专题03圆暑假预习讲义(知识梳理+题型精析+强化巩固专练)2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题03圆暑假预习讲义 ·理解圆的动态、静态两种定义，认识圆心、半径，会用圆规画圆； ·熟记弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等相关概念，理清概念间区别与联系； ·掌握点与圆的三种位置关系，能利用点到圆心距离和半径的大小关系判断、简单计算； ·初步了解圆既是轴对称图形也是中心对称图形； ·提升识图能力，规范几何表述，形成数形结合思维，为后续圆的相关知识学习做好铺垫。 预习必备 知识梳理 1.圆的两种定义 2.圆相关基础概念 3.点与圆的位置关系 4.核心几何推论 5.易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.圆的基本概念辨析 2.求圆中弦的条数 3.求过圆内一点的最长弦 4.圆的周长和面积问题 5.判断点与圆的位置关系 6.由点与圆的位置关系求半径 7.已知半径和圆上两点作圆 8.点与圆上一点的最值问题 9.圆心角概念辨析及简单运算 10.求圆弧的度数 强化题型 解答题7题 知识点 1：圆的两种定义（核心基础，填空选择必考）. 1. 动态定义（操作理解，画图用） 在同一平面内，一条线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点运动所形成的封闭曲线叫做圆。 固定端点：圆心，用大写字母O表示； 线段定长：半径，用字母r表示； 关键限制：必须强调同一平面；空间旋转形成球面，不是平面圆。 2. 静态（集合）定义（考试核心考点） 平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合叫做圆。 定点：圆心O；定长：半径r； 几何记作：以O为圆心的圆，写作⊙ O； 核心区分易错： 1 ⊙ O仅指圆周（外围曲线），不含内部； 2 圆面 = 圆周 + 圆内部所有区域；做题看清题干描述是 “圆” 还是 “圆面”。 补充教师备课拓展 生活实例：车轮做成圆形，利用 “圆上各点到圆心距离相等”，保证行驶平稳；摩天轮、圆形餐盘都是圆的现实模型。 知识点 2：圆相关基础概念（背诵专用，区分易混概念） . 概念名称 标准文字定义 几何书写规范 核心性质 & 易混易错点 圆心 确定圆位置的定点 点O 圆心定位置，半径定大小；两个圆半径相等为等圆 半径 连接圆心与圆上任意一点的线段 线段OA（A在 ⊙O上） 1.同一个圆中,所有半径长度相等；2. 无数条半径 弦 连接圆上任意两个点的线段 弦AB 弦是线段，弧是曲线；圆内任意两点连线都是弦 直径 经过圆心的弦 直径AC 1.直径是特殊弦；2.同圆中最长弦；3.直径d=2r；4.无数条直径 弧 圆上两点之间的曲线部分 劣弧：优： 一条弦对应两条弧；直径对应两条半圆 半圆 直径将圆分割出的两条弧 （AC为直径） 半圆既不属于优弧，也不属于劣弧，长度等于圆周长一半 劣弧 小于半圆的弧 只用两个大写字母表示 两点短弧，书写仅需两个点 优弧 大于半圆的弧 必须三个大写字母表示 两点长弧，只用两点会和劣弧混淆，中间加一个圆上点区分 配套推论（学生必背） 1.直径长度 = 2× 半径，d=2r，r=； 2.同一个圆内，直径是长度最大的弦，不存在更长的弦； 3.一条非直径弦对应 1 条劣弧、1 条优弧；直径对应两条相等半圆。 知识点 3：点与圆的三种位置关系（本章重难点，计算、大题高频） 设：⊙ O的半径为定值r，平面内任意一点P，点P到圆心O的距离为线段长度OP=d。 1.位置关系完整对照表（解题万能模板） 位置分类 距离与半径大小关系 图形直观特征 题型双向用法 点在圆外 d > r 点落在圆周外侧，不在圆上、圆内 ①已知点在圆外，直接写d>r；②已知OP>r，判断点在圆外 点在圆上 d = r 点刚好落在圆周曲线上 ①圆上任意一点到圆心距离等于半径；②证明点在圆上，只需证d=r 点在圆内 d < r 点落在圆周包围的内部区域 ①点在圆内，d<r；②距离小于半径，点在内部 2.两类核心考法 · 基础判定：给出半径、线段长度，直接判断点的位置； 例：⊙O半径 4，OP=6，6>4，点P在圆外。 · 含参数综合题：已知点的位置，列不等式求参数取值范围； 例：⊙ O半径 5，点M(a,0)在圆内，圆心(0,0)，则OM<5，利用勾股定理<5，解得-5<a<5。 3.配套计算方法（坐标类题目必备） 4.高频易错提醒（教师课堂重点纠错） 1.d是线段长度，一定是非负数，距离不能为负； 2 区分 “圆上” 和 “圆内 / 外”，等于半径才在圆周上； 2.坐标题先算距离，不可直接拿横坐标、纵坐标和半径比较； 3.审题区分 “圆”（仅曲线，点d=r才算圆上）和 “圆面”dr都在圆面内）。 知识点 4：本节核心几何推论（几何证明必用） 1.同圆半径相等推论 若OA、OB、OC均为 ⊙O半径，则OA=OB=OC。 用途：①证明线段相等；②构造等腰三角形，结合等腰三角形性质解题。 拓展：连接圆心与圆上两点，△ OAB一定是等腰三角形。 2.直径等分圆推论 任意一条直径把圆分成两个完全重合、长度相等的半圆。 3.定点定长唯一圆推论 平面内给定一个定点（圆心）、定长（半径），只能画出唯一的一个圆； 同心圆：圆心相同，半径不相等的多个圆。 4.弦与弧基础推论 在同一个圆中，等弦对应等劣弧、等优弧。 知识点5.本节易混易错点完整清单（师生通用，预习自查 + 课堂纠错） 1.弧书写错误：优弧只用两个字母，无法区分长短弧，必须三点书写； 2.概念混淆：认为所有弦都是直径，忽略直径需要过圆心； 3.定义遗漏：描述圆忘记 “同一平面”，空间旋转不是圆； 4.概念混淆：把 “圆（圆周曲线）” 和 “圆面（内部区域）” 等同； 5.位置关系记反：d>r记成点在圆内，d<r记成点在圆外； 6.计算错误：坐标系中点到圆心距离，忘记用勾股定理直接比较坐标； 7.计算疏漏：直径、半径换算时，r=经常算反。 题型1.圆的基本概念辨析 【典例】下列说法中，正确的是（   ） A．圆是由到圆心的距离大于半径的所有点组成的图形 B．圆心相同，半径不相等的两个圆叫等圆 C．弦是直径 D．圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小 【跟踪专练1】如图，正方形的四个顶点在直径为4的大圆圆周上，四条边与小圆都相切，过圆心，且，则图中阴影部分的面积是________．（结果保留） 【跟踪专练2】如图，在中，是直径，是弦，延长相交于点，且，，则________________． 【跟踪专练3】如图，在中，直径，是弦，，点P在上移动，点Q在上移动，且，长度的最大值是（ ） A．4 B．2 C． D． 题型2.求圆中弦的条数 【典例】如图，⊙O 中，点 A、O、D 以及点 B、O、C 分别在一条直线上，图中弦的条数有______条． 【跟踪专练1】如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 题型.3.求过圆内一点的最长弦 【典例】已知的半径为5，是的弦，则的长度a的取值范围是________． 【跟踪专练1】若的直径长为，点，在上，则的长不可能是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【跟踪专练2】正的边长为，的半径为，是上动点，点在上且，则的最大值为________________． 【跟踪专练3】如图，函数与函数的图象交于A，B两点，点P在以C(-2，0)为圆心，1为半径的圆C上，Q是AP的中点，则OQ长的最大值为（   ） A． B． C． D． 题型4.圆的周长和面积问题 【典例】已知圆的直径为，则其半径为_____________，周长为_____________． 【跟踪专练1】如图，战机白帝号顺着大半圆从地飞到地，战机鸾鸟号顺着三个小半圆从地到地与之汇合，设白帝、鸾鸟走过的路程分别为、，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【跟踪专练2】以下是杭州亚运会的会标，其中的水纹我们可以把它抽象为一个圆环的三分之一，已知两圆的半径分别为，，那么亚运会标志的水纹的面积为_____． 【跟踪专练3】如图，用一根绳子紧密贴合一个球体的大圆绕一圈（绳长等于球体大圆的周长），然后将绳长增加1米，并将绳子均匀地悬浮在球体周围，形成一个与球体同心的圆，此时绳子与球体表面之间出现均匀的空隙．假设对篮球（半径约0.12米）和地球（半径约6371千米）分别进行上述操作．那么，绳子与球体表面之间的空隙距离（   ） A．地球的空隙更大 B．篮球的空隙更大 C．一样大 D．无法确定 题型5.判断点与圆的位置关系 【典例】已知的半径为，点P到圆心O的距离为，则点P与的位置关系是（   ） A．点P在圆上 B．点P在圆内 C．点P在圆外 D．无法确定 【跟踪专练1】点O为坐标原点，若的半径为10，则点与的位置关系是（    ） A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．不能确定 【跟踪专练2】直角坐标平面内，点，点B的坐标为，的半径为4．若点B在内，则a的范围是____． 【跟踪专练3】在中，，D为BC边上的中点，以D为圆心，为半径作，则点A与的位置关系为（） A．点A在内 B．点A在上 C．点A在外 D．不能确定 题型6.由点与圆的位置关系求半径 【典例】已知的半径是2，若点在外，则的长可能为_______．（填一个符合条件的数即可） 【跟踪专练1】点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若点到上的点的最小距离是4，最大距离是6，则的半径为________ ． 【跟踪专练3】平面上的一点和的最近点距离为，最远距离为，则这个圆的半径是（   ） A． B．或 C．或 D．或 题型7.已知半径和圆上两点作圆 【典例】已知线段，且，则经过两点且半径为3的圆有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【跟踪专练1】已知点是数轴上一定点，点是数轴上一动点，点表示的实数为，点所表示的实数为，作以为圆心，为半径的，若点在外，则的值可能是（）. A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知AB＝12 cm，过A，B两点画半径为8 cm的圆，则能画的圆的个数为(   ) A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【跟踪专练3】如图，点、，以点为圆心为半径作交轴于两点，点为上一动点，连接，取中点，连接，则的最大值为_____． 题型8.点与圆上一点的最值问题 【典例】已知点P到圆上的最远距离是，最近距离是，则此圆的半径是________cm． 【跟踪专练1】已知在平面直角坐标系中，的圆心为，半径为1，直线经过定点A，交于一点M，则当取得最大值时，k的值为（  ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，，O为的斜边中点，以C为圆心，2为半径作，P为上的一个动点，连接，则面积的最大值为_______． 【跟踪专练3】如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 题型9.圆心角概念辨析及简单运算 【典例】如图所示，下列各角是圆内的角，其中圆心角是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知的直径为10，是的弦，，那么在中弦所对的圆心角度数为____________． 【跟踪专练2】如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，大、小量角器的中心分别为、，且恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为，点在小量角器对应的刻度为，则点在大量角器上对应的刻度为_______．（只考虑小于的角） 【跟踪专练3】一张圆形纸片，圆周被等分，等分点分别为，圆形纸片的部分示意图如图所示，若的半径是2，弦，则（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 题型10.求圆弧的度数 【典例】如图，在正方形网格中，一条圆弧经过三点，那么弧的度数是_____． 【跟踪专练1】如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆分别交、于点D、点E，则弧的度数为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，点A，B分别为半圆O上的三等分点，如果的半径为，那么弦______________． 【跟踪专练3】如图，已知是的两条直径，弦，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 解答题 1．如图，是的直径，C是延长线上一点，点D在上，且，的延长线交于点E．若，求的度数． 2．如图，是内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图． （1）在图1中，画山一条与相等的弦； （2）在图2中，画出一个与全等的三角形． 3．如图，点A，B，C在⊙O上，按要求作图： (1)过点A作⊙O的直径AD； (2)过点B作⊙O的半径； (3)过点C作⊙O的弦． 4．学校打算在原有长为，宽为的长方形土地上设计一个长方形的蔬菜种植地和一个半圆形的小池塘，作为劳动践行园．劳动践行园除蔬菜种植地和小池塘外的地方都是绿地，且学校要求绿地面积要占长方形土地面积的一半以上．小华同学为学校提供了如图所示的设计方案：蔬菜种植地的长，宽分别是、的，小池塘的直径为． (1)用含、的式子表示下列各区域的面积： ①长方形蔬菜种植地的面积：______；②半圆形小池塘的面积：______． (2)若按照3计算，长方形土地的长与宽之间满足，请你判断小华同学的设计方案是否满足学校的要求，并说明理由． 5．在矩形中，，． (1)若以A为圆心，8长为半径作，则 B、C、D与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使B、C、D三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径r的取值范围是　　． 6．如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 7．如图，中，，以为半径的与相交于点D． (1)若，求的度数 (2)若，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03圆暑假预习讲义 ·理解圆的动态、静态两种定义，认识圆心、半径，会用圆规画圆； ·熟记弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等相关概念，理清概念间区别与联系； ·掌握点与圆的三种位置关系，能利用点到圆心距离和半径的大小关系判断、简单计算； ·初步了解圆既是轴对称图形也是中心对称图形； ·提升识图能力，规范几何表述，形成数形结合思维，为后续圆的相关知识学习做好铺垫。 预习必备 知识梳理 1.圆的两种定义 2.圆相关基础概念 3.点与圆的位置关系 4.核心几何推论 5.易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.圆的基本概念辨析 2.求圆中弦的条数 3.求过圆内一点的最长弦 4.圆的周长和面积问题 5.判断点与圆的位置关系 6.由点与圆的位置关系求半径 7.已知半径和圆上两点作圆 8.点与圆上一点的最值问题 9.圆心角概念辨析及简单运算 10.求圆弧的度数 强化题型 解答题7题 知识点 1：圆的两种定义（核心基础，填空选择必考）. 1. 动态定义（操作理解，画图用） 在同一平面内，一条线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点运动所形成的封闭曲线叫做圆。 固定端点：圆心，用大写字母O表示； 线段定长：半径，用字母r表示； 关键限制：必须强调同一平面；空间旋转形成球面，不是平面圆。 2. 静态（集合）定义（考试核心考点） 平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合叫做圆。 定点：圆心O；定长：半径r； 几何记作：以O为圆心的圆，写作⊙ O； 核心区分易错： 1 ⊙ O仅指圆周（外围曲线），不含内部； 2 圆面 = 圆周 + 圆内部所有区域；做题看清题干描述是 “圆” 还是 “圆面”。 补充教师备课拓展 生活实例：车轮做成圆形，利用 “圆上各点到圆心距离相等”，保证行驶平稳；摩天轮、圆形餐盘都是圆的现实模型。 知识点 2：圆相关基础概念（背诵专用，区分易混概念） . 概念名称 标准文字定义 几何书写规范 核心性质 & 易混易错点 圆心 确定圆位置的定点 点O 圆心定位置，半径定大小；两个圆半径相等为等圆 半径 连接圆心与圆上任意一点的线段 线段OA（A在 ⊙O上） 1.同一个圆中,所有半径长度相等；2. 无数条半径 弦 连接圆上任意两个点的线段 弦AB 弦是线段，弧是曲线；圆内任意两点连线都是弦 直径 经过圆心的弦 直径AC 1.直径是特殊弦；2.同圆中最长弦；3.直径d=2r；4.无数条直径 弧 圆上两点之间的曲线部分 劣弧：优： 一条弦对应两条弧；直径对应两条半圆 半圆 直径将圆分割出的两条弧 （AC为直径） 半圆既不属于优弧，也不属于劣弧，长度等于圆周长一半 劣弧 小于半圆的弧 只用两个大写字母表示 两点短弧，书写仅需两个点 优弧 大于半圆的弧 必须三个大写字母表示 两点长弧，只用两点会和劣弧混淆，中间加一个圆上点区分 配套推论（学生必背） 1.直径长度 = 2× 半径，d=2r，r=； 2.同一个圆内，直径是长度最大的弦，不存在更长的弦； 3.一条非直径弦对应 1 条劣弧、1 条优弧；直径对应两条相等半圆。 知识点 3：点与圆的三种位置关系（本章重难点，计算、大题高频） 设：⊙ O的半径为定值r，平面内任意一点P，点P到圆心O的距离为线段长度OP=d。 1.位置关系完整对照表（解题万能模板） 位置分类 距离与半径大小关系 图形直观特征 题型双向用法 点在圆外 d > r 点落在圆周外侧，不在圆上、圆内 ①已知点在圆外，直接写d>r；②已知OP>r，判断点在圆外 点在圆上 d = r 点刚好落在圆周曲线上 ①圆上任意一点到圆心距离等于半径；②证明点在圆上，只需证d=r 点在圆内 d < r 点落在圆周包围的内部区域 ①点在圆内，d<r；②距离小于半径，点在内部 2.两类核心考法 · 基础判定：给出半径、线段长度，直接判断点的位置； 例：⊙O半径 4，OP=6，6>4，点P在圆外。 · 含参数综合题：已知点的位置，列不等式求参数取值范围； 例：⊙ O半径 5，点M(a,0)在圆内，圆心(0,0)，则OM<5，利用勾股定理<5，解得-5<a<5。 3.配套计算方法（坐标类题目必备） 4.高频易错提醒（教师课堂重点纠错） 1.d是线段长度，一定是非负数，距离不能为负； 2 区分 “圆上” 和 “圆内 / 外”，等于半径才在圆周上； 2.坐标题先算距离，不可直接拿横坐标、纵坐标和半径比较； 3.审题区分 “圆”（仅曲线，点d=r才算圆上）和 “圆面”dr都在圆面内）。 知识点 4：本节核心几何推论（几何证明必用） 1.同圆半径相等推论 若OA、OB、OC均为 ⊙O半径，则OA=OB=OC。 用途：①证明线段相等；②构造等腰三角形，结合等腰三角形性质解题。 拓展：连接圆心与圆上两点，△ OAB一定是等腰三角形。 2.直径等分圆推论 任意一条直径把圆分成两个完全重合、长度相等的半圆。 3.定点定长唯一圆推论 平面内给定一个定点（圆心）、定长（半径），只能画出唯一的一个圆； 同心圆：圆心相同，半径不相等的多个圆。 4.弦与弧基础推论 在同一个圆中，等弦对应等劣弧、等优弧。 知识点5.本节易混易错点完整清单（师生通用，预习自查 + 课堂纠错） 1.弧书写错误：优弧只用两个字母，无法区分长短弧，必须三点书写； 2.概念混淆：认为所有弦都是直径，忽略直径需要过圆心； 3.定义遗漏：描述圆忘记 “同一平面”，空间旋转不是圆； 4.概念混淆：把 “圆（圆周曲线）” 和 “圆面（内部区域）” 等同； 5.位置关系记反：d>r记成点在圆内，d<r记成点在圆外； 6.计算错误：坐标系中点到圆心距离，忘记用勾股定理直接比较坐标； 7.计算疏漏：直径、半径换算时，r=经常算反。 题型1.圆的基本概念辨析 【典例】下列说法中，正确的是（   ） A．圆是由到圆心的距离大于半径的所有点组成的图形 B．圆心相同，半径不相等的两个圆叫等圆 C．弦是直径 D．圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小 【答案】D 【分析】根据圆的相关基础概念，逐一辨析各选项概念即可判断对错． 【详解】解：∵圆是平面内到圆心的距离等于半径的所有点组成的图形，到圆心距离大于半径的点组成圆外区域， ∴A选项错误，不符合题意； ∵等圆是半径相等、可以完全重合的两个圆，与圆心位置无关，圆心相同半径不等的两个圆是同心圆，不是等圆， ∴B选项错误，不符合题意； ∵连接圆上任意两点的线段叫做弦，只有经过圆心的弦才是直径，不是所有弦都是直径， ∴C选项错误，不符合题意； ∵圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，说法正确； ∴D选项正确． 【跟踪专练1】如图，正方形的四个顶点在直径为4的大圆圆周上，四条边与小圆都相切，过圆心，且，则图中阴影部分的面积是________．（结果保留） 【答案】 【分析】由于圆是中心对称图形，则阴影部分的面积等于大圆的四分之一，利用圆的面积公式即可求解．本题主要考查了圆的对称性，圆的面积公式，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 【详解】解：由于圆是中心对称图形，阴影部分的面积可以移动到一起，等于大圆的四分之一， 故阴影部分的面积为． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在中，是直径，是弦，延长相交于点，且，，则________________． 【答案】57 【分析】本题考查的是圆的认识，根据题意作出辅助线，构造出等腰三角形，利用等腰三角形及三角形外角的性质求解是解答此题的关键．连接，由可得出，故可得出的度数，根据三角形外角的性质求出的度数，由三角形内角和定理求出的度数，根据补角的定义即可得出结论． 【详解】解：连接， ，， ， ． 是的外角， ． ， ， ， ． 故答案为：57． 【跟踪专练3】如图，在中，直径，是弦，，点P在上移动，点Q在上移动，且，长度的最大值是（ ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】连接，则是直角三角形，越长，则越短，当时，取得最小值，使用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ， 当最小时，最大， 由垂线段最短可知，当时，的值最小， ， ， ， 题型2.求圆中弦的条数 【典例】如图，⊙O 中，点 A、O、D 以及点 B、O、C 分别在一条直线上，图中弦的条数有______条． 【答案】三/3 【分析】根据弦的定义（连接圆上任意两点的线段叫做弦）进行分析，即可得出结论． 【详解】解：根据弦的定义可得： 图中的弦有AB，BC，CE共三条， 故答案为：三． 【点睛】本题考查了弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫弦，充分理解其定义是解题关键． 【跟踪专练1】如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的有关概念，由连接圆上任意两点的线段叫做弦，即可判断得出答案，掌握圆的有关概念是解题的关键． 【详解】解：圆中的弦有：、，共两条， 故选：． 【跟踪专练2】如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查圆的认识，理解弦的定义是解决本题的关键．根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 【详解】解：图中的弦有共三条， 故选：B． 题型.3.求过圆内一点的最长弦 【典例】已知的半径为5，是的弦，则的长度a的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了圆的相关知识，明确圆中最长的弦是直径是解题的关键． 利用直径是圆内最长的弦即可求解． 【详解】解：的半径为5， 的弦的长度的取值范围为：， 故答案为：． 【跟踪专练1】若的直径长为，点，在上，则的长不可能是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆的弦长范围，熟练掌握“圆上两点间的弦长最大值为直径”是解题的关键． 根据圆的直径明确圆上弦的长度范围，从而判断选项． 【详解】解：∵ 的直径长为4，点A，B在上 ∴ 弦的长满足，选项A、B、C都满足条件， ∵ 选项D中， ∴ 选项D不符合条件． 故选：D． 【跟踪专练2】正的边长为，的半径为，是上动点，点在上且，则的最大值为________________． 【答案】/ 【分析】本题考查了圆的基本概念、等边三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 取的中点，连接、，根据题意得，根据等边三角形的性质得到，，，根据勾股定理求出的长，根据三角形中位线定理得到，再根据两点之间线段最短的性质即可求出的最大值． 【详解】解：如图，取的中点，连接、， ∵的半径为，是上动点， ∴， ∵正的边长为，点是的中点， ∴，，， ∴， ∵点是的中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值为． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，函数与函数的图象交于A，B两点，点P在以C(-2，0)为圆心，1为半径的圆C上，Q是AP的中点，则OQ长的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立正比例函数y=2x与反比例函数，求出点A，B的坐标，连接BP，连接BC并延长，交圆C于点D．根据已知条件可得，所求OQ长的最大值，即求PB长的最大值，即当点P运动到点D时，BP取得最大值，为BD的长．过点B作BE⊥x轴于点E，由勾股定理可得BC=的长，进而可得BD=BC+CD的长，即可得出答案． 【详解】解：联立正比例函数y=2x与反比例函数， 得，解得，， ∴点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（-1，−2）， 连接BP，连接BC并延长，交⊙C于点D． 由反比例函数图象的对称性可知，点O为AB的中点， ∵点Q为AP的中点， ∴OQ=PB， ∴所求OQ长的最大值，即求PB长的最大值， 则当点P运动到点D时，BP取得最大值，即为BD的长． 过点B作BE⊥x轴于点E， 则OE=1，BE=2， ∵C点坐标为（-2，0）， ∴OC=2，CE=CO-OE=1， 由勾股定理得BC=， ∴BD=BC+CD=， ∴OQ=． 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、中位线的性质、圆的性质、勾股定理等知识，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解答本题的关键． 题型4.圆的周长和面积问题 【典例】已知圆的直径为，则其半径为_____________，周长为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了圆的直径与半径和周长的关系．根据圆的直径与半径的关系，半径等于直径的一半；周长等于圆周率乘以直径，即可求解． 【详解】解：圆的直径为， 半径为，周长为， 故答案为：，． 【跟踪专练1】如图，战机白帝号顺着大半圆从地飞到地，战机鸾鸟号顺着三个小半圆从地到地与之汇合，设白帝、鸾鸟走过的路程分别为、，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了半圆弧长的计算，掌握半圆弧长的计算是解题的关键． 根据图形，得三个小半圆的直径之和等于大半圆的直径，则根据圆周长公式，得两架战机所走的路程相等． 【详解】解：设白帝所走的半圆的半径为，则白帝所走的路程， 设鸾鸟所走的三个半圆的半径分别是、、，则，即， ∴． 故选：A． 【跟踪专练2】以下是杭州亚运会的会标，其中的水纹我们可以把它抽象为一个圆环的三分之一，已知两圆的半径分别为，，那么亚运会标志的水纹的面积为_____． 【答案】 【分析】本题考查了圆环，根据圆环的面积公式计算即可求解，关键是熟练掌握圆环的面积公式． 【详解】解： ． 故亚运会标志的水纹的面积为． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，用一根绳子紧密贴合一个球体的大圆绕一圈（绳长等于球体大圆的周长），然后将绳长增加1米，并将绳子均匀地悬浮在球体周围，形成一个与球体同心的圆，此时绳子与球体表面之间出现均匀的空隙．假设对篮球（半径约0.12米）和地球（半径约6371千米）分别进行上述操作．那么，绳子与球体表面之间的空隙距离（   ） A．地球的空隙更大 B．篮球的空隙更大 C．一样大 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查圆的周长公式的应用．根据圆的周长公式分别表示出绳子绕球体大圆一圈时的周长和绳子增加1米后的周长，进而求出绳子与球体表面之间的空隙距离，再比较篮球和地球的空隙距离大小即可． 【详解】解：设球体的半径为，原绳长等于球体周长，即； 当绳子增长1米后，新绳长为， 设此时绳子围成的圆的半径为R，则有， ∴ ∴空隙距离为， ∴绳子与球体表面之间的空隙距离一样大， 故选：C． 题型5.判断点与圆的位置关系 【典例】已知的半径为，点P到圆心O的距离为，则点P与的位置关系是（   ） A．点P在圆上 B．点P在圆内 C．点P在圆外 D．无法确定 【答案】B 【分析】此题主要考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．据此解答即可． 【详解】解：∵的半径为，点P到圆心O的距离为， ∴， ∴点P与的位置关系是：P在内． 故选：B． 【跟踪专练1】点O为坐标原点，若的半径为10，则点与的位置关系是（    ） A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了坐标与图形的性质．先计算点A到坐标原点O的距离，再将该距离与的半径比较，依据点与圆的位置关系判定规则得出结论 【详解】∵点的坐标为，为坐标原点， ∴， 又∵的半径， ∴， ∴点在上， 故选：B 【跟踪专练2】直角坐标平面内，点，点B的坐标为，的半径为4．若点B在内，则a的范围是____． 【答案】/ 【分析】本题考查了点与圆的位置关系．熟练掌握点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径是解题的关键． 由题意知，，由点B在内，可得，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵点B在内， ∴，即， 解得，， 故答案为：． 【跟踪专练3】在中，，D为BC边上的中点，以D为圆心，为半径作，则点A与的位置关系为（） A．点A在内 B．点A在上 C．点A在外 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查点与圆的位置关系的判断方法，关键在于比较点到圆心的距离与圆的半径之间的大小关系．由于已知中，D是边上的中点，且以D为圆心，为半径作圆，因此需要判断点A到点D的距离与半径的大小关系，从而确定点A在圆内、圆上或圆外． 【详解】是的中点，是以为直径的圆． 当时，即， 点A在以为直径的圆的内部． 故选A 题型6.由点与圆的位置关系求半径 【典例】已知的半径是2，若点在外，则的长可能为_______．（填一个符合条件的数即可） 【答案】3（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，熟练掌握若点与圆心的距离d，圆的半径为，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内是解题的关键． 根据点在圆外得到，即可求解． 【详解】解：∵的半径是2，若点在外， ∴， ∴的长可能为3（答案不唯一）， 故答案为：3（答案不唯一）． 【跟踪专练1】点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是关键．点在圆外时，点到圆心的距离大于半径，且圆的半径为正数即可求解． 【详解】解：点P在圆O外， 点P到圆心O的距离大于圆O的半径r， 点P到圆心O的距离为，且圆的半径， ． 故选：A． 【跟踪专练2】若点到上的点的最小距离是4，最大距离是6，则的半径为________ ． 【答案】5或1 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，利用分类讨论的思想求解是解题的关键，根据点与圆的位置关系解答即可． 【详解】解：点到上的点的最小距离是4，最大距离是6， 当点在圆内时，的半径； 当点在圆外时，的半径， 综上所述，的半径为5或1． 故答案为：5或1． 【跟踪专练3】平面上的一点和的最近点距离为，最远距离为，则这个圆的半径是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系． 分点在圆外和点在圆内两种情况讨论，利用最近和最远距离与半径的关系求解 【详解】解：设点与圆心距离为d，半径为r， 当点在圆外时， ∵最近距离为，最远距离为， ∴两式相加，， 即， 代入， 得； 当点在圆内时， ∵最近距离为，最远距离为， ∴两式相加，， 解得：； ∴圆的半径为或． 故选：C． 题型7.已知半径和圆上两点作圆 【典例】已知线段，且，则经过两点且半径为3的圆有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了确定圆心的位置，一个圆的圆心一定在该圆的一条弦的垂直平分线上，那么作线段的垂直平分线，以A为圆心，3为半径作弧，该弧与线段的垂直平分线的交点个数即为圆的个数，据此作图求解即可． 【详解】解：作线段的垂直平分线，以A为圆心，3为半径作弧， ∵， ∴该弧与线段的垂直平分线有两个交点， ∴经过两点且半径为3的圆有2个， 故选：C． 【跟踪专练1】已知点是数轴上一定点，点是数轴上一动点，点表示的实数为，点所表示的实数为，作以为圆心，为半径的，若点在外，则的值可能是（）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点与圆的位置关系计算即可； 【详解】∵B在外， ∴AB＞2， ∴＞2， ∴b＞或b＜， ∴b可能是-1. 故选A． 【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，准确分析计算是解题的关键． 【跟踪专练2】已知AB＝12 cm，过A，B两点画半径为8 cm的圆，则能画的圆的个数为(   ) A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】C 【分析】根据题意分别以A、B为圆心，以8cm为半径画弧，两弧交于C、D，以点C和点D为圆心的两个圆满足题意． 【详解】分别以A、B为圆心，以8cm为半径画弧，两弧交于 C、D，如下图， 得以C为圆心，以8cm为半径的圆经过点A和点B， 以D为圆心，以8cm为半径的圆经过点A和点B， 即能画的圆的个数是2个． 故选：C． 【点睛】本题考查了两圆相交的性质，能找出圆的圆心是解此题的关键． 【跟踪专练3】如图，点、，以点为圆心为半径作交轴于两点，点为上一动点，连接，取中点，连接，则的最大值为_____． 【答案】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，如图，连接， 取的中点， 连接，， ，，，，利用三角形中位线定理求出，推出点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，设，则 ，求出 的最大值，可得结论，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，学会利用参数解决问题，熟练掌握知识点的应用． 【详解】如图， 连接， 取的中点， 连接，， ，，，， ∵点、， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆， 设，则， ∵， ∴最大时，的值最大， ∵， ∴， ∴的最大值为， ∴的最大值为， 故答案为：． 题型8.点与圆上一点的最值问题 【典例】已知点P到圆上的最远距离是，最近距离是，则此圆的半径是________cm． 【答案】2或3/3或2 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，分点在圆外和点在圆内两种情况分类讨论，求出直径，即可求解． 【详解】解：当点P到圆外时，∵点P到圆上的最远距离是，最近距离是， ∴圆的直径为； ∴半径为； 当点P到圆内时，∵点P到圆上的最远距离是，最近距离是， ∴圆的直径为； ∴半径为； ∴圆的半径为或． 故答案为：2或3 【跟踪专练1】已知在平面直角坐标系中，的圆心为，半径为1，直线经过定点A，交于一点M，则当取得最大值时，k的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直线上点的坐标特征，圆外一点到圆上点距离的最大值，解题的关键是确定当圆心在线段上，取得最大值． 由题意知，当圆心在线段上，取得最大值，把点的坐标代入中，即可求得的值． 【详解】解：由题意知，当圆心在线段上，取得最大值， 此时直线过点， 把点坐标代入中，得：， 解得：； 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在中，，，O为的斜边中点，以C为圆心，2为半径作，P为上的一个动点，连接，则面积的最大值为_______． 【答案】17 【分析】过点C作于点H，延长交圆于点G，当点P与点G重合时，面积最大，根据勾股定理，直角三角形的面积解答即可． 本题考查了勾股定理的应用，圆的性质，判断出点P处于什么位置时面积最大是解题关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵O为的斜边中点， ∴， 过点C作于点H，延长交圆于点G， 当点P与点G重合时，面积最大， ∵， ∴ ∵的半径为2， ∴， ∴面积的最大值为． 故答案为：17． 【跟踪专练3】如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系．由中知要使取得最小值，则需取得最小值，连接，当点在线段上时，取得最小值，据此求解可得． 【详解】解：连接， ， ， ， ， 若要使取得最小值，则需取得最小值， 连接，当点在线段上时，取得最小值， 过点作轴于点， 圆心的坐标为， 则，， ， 又的半径为2， 的最小值为， ， 故选：C 题型9.圆心角概念辨析及简单运算 【典例】如图所示，下列各角是圆内的角，其中圆心角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆心角的定义，根据圆心角的定义，角的两边是两条从圆心出发的射线，它们必须与圆周相交于两点，顶点在圆心的角叫做圆心角，即可求解． 【详解】解：图中是圆心角 故选：A． 【跟踪专练1】已知的直径为10，是的弦，，那么在中弦所对的圆心角度数为____________． 【答案】/60度 【分析】本题考查了圆心角，等边三角形的判定与性质， 连接、，证明为等边三角形得到即可，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接、，    直径为， ， 而， ， 为等边三角形， ， 即弦所对的圆心角是． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，大、小量角器的中心分别为、，且恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为，点在小量角器对应的刻度为，则点在大量角器上对应的刻度为_______．（只考虑小于的角） 【答案】 【分析】此题考查了圆心角、等腰三角形的性质和三角形内角和定理．熟练掌握用量角器上测量圆心角，并能根据相关性质求出各个角的度数是解此题的关键． 连接，由点P在小量角器对应的刻度，可知大小，再由，可求得即为点P在大量角器上对应的刻度． 【详解】解：连接，如图所示： 点P在小量角器对应的刻度为， ， ， ， ， 点P在大量角器上对应的刻度为． 故答案为：． 【跟踪专练3】一张圆形纸片，圆周被等分，等分点分别为，圆形纸片的部分示意图如图所示，若的半径是2，弦，则（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了圆心角、勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握圆心角的概念是解题关键．连接，先根据勾股定理的逆定理可得，再根据圆的性质求出圆心角，则，由此即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵的半径是2， ∴， ∵弦， ∴， ∴是直角三角形，， ∵圆形纸片被等分， ∴， ∴， 解得，经检验，是所列分式方程的解． 故选：C． 题型10.求圆弧的度数 【典例】如图，在正方形网格中，一条圆弧经过三点，那么弧的度数是_____． 【答案】/90度 【分析】本题考查了勾股定理的应用，判断出圆心的位置是解决本题的关键． 作的垂直平分线，作的垂直平分线，两垂直平分线交于点Q，连接，分别表示出的长，可得为等腰直角三角形，进而即可得解． 【详解】解：作的垂直平分线，作的垂直平分线，两垂直平分线交于点Q，连接，如图， 由图可得圆心为点Q， ∵，，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴弧的度数是， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆分别交、于点D、点E，则弧的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆心角的定义；先求出，再根据等腰三角形的性质求出，即为弧的度数，即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ， 弧的度数为， 故选：． 【跟踪专练2】如图，点A，B分别为半圆O上的三等分点，如果的半径为，那么弦______________． 【答案】8 【分析】本题考查圆心角定理，等边三角形的判定． 连接，，则，由点A，B分别为半圆O上的三等分点，，从而是等边三角形，根据等边三角形的三边相等即可解答． 【详解】解：连接，， 则， ∵点A，B分别为半圆O上的三等分点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：8 【跟踪专练3】如图，已知是的两条直径，弦，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对顶角相等得，由得到，由得到，即可求出，得到的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵ ∴， ∵ ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：B 【点睛】此题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理、圆心角和弧的度数的关系等知识，熟练掌握圆心角和弧的度数的关系是解题的关键． 解答题 1．如图，是的直径，C是延长线上一点，点D在上，且，的延长线交于点E．若，求的度数． 【答案】 【分析】连接，利用半径相等和等腰三角形的性质求得，从而利用三角形的外角的性质求解． 【详解】解：如图，连接，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．如图，是内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图． （1）在图1中，画山一条与相等的弦； （2）在图2中，画出一个与全等的三角形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）连结CO并延长交于E，连接BO并延长交于D，连结ED，再证△BOC≌△DOE（SAS），可得BC=DE； （2）连结AO并延长交于A′，OA=OA′，连结BO并延长交于B′，OB=OB′，连结CO并延长交于C′，OC=OC′，利用边角边判定方法先证△BOC≌△B′OC′（SAS），可得BC=B′C′；同理可证△BOA≌△B′OA′（SAS），可得AB=A′B′，同理可证△AOC≌△A′OC′（SAS），可得AC=A′C′，利用三边对应相等判定方法可证△ABC≌△A′B′C′（SSS）． 【详解】解：（1）如图1，DE为所作； 连结CO并延长交于E，连接BO并延长交于D，连结ED， ∵OB=OD=OE=OC， 在△BOC和△DOE中， ， ∴△BOC≌△DOE（SAS）， ∴BC=DE； （2）如图2，△A′B′C′为所作． 连结AO并延长交于A′，OA=OA′，连结BO并延长交于B′，OB=OB′，连结CO并延长交于C′，OC=OC′， 在△BOC和△B′OC′中， ， ∴△BOC≌△B′OC′（SAS）， ∴BC=B′C′； 同理可证△BOA≌△B′OA′（SAS）， ∴AB=A′B′， 同理可证△AOC≌△A′OC′（SAS）， ∴AC=A′C′， 在△ABC和△A′B′C′中， ， ∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）． 【点睛】本题考查仅用无刻度的直尺画线段，画三角形，三角形全等判定与性质，圆的性质，掌握圆的性质与三角形全等判定与性质是解题关键． 3．如图，点A，B，C在⊙O上，按要求作图： (1)过点A作⊙O的直径AD； (2)过点B作⊙O的半径； (3)过点C作⊙O的弦． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）作射线，交于点，则线段即为的直径； （2）连接，线段即为所求； （3）连接，线段即为所求（答案不唯一）． 【详解】（1）如图所示，作射线，交于点，则线段即为的直径； （2）如图所示，连接，线段即为所求； （3）如图所示，连接，线段即为所求的一条弦（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了圆的基本概念，连接圆上任意两点是圆的弦，直径是经过圆心的弦，半径是圆上一点与圆心的连线，掌握以上知识是解题的关键． 4．学校打算在原有长为，宽为的长方形土地上设计一个长方形的蔬菜种植地和一个半圆形的小池塘，作为劳动践行园．劳动践行园除蔬菜种植地和小池塘外的地方都是绿地，且学校要求绿地面积要占长方形土地面积的一半以上．小华同学为学校提供了如图所示的设计方案：蔬菜种植地的长，宽分别是、的，小池塘的直径为． (1)用含、的式子表示下列各区域的面积： ①长方形蔬菜种植地的面积：______；②半圆形小池塘的面积：______． (2)若按照3计算，长方形土地的长与宽之间满足，请你判断小华同学的设计方案是否满足学校的要求，并说明理由． 【答案】(1)①；②； (2)小华同学的设计方案满足学校要求，理由见详解． 【分析】本题主要考查长方形和圆的面积公式的应用，以及代数式的运算和比较大小．解题的关键在于准确运用长方形面积公式和圆的面积公式来计算各区域面积． （1）根据题目所给的蔬菜种植地的长和宽，以及小池塘的直径与的关系，利用相应面积公式求出蔬菜种植地和小池塘的面积． （2）先求出长方形土地的面积，再求出绿地面积，然后将绿地面积与长方形土地面积的一半进行比较，判断是否满足学校要求． 【详解】（1）解：①蔬菜种植地的长为，宽为，长方形面积为：； ②小池塘是半圆形，直径为，则半径．半圆形小池塘的面积为： （2）解：小华同学的设计方案满足学校的要求，理由如下： ∵长方形土地的面积，且 ∴ ∵绿地面积为，，由（1）可知， ∴ ∵长方形土地面积的一半为 ∴ ∴绿地面积大于长方形土地面积的一半． 综上，（1）①；②；（2）小华同学的设计方案满足学校要求． 5．在矩形中，，． (1)若以A为圆心，8长为半径作，则 B、C、D与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使B、C、D三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径r的取值范围是　　． 【答案】(1)点B在内，点C在外，点D在上 (2) 【分析】此题考查的知识点是点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，解题关键是要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系． （1）根据勾股定理求出的长，进而得出点B，C，D与的位置关系； （2）利用（1）中所求，即可得出半径r的取值范围． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵在矩形中，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴点在内， ∵， ∴点在上， ∵， ∴点在外； （2）∵以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外， ∴的半径r的取值范围是． 6．如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】（1）根据条件和，即可求解； （2）根据第（1）问的结论和即可求解． 【详解】（1）解：； ∵，，， ∴ （2）解：∵，，，， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了简单几何问题，灵活运用所学知识是关键． 7．如图，中，，以为半径的与相交于点D． (1)若，求的度数 (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查计算圆心角度数，三角形内角和定理，等腰三角形性质，勾股定理等． （1）根据题意连接，再利用内角和定理计算出，继而求出本题答案； （2）作，根据垂径定理得，再利用勾股定理计算出，利用等积法求出，再利用勾股定理即可计算出本题答案． 【详解】（1）解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）解：作， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $