精品解析：山东省德州市临邑县临盘中学2021-2022学年下学期第二次月考八年级数学试题

2021－2022学年八年级下册数学月考试题 考试时间：120分钟 总分：150分 一、单项选择（每题4分，共48分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各点，在一次函数y＝x﹣1图象上的是（　　） A. （1，） B. （﹣1，0） C. （﹣，﹣1） D. （4，1） 3. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中，不是一次函数的是（　　） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 6. 已知一次函数与（m，n为常数，且），则它们在同一平面直角坐标系内的图象可能为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A作AM⊥BC于点M，交BD于点E，过点C作CN⊥AD于点N，交BD于点F，连接CE，当EA=EC，且点M为BC的中点时，AB：AE的值为（ ） A. 2 B. C. D. 8. 如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把矩形沿EF折叠后，使点D恰好落 在BC边上的G点处，若矩形面积为且∠AFG=60°，GE=2BG，则折痕EF的长为（　　） A. 1 B. C. 2 D. 9. 在△ABC中，，那么△ABC是（ ） A. 等腰三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 10. 若关于x、y的二元一次方程组的解为非负数，且a使得一次函数图象不过第四象限，那么所有符合条件的整数a的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 11. 如图，为△的中位线，点在上，且;若,则的长为（ ） A. 2 B. 1 C. 4 D. 3 12. 若△ABC中，AB＝7，AC＝8，高AD＝6，则BC的长是（　　） A. 2 B. 2 C. 2或2 D. 以上都不对 二、填空题（每空4分，共24分） 13. 如果正比例函数的图象经过第一、三象限，那么的值随着的值增大而__________． 14. 一次函数的函数值随值的增大而增大，则的取值范围是________． 15. 请写出一个图象经过点(1,1)，且在第一象限内函数值随着自变量的增大而减小的函数解析式：___. 16. 若a＜1，化简＝___． 17. 如图，M是▭ABCD的AB的中点，CM交BD于E，则图中阴影部分的面积与▱ABCD的面积之比为_____． 18. 如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的边OA 在x轴上，OC在y轴上，OA=1，OC=2，对角线 AC的垂直平分线交AB 于点E，交AC于点D.若y轴上有一点P（不与点C重合），能使△AEP是以为 AE 为腰的等腰三角形，则点 P的坐标为____． 三、解答题共78分 19. 计算 （1） （2） 20. 如图，在中，过点作，交于点，交于点，过点作，交于点，交于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知，求的长． 21. (图象信息题)已知一次函数y=2x-1的图象如图所示， 请根据图象解决下列问题： (1)写出一次函数的图象与x轴y轴的交点坐标； (2)写出方程2x-1=3的解； (3)分别写出不等式2x-1>-1,2x-1≥0,2x-1<3的解集． 22. 如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF （1）求证：▱ABCD是菱形； （2）若AB=5，AC=6，求▱ABCD的面积． 23. 如图①，在A、B两地之间有汽车站C，客车由A地驶往C站，货车由B地驶往A地，两车同时出发，匀速行驶，图②是客车、货车离 C站的路程、(km)与行驶时间x(h)之间的函数图像． (1)客车的速度是 km/h； (2)求货车由 B地行驶至 A地所用的时间； (3)求点E的坐标，并解释点 E的实际意义． 24. 为响应传统文化进校园的号召，某校决定从网店购买《论语》和《弟子规》两种图书以供学生课外阅读．已知两种图书的购买信息如下表： 《论语》数量/本 《弟子规》数量/本 总费用（元） 40 30 1250 50 20 1300 （1）《论语》和《弟子规》每本的价格分别是多少元？ （2）若学校计划购买《论语》和《弟子规》两种图书共100本，《弟子规》的数量不超过《论语》数量的2倍．请设计出最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用． 25. 在中，，点在边所在的直线上，过点作交直线于点，交直线于点． （1）当点在边上时，如图①，求证：． （2）当点在边的延长线上时，如图②，线段，，之间的数量关系是_____，为什么？ （3）当点在边的反向延长线上时，如图③，线段，，之间的数量关系是____为什么？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021－2022学年八年级下册数学月考试题 考试时间：120分钟 总分：150分 一、单项选择（每题4分，共48分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的加法，除法，减法以及二次根式的性质逐个化简计算，从而求解． 【详解】解：A. 不是同类二次根式，不能进行加法计算，故此选项不符合题意； B. ，故此选项不符合题意； C. ，正确，故此选项符合题意； D. ，故此选项不符合题意 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式的运算，掌握运算法则正确计算是解题关键． 2. 下列各点，在一次函数y＝x﹣1图象上的是（　　） A. （1，） B. （﹣1，0） C. （﹣，﹣1） D. （4，1） 【答案】D 【解析】 【分析】根据点在一次函数y＝x﹣1的图象上，把各点的坐标代入一次函数的解析式即可判断． 【详解】解：把各点代入解析式y＝x﹣1中， A.当x=1时，y=； B..当x=-1时，y=； C.当x=时，y=； D.当x=4时，y=1； 只有D符合， 故选D． 【点睛】本题考查一次函数图象点的坐标，关键是把各点的坐标代入一次函数的解析式． 3. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念判断． 【详解】解：A、，被开方数含分母，不是最简二次根式； B、，被开方数含分母，不是最简二次根式； C、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； D、是最简二次根式； 故选：D． 【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，掌握被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式是最简二次根式是解题的关键． 4. 下列函数中，不是一次函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据一次函数的定义找出四个选项中的一次函数，从而利于排除法得出符合题意的选项． 【详解】解：A、不是一次函数，故选项正确； B、是一次函数，故选项错误； C、是一次函数，故选项错误； D、是一次函数，故选项错误． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数y=kx+b的定义条件：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．注意正比例函数是特殊的一次函数． 5. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】只有同类二次根式才可以进行加减运算，二次根式的乘法：把被开方数相乘，根指数不变，利用加法与乘法法则逐一判断即可得到答案. 【详解】解：，运算正确，故A符合题意； 不是同类二次根式，不能合并，故B不符合题意； 原运算错误，故C不符合题意； 不是同类二次根式，不能合并，故D不符合题意； 故选A 【点睛】本题考查的是二次根式的加减运算，二次根式的乘法运算，掌握“二次根式的加减与乘法运算的运算法则”是解题的关键. 6. 已知一次函数与（m，n为常数，且），则它们在同一平面直角坐标系内的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据这两个函数图象的性质判断出哪一条直线表示一次函数，哪一条直线表示正比例函数； 再根据各个选项中一次函数和正比例函数的图象判断两个函数的系数m、n范围是否相符合，由此即可解题； 【详解】解：根据正比例函数图象的性质可知，该函数图象经过原点，即经过原点的直线代表正比例函数，另一条直线代表一次函数， A、由正比例函数的图象可知，由一次函数的图象可知，，，故，两结论相矛盾，故本选项错误； B、由正比例函数的图象可知，由一次函数的图象可知，，，故，两结论相矛盾，故本选项错误； C、由正比例函数的图象可知，由一次函数的图象可知，，，故，两结论相矛盾，故本选项错误； D、由正比例函数的图象可知，由一次函数的图象可知，，，故，两结论一致，故本选项正确． 7. 如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A作AM⊥BC于点M，交BD于点E，过点C作CN⊥AD于点N，交BD于点F，连接CE，当EA=EC，且点M为BC的中点时，AB：AE的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质、垂直的定义、平行线的判定定理可以推知AE∥CF；然后由全等三角形的判定定理ASA推知△ADE≌△CBF；最后根据全等三角形的对应边相等知AE=CF，所以对边平行且相等的四边形是平行四边形；连接AC交BF于点O，根据EA=EC推知▱ABCD是菱形，根据菱形的邻边相等知AB=BC；然后结合已知条件“M是BC的中点，AM⊥BC”证得△ADE≌△CBF（ASA），所以AE=CF，从而证得△ABC是正三角形；最后在Rt△BCF中，求得CF：BC=，利用等量代换知（AE=CF，AB=BC）AB：AE=． 【详解】解：连接AC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD； ∴∠ADE=∠CBD， ∵AD=BC， 在△ADE和△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（ASA）， ∴AE=CF， 又∵AM⊥BC， ∴AM⊥AD； ∵CN⊥AD， ∴AM∥CN， ∴AE∥CF； ∴四边形AECF为平行四边形， ∵EA=EC， ∴▱AECF是菱形， ∴AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC， ∵M是BC的中点，AM⊥BC， ∴AB=AC， ∴△ABC为等边三角形， ∴∠ABC=60°，∠CBD=30°； 在Rt△BCF中，CF：BC=， 又∵AE=CF，AB=BC， ∴AB：AE=． 故选：B． 【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质等知识点，证得▱ABCD是菱形是解题的难点． 8. 如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把矩形沿EF折叠后，使点D恰好落 在BC边上的G点处，若矩形面积为且∠AFG=60°，GE=2BG，则折痕EF的长为（　　） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由折叠的性质得，DF=GF，HE=CE，GH=DC，∠DFE=∠GFE，结合∠AFG=60°可得∠GFE=60°，即△ GEF为等边三角形，在Rt△GHE中，解直角三角形得到GE=2EC，DC= EC，再由GE=2BG，结合矩形面积为，求出EC，最后根据EF=GE=2EC即可解答． 【详解】解：由折叠的性质可知，DF=GF，HE=CE，GH=DC，∠DFE=∠GFE, ∵∠AFG=60° ∴∠GFE+ ∠DFE=180°-∠AFG=120° ∴∠GFE=60° ∵AF∥GE, ∠AFG=60° ∴∠FGE=∠AFG=60° ∴△GEF为等边三角形 ∴EF=GE. ∵∠FGE=60°，∠FGE+∠HGE=90° ∴∠HGE=30° 在Rt△GHE中，∠HGE=30° ∴GE=2HE=2CE. ∴GH==HE=CE ∴GE=2BG， ∴BC=BG+GE+EC=4EC ∵矩形ABCD的面积为4. ∴4EC·EC=. ∴EC=， ∵GE=2HE=2CE. ∴EF=GE=1 故答案为A． 【点睛】本题考查了矩形的翻折变换、等边三角形的判定及性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，根据边角关系和解直角三角形找出确定BC=4EC，DC= EC是解答本题的关键． 9. 在△ABC中，，那么△ABC是（ ） A. 等腰三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据等腰三角形的判定和勾股定理逆定理得出三角形的形状即可． 【详解】∵a：b：c=1：1：，∴三角形ABC是等腰三角形． 设三边长为a,a, ∵，∴三角形ABC是直角三角形． 综上所述：△ABC是等腰直角三角形． 故选D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和勾股定理逆定理．此题关键是利用勾股定理的逆定理解答． 10. 若关于x、y的二元一次方程组的解为非负数，且a使得一次函数图象不过第四象限，那么所有符合条件的整数a的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，先求出二元一次方程组的解，结合解为非负数得到a的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到答案． 【详解】解： 解方程组，得：， ∵方程的解是非负数， ∴， 解得：， ∵一次函数图象不过第四象限， ∴， ∴， ∴a的取值范围是， ∴所有符合条件的整数a有：0，1，2，3，共4个； 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，解二元一次方程组，解不等式组，解题的关键是掌握运算法则，正确求出a的取值范围． 11. 如图，为△的中位线，点在上，且;若,则的长为（ ） A. 2 B. 1 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形的性质求出DF，计算即可． 【详解】∵DE为△ABC的中位线， ∴DE=BC=5， ∵∠AFB=90°，D是AB 的中点， ∴DF=AB=3， ∴EF=DE-DF=2， 故选A． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 12. 若△ABC中，AB＝7，AC＝8，高AD＝6，则BC的长是（　　） A. 2 B. 2 C. 2或2 D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】在△ABC中，由∠A可能是锐角或是钝角，高AD可能线段BC上或BC的延长线上，分两种情况求解，根据勾股定理，线段和差求出线段BC的长为是或2． 【详解】解：（1）当高AD在BC上时，如图1所示： ∵AD⊥BC， ∴在Rt△ABD中，由勾股定理得， ， 又∵AB＝7，AD＝6， ∴BD 同理可得：DC＝2， 又∵BC＝BD+DC， ∴BC； 当高AD在BC的延长线上时，如图2所示： ∵AD⊥BC， ∴在Rt△ADC中，由勾股定理得， DC， 又∵AC＝8，AD＝6， ∴DC2， 同理可得；DB， 又∵BC＝DC﹣DB， ∴BC＝2， 综合所述：BC的长是或2， 故选：C． 【点睛】本题综合考查了勾股定理的运用，线段的和差计算等相关知识，重点掌握勾股定理的运用，易错点三角形可能是锐角三角形或钝角三角形． 二、填空题（每空4分，共24分） 13. 如果正比例函数的图象经过第一、三象限，那么的值随着的值增大而__________． 【答案】增大 【解析】 【分析】根据正比例函数图象经过的象限得到的取值范围，再结合正比例函数性质判断随的变化趋势． 【详解】解：∵ 正比例函数的图象经过第一、三象限， ∴ ， 根据正比例函数的性质，当时，的值随着的值增大而增大． 14. 一次函数的函数值随值的增大而增大，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据随值的增大而增大，可判断即可得解． 【详解】解：由题：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的图像与系数的关系；掌握，随值的增大而增大，，随值的增大而减小是本题的关键． 15. 请写出一个图象经过点(1,1)，且在第一象限内函数值随着自变量的增大而减小的函数解析式：___. 【答案】y=−x+2. 【解析】 【分析】首先根据增减性确定函数的类型，然后由已知点的坐标代入求得解析式即可． 【详解】由于y随x增大而减小，则k<0，取k=−1； 设一次函数的关系式为y=−x+b； 代入(1,1)得：b=2； 则一次函数的解析式为：y=−x+2(k为负数即可). 故答案为y=−x+2. 【点睛】此题考查一次函数的性质，解题关键在于根据增减性确定函数的类型. 16. 若a＜1，化简＝___． 【答案】﹣a 【解析】 【分析】根据a的范围，a﹣1＜0，化简二次根式即可． 【详解】解：∵a＜1， ∴a﹣1＜0， ＝|a﹣1|﹣1 ＝﹣（a﹣1）﹣1 ＝﹣a＋1﹣1 ＝﹣a． 故答案为：﹣a． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，对于的化简，应先将其转化为绝对值形式，再去绝对值符号，即． 17. 如图，M是▭ABCD的AB的中点，CM交BD于E，则图中阴影部分的面积与▱ABCD的面积之比为_____． 【答案】1：3 【解析】 【详解】试题解析：设平行四边形的面积为1， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ 又∵M是的AB的中点， 则 ∴上的高线与上的高线比为 ∴ ∴ S阴影面积 则阴影部分的面积与▱ABCD的面积比为． 故填空答案：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的边OA 在x轴上，OC在y轴上，OA=1，OC=2，对角线 AC的垂直平分线交AB 于点E，交AC于点D.若y轴上有一点P（不与点C重合），能使△AEP是以为 AE 为腰的等腰三角形，则点 P的坐标为____． 【答案】，或 【解析】 【分析】设AE=m，根据勾股定理求出m的值，得到点E（1，），设点P坐标为（0，y），根据勾股定理列出方程，即可得到答案． 【详解】∵对角线 AC的垂直平分线交AB 于点E， ∴AE=CE， ∵OA=1，OC=2， ∴AB=OC=2，BC=OA=1， ∴设AE=m，则BE=2-m，CE=m， ∴在Rt∆BCE中，BE2+ BC2=CE2，即：（2-m）2+12=m2， 解得：m=， ∴E（1，）， 设点P坐标为（0，y）， ∵△AEP是以为 AE 为腰的等腰三角形， 当AP=AE，则(1-0)2+(0-y)2= (1-1)2+(0-)2，解得：y=， 当EP=AE，则(1-0)2+(-y)2= (1-1)2+(0-)2，解得：y=， ∴点 P的坐标为，，， 故答案是：，，． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，勾股定理，矩形的性质，垂直平分线的性质，掌握勾股定理，列出方程，是解题的关键． 三、解答题共78分 19. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 . 20. 如图，在中，过点作，交于点，交于点，过点作，交于点，交于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的判定定理证明即可； （2）根据平行四边形的性质，先证明，再由勾股定理求即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵四边形，都是平行四边形， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 在中， ． 21. (图象信息题)已知一次函数y=2x-1的图象如图所示， 请根据图象解决下列问题： (1)写出一次函数的图象与x轴y轴的交点坐标； (2)写出方程2x-1=3的解； (3)分别写出不等式2x-1>-1,2x-1≥0,2x-1<3的解集． 【答案】(1) A,B(0,-1)；(2)x=2；(3) x<2 【解析】 【分析】从图象上得到函数与坐标轴的交点的坐标后，即可解答； （2）由直线经过（2，3）点，即可解答本题； （3）由函数的增减性和直线过的已知点，即可解答本题． 【详解】解：(1)由图可知，一次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标分别为A，B(0，-1)； (2)由图可知，当y=3时，x=2， ∴方程2x-1=3的解是x=2； (3)由图可知，当x>0时，y>-1， ∴不等式2x-1>-1的解集为x>0； 同理可得，2x-1≥0的解集是x≥；2x-1<3的解集是x<2． 【点睛】本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合． 22. 如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF （1）求证：▱ABCD是菱形； （2）若AB=5，AC=6，求▱ABCD的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B=∠D， ∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴∠AEB=∠AFD=90°， ∵BE=DF， ∴△AEB≌△AFD， ∴AB=AD， ∴四边形ABCD是菱形； （2）S平行四边形ABCD =24 【解析】 【分析】（1）利用全等三角形的性质证明AB=AD即可解决问题； （2）连接BD交AC于O，利用勾股定理求出对角线的长即可解决问题. 【详解】（1）略 （2）连接BD交AC于O， ∵四边形ABCD是菱形，AC=6， ∴AC⊥BD， AO=OC=AC=×6=3， ∵AB=5，AO=3， ∴BO===4， ∴BD=2BO=8， ∴S平行四边形ABCD=×AC×BD=24． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关的性质与定理、正确添加辅助线是解题的关键. 23. 如图①，在A、B两地之间有汽车站C，客车由A地驶往C站，货车由B地驶往A地，两车同时出发，匀速行驶，图②是客车、货车离 C站的路程、(km)与行驶时间x(h)之间的函数图像． (1)客车的速度是 km/h； (2)求货车由 B地行驶至 A地所用的时间； (3)求点E的坐标，并解释点 E的实际意义． 【答案】（1）60；（2）14h；（3）点E代表的实际意义是在行驶h时，客车和货车相遇，相遇时两车离C站的距离为80km． 【解析】 【分析】（1）由图象可知客车6小时行驶的路程是360km，从而可以求得客车的速度； （2）由图象可以得到货车行驶的总的路程，前2h行驶的路程是60km，从而可以起求得货车由B地行驶至A地所用的时间； （3）根据图象利用待定系数法分别求得EF和DP所在直线的解析式，然后联立方程组即可求得点E的坐标，根据题意可以得到点E代表的实际意义． 【详解】解：（1）由图象可得，客车的速度是：360÷6=60（km/h）， 故答案为：60； （2）由图象可得， 货车由B地到A地的所用的时间是：（60+360）÷（60÷2）=14（h）， 即货车由B地到A地的所用的时间是14h； （3）设客车由A到C对应的函数解析式为y=kx+b， 则，得， 即客车由A到C对应的函数解析式为y=-60x+360； 根据（2）知点P的坐标为（14，360），设货车由C到A对应的函数解析式为y=mx+n， 则，得， 即货车由C到A对应的函数解析式为y=30x-60； ∴，得， ∴点E的坐标为（，80）， 故点E代表的实际意义是在行驶h时，客车和货车相遇，相遇时两车离C站的距离为80km． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，利用待定系数法求出一次函数解析式，然后利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 24. 为响应传统文化进校园的号召，某校决定从网店购买《论语》和《弟子规》两种图书以供学生课外阅读．已知两种图书的购买信息如下表： 《论语》数量/本 《弟子规》数量/本 总费用（元） 40 30 1250 50 20 1300 （1）《论语》和《弟子规》每本的价格分别是多少元？ （2）若学校计划购买《论语》和《弟子规》两种图书共100本，《弟子规》的数量不超过《论语》数量的2倍．请设计出最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用． 【答案】（1）《论语》每本的价格为20元，《弟子规》每本的价格为15元 （2）最省钱的购买方案是购买《论语》图书的数量为34本，购买《弟子规》图书的数量为66本，此方案的总费用为1670元 【解析】 【分析】（1）设《论语》每本的价格为元，《弟子规》每本的价格为元，再根据购买信息表建立方程组，解方程组即可得； （2）设购买《论语》图书的数量为本，则购买《弟子规》图书的数量为本，先根据“《弟子规》的数量不超过《论语》数量的2倍”求出的取值范围，再设购买方案的总费用为元，求出关于的函数关系式，利用一次函数的性质求解即可得． 【小问1详解】 解：设《论语》每本的价格为元，《弟子规》每本的价格为元， 由题意得：， 解得，符合题意， 答：《论语》每本的价格为20元，《弟子规》每本的价格为15元． 【小问2详解】 解：设购买《论语》图书的数量为本，则购买《弟子规》图书的数量为本， 由题意得：， 解得， 设购买方案的总费用为元， 则， 由一次函数的性质可知，当时，随的增大而增大， 因为是正整数， 所以当时，取得最小值，最小值为， 答：最省钱的购买方案是购买《论语》图书的数量为34本，购买《弟子规》图书的数量为66本，此方案的总费用为1670元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，正确建立方程组和一次函数是解题关键． 25. 在中，，点在边所在的直线上，过点作交直线于点，交直线于点． （1）当点在边上时，如图①，求证：． （2）当点在边的延长线上时，如图②，线段，，之间的数量关系是_____，为什么？ （3）当点在边的反向延长线上时，如图③，线段，，之间的数量关系是____为什么？ 【答案】（1）证明：∵，． ∴四边形是平行四边形． ∴． ∵． ∴． ∵． ∴． ∴． ∴． ∴． （2）解：． 理由：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． （3） 解：，理由： ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题通过证明四边形是平行四边形，结合等边对等角以及线段的和差关系即可得出相应的结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $