26.3.2 将一元二次方程问题转化为相应的二次函数问题 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦一元二次方程与二次函数的转化，通过复习二次函数y=x²-4x+3的图象及函数值为0时的x值，衔接已有知识，为新知识学习搭建支架。 以数形结合为核心，通过探究方程x²-2x-2=0的图象求解、例2表格数据推理根的范围等，培养几何直观、推理意识和模型意识。学生自主探索提升创新意识，教师通过当堂训练和反思优化教学，提升效率。

第2课时　将一元二次方程问题转化为相应的二次函数问题 　　　　　　　 课题 第2课时　将一元二次方程问题 转化为相应的二次函数问题 授课人 教 学 目 标 　　1.会利用二次函数的图象求一元二次方程的根的近似值. 2.通过学生自主探索和合作交流,真正理解和掌握二次函数与一元二次方程之间的关系. 3.能够从函数图象的角度分析函数与方程之间的关系. 4.通过分析一元二次方程与二次函数之间的关系,进一步体会数形结合的思想. 教学 重点 　　会利用函数图象求一元二次方程的根的近似值. 教学 难点 　　理解一元二次方程的根及一元二次不等式与相应二次函数之间的关系. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 已知函数y=x2-4x+3. (1)画出这个函数的图象; (2)观察图象,当x取哪些值时,函数值为0? [答案:(1)略　(2)当x=1或x=3时,函数值为0] 根据二次函数与一元二次方程的联系,也可以将一元二次方程问题转化为相应的二次函数问题. 　　复习学生已有的知识,为本节课继续研究一元二次方程与相应的二次函数问题做准备. 活动 二: 探究 与 应用 【探究】 求一元二次方程的根的近似值 利用函数图象求方程x2-2x-2=0的根的近似值(结果保留小数点后一位). 师生活动:教师引导学生画出函数图象,或求出函数图象与x轴的公共点的横坐标,学生独立完成解答过程. 　图26-3-13 解:画出函数y=x2-2x-2的图象(图26-3-13),它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7,2.7. ∴方程x2-2x-2=0的实数根为x1≈-0.7,x2≈2.7. 说明:由于画图或观察可能存在误差,所以由函数图象求得的相应方程的根,一般是近似的. 归纳: (1)用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象; 　　通过具体实例说明一元二次方程与相应的二次函数之间的联系. 【理解应用】 例1　利用函数图象求下列方程的根的近似值(结果保留小数点后一位): (1)x2-6x+7=0;　　　　　(2)-x2+3x+1=0. 师生活动:教师引导学生画出函数图象,学生独立完成解答过程. [答案:略] 　　理解应用是对课题学习的针对练习. 活动 二: 探究 与 应用 　　例2　已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表: x 3.23 3.24 3.25 3.26 y -0.06 -0.02 0.03 0.09 　　则方程ax2+bx+c=0的一个根x的取值范围是 (C) A.3<x<3.23　　　　　 B.3.23<x<3.24 C.3.24<x<3.25 D.3.25<x<3.26 例3　画出函数y=-x2+4x-3的图象,利用图象回答下列问题: (1)方程-x2+4x-3=0的根是　x1=1,x2=3　;  (2)当y>0时,求自变量x的取值范围; (3)不等式-x2+4x-3<0的解集是　x<1或x>3　.  解:画出函数图象如图26-3-14. 图26-3-14 (2)由图象,得当y>0时,1<x<3. 　　 【拓展提升】 例4　若关于x的方程x2+2x+c=0有一个根在0和1之间,求c的取值范围. 解:设y=x2+2x+c. ∵a=1,b=2, ∴二次函数y=x2+2x+c的图象开口向上,对称轴为直线x=-1, ∴当x>-1时,y随x的增大而增大. ∵方程x2+2x+c=0有一个根在0和1之间, ∴当x=1时,y=1+2+c>0;当x=0时,y=c<0, ∴-3<c<0. 　　进一步提高学生对二次函数与一元二次方程之间关系的认识,提升学生灵活运用知识的能力. 活动 三: 课堂 总结 反思 【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络. 活动 三: 课堂 总结 反思 【当堂训练】 1.如图26-3-15是二次函数y=ax2+bx+c的图象,图象上有两点分别为A(2.18,-0.51),B(2.68,0.54),则一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根可能是 (D) 图26-3-15 A.2.18 B.2.68 C.-0.51 D.2.45 2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图26-3-16所示,则关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是 (C) 图26-3-16 A.x<-1 B.x>3 C.-1<x<3 D.x<-1或x>3 3.如图26-3-17,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(1,0),(3,0),根据图象解答下列问题: 　图26-3-17 (1)写出方程ax2+bx+c=0的两根; (2)当x为何值时,y>0?当x为何值时,y<0? [答案:(1)x1=1,x2=3 (2)当1<x<3时,y>0;当x<1或x>3时,y<0] 　　当堂检测,及时反馈学习效果,进一步巩固对所学知识的理解、掌握.能使教师及时掌握本课教学效果,为后续教学的安排提供依据. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 在探究新知的环节中,教师要给学生充足的时间进行探究,进一步加深理解“数”与“形”之间的关系,体会“数”与“形”之间的相互转化.在当堂训练环节中,发挥小组学习的功效,激发学生学习的积极性. ②[讲授效果反思] 教师引导学生注意以下几点:(1)一元二次方程是相应二次函数的函数值一定时的情况;(2)正确理解“数”与“形”之间的关系,体会“数”与“形”之间的相互转化. ③[师生互动反思] 教学过程中,以学生为主体,通过学生自主探索和合作交流,真正理解和掌握一元二次方程与相应二次函数之间的关系. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　  错题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　  　　反思教学过程和教师表现,进一步优化操作流程和提升自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $