14.3角的平分线讲义2026-2027学年人教版数学八年级上册

本讲义聚焦角平分线核心知识，系统梳理定义、尺规作图方法、性质定理（角平分线上的点到两边距离相等）、判定定理（内部到两边距离相等的点在角平分线上）及三角形内心性质，形成从基础定义到作图原理，再到性质判定应用的递进式学习支架。 该资料突出数学思维与几何直观培养，如尺规作图结合SSS全等证明原理，性质与判定对比表格明晰逻辑，辅助线口诀助力解题策略形成。课中辅助教师系统授课，课后通过例题与小结帮助学生巩固知识，查漏补缺，提升推理能力与应用意识。

14.3 角的平分线 | 配套讲义 14.3 角 的 平 分 线 讲义 一、学习目标 1. 掌握用尺规作图作一个角的平分线的方法，理解作图原理。 2. 理解并掌握角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 3. 理解并掌握角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 4. 能综合运用角平分线的性质和判定解决几何证明与计算问题。 5. 了解三角形三条角平分线交于一点（内心），及其到三边距离相等的性质。 二、知识梳理 知识点1 角平分线的定义 从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。 注意：角平分线是一条射线（从顶点出发，向角的内部无限延伸），不是线段，也不是直线。一个角有且仅有一条角平分线。 知识点2 角平分线的尺规作图 已知：∠AOB 求作：∠AOB 的平分线 作法： （1）以点 O 为圆心，适当长为半径作弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N； （2）分别以点 M、N 为圆心，大于 ½MN 的长为半径作弧，两弧在 ∠AOB 的内部相交于点 C； （3）作射线 OC，则射线 OC 即为 ∠AOB 的平分线。 作图原理：连接 CM、CN，由作法可知 OM=ON，MC=NC，OC=OC，所以 △OMC ≌ △ONC（SSS），从而 ∠MOC = ∠NOC，即 OC 平分 ∠AOB。 注意事项： ①「适当长」指半径不能太长（超出纸面）也不能太短（交点不明显）； ②第二步半径必须大于 ½MN，否则两弧无交点； ③交点 C 应在角的内部； ④应说「作射线 OC」，不能说「连接 OC」（连接得到的是线段）。 图1 角平分线的尺规作图过程 【课堂练习1】 已知 ∠AOB，请用无刻度直尺和圆规作出 ∠AOB 的平分线 OC。（保留作图痕迹，不写作法） ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ 知识点3 角平分线的性质定理 定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 项目 内容 已知条件 OC 是 ∠AOB 的平分线，P 是 OC 上一点，PD⊥OA 于 D，PE⊥OB 于 E 结论 PD = PE 几何语言 ∵ OC 平分 ∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB ∴ PD = PE 证明思路： 在 △OPD 和 △OPE 中： ∠PDO = ∠PEO = 90°（垂直定义） ∠POD = ∠POE（角平分线定义） OP = OP（公共边） ∴ △OPD ≌ △OPE（AAS） ∴ PD = PE（全等三角形对应边相等） 图2 角平分线的性质定理：PD = PE 【课堂练习2】 如图，OC 平分 ∠AOB，点 P 在 OC 上，PD⊥OB 于点 D，PD = 2，则点 P 到 OA 的距离是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 答案：____ （提示：利用角平分线的性质定理） 知识点4 角平分线的判定定理（逆定理） 定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 项目 内容 已知条件 点 P 在 ∠AOB 内部，PD⊥OA 于 D，PE⊥OB 于 E，且 PD = PE 结论 点 P 在 ∠AOB 的平分线上（即 OP 平分 ∠AOB） 几何语言 ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE ∴ 点 P 在 ∠AOB 的平分线上 证明思路： 作射线 OP，在 Rt△OPD 和 Rt△OPE 中： OP = OP（公共边） PD = PE（已知） ∴ Rt△OPD ≌ Rt△OPE（HL） ∴ ∠POD = ∠POE（全等三角形对应角相等） ∴ 射线 OP 平分 ∠AOB 注意：使用判定定理时，必须满足两个条件：①点在角的内部；②到两边的距离（垂线段长度）相等。 图3 判定定理：PD = PE ⟹ OP 平分 ∠AOB 【性质定理与判定定理的对比】 比较项 性质定理 判定定理 已知条件 点在角平分线上 点到角两边距离相等 结论 点到角两边的距离相等 点在角平分线上 作用 证明线段相等 证明角平分线/角相等 知识点5 三角形三条角平分线交于一点 定理：三角形三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心。内心到三角形三边的距离相等。 说明：内心是三角形内切圆的圆心，无论三角形是锐角、直角还是钝角，内心始终在三角形内部。 证明思路（以两条角平分线为例）： 设 △ABC 中，BM 平分 ∠B，CN 平分 ∠C，BM 与 CN 交于点 P。 过点 P 作 PD⊥AB 于 D，PE⊥BC 于 E，PF⊥CA 于 F。 ∵ BM 平分 ∠B，P 在 BM 上，PD⊥AB，PE⊥BC ∴ PD = PE（角平分线性质） 同理，∵ CN 平分 ∠C，P 在 CN 上 ∴ PE = PF ∴ PD = PE = PF，即 P 到三边 AB、BC、CA 的距离相等。 ∴ P 也在 ∠A 的平分线上（角平分线判定定理）。 ∴ 三条角平分线交于一点 P。 图4 三角形三条角平分线交于内心 I，ID = IE = IF = r 三、典型例题 例题1 利用角平分线性质求线段长度 在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，BD 平分 ∠ABC，DE⊥AB 于点 E，CD = 4。求 DE 的长。 分析：BD 是 ∠ABC 的平分线，C 在 BC 边上（∠ACB=90° 即 DC⊥BC），E 在 AB 上且 DE⊥AB。根据角平分线的性质定理，D 到 ∠ABC 两边的距离相等，即 DE = DC。 解： ∵ BD 平分 ∠ABC（已知） ∠ACB = 90°，即 DC⊥BC（已知） DE⊥AB（已知） ∴ DE = DC（角平分线上的点到角两边的距离相等） 又 ∵ DC = 4 ∴ DE = 4 例题2 利用角平分线性质求面积 在 Rt△ABC 中，∠A = 90°，BD 平分 ∠ABC，交 AC 于点 D。若 AD = 2，BC = 6，求 △BCD 的面积。 分析：过点 D 作 DE⊥BC 于点 E。由角平分线性质可知 DE = AD = 2，然后利用三角形面积公式求解。 解： 过点 D 作 DE⊥BC 于点 E ∵ BD 平分 ∠ABC，∠A = 90°（即 DA⊥AB），DE⊥BC ∴ DE = AD = 2（角平分线性质） 又 ∵ BC = 6 ∴ S△BCD = ½ × BC × DE = ½ × 6 × 2 = 6 例题3 角平分线判定定理的应用 如图，A、B、C 三个村庄连成一个三角形区域，要在这个区域内修建一个集贸市场，使市场到三条公路的距离相等。问：市场应建在何处？ 分析：到三条公路（即三角形三边所在直线）距离相等的点，就是三角形三条角平分线的交点——内心。 解： 分别作 ∠A、∠B、∠C 的平分线，三条角平分线交于一点 P。 由角平分线的性质可知，P 到 AB、BC、CA 的距离都相等。 ∴ 集贸市场应建在 △ABC 三条角平分线的交点（内心） 处。 例题4 角平分线 + 全等三角形综合 如图，在 △ABC 中，AD 是它的角平分线，且 BD = CD，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F。求证：EB = FC。 证明： ∵ AD 是 △ABC 的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC ∴ DE = DF（角平分线上的点到角两边的距离相等） 在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中： BD = CD（已知） DE = DF（已证） ∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF（HL） ∴ EB = FC（全等三角形对应边相等） 四、角平分线常见辅助线方法 序号 方法口诀 具体做法 1 图中有角平分线，可向两边作垂线 过角平分线上的点向角的两边作垂线段，利用性质定理得到垂线段相等 2 角平分线加垂线，三线合一试试看 在等腰三角形中，顶角平分线同时是底边上的高和中线（三线合一） 3 角平分线平行线，等腰三角形来添 角平分线 + 平行线 ⟹ 构造等腰三角形（等角对等边） 4 也可将图对折看，对称以后关系出现 利用角平分线的对称性，将图形沿角平分线折叠，寻找全等关系 五、课堂小结 知识模块 核心内容 尺规作图 以顶点为圆心画弧 → 以两交点为圆心画弧 → 连接顶点与交点得角平分线 性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等（知线 ⟹ 知距） 判定定理 到角两边距离相等的点在这个角的平分线上（知距 ⟹ 知线） 三角形内心 三条角平分线交于一点，该点到三边距离相等，是内切圆的圆心 常见应用 证明线段相等、证明角相等、求距离、求面积、确定位置 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $