第二章 实数测试题 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级数学上册实数单元卷，覆盖无理数、二次根式、勾股定理等核心知识，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，考查抽象能力、运算能力及模型意识，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|无理数识别、二次根式运算|结合数轴化简（第7题）考查几何直观| |填空题|5/15|二次根式意义、勾股定理|数值转换器（第13题）体现抽象能力| |解答题（一）|3/21|实数分类、格点三角形|格点三角形判断（第18题）强化空间观念| |解答题（二）|3/27|二次根式应用、雷雨公式|雷雨持续时间计算（第20题）培养模型意识| |解答题（三）|2/27|新定义“和谐组合”、图形拼接|“和谐组合”证明（第22题）提升推理能力|

第二章 实数 测试题 2026-2027学年北师大版八年级数学上册 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．下列实数中，是无理数的是（    ） A． B． C．0 D． 2．下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 3．下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 4．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．按如图所示的程序计算，若开始输入的的值为，则最后输出的结果是（    ） A． B． C． D． 6．下列二次根式中能与合并的是（    ） A． B． C． D． 7．实数和在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 8．若，化简的结果是（   ） A． B．5 C． D． 9．如图，数轴上的点表示的数是1，点表示的数是3，，垂足为，且，以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，点表示的数为（   ） A． B． C． D． 10．已知为整数，且，则的值可能是（   ） A．2 B．4 C． D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．若二次根式有意义，则可以取___________．（写出一个即可） 12．如图，在中，，，则的长为_________．    13．有一个数值转换器，设定的输入值为0到100的整数，流程如图；当输出值为时，输入的x值是________． 14．如果实数，，满足，那么我们称一元二次方程为“勾股”方程．已知①；②；③；④．上述方程是“勾股”方程的有________．(填序号) 15．对于任意的正数、定义运算，，计算的结果为________． 三．解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．计算：． 17．把下列各数分别填入相应的集合里． ，，0，，，，，，0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0） （1）整数集合：{                        …} （2）正数集合：{                        …} （3）无理数集合：{                        …} 18．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1、每个小正方形的顶点称为格点．已知的三个顶点都在格点上 (1)判断的形状，并说明理由； (2)求点B到的距离． 四．解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为．现要在空地中挖一个长方形的水池（图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为． (1)求长方形空地的周长． (2)已知李明家种植的草莓售价为8元/kg，且可产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？ 20．某地气象资料表明：当地雷雨持续的时间可以用公式来估计，其中d是雷雨区域的直径． (1)如果某场雷雨区域的直径是，那么这场雷雨大约能持续多长时间？（结果保留根号） (2)如果这场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？（结果精确到；参考数据：） 21．某儿童游乐园为加强安全管理，决定将园内滑梯的倾斜角由降为，已知原滑梯的高长为米，点在同一水平地面上（参考数据：） (1)求改善后的滑梯比原滑梯加长了多少米？（结果保留两位小数） (2)若滑梯正前方有3米长的空地就能保证安全，原滑梯前有米的空地，改造后是否安全？请说明理由． 五．解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23小题14分，共27分） 22．定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，=2，=3，=6，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)请证明：2，8，18这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根； (2)已知4，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，求a的值． 23．完成以下问题 (1)【发现问题】如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形．所得到大正方形的面积为______，大正方形的边长为______． (2)【知识迁移】小明把长为2，宽为1的两个长方形沿对角线剪开裁剪，拼成如图2所示的一个大正方形．仿照上面的探究方法求空白部分正方形的面积及其边长x的值； (3)【拓展延伸】为响应节约资源的号召，赵师傅将两块废弃的正方形铁片重新加工成一个面积为平方米的大正方形铁片用于制作零件．已知原来其中一块正方形铁片的边长是米，问另一块正方形铁片边长比原来拼成的大正方形铁片边长少多少米？ ( …… …… ○…… …… 内…… …… ○…… …… 装…… …… ○…… …… 订…… …… ○…… …… 线…… …… ○…… ……………… ○…… …… 内…… …… ○…… …… 装…… …… ○…… …… 订…… …… ○…… …… 线…… …… ○…… …… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …… …… ○…… …… 外…… …… ○…… …… 装…… …… ○…… …… 订…… …… ○…… …… 线…… …… ○…… …… ) ( 学校 :___________ 姓名： ___________ 班级： ___________ 考号： ___________ ) ( …… …… ○…… …… 外…… …… ○…… …… 装…… …… ○…… …… 订…… …… ○…… …… 线…… …… ○…… …… ) 第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A A C A B B A D 11．0（答案不唯一） 12． 13．2或64 14．①②④ 15． 16． 【详解】解： 原式． 17．（1）整数集合：；（2）正数集合：；（3）无理数集合：． 【分析】根据实数分类解题，实数分为有理数与无理数，无限不循环小数和开方不能开尽的数是无理数，整数和分数统称为有理数，整数包含正整数、0、负整数， （1）根据整数的分类即可得； （2）根据正数的分类即可得； （3）根据无理数的分类即可得． 【详解】解：+5是正整数，是无理数， 0是整数，-3.14是正分数，是正分数，-12是负整数，是负无理数，是正整数，（每两个1之间依次多一个0）是无理数； 故（1）整数集合：； （2）正数集合：； （3）无理数集合：． 【点睛】本题考查实数的分类、有理数的分类等知识，掌握相关数的分类是解题关键． 18．(1)是等腰三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的定义，利用网格求三角形面积： （1）利用勾股定理可求出，则是等腰三角形； （2）设点B到的距离为h，利用勾股定理求出，再利用割补法求出的面积，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下： 由网格的特点和勾股定理可知 ，， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：设点B到的距离为h， 由网格的特点和勾股定理可知， ∵， ∴，即， ∴， ∴点B到的距离为． 19. (1) (2)元 【分析】本题考查的是二次根式的应用，最简二次根式，熟练掌握上述知识点是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式列式计算即可； （2）先计算出种草莓的面积，再计算销售收入即可． 【详解】（1）解：长方形空地的周长为 ． 答：长方形空地的周长为． （2）解：由题意，得种草莓的面积为 ， ∴销售收入为（元）． 答：销售收入为元． 20．(1)这场雷雨大约能持续 (2)这场雷雨区域的直径大约是 【分析】本题主要考查了算术平方根，立方根的应用，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键． （1）根据，其中是雷雨区域的直径，开算术平方，可得答案； （2）根据，其中，是雷雨持续时间，开立方，可得答案． 【详解】（1）解：把代入，得． ∴ 答：这场雷雨大约能持续； （2）解： 把代入，得． ∴． 答：这场雷雨区域的直径大约是． 21．(1)改善后滑梯加长了 (2)解：改善后的滑梯安全，理由： 由（1）知， ∴在直角三角形中,(米) 那么预计滑板改善后前面留的空地长度应该是： 所以改善后的滑梯安全。 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意、准确计算是解题的关键． （1）分别计算即可求解； （2）在直角三角形中求出即可求解； 【详解】（1）解： ∴在直角三角形中， ， 答：改善后滑梯加长了m， （2）略 22．(1)见解析，最小算术平方根是4，最大算术平方根是12 (2)1或100 【分析】此题考查了算术平方根，掌握算术平方根的定义是关键． （1）根据“和谐组合”的定义分别求解算术平方根即可； （2）根据题意分3种情况讨论，然后根据最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，分别列方程求解即可． 【详解】（1）证明：，，， ，8，18这三个数是“和谐组合”， 故最小算术平方根是4，最大算术平方根是12； （2）解：分三种情况：①当时，可得，解得：（舍去）， ②当时，可得，解得：，经检验符合题意， ③当时，可得，解得：，经检验符合题意． 综上所述，的值为1或100． 23．(1)2； (2)面积为5，边长为 (3)少米 【分析】（1）根据大正方形的面积两个边长为1的小正方形的面积，求解即可． （2）空白部分面积大正方形的面积4个直角三角形的面积求得，再根据平方根的定义求解． （3）根据大正方形铁片的面积得出大正方形铁片的边长，再根据两个正方形铁片的面积之和为大正方形铁片的面积求出另一块正方形铁片的边长，最后作差即可． 【详解】（1）解：大正方形的面积， 设大正方形的边长为， 则， 解得：或（舍）， ∴大正方形的边长； （2）解：由题意可知，大正方形的边长为． 根据题意可得， 解得：或（舍）， 即：空白部分正方形的面积为5，边长； （3）解：∵大正方形铁片的面积为平方米， ∴大正方形铁片的边长为米， 设另一片正方形铁片边长为a米， 根据面积关系可得：， 解得：；（舍）， ∵大正方形边长为1.6米，另一块正方形边长为米． ∴（米）， 即：另一块正方形铁片边长比拼成的大正方形边长少米． 答案第2页，共5页 答案第1页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $