13.2.2三角形中线、角平分线、高 导学案 2026-2027学年 人教版八年级上册数学

《 13.2.2三角形中线、角平分线、高 》导学案 课题 三角形中线、角平分线、高 学科 数学 年级 八年级上册 知识目标 1.了解三角形的角平分线、高、中线并能在具体情境中作出它们； 2.经历画图等实践过程认识三角形的高、中线与角平分线. 重点难点 重点：三角形的高、中线、角平分线概念的简单运用及它们的几何语言表达 难点：钝角三角形的高的画法 教学过程 知识链接 1.试一试找出线段AB的中点。 2.已知A、B分别是直线l上和直线l外一点，分别过点A、点B画直线l的垂线。　　　　　　 3.作出∠ABC的角平分线BD。 4. 三角形按角分类可分为哪几种? 合作探究 ※1、三角形的高 定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线, 叫做三角形的高 几何语言： ∵AD是△ ABC的高， ∴∠ BDA = ∠ CDA =_______,AD⊥_____. 注意：标明垂直的记号和垂足的字母 ※2、三角形的三条高 （1）锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部? 画一个锐角△ABC，过A点向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D； 通过画图你发现了什么？ 结论：锐角三角形的三条高线交于一点、在三角形_______ （2）你能画出直角三角形和钝角三角形的三条高吗？ 直角边BC边上的高是___________________ ;(答案：AB) 直角边AB边上的高是_______________ ;(答案：CB) 斜边AC边上的高是_________________.(答案：BD) 观察直角三角形和钝角三角形的三条高，你又有什么发现？ 结论：直角三角形的三条高线交于一点、在直角三角形的_______ 钝角三角形的三条高线所在的直线交于一点、在三角形的_______ （3）三角形高的特点： ※3、三角形的中线 如图，教师给出一个准备好的三角形纸片，把B,C重合对折，折痕与BC交于点D.D点有什么特殊性？ 定义：三角形中,连结一个顶点和 叫做三角形的中线 几何语言：∵AD是△ ABC的中线 ∴BD=_____= _____ 动手做一做：利用刻度尺画出这个三角形三条边的中线,你发现了什么? 结论：三角形的三条中线相交于一点,交点在三角形的_____. 定义：三条中线的交点，（如图中点O）叫做三角形的_____ ※4、三角形中线的特点 想一想：三角形的中线分成的两个三角形有什么关系？证明你的猜想。 结论：三角形的任意一条中线把这个三角形分成了两个___________的三角形。 ※5、三角形的角平分线 给出一个三角形纸片，对折，使AC与AB所在直线重合，折痕与BC交于D. 定义：三角形一个内角的平分线与它的对边相交, 的线段叫做三角形角的平分线 几何语言： ∵AD是 △ ABC的角平分线 ∴∠ BAD = =______ 动手做一做：任意画一个三角形,然后利用量角器画出这个三角形三个角的角平分线,你发现了什么? 结论：三角形的三条角平分线相交于一点,交点在三角形的______ ※6、高、中线与角平分线的比较 例、如图，在△ABC中，AB＝AC，周长为16 cm，AC边上的中线BD将△ABC分成周长差为2 cm的两个三角形，求△ABC的各边长． 解： 自主尝试 知识点1、2练习： 1．如图，∠ACB是钝角，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，则△ABC中BC边上的高是(　　) A．CF B．BE C．AD D．AE 2．如果三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 知识点3练习： 1. 如图，D，E是边AC的三等分点，图中有____个三角形，BD是_________ 中_________ 边上的中线，BE是_________中_________边上的中线． 2．如图，AE是△ABC的中线．已知EC＝8，DE＝3，则BD的长为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 知识点4练习: 1.如图，D是BC的中点，E是AC的中点．点S△ADE＝2，则S△ADC＝________． 2.如图，AD，CE分别是△ABC中边BC，AB上的高．若AD＝10，CE＝9，AB＝12，求BC的长． 知识点5练习： 1.如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列结论中错误的是(　　) A．BD是△ABC的角平分线 B．CE是△BCD的角平分线 C．∠3＝∠ACB D．CE是△ABC的角平分线 2.如图，△ABC是等腰三角形，且∠BAC＝30°，AD，AE分别是△ABC和△ABD的角平分线，则∠BEC＝__________． 当堂检测 1.如图,在⊿ABC中, ∠1=∠2,G为AD中点,延长BG交AC于E,F为AB上一点,CF⊥AD于H,判断下列说法那些是正确的,哪些是错误的. ①AD是⊿ABE的角平分线 ( ) ②BE是⊿ABD边AD上的中线 ( ) ③BE是⊿ABC边AC上的中线 ( ) ④CH是⊿ACD边AD上的高 ( ) 2．如图，BD是△ABC的中线，AD=2，AB+BC=5，则△ABC 的周长是_________. 3．如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2 ，则△ABC 的一条中线是_________， 一条角平分线是_________ . 4.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，E是BC延长线上的一点,CFￌCD,如果∠ACB=700，那么下列说法中错误的是（ ） A. CF平分∠ACE B.∠B=550 C.∠1+∠4=900 D.∠3=∠4=550 5.如图，E、F、G分别是AB、BC、AC边上的中点，则S⊿ABC=_____, S⊿BEF=_____S⊿FGC 6.如图，在ΔABC中，AE是BAC的平分线，AD是BC的高，且∠B=50°，∠C=60°，则∠EAD的度数是（ ） A.35 B.25 C.15 D.5 7.如图，已知△ABC，根据要求画图． (1)画BC边上的高； (2)画∠C的角平分线； (3)将△ABC分成面积相等的两部分． 小结反思 今天你们学会了什么呀？ 1.三角形的高、中线、角平分线等有关概念及它们的画法。 2. 三角形的高、中线、角平分线几何表达及简单应用。 《 13.2.2三角形中线、角平分线、高 》导学案 课题 三角形中线、角平分线、高 学科 数学 年级 八年级上册 知识目标 1.了解三角形的角平分线、高、中线并能在具体情境中作出它们； 2.经历画图等实践过程认识三角形的高、中线与角平分线. 3.通过对问题的解决，使学生有成就感，培养学生的合作精神，树立学好数学的信心。 重点难点 重点：三角形的高、中线、角平分线概念的简单运用及它们的几何语言表达 难点：钝角三角形的高的画法 教学过程 知识链接 1.试一试找出线段AB的中点。 2.已知A、B分别是直线l上和直线l外一点，分别过点A、点B画直线l的垂线。　　　　　　 3.作出∠ABC的角平分线BD。 5. 三角形按角分类可分为哪几种? （前面我们学习过三角形、它包含的元素也有边、角、顶点也会涉及到上述一些操作、具体该怎么做呢？它们会有什么特点呢？今天我们一起来学习这个课时！） 合作探究 ※1、三角形的高 定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。 表示方法： 1.AD是△ABC的BC上的高线. 2.AD⊥BC于D. 3.∠ADB=∠ADC=90°. 几何语言： ∵AD是△ ABC的高， ∴∠ BDA = ∠ CDA =90°. 注意：标明垂直的记号和垂足的字母 ※2、三角形的三条高 （1）锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部? 画一个锐角△ABC，过A点向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D； 通过画图你发现了什么？ 结论：锐角三角形的三条高线交于一点、在三角形内部 （2）你能画出直角三角形和钝角三角形的三条高吗？ 直角边BC边上的高是___________________ ;(答案：AB) 直角边AB边上的高是_______________ ;(答案：CB) 斜边AC边上的高是_________________.(答案：BD) 观察直角三角形和钝角三角形的三条高，你又有什么发现？ 结论：直角三角形的三条高线交于一点、在直角三角形的顶点 钝角三角形的三条高线所在的直线交于一点、在三角形的外部 （3）三角形高的特点： ※3、三角形的中线 如图，教师给出一个准备好的三角形纸片，把B,C重合对折，折痕与BC交于点D.D点有什么特殊性？ 定义：三角形中,连结一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线 几何语言：∵AD是△ ABC的中线 ∴BD=CD= BC 动手做一做：任意画一个三角形,然后利用刻度尺画出这个三角形三条边的中线,你发现了什么? 结论：三角形的三条中线相交于一点,交点在三角形的内部. 定义：三条中线的交点，（如图中点O）叫做三角形的重心 ※4、三角形中线的特点 想一想：三角形的中线分成的两个三角形有什么关系？证明你的猜想。 如图三角形ABC中,BC边上中线AD ∵AD为中线 ∴BD=CD 作BC边上的高AE ∴三角形ABD面积=×BD×AE ,三角形ACD面积=×CD×AE ∴S⊿ABC=S⊿ACD 结论：三角形的任意一条中线把这个三角形分成了两个面积相等的三角形。 ※5、三角形的角平分线 给出一个三角形纸片，对折，使AC与AB所在直线重合，折痕与BC交于D. 定义：三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段叫做三角形角的平分线 几何语言： ∵AD是 △ ABC的角平分线 ∴∠ BAD = ∠ CAD =∠BAC 动手做一做：任意画一个三角形,然后利用量角器画出这个三角形三个角的角平分线,你发现了什么? 结论：三角形的三条角平分线相交于一点,交点在三角形的内部 ※6、高、中线与角平分线的比较 例、如图，在△ABC中，AB＝AC，周长为16 cm，AC边上的中线BD将△ABC分成周长差为2 cm的两个三角形，求△ABC的各边长． 解：△ABD的周长＝AB＋AD＋BD， △BDC的周长＝BC＋DC＋BD， ∵BD是中线得AD＝DC，∴AB－BC＝2或BC－AB＝2.当AB－BC＝2时，设AB＝x＝AC，BC＝x－2，则2x＋x－2＝16，x＝6.即△ABC的三边长分别是AB＝AC＝6，BC＝4. 当BC－AB＝2时，设AB＝x＝AC，BC＝2＋x，则x＋x＋2＋x＝16，x＝， 即△ABC的三边长是AB＝AC＝，BC＝ 自主尝试 知识点1、2练习： 1．如图，∠ACB是钝角，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，则△ABC中BC边上的高是(　　)C A．CF B．BE C．AD D．AE 2．如果三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是(　　)C A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 知识点3练习： 2. 如图，D，E是边AC的三等分点，图中有____个三角形，BD是_________ 中_________ 边上的中线，BE是_________中_________边上的中线． (答案：6、△ABE、AE、△BDC、DC) 2．如图，AE是△ABC的中线．已知EC＝8，DE＝3，则BD的长为(　　)C A．2 B．3 C．4 D．5 知识点4练习: 1.如图，D是BC的中点，E是AC的中点．点S△ADE＝2，则S△ADC＝________． 2.如图，AD，CE分别是△ABC中边BC，AB上的高．若AD＝10，CE＝9，AB＝12，求BC的长． 解：由题意知：S△ABC＝AD·BC＝×10×BC＝5BC ∵S△ABC＝AB·CE＝×12×9＝54， ∴5BC＝54，∴BC＝ 知识点5练习： 1.如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列结论中错误的是(　　)D A．BD是△ABC的角平分线 B．CE是△BCD的角平分线 C．∠3＝∠ACB D．CE是△ABC的角平分线 2.如图，△ABC是等腰三角形，且∠BAC＝30°，AD，AE分别是△ABC和△ABD的角平分线，则∠BEC＝__________．(答案1050) 当堂检测 1.如图,在⊿ABC中, ∠1=∠2,G为AD中点,延长BG交AC于E,F为AB上一点,CF⊥AD于H,判断下列说法那些是正确的,哪些是错误的. ①AD是⊿ABE的角平分线 ( ) ②BE是⊿ABD边AD上的中线 ( ) ③BE是⊿ABC边AC上的中线 ( ) ④CH是⊿ACD边AD上的高 ( ) 答案：× × × √ 2．如图，BD是△ABC的中线，AD=2，AB+BC=5，则△ABC 的周长是_________.(答案：9) 3．如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2 ，则△ABC 的一条中线是_________， 一条角平分线是_________ .（答案：AD、BE） 4.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，E是BC延长线上的一点,CFￌCD,如果∠ACB=700，那么下列说法中错误的是（ ）B A. CF平分∠ACE B.∠B=550 C.∠1+∠4=900 D.∠3=∠4=550 5.如图，E、F、G分别是AB、BC、AC边上的中点，则S⊿ABC=_____, S⊿BEF=_____S⊿FGC(答案：4、4) 6.如图，在ΔABC中，AE是BAC的平分线，AD是BC的高，且∠B=50°，∠C=60°，则∠EAD的度数是（ ）D A.35 B.25 C.15 D.5 7.如图，已知△ABC，根据要求画图． (1)画BC边上的高； (2)画∠C的角平分线； (3)将△ABC分成面积相等的两部分． 解：如图: (1)线段AD即为所求； (2)CE即为∠ACB的平分线； (3)中线BF将△ABC分成面积相等的两部分(此问答案不唯一) 小结反思 今天你们学会了什么呀？ 1.三角形的高、中线、角平分线等有关概念及它们的画法。 2. 三角形的高、中线、角平分线几何表达及简单应用。 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $