称轴为直线：， 【小问3详解】 解：将A（b﹣1，）和B（b+2，）代入得， ， 整理得：，， 当时，则， ∵， ∴， ∵b+2>b+1>b-1>b-2， 当b+2、b+1、b-1、b-2四个数中只有一个是负数，三个正数时，则 ， 解得：1<b<2， 当b+2、b+1、b-1、b-2四个数中只有一个是正数，三个负数时，则 ， 解得：-2<b<-1， ∴时，b的取值范围为：或． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式，对称轴的性质，不等式的性质，解题的关键是熟练掌握待定系数法，对称轴的公式，灵活运用抛物线的性质，不等式的性质． （房山） 9. 已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（1，0）与点C（0，-3），其顶点为P． （1）求二次函数的解析式及P点坐标； （2）当m≤x≤m+1时，y的取值范围是-4≤y≤2m，求m的值． 【答案】（1），顶点的坐标为 （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法求二次函数得出答案； （2）分①时，②当时，两种情况分别求解即可． 【小问1详解】 解：解：点、在二次函数的图象上， ， 解得， 二次函数的解析式为：， 顶点的坐标为； 【小问2详解】 解：时，的最小值为， ，即， ①时，， 由，解得：（舍去），， ②当时，， 由， 解得：（舍去），（舍去）， 综上：的值为． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的性质等知识，解题的关键是正确分类讨论得出的取值范围． （丰台） 10. 在平面直角坐标系xOy中，点M（2，m），N（4，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上． （1）若m＝n，求该抛物线的对称轴； （2）已知点P（﹣1，P）在该抛物线上，设该抛物线的对称轴为x＝t．若mn＜0，且m＜p＜n，求t的取值范围． 【答案】（1）x=3 （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数值相同的两个点关于对称轴对称求解即可； （2）根据题意列出相应不等式，然后将不等式化简为对称轴的形式得出相应不等式解集，根据不等式解集的确定方法求解即可． 【小问1详解】 解：当m=n时， 对称轴为； 【小问2详解】 解：根据题意可得： m=4a+2b，n=16a+4b，p=a-b， ∵m<p<n，mn<0， ∴m<0，n>0， ∴4a+2b<0，16a+4b>0， 化简得：①，②， ∵m<p<n， ∴ 化简③得， 化简④得， ∵t= ∴综合①②③④可得：1<t． 【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质及利用不等式确定解集，理解题意，掌握不等式的性质及二次函数的基本性质是解题的关键． （大兴） 11. 在平面直角坐标系xOy中，已知关于x的二次函数． （1）若此二次函数图象的对称轴为． ①求此二次函数的解析式； ②当时，函数值y______5（填“>”，“<”，或“≥”或“≤”）； （2）若，当时，函数值都大于a，求a的取值范围． 【答案】（1）①；②>； （2）． 【解析】 【分析】（1）①根据对称轴求出a的值，即可得到二次函数的解析式；②把二次函数的解析式配方即可得到解答； （2）由题意可得原函数图象的对称轴为x=a，开口向上，且x≥-2时函数值随x的增大而增大，求出x=-2时y的值，再由y>a即可得到题目解答． 【小问1详解】 解：①由题意可得：,解之可得：a=1， ∴二次函数的解析式为：； ②∵ =， ∴y≥5，当x=1时，y=5；当x≠1时，y>5， 故答案为>； 【小问2详解】 解：∵ =， ∴原函数图象的对称轴为x=a，开口向上， ∵， ∴当时，原函数的函数值随x的增大而增大， ∵当x=-2时，y=4+4a+6=10+4a， ∴10+4a>a， 解之可得：a>， ∴a的取值范围为：． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的对称轴、配方法及最值、二次函数的图象及性质是解题关键． （石景山） 12. 在平面直角坐标xOy中，点在抛物线上． （1）求抛物线的对称轴； （2）抛物线上两点，，且，． ①当时，比较，的大小关系，并说明理由； ②若对于，，都有，直接写出t的取值范围． 【答案】（1） （2）①， 当时，根据题意可知，，，， 即有，， 由图象可知，； ②或 【解析】 【分析】（1）对于抛物线，令，可得，可知点（0，2）在抛物线上，根据点也在抛物线上，由抛物线的对称性，可知该抛物线的对称轴为； （2）根据题意，大致画出抛物线图象．①当时，根据题意可计算、的取值范围，再结合抛物线图象判断，的大小即可；②分情况讨论，当、、三种情况下，区域和区域的位置及移动方向，确定满足条件的t的取值范围． 【小问1详解】 解：对于抛物线，令，可得， 即该抛物线与y轴的交点为点（0，2）， 又∵点也在抛物线上， ∴根据抛物线的对称性，可知该抛物线的对称轴为； 【小问2详解】 根据题意，大致画出抛物线图象，如下图， ①略 ②若对于，，都有，可分情况讨论，如下图： 当时，，，由图象对称性可知，成立； 当时，区域向左移动，区域向右移动且都移动t个单位，由图象对称性可知，成立； 当时，区域、区域相向移动， 两区域相遇时，有，解得，在时，成立； 相遇后，再继续运动，两区域分离时，有，解得； 分离后，即时，随着t的增大，由图象对称性可知，成立； 综上所述，满足条件的t的取值范围为：或． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与性质及二次函数的综合应用，解题关键是根据题意画出图形，用数形结合和分情况讨论的数学思想分析问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $