1.1 二次函数的意义 课前预习单 2026～2027学年 浙教版九年级数学上册

该初中数学学习任务单聚焦二次函数的意义，以旧知回顾（函数定义、一次函数）为基础，通过矩形面积、研发资金增长等实际问题引入新知，构建从一次函数到二次函数的认知支架，帮助学生理解二次函数概念及一般形式。 资料突出数学眼光与模型意识的培养，通过现实情境抽象数量关系，引导学生归纳二次函数共同特征发展推理意识。习题设计层次分明，从概念辨析到实际应用，强化用数学语言表达现实问题的能力，有效衔接课堂学习。

浙教版九年级数学上册 第一章 二次函数 1.1 二次函数的意义 课前预习单 一、预习目标 1. 结合具体实际问题情境，理解二次函数的概念，能够准确识别出二次函数； 2. 能够根据问题中的条件，确定二次函数的表达式，掌握二次函数的一般形式； 3. 体会函数建模思想在实际问题中的应用，感受二次函数和实际生活的联系，为课堂学习做好知识准备。 二、预习内容梳理 1. 旧知回顾 我们在之前的学习中已经认识了多种函数，请你回忆相关知识完成下列填空： 一般地，在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么我们就称y是x的______，x叫做______。 我们已经学过的一次函数的一般形式是______，其中k、b为常数，且k满足什么条件？为什么k不能满足这个条件？______。 正比例函数是特殊的一次函数，它的一般形式是______。 请你思考：我们研究函数的基本路径是什么？请你简单写在下方：______。 2. 新知初探 请你认真阅读教材中1.1节的内容，完成下面问题探究： 探究问题1：用函数表达式表示变量之间的关系 （1）用总长为20m的篱笆围一个矩形的花圃，设矩形垂直于墙的一边长为x m，花圃的面积为y m²，请你写出y和x之间的函数表达式： 解：矩形平行于墙的一边长为______m，根据面积公式可得 y = ______，整理后得：______。 （2）某厂今年一月份的新产品研发资金为100万元，以后每个月的研发资金较上个月的增长率都是x，设三月份的研发资金为y万元，请你写出y和x之间的函数表达式： 解：二月份的研发资金为______万元，三月份的研发资金y = ______，整理后得：______。 （3）一个正方形的边长为12cm，从中挖去一个半径为r cm的圆，剩余部分的面积为S cm²，请你写出S和r之间的函数表达式： 解：正方形的面积为______cm²，挖去的圆的面积为______cm²，因此剩余面积S = ______。 探究问题2：归纳函数形式的共同特征 整理你写出的三个函数表达式： 1. ______ 2. ______ 3. ______ 请你观察这三个表达式，回答下面的问题： 这三个表达式都是整式吗？如果都是整式，它们分别是几次多项式？ 表达式中分别有几个变量？变量之间的对应关系是不是函数关系？ 自变量的最高次数是几次？和我们学过的一次函数有什么区别？ 通过上面的观察，你可以总结出：一般地，形如______的函数叫做二次函数，其中x是自变量，a,b,c分别是函数表达式的______、______、______。 3. 要点辨析 （1）二次函数的定义中，为什么要求二次项系数a≠0？如果a=0，函数变成了什么形式？它还是二次函数吗？ 我的思考：______。 （2）下列函数表达式中，哪些是二次函数？请在括号里打“√”，不是的打“×”： y = 3x - 1 （ ） y = 3x² （ ） y = 3x³ + 2x² （ ） y = 2x² - 2x + 1 （ ） y = (x+1)² - x² （ ） y = -x² + 2 （ ） （3）请你写出二次函数y = 5x² - 3x + 2的二次项系数、一次项系数和常数项： 二次项系数：______，一次项系数：______，常数项：______。 三、预习自测 完成下列题目，检验你的预习效果： 题号 题目 解答 1 下列函数中，属于二次函数的是（ ） A. y = 2x + 1 B. y = (x-1)² - x² C. y = D. y = x(x+1) 2 函数y = (m-1)x² + 2mx + 3 是关于x的二次函数，求m的取值范围？ 3 已知一个直角三角形的两条直角边长的和是10cm，设一条直角边长为x cm，面积为S cm²，写出S和x之间的函数表达式，并判断是否为二次函数 4 若二次函数y = ax² + x + 1 的二次项系数和常数项互为相反数，求a的值 四、预习疑问整理 请把你预习过程中遇到的不理解的问题或者有疑问的内容整理在下面，课堂上重点听讲： 参考答案 旧知回顾：函数，自变量；y=kx+b，k≠0，若k=0则函数不含一次项，变为常数函数不再是一次函数；y=kx(k≠0)；路径为：概念引入→一般形式→图像性质→实际应用 新知初探探究1：(1) 20-2x，x(20-2x)，y=-2x²+20x；(2) 100(1+x)，100(1+x)²，y=100x²+200x+100；(3) 144，πr²，S=144-πr² 新知初探探究2：y=-2x²+20x；y=100x²+200x+100；S=-πr²+144；三个表达式均为二次整式，都有2个变量，均为函数关系，自变量最高次数为2，一次函数自变量最高次数为1；y=ax²+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)，二次项系数、一次项系数、常数项 要点辨析： (1) 若a=0，x²项消失，函数变为y=bx+c，成为一次函数或常数函数，不再满足二次函数最高次数为2的要求，因此必须a≠0； (2) ×、√、×、√、×、√； (3) 5，-3，2 预习自测：1. D；2. m≠1；3. S=-x²+5x(0<10)，是二次函数；4. a=-1 学科网（北京）股份有限公司 $