专题03圆暑假预习讲义(知识梳理+题型精析+强化巩固专练)2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题03圆暑假预习讲义 ·理解圆的动态、静态两种定义，认识圆心、半径，会用圆规画圆； ·熟记弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等相关概念，理清概念间区别与联系； ·掌握点与圆的三种位置关系，能利用点到圆心距离和半径的大小关系判断、简单计算； ·初步了解圆既是轴对称图形也是中心对称图形； ·提升识图能力，规范几何表述，形成数形结合思维，为后续圆的相关知识学习做好铺垫。 预习必备 知识梳理 1.圆的两种定义 2.圆相关基础概念 3.点与圆的位置关系 4.核心几何推论 5.易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.圆的基本概念辨析 2.求圆中弦的条数 3.求过圆内一点的最长弦 4.圆的周长和面积问题 5.小圆环绕图形自转圈数计算 6.圆心角概念辨析及简单运算 强化题型 解答题7题 知识点 1：圆的两种定义（核心基础，填空选择必考）. 1. 动态定义（操作理解，画图用） 在同一平面内，一条线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点运动所形成的封闭曲线叫做圆。 固定端点：圆心，用大写字母O表示； 线段定长：半径，用字母r表示； 关键限制：必须强调同一平面；空间旋转形成球面，不是平面圆。 2. 静态（集合）定义（考试核心考点） 平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合叫做圆。 定点：圆心O；定长：半径r； 几何记作：以O为圆心的圆，写作⊙ O； 核心区分易错： 1 ⊙ O仅指圆周（外围曲线），不含内部； 2 圆面 = 圆周 + 圆内部所有区域；做题看清题干描述是 “圆” 还是 “圆面”。 补充教师备课拓展 生活实例：车轮做成圆形，利用 “圆上各点到圆心距离相等”，保证行驶平稳；摩天轮、圆形餐盘都是圆的现实模型。 知识点 2：圆相关基础概念（背诵专用，区分易混概念） . 概念名称 标准文字定义 几何书写规范 核心性质 & 易混易错点 圆心 确定圆位置的定点 点O 圆心定位置，半径定大小；两个圆半径相等为等圆 半径 连接圆心与圆上任意一点的线段 线段OA（A在 ⊙O上） 1.同一个圆中,所有半径长度相等；2. 无数条半径 弦 连接圆上任意两个点的线段 弦AB 弦是线段，弧是曲线；圆内任意两点连线都是弦 直径 经过圆心的弦 直径AC 1.直径是特殊弦；2.同圆中最长弦；3.直径d=2r；4.无数条直径 弧 圆上两点之间的曲线部分 劣弧：优： 一条弦对应两条弧；直径对应两条半圆 半圆 直径将圆分割出的两条弧 （AC为直径） 半圆既不属于优弧，也不属于劣弧，长度等于圆周长一半 劣弧 小于半圆的弧 只用两个大写字母表示 两点短弧，书写仅需两个点 优弧 大于半圆的弧 必须三个大写字母表示 两点长弧，只用两点会和劣弧混淆，中间加一个圆上点区分 配套推论（学生必背） 1.直径长度 = 2× 半径，d=2r，r=； 2.同一个圆内，直径是长度最大的弦，不存在更长的弦； 3.一条非直径弦对应 1 条劣弧、1 条优弧；直径对应两条相等半圆。 知识点 3：点与圆的三种位置关系（本章重难点，计算、大题高频） 设：⊙ O的半径为定值r，平面内任意一点P，点P到圆心O的距离为线段长度OP=d。 1.位置关系完整对照表（解题万能模板） 位置分类 距离与半径大小关系 图形直观特征 题型双向用法 点在圆外 d > r 点落在圆周外侧，不在圆上、圆内 ①已知点在圆外，直接写d>r；②已知OP>r，判断点在圆外 点在圆上 d = r 点刚好落在圆周曲线上 ①圆上任意一点到圆心距离等于半径；②证明点在圆上，只需证d=r 点在圆内 d < r 点落在圆周包围的内部区域 ①点在圆内，d<r；②距离小于半径，点在内部 2.两类核心考法 · 基础判定：给出半径、线段长度，直接判断点的位置； 例：⊙O半径 4，OP=6，6>4，点P在圆外。 · 含参数综合题：已知点的位置，列不等式求参数取值范围； 例：⊙ O半径 5，点M(a,0)在圆内，圆心(0,0)，则OM<5，利用勾股定理<5，解得-5<a<5。 3.配套计算方法（坐标类题目必备） 4.高频易错提醒（教师课堂重点纠错） 1.d是线段长度，一定是非负数，距离不能为负； 2 区分 “圆上” 和 “圆内 / 外”，等于半径才在圆周上； 2.坐标题先算距离，不可直接拿横坐标、纵坐标和半径比较； 3.审题区分 “圆”（仅曲线，点d=r才算圆上）和 “圆面”dr都在圆面内）。 知识点 4：本节核心几何推论（几何证明必用） 1.同圆半径相等推论 若OA、OB、OC均为 ⊙O半径，则OA=OB=OC。 用途：①证明线段相等；②构造等腰三角形，结合等腰三角形性质解题。 拓展：连接圆心与圆上两点，△ OAB一定是等腰三角形。 2.直径等分圆推论 任意一条直径把圆分成两个完全重合、长度相等的半圆。 3.定点定长唯一圆推论 平面内给定一个定点（圆心）、定长（半径），只能画出唯一的一个圆； 同心圆：圆心相同，半径不相等的多个圆。 4.弦与弧基础推论 在同一个圆中，等弦对应等劣弧、等优弧。 知识点5.本节易混易错点完整清单（师生通用，预习自查 + 课堂纠错） 1.弧书写错误：优弧只用两个字母，无法区分长短弧，必须三点书写； 2.概念混淆：认为所有弦都是直径，忽略直径需要过圆心； 3.定义遗漏：描述圆忘记 “同一平面”，空间旋转不是圆； 4.概念混淆：把 “圆（圆周曲线）” 和 “圆面（内部区域）” 等同； 5.位置关系记反：d>r记成点在圆内，d<r记成点在圆外； 6.计算错误：坐标系中点到圆心距离，忘记用勾股定理直接比较坐标； 7.计算疏漏：直径、半径换算时，r=经常算反。 题型1.圆的基本概念辨析 【典例】下列说法中，正确的是（   ） A．圆是由到圆心的距离大于半径的所有点组成的图形 B．圆心相同，半径不相等的两个圆叫等圆 C．弦是直径 D．圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小 【答案】D 【分析】根据圆的相关基础概念，逐一辨析各选项概念即可判断对错． 【详解】解：∵圆是平面内到圆心的距离等于半径的所有点组成的图形，到圆心距离大于半径的点组成圆外区域， ∴A选项错误，不符合题意； ∵等圆是半径相等、可以完全重合的两个圆，与圆心位置无关，圆心相同半径不等的两个圆是同心圆，不是等圆， ∴B选项错误，不符合题意； ∵连接圆上任意两点的线段叫做弦，只有经过圆心的弦才是直径，不是所有弦都是直径， ∴C选项错误，不符合题意； ∵圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，说法正确； ∴D选项正确． 【跟踪专练1】如图，正方形的四个顶点在直径为4的大圆圆周上，四条边与小圆都相切，过圆心，且，则图中阴影部分的面积是________．（结果保留） 【答案】 【分析】由于圆是中心对称图形，则阴影部分的面积等于大圆的四分之一，利用圆的面积公式即可求解．本题主要考查了圆的对称性，圆的面积公式，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 【详解】解：由于圆是中心对称图形，阴影部分的面积可以移动到一起，等于大圆的四分之一， 故阴影部分的面积为． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在中，是直径，是弦，延长相交于点，且，，则________________． 【答案】57 【分析】本题考查的是圆的认识，根据题意作出辅助线，构造出等腰三角形，利用等腰三角形及三角形外角的性质求解是解答此题的关键．连接，由可得出，故可得出的度数，根据三角形外角的性质求出的度数，由三角形内角和定理求出的度数，根据补角的定义即可得出结论． 【详解】解：连接， ，， ， ． 是的外角， ． ， ， ， ． 故答案为：57． 【跟踪专练3】如图，在中，直径，是弦，，点P在上移动，点Q在上移动，且，长度的最大值是（ ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】连接，则是直角三角形，越长，则越短，当时，取得最小值，使用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ， 当最小时，最大， 由垂线段最短可知，当时，的值最小， ， ， ， 题型2.求圆中弦的条数 【典例】如图，⊙O 中，点 A、O、D 以及点 B、O、C 分别在一条直线上，图中弦的条数有______条． 【答案】三/3 【分析】根据弦的定义（连接圆上任意两点的线段叫做弦）进行分析，即可得出结论． 【详解】解：根据弦的定义可得： 图中的弦有AB，BC，CE共三条， 故答案为：三． 【点睛】本题考查了弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫弦，充分理解其定义是解题关键． 【跟踪专练1】如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的有关概念，由连接圆上任意两点的线段叫做弦，即可判断得出答案，掌握圆的有关概念是解题的关键． 【详解】解：圆中的弦有：、，共两条， 故选：． 【跟踪专练2】如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查圆的认识，理解弦的定义是解决本题的关键．根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 【详解】解：图中的弦有共三条， 故选：B． 题型.3.求过圆内一点的最长弦 【典例】已知的半径为5，是的弦，则的长度a的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了圆的相关知识，明确圆中最长的弦是直径是解题的关键． 利用直径是圆内最长的弦即可求解． 【详解】解：的半径为5， 的弦的长度的取值范围为：， 故答案为：． 【跟踪专练1】若的直径长为，点，在上，则的长不可能是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆的弦长范围，熟练掌握“圆上两点间的弦长最大值为直径”是解题的关键． 根据圆的直径明确圆上弦的长度范围，从而判断选项． 【详解】解：∵ 的直径长为4，点A，B在上 ∴ 弦的长满足，选项A、B、C都满足条件， ∵ 选项D中， ∴ 选项D不符合条件． 故选：D． 【跟踪专练2】正的边长为，的半径为，是上动点，点在上且，则的最大值为________________． 【答案】/ 【分析】本题考查了圆的基本概念、等边三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 取的中点，连接、，根据题意得，根据等边三角形的性质得到，，，根据勾股定理求出的长，根据三角形中位线定理得到，再根据两点之间线段最短的性质即可求出的最大值． 【详解】解：如图，取的中点，连接、， ∵的半径为，是上动点， ∴， ∵正的边长为，点是的中点， ∴，，， ∴， ∵点是的中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值为． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，函数与函数的图象交于A，B两点，点P在以C(-2，0)为圆心，1为半径的圆C上，Q是AP的中点，则OQ长的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立正比例函数y=2x与反比例函数，求出点A，B的坐标，连接BP，连接BC并延长，交圆C于点D．根据已知条件可得，所求OQ长的最大值，即求PB长的最大值，即当点P运动到点D时，BP取得最大值，为BD的长．过点B作BE⊥x轴于点E，由勾股定理可得BC=的长，进而可得BD=BC+CD的长，即可得出答案． 【详解】解：联立正比例函数y=2x与反比例函数， 得，解得，， ∴点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（-1，−2）， 连接BP，连接BC并延长，交⊙C于点D． 由反比例函数图象的对称性可知，点O为AB的中点， ∵点Q为AP的中点， ∴OQ=PB， ∴所求OQ长的最大值，即求PB长的最大值， 则当点P运动到点D时，BP取得最大值，即为BD的长． 过点B作BE⊥x轴于点E， 则OE=1，BE=2， ∵C点坐标为（-2，0）， ∴OC=2，CE=CO-OE=1， 由勾股定理得BC=， ∴BD=BC+CD=， ∴OQ=． 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、中位线的性质、圆的性质、勾股定理等知识，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解答本题的关键． 题型4.圆的周长和面积问题 【典例】已知圆的直径为，则其半径为_____________，周长为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了圆的直径与半径和周长的关系．根据圆的直径与半径的关系，半径等于直径的一半；周长等于圆周率乘以直径，即可求解． 【详解】解：圆的直径为， 半径为，周长为， 故答案为：，． 【跟踪专练1】如图，战机白帝号顺着大半圆从地飞到地，战机鸾鸟号顺着三个小半圆从地到地与之汇合，设白帝、鸾鸟走过的路程分别为、，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了半圆弧长的计算，掌握半圆弧长的计算是解题的关键． 根据图形，得三个小半圆的直径之和等于大半圆的直径，则根据圆周长公式，得两架战机所走的路程相等． 【详解】解：设白帝所走的半圆的半径为，则白帝所走的路程， 设鸾鸟所走的三个半圆的半径分别是、、，则，即， ∴． 故选：A． 【跟踪专练2】以下是杭州亚运会的会标，其中的水纹我们可以把它抽象为一个圆环的三分之一，已知两圆的半径分别为，，那么亚运会标志的水纹的面积为_____． 【答案】 【分析】本题考查了圆环，根据圆环的面积公式计算即可求解，关键是熟练掌握圆环的面积公式． 【详解】解： ． 故亚运会标志的水纹的面积为． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，用一根绳子紧密贴合一个球体的大圆绕一圈（绳长等于球体大圆的周长），然后将绳长增加1米，并将绳子均匀地悬浮在球体周围，形成一个与球体同心的圆，此时绳子与球体表面之间出现均匀的空隙．假设对篮球（半径约0.12米）和地球（半径约6371千米）分别进行上述操作．那么，绳子与球体表面之间的空隙距离（   ） A．地球的空隙更大 B．篮球的空隙更大 C．一样大 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查圆的周长公式的应用．根据圆的周长公式分别表示出绳子绕球体大圆一圈时的周长和绳子增加1米后的周长，进而求出绳子与球体表面之间的空隙距离，再比较篮球和地球的空隙距离大小即可． 【详解】解：设球体的半径为，原绳长等于球体周长，即； 当绳子增长1米后，新绳长为， 设此时绳子围成的圆的半径为R，则有， ∴ ∴空隙距离为， ∴绳子与球体表面之间的空隙距离一样大， 故选：C． 题型5.小圆环绕图形自转圈数计算 【典例】如图，与在同一平面内，其半径都是r．将固定，让从上的一点P出发，沿的边缘滚动一周，回到原来的位置．下列说法：①滚动过程中的圆心形成的轨迹与是同心圆；②的圆心经过的路程是；③在滚动中自身转了2周．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查了轨迹问题，掌握上的点P运动的路径长点运动的路径长是本题的关键． 根据题意可得，的圆心是以为圆心，为半径运动，即可解答． 【详解】解：根据题意可得，的圆心是以为圆心，为半径运动，即的圆心形成的轨迹与是同心圆；故①正确； ，则的圆心经过的路程是，故②错误； 根据题意可得点P运动的路径长， 的周长， 即在滚动中自身转了2周，故③正确； 故选：B． 【跟踪专练1】自行车是绿色环保的交通工具，图①是某自行车的传动结构，图②是该结构的示意图，其中的半径是，的半径是，．当顺时针转动1周时，上的点随之旋转，则的值为______． 【答案】144 【分析】由顺时针转动1周，转动的长度是，上的点随之旋转，点转动的长度是，得到，即可求解． 【详解】解：顺时针转动1周，转动的长度是， ∵上的点随之旋转， ∴点转动的长度是， ∵， ∴， ∵顺时针转动1周转动的长度等于上的点旋转转动的长度， ∴， 解得，． 【跟踪专练2】圆的滚动问题探索： (1)如图1，一个半径为的圆沿直线方向从地滚动到地，若的长为，则该圆在滚动过程中自转了___________圈．（用含、的式子表示） 试验： 现有两个半径相等的圆（如图5），将圆固定，圆沿定圆的周围滚动无滑动．当圆沿圆周围滚动一周回到原来的位置时，圆自转了圈，而圆的圆心运动的线路也是一个圆，而这个圆的周长恰好是圆的周长的倍． (2)如图2，的半径为，的半径为，现将固定，让沿的周围滚动无滑动．当沿的周围滚动一周回到原来的位置时，自转了___________圈； (3)如图3，的半径为，的半径为，现将固定，让沿的内部边缘滚动无滑动．当沿边缘滚动一圈回到原来的位置时，自转了___________圈． 解决问题： (4)如图4，一个等边三角形的边长与圆的周长相等，当此圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边作无滑动滚动，直至回到原来的位置时，该圆自转了多少圈？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)该圆自转了圈； 理由见解析 【分析】（1）利用圆运动的距离除以圆的周长即可得出答案； （2）利用运动的距离除以的周长即可得出答案； （3）利用运动的距离除以的周长即可得出答案； （4）圆自转的圈数绕三边滚动所转的圈数圆心要绕其三角形的顶点所转的圈数． 【详解】（1）解：该圆在滚动过程中自转的圈数为：（圈）； （2）解：当沿沿周围滚动一周回到原来的位置时，滚动的路程为：， 自转了（圈）； （3）解：当沿内部边缘滚动一圈回到原来的位置时，滚动的路程为：， 自转了（圈）； （4）解：该圆自转了圈； 理由如下： 等边三角形的边长与和圆的周长相等， 圆在等边三角形三条边上滚动时，转了圈， 而圆从一边转到另一边时，圆心绕三角形的一个顶点旋转了三角形的一个外角的度数， 圆心要绕其三角形的顶点旋转， 圆绕三个顶点共旋转了，即转了圈， 此圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边作无滑动滚动，直至回到原来的位置时，该圆自转了圈． 题型6.圆心角概念辨析及简单运算 【典例】如图所示，下列各角是圆内的角，其中圆心角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆心角的定义，根据圆心角的定义，角的两边是两条从圆心出发的射线，它们必须与圆周相交于两点，顶点在圆心的角叫做圆心角，即可求解． 【详解】解：图中是圆心角 故选：A． 【跟踪专练1】已知的直径为10，是的弦，，那么在中弦所对的圆心角度数为____________． 【答案】/60度 【分析】本题考查了圆心角，等边三角形的判定与性质， 连接、，证明为等边三角形得到即可，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接、，    直径为， ， 而， ， 为等边三角形， ， 即弦所对的圆心角是． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，大、小量角器的中心分别为、，且恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为，点在小量角器对应的刻度为，则点在大量角器上对应的刻度为_______．（只考虑小于的角） 【答案】 【分析】此题考查了圆心角、等腰三角形的性质和三角形内角和定理．熟练掌握用量角器上测量圆心角，并能根据相关性质求出各个角的度数是解此题的关键． 连接，由点P在小量角器对应的刻度，可知大小，再由，可求得即为点P在大量角器上对应的刻度． 【详解】解：连接，如图所示： 点P在小量角器对应的刻度为， ， ， ， ， 点P在大量角器上对应的刻度为． 故答案为：． 【跟踪专练3】一张圆形纸片，圆周被等分，等分点分别为，圆形纸片的部分示意图如图所示，若的半径是2，弦，则（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了圆心角、勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握圆心角的概念是解题关键．连接，先根据勾股定理的逆定理可得，再根据圆的性质求出圆心角，则，由此即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵的半径是2， ∴， ∵弦， ∴， ∴是直角三角形，， ∵圆形纸片被等分， ∴， ∴， 解得，经检验，是所列分式方程的解． 故选：C． 题型10.求圆弧的度数 【典例】如图，在正方形网格中，一条圆弧经过三点，那么弧的度数是_____． 【答案】/90度 【分析】本题考查了勾股定理的应用，判断出圆心的位置是解决本题的关键． 作的垂直平分线，作的垂直平分线，两垂直平分线交于点Q，连接，分别表示出的长，可得为等腰直角三角形，进而即可得解． 【详解】解：作的垂直平分线，作的垂直平分线，两垂直平分线交于点Q，连接，如图， 由图可得圆心为点Q， ∵，，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴弧的度数是， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆分别交、于点D、点E，则弧的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆心角的定义；先求出，再根据等腰三角形的性质求出，即为弧的度数，即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ， 弧的度数为， 故选：． 【跟踪专练2】如图，点A，B分别为半圆O上的三等分点，如果的半径为，那么弦______________． 【答案】8 【分析】本题考查圆心角定理，等边三角形的判定． 连接，，则，由点A，B分别为半圆O上的三等分点，，从而是等边三角形，根据等边三角形的三边相等即可解答． 【详解】解：连接，， 则， ∵点A，B分别为半圆O上的三等分点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：8 【跟踪专练3】如图，已知是的两条直径，弦，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对顶角相等得，由得到，由得到，即可求出，得到的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵ ∴， ∵ ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：B 【点睛】此题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理、圆心角和弧的度数的关系等知识，熟练掌握圆心角和弧的度数的关系是解题的关键． 解答题 1．如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】（1）根据条件和，即可求解； （2）根据第（1）问的结论和即可求解． 【详解】（1）解：； ∵，，， ∴ （2）解：∵，，，， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了简单几何问题，灵活运用所学知识是关键． 2．如图，半径为7的上有一动点B，点A为半径上一点，且最大为10，以为边向外作正方形，连接． (1)请直接写出的长． (2)过点A作，且，连接，在点B的运动过程中，的长度会发生变化吗？变化请说明理由，不变化请求出的长． (3)当点A，B，F三点在一条直线上时，请直接写的长． (4)请直接写出的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)的长度不变， (3)或 (4)的最大值为12，最小值为2 【分析】（1）连接，根据题意可得当A，O，B共线时，，即可求解； （2）证明，即可解答； （3）分两种情况：当点B在F上方时，当点B在F下方时，即可解答； （4）作，且，连接，证明，即可解答． 【详解】（1）解：连接， ∵，仅当A，O，B共线时，， 又∵最大为10，， ∴； （2）解：的长度不变，理由如下： ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：根据题意得：，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， 当点B在F上方时，， 当点B在F下方时， ， ∴综上所述，的长为或； （4）解：作，且，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为，最小值为． ∴的最大值为12，最小值为2． 【点睛】本题综合考查了圆、正方形、勾股定理、全等三角形等相关知识，要求学生理解并掌握圆的性质、正方形的性质、勾股定理的内容及公式、全等三角形的判定与性质等，并能通过作辅助线构造全等三角形，能进行线段之间的转化和运算等，理解三角形的三边关系，并能用于解决求有一端点为动点的线段的最值问题，该题综合性较强，对学生的分析推理与计算的能力都有一定的要求，蕴含了分类讨论和数形结合的思想． 3．如图，是内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图． （1）在图1中，画山一条与相等的弦； （2）在图2中，画出一个与全等的三角形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）连结CO并延长交于E，连接BO并延长交于D，连结ED，再证△BOC≌△DOE（SAS），可得BC=DE； （2）连结AO并延长交于A′，OA=OA′，连结BO并延长交于B′，OB=OB′，连结CO并延长交于C′，OC=OC′，利用边角边判定方法先证△BOC≌△B′OC′（SAS），可得BC=B′C′；同理可证△BOA≌△B′OA′（SAS），可得AB=A′B′，同理可证△AOC≌△A′OC′（SAS），可得AC=A′C′，利用三边对应相等判定方法可证△ABC≌△A′B′C′（SSS）． 【详解】解：（1）如图1，DE为所作； 连结CO并延长交于E，连接BO并延长交于D，连结ED， ∵OB=OD=OE=OC， 在△BOC和△DOE中， ， ∴△BOC≌△DOE（SAS）， ∴BC=DE； （2）如图2，△A′B′C′为所作． 连结AO并延长交于A′，OA=OA′，连结BO并延长交于B′，OB=OB′，连结CO并延长交于C′，OC=OC′， 在△BOC和△B′OC′中， ， ∴△BOC≌△B′OC′（SAS）， ∴BC=B′C′； 同理可证△BOA≌△B′OA′（SAS）， ∴AB=A′B′， 同理可证△AOC≌△A′OC′（SAS）， ∴AC=A′C′， 在△ABC和△A′B′C′中， ， ∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）． 【点睛】本题考查仅用无刻度的直尺画线段，画三角形，三角形全等判定与性质，圆的性质，掌握圆的性质与三角形全等判定与性质是解题关键． 4．如图，、是的两条直径，四边形是矩形吗？证明你的结论． 【答案】四边形是矩形． 证明如下：、是的两条直径， ， 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形． 【分析】由题意得，可证四边形是平行四边形，结合，即可得证． 【详解】略 5．某学校计划修建一条标准田径跑道，数学小组根据《田径场地设计规范》绘制了如下示意图． 已知：跑道由两条直道和两个半圆形弯道组成，直道的长度均为；内圈（第1道）的长度为，一共8条跑道，所有跑道的终点线相同；为消除跑外圈与跑内圈的差距，起跑时让运动员处于不同的起跑线上．（注：跑道的长度近似于该跑道的内侧线的长度） (1)内圈（第1道）半圆形弯道的半径为_______；（结果保留） (2)如果每条跑道宽，求第2道的全长，并计算第2道起跑线比第1道应前移多少米（结果保留）； (3)已知规范要求跑道宽度为，如果实际测量得到第8道起跑线比第1道前移了．请你通过计算判断该跑道宽度是否符合规范？（取） 【答案】(1)； (2)，； (3)该跑道宽度符合规范．理由： 设跑道实际宽度为，第8条跑道与第1条跑道的半径差为，则起跑线前移为两个跑道的长度差，即为， ∵际测量得到第8道起跑线比第1道前移了． ∴， 解得， ∵规范要求跑道宽度为， ∴， 即 ∵， ∴该跑道宽度符合规范． 【分析】（1）设内圈（第1道）半圆形弯道的半径为，内圈（第1道）的长度为，据此列方程并解方程即可； （2）先求出第2道半圆形弯道的半径为，再用直道的长度加上第2道半圆形弯道的长度即可得到第2道的全长，用第2道的全长减去第1道的全长即可得到第2道起跑线比第1道应前移的长度； （3）设跑道实际宽度为，第8条跑道与第1条跑道的半径差为，根据起跑线前移为两个跑道的长度差求出起跑线前移的长度，再与规范要求跑道的宽度范围比较即可． 【详解】（1）解：设内圈（第1道）半圆形弯道的半径为，则 ， 解得， 即内圈（第1道）半圆形弯道的半径为； （2）解：∵每条跑道宽， ∴第2道半圆形弯道的半径为， ∴第2道全长， ∵， ∴第2道起跑线比第1道应前移； （3）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03圆暑假预习讲义 ·理解圆的动态、静态两种定义，认识圆心、半径，会用圆规画圆； ·熟记弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等相关概念，理清概念间区别与联系； ·掌握点与圆的三种位置关系，能利用点到圆心距离和半径的大小关系判断、简单计算； ·初步了解圆既是轴对称图形也是中心对称图形； ·提升识图能力，规范几何表述，形成数形结合思维，为后续圆的相关知识学习做好铺垫。 预习必备 知识梳理 1.圆的两种定义 2.圆相关基础概念 3.点与圆的位置关系 4.核心几何推论 5.易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.圆的基本概念辨析 2.求圆中弦的条数 3.求过圆内一点的最长弦 4.圆的周长和面积问题 5.小圆环绕图形自转圈数计算 6.圆心角概念辨析及简单运算 强化题型 解答题7题 知识点 1：圆的两种定义（核心基础，填空选择必考）. 1. 动态定义（操作理解，画图用） 在同一平面内，一条线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点运动所形成的封闭曲线叫做圆。 固定端点：圆心，用大写字母O表示； 线段定长：半径，用字母r表示； 关键限制：必须强调同一平面；空间旋转形成球面，不是平面圆。 2. 静态（集合）定义（考试核心考点） 平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合叫做圆。 定点：圆心O；定长：半径r； 几何记作：以O为圆心的圆，写作⊙ O； 核心区分易错： 1 ⊙ O仅指圆周（外围曲线），不含内部； 2 圆面 = 圆周 + 圆内部所有区域；做题看清题干描述是 “圆” 还是 “圆面”。 补充教师备课拓展 生活实例：车轮做成圆形，利用 “圆上各点到圆心距离相等”，保证行驶平稳；摩天轮、圆形餐盘都是圆的现实模型。 知识点 2：圆相关基础概念（背诵专用，区分易混概念） . 概念名称 标准文字定义 几何书写规范 核心性质 & 易混易错点 圆心 确定圆位置的定点 点O 圆心定位置，半径定大小；两个圆半径相等为等圆 半径 连接圆心与圆上任意一点的线段 线段OA（A在 ⊙O上） 1.同一个圆中,所有半径长度相等；2. 无数条半径 弦 连接圆上任意两个点的线段 弦AB 弦是线段，弧是曲线；圆内任意两点连线都是弦 直径 经过圆心的弦 直径AC 1.直径是特殊弦；2.同圆中最长弦；3.直径d=2r；4.无数条直径 弧 圆上两点之间的曲线部分 劣弧：优： 一条弦对应两条弧；直径对应两条半圆 半圆 直径将圆分割出的两条弧 （AC为直径） 半圆既不属于优弧，也不属于劣弧，长度等于圆周长一半 劣弧 小于半圆的弧 只用两个大写字母表示 两点短弧，书写仅需两个点 优弧 大于半圆的弧 必须三个大写字母表示 两点长弧，只用两点会和劣弧混淆，中间加一个圆上点区分 配套推论（学生必背） 1.直径长度 = 2× 半径，d=2r，r=； 2.同一个圆内，直径是长度最大的弦，不存在更长的弦； 3.一条非直径弦对应 1 条劣弧、1 条优弧；直径对应两条相等半圆。 知识点 3：点与圆的三种位置关系（本章重难点，计算、大题高频） 设：⊙ O的半径为定值r，平面内任意一点P，点P到圆心O的距离为线段长度OP=d。 1.位置关系完整对照表（解题万能模板） 位置分类 距离与半径大小关系 图形直观特征 题型双向用法 点在圆外 d > r 点落在圆周外侧，不在圆上、圆内 ①已知点在圆外，直接写d>r；②已知OP>r，判断点在圆外 点在圆上 d = r 点刚好落在圆周曲线上 ①圆上任意一点到圆心距离等于半径；②证明点在圆上，只需证d=r 点在圆内 d < r 点落在圆周包围的内部区域 ①点在圆内，d<r；②距离小于半径，点在内部 2.两类核心考法 · 基础判定：给出半径、线段长度，直接判断点的位置； 例：⊙O半径 4，OP=6，6>4，点P在圆外。 · 含参数综合题：已知点的位置，列不等式求参数取值范围； 例：⊙ O半径 5，点M(a,0)在圆内，圆心(0,0)，则OM<5，利用勾股定理<5，解得-5<a<5。 3.配套计算方法（坐标类题目必备） 4.高频易错提醒（教师课堂重点纠错） 1.d是线段长度，一定是非负数，距离不能为负； 2 区分 “圆上” 和 “圆内 / 外”，等于半径才在圆周上； 2.坐标题先算距离，不可直接拿横坐标、纵坐标和半径比较； 3.审题区分 “圆”（仅曲线，点d=r才算圆上）和 “圆面”dr都在圆面内）。 知识点 4：本节核心几何推论（几何证明必用） 1.同圆半径相等推论 若OA、OB、OC均为 ⊙O半径，则OA=OB=OC。 用途：①证明线段相等；②构造等腰三角形，结合等腰三角形性质解题。 拓展：连接圆心与圆上两点，△ OAB一定是等腰三角形。 2.直径等分圆推论 任意一条直径把圆分成两个完全重合、长度相等的半圆。 3.定点定长唯一圆推论 平面内给定一个定点（圆心）、定长（半径），只能画出唯一的一个圆； 同心圆：圆心相同，半径不相等的多个圆。 4.弦与弧基础推论 在同一个圆中，等弦对应等劣弧、等优弧。 知识点5.本节易混易错点完整清单（师生通用，预习自查 + 课堂纠错） 1.弧书写错误：优弧只用两个字母，无法区分长短弧，必须三点书写； 2.概念混淆：认为所有弦都是直径，忽略直径需要过圆心； 3.定义遗漏：描述圆忘记 “同一平面”，空间旋转不是圆； 4.概念混淆：把 “圆（圆周曲线）” 和 “圆面（内部区域）” 等同； 5.位置关系记反：d>r记成点在圆内，d<r记成点在圆外； 6.计算错误：坐标系中点到圆心距离，忘记用勾股定理直接比较坐标； 7.计算疏漏：直径、半径换算时，r=经常算反。 题型1.圆的基本概念辨析 【典例】下列说法中，正确的是（   ） A．圆是由到圆心的距离大于半径的所有点组成的图形 B．圆心相同，半径不相等的两个圆叫等圆 C．弦是直径 D．圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小 【跟踪专练1】如图，正方形的四个顶点在直径为4的大圆圆周上，四条边与小圆都相切，过圆心，且，则图中阴影部分的面积是________．（结果保留） 【跟踪专练2】如图，在中，是直径，是弦，延长相交于点，且，，则________________． 【跟踪专练3】如图，在中，直径，是弦，，点P在上移动，点Q在上移动，且，长度的最大值是（ ） A．4 B．2 C． D． 题型2.求圆中弦的条数 【典例】如图，⊙O 中，点 A、O、D 以及点 B、O、C 分别在一条直线上，图中弦的条数有______条． 【跟踪专练1】如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 题型.3.求过圆内一点的最长弦 【典例】已知的半径为5，是的弦，则的长度a的取值范围是________． 【跟踪专练1】若的直径长为，点，在上，则的长不可能是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【跟踪专练2】正的边长为，的半径为，是上动点，点在上且，则的最大值为________________． 【跟踪专练3】如图，函数与函数的图象交于A，B两点，点P在以C(-2，0)为圆心，1为半径的圆C上，Q是AP的中点，则OQ长的最大值为（   ） A． B． C． D． 题型4.圆的周长和面积问题 【典例】已知圆的直径为，则其半径为_____________，周长为_____________． 【跟踪专练1】如图，战机白帝号顺着大半圆从地飞到地，战机鸾鸟号顺着三个小半圆从地到地与之汇合，设白帝、鸾鸟走过的路程分别为、，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【跟踪专练2】以下是杭州亚运会的会标，其中的水纹我们可以把它抽象为一个圆环的三分之一，已知两圆的半径分别为，，那么亚运会标志的水纹的面积为_____． 【跟踪专练3】如图，用一根绳子紧密贴合一个球体的大圆绕一圈（绳长等于球体大圆的周长），然后将绳长增加1米，并将绳子均匀地悬浮在球体周围，形成一个与球体同心的圆，此时绳子与球体表面之间出现均匀的空隙．假设对篮球（半径约0.12米）和地球（半径约6371千米）分别进行上述操作．那么，绳子与球体表面之间的空隙距离（   ） A．地球的空隙更大 B．篮球的空隙更大 C．一样大 D．无法确定 题型5.小圆环绕图形自转圈数计算 【典例】如图，与在同一平面内，其半径都是r．将固定，让从上的一点P出发，沿的边缘滚动一周，回到原来的位置．下列说法：①滚动过程中的圆心形成的轨迹与是同心圆；②的圆心经过的路程是；③在滚动中自身转了2周．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【跟踪专练1】自行车是绿色环保的交通工具，图①是某自行车的传动结构，图②是该结构的示意图，其中的半径是，的半径是，．当顺时针转动1周时，上的点随之旋转，则的值为______． 【跟踪专练2】圆的滚动问题探索： (1)如图1，一个半径为的圆沿直线方向从地滚动到地，若的长为，则该圆在滚动过程中自转了___________圈．（用含、的式子表示） 试验： 现有两个半径相等的圆（如图5），将圆固定，圆沿定圆的周围滚动无滑动．当圆沿圆周围滚动一周回到原来的位置时，圆自转了圈，而圆的圆心运动的线路也是一个圆，而这个圆的周长恰好是圆的周长的倍． (2)如图2，的半径为，的半径为，现将固定，让沿的周围滚动无滑动．当沿的周围滚动一周回到原来的位置时，自转了___________圈； (3)如图3，的半径为，的半径为，现将固定，让沿的内部边缘滚动无滑动．当沿边缘滚动一圈回到原来的位置时，自转了___________圈． 解决问题： (4)如图4，一个等边三角形的边长与圆的周长相等，当此圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边作无滑动滚动，直至回到原来的位置时，该圆自转了多少圈？请说明理由． 题型6.圆心角概念辨析及简单运算 【典例】如图所示，下列各角是圆内的角，其中圆心角是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知的直径为10，是的弦，，那么在中弦所对的圆心角度数为____________． 【跟踪专练2】如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，大、小量角器的中心分别为、，且恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为，点在小量角器对应的刻度为，则点在大量角器上对应的刻度为_______．（只考虑小于的角） 【跟踪专练3】一张圆形纸片，圆周被等分，等分点分别为，圆形纸片的部分示意图如图所示，若的半径是2，弦，则（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 题型10.求圆弧的度数 【典例】如图，在正方形网格中，一条圆弧经过三点，那么弧的度数是_____． 【跟踪专练1】如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆分别交、于点D、点E，则弧的度数为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，点A，B分别为半圆O上的三等分点，如果的半径为，那么弦______________． 【跟踪专练3】如图，已知是的两条直径，弦，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 解答题 1．如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 2．如图，半径为7的上有一动点B，点A为半径上一点，且最大为10，以为边向外作正方形，连接． (1)请直接写出的长． (2)过点A作，且，连接，在点B的运动过程中，的长度会发生变化吗？变化请说明理由，不变化请求出的长． (3)当点A，B，F三点在一条直线上时，请直接写的长． (4)请直接写出的最大值和最小值． 3．如图，是内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图． （1）在图1中，画山一条与相等的弦； （2）在图2中，画出一个与全等的三角形． 4．如图，、是的两条直径，四边形是矩形吗？证明你的结论． 5．某学校计划修建一条标准田径跑道，数学小组根据《田径场地设计规范》绘制了如下示意图． 已知：跑道由两条直道和两个半圆形弯道组成，直道的长度均为；内圈（第1道）的长度为，一共8条跑道，所有跑道的终点线相同；为消除跑外圈与跑内圈的差距，起跑时让运动员处于不同的起跑线上．（注：跑道的长度近似于该跑道的内侧线的长度） (1)内圈（第1道）半圆形弯道的半径为_______；（结果保留） (2)如果每条跑道宽，求第2道的全长，并计算第2道起跑线比第1道应前移多少米（结果保留）； (3)已知规范要求跑道宽度为，如果实际测量得到第8道起跑线比第1道前移了．请你通过计算判断该跑道宽度是否符合规范？（取） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $