14.3角的平分线 课件 2026--2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦角的平分线，涵盖尺规作图、性质探究及应用。课堂导入从“画角如何得平分线”切入，先回顾度量法和折纸法，再针对木板等不可折叠材料引出尺规作图需求，以角平分仪原理（SSS）为支架，衔接全等三角形知识，构建连贯探究脉络。 其亮点是通过“操作—猜想—验证—证明”过程，发展逻辑推理与直观想象（数学思维）。从角平分仪抽象出尺规作图步骤（数学眼光），性质证明按几何命题步骤培养数学表达（数学语言）。如用AAS证明PD=PE，例题借角平分线性质求线段长度。助力学生提升推理与应用能力，为教师提供素养导向的教学框架。

14.3 角的平分线 第十四章 全等三角形 人教版八年级上册 学习目标 会用尺规作一个角的平分线；探索并证明角的平分线的性质；能用角的平分线的性质解决简单问题. 一 经历“操作—猜想—验证—证明”的几何命题探究过程，感悟连续性的数学思维；在解决问题时，体会转化思想. 二 三 在探究和证明的过程中，发展直观想象和数学抽象素养，培养逻辑推理能力，提高有条理地思考和表达的能力；在解决实际问题的过程中，增强数学建模意识和应用意识. 情境引入 问题1 在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？ 度量法 在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？ 用量角器度量，也可用折纸的方法．　　 如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？ 探究新知 知识点 1 角平分线的画法 问题1： 问题2： PPT模板：/moban/ PPT素材：/sucai/ PPT背景：/beijing/ PPT图表：/tubiao/ PPT下载：/xiazai/ PPT教程： /powerpoint/ Word模板：/word/ Excel模板：/excel/ 试卷下载：/shiti/ 教案下载：/jiaoan/ 个人简历：/jianli/ PPT课件：/kejian/ 语文课件：/kejian/yuwen/ 数学课件：/kejian/shuxue/ 英语课件：/kejian/yingyu/ 美术课件：/kejian/meishu/ 科学课件：/kejian/kexue/ 物理课件：/kejian/wuli/ 化学课件：/kejian/huaxue/ 生物课件：/kejian/shengwu/ 地理课件：/kejian/dili/ 历史课件：/kejian/lishi/ 4 提炼图形 探究新知 如图，是一个角平分仪，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线，你能说明它的道理吗? A B C (E) D 其依据是SSS，两全等三角形的 对应角相等. 探究新知 问题3： 【思考】如果没有此仪器，我们用数学作图工具，能实现该仪器的功能吗？ A B O 请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并说明作图方法与仪器的关系. 提示 (1)已知什么？求作什么？ (2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个过程呢? (3)在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个过程呢？ (4)你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗？ 探究新知 做一做 A B M N C O 已知: ∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. 仔细观察步骤 作角平分线是最基本的尺规作图，大家一定要掌握噢! 作法： （1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N. （2）分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C. （3）画射线OC.射线OC即为所求. 半径小于 MN或等于 MN，可以吗？ 探究新知 已知：∠AOC = ∠BOC，点 P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB， 垂足分别为D，E． 求证：PD =PE． 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 题设： 一个点在一个角的平分线上． 结论：它到角的两边的距离相等． 证明: ∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB， ∴ ∠PDO= ∠PEO. 在△PDO和△PEO中， ∠PDO = ∠PEO ， ∠AOC = ∠BOC ， OP = OP ， ∴ △PDO ≌ △PEO（AAS）. ∴PD = PE . 已知：如图， ∠AOC= ∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.求证：PD=PE. P A O B C D E 证明： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °. 在△PDO和△PEO中， ∠PDO= ∠PEO， ∠AOC= ∠BOC， OP= OP， ∴ △PDO ≌△PEO(AAS). ∴PD=PE. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 探究新知 验证猜想 一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即 1.明确命题中的已知和求证； 2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 探究新知 归纳总结 探索新知 证明几何命题的一般步骤 必要时先将命题改写成“如果···那么···”的形式 第一步：明确命题中的已知和求证. 第二步：根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 第三步：经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 1. 所画图形应符合题意，并具有一般性和代表性.在画图的时候要考虑是否存在不同的情形，若存在，则要分别画出图形，再分别进行证明； 2. 证明过程中的每一步推理都要有依据，比如：已知条件、定义、定理等. 探索新知 已知：如图，已知：PD⊥OA ，PE⊥OB，且 PD＝PE. 求证：点 P 在∠AOB 的平分线上. 证明：如图，过点 P 作射线 OC. ∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO＝∠PEO＝90°. 在 Rt△OPD 和 Rt△OPE 中， ∴Rt△OPD≌Rt△OPE（HL）. C OP＝OP， PD＝PE， ∴∠AOC＝∠BOC. ∴点 P 在∠AOB 的平分线上. 则∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB. ∵∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝180°－40°＝140°， ∴∠OBC＋∠OCB＝70°. ∴∠BOC＝180°－70°＝110°. 答案：A 证明：如图，过点F作FG⊥AE于点G，FH⊥AD于点H，FM⊥BC于点M. 2.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F. 求证：点F在∠BAC的平分线上． G H M ∵点F在∠BCE的平分线上， FG⊥AE， FM⊥BC. ∴FG=FM. 同理可得∴FM=FH. ∴FG=FH， ∴点F在∠BAC的平分线上．　 如图，已知：OD平分∠AOB，在OA，OB边上取OA＝OB，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分别为M，N.求证：PM＝PN. 证明：∵OD平分∠AOB，∠1＝∠2， 又∵OA＝OB，OD＝OD， ∴△AOD≌△BOD，∴∠3＝∠4， 又∵PM⊥DB，PN⊥DA， ∴PM＝PN.(角平分线上的点到角两边的距离相等) 巩固练习 B A C P M D E 4 提示：存在两条垂线段——直接 应用. 探究新知 利用角平分线的性质求线段的长度 素养考点 2 例2 如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D,E，PD=4cm，则PE=______cm. 新课讲解 例 2. 如图，OD 平分∠ EOF，在OE，OF 上分别取点A，B，使OA=OB，P 为OD 上一点，PM ⊥ BD，PN ⊥ AD，垂足分别为M，N. 求证：PM=PN. 方法点拨：在图中找出符合角的平分线的性质的模型，利用角的平分线的性质证明线段相等. 证明：∵ OD 平分∠ EOF， ∴∠ BOD= ∠ AOD. 在△ BOD 和△ AOD 中， ∴△ BOD ≌△ AOD(SAS). OB=OA， ∠ BOD= ∠ AOD， OD=OD， ∴∠ BDO= ∠ ADO，即DO 平分∠ BDA. 又∵ P为DO上一点，且PM⊥BD，PN⊥AD， ∴ PM=PN. 新课讲解 例 3. 把两个同样大小的含30°角的三角尺按照如图(1)所示方式叠合放置，得到如图(2)的Rt△ABC和Rt△ABD，设M是AD与BC的交点，则这时MC的长度就等于点M到AB的距离，你知道这是为什么吗？请说明理由. 解：如图，过点M作MH⊥AB于点H. ∵∠BAD=30°，∠CAB=60°， ∴∠MAC=∠BAC-∠MAB=30°=∠MAB, ∴AM平分∠CAB. ∵MH⊥AB，MC⊥AC, ∴MH=MC， 即MC的长度等于点M到AB的距离. 如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=______cm. B A C P M D E 4 温馨提示：存在两条垂线段———直接应用 A B C P 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4 .则点P到AB的距离为_______. D 4 温馨提示：存在一条垂线段———构造应用 随堂演练 5. 如图，BD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E．若△ABC 的面积为 70，AB = 16，DE = 5，求 BC 的长． C A B D E 解：如图，过点 D 作 DF⊥BC 于点 F. ∵BD 是△ABC 的角平分线， DE⊥AB，DF⊥BC，∴DF = DE = 5． ∵S△ABD = AB·DE = ×16×5 = 40， S△ABC = 70， ∴S△BCD = S△ABC – S△ABD = 70 – 40 = 30． 又S△BCD = BC·DF = BC×5 = 30，∴ BC = 12． 随堂演练 C A B D E F $