精品解析：2022年四川省内江市隆昌市蓝天育才学校中考数学模拟六

2022年内江市隆昌市蓝天育才学校中考数学模拟六 一．选择题（共12小题） 1. 的绝对值（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值．根据正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数即可得到答案． 【详解】解：的绝对值是， 故选：B． 2. 在“十四五”规划的开局之年，成都一如既往是全省的“领头羊”，上半年地区生产总值为9602.72亿元．将数据“9602.72亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数． 【详解】解：9 602.72亿． 故选B． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 若点与点关于原点成中心对称，则的值是（　　） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案. 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， 解得：，， 则 故选C. 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数. 4. 分式方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方程两边都乘x（x-1），得x（x+1）-（x-1）= x（x-1），求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：方程两边都乘x（x-1），得x（x+1）-（x-1）= x（x-1）， 解得：x=-1， 检验：当x=-1时，x（x-1）≠0， 所以x= -1是原方程的解， 即原方程的解是x=-1； 故选：B． 【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键． 5. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的判断，根据定义逐项判断即可．将一个图形沿某直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形称为轴对称图形；将一个图形绕某点旋转，能与本身重合的图形，这样的图形称为中心对称图形． 【详解】因为图A是中心对称图形，但不是轴对称图形，所以A不符合题意； 因为图B既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，所以B不符合题意； 因为图C是中心对称图形，但不是轴对称图形，所以C不符合题意； 因为图D既是中心对称图形，也是轴对称图形，所以D符合题意． 故选：D． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平方差公式、完全平方公式、分式的加减运算及积的乘方可直接进行排除选项． 【详解】解：A、，故错误，不符合题意； B、，正确，故符合题意； C、，故错误，不符合题意； D、，故错误，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查平方差公式、完全平方公式、分式的加减运算及积的乘方，熟练掌握平方差公式、完全平方公式、分式的加减运算及积的乘方是解题的关键． 7. 如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，DE∥AB，若∠CDE=165°，则∠B的度数为（　　） A. 15° B. 55° C. 65° D. 75° 【答案】D 【解析】 【分析】根据邻补角定义可得∠ADE=15°，由平行线的性质可得∠A=∠ADE=15°，再根据三角形内角和定理即可求得∠B=75°． 【详解】解：∵∠CDE=165°，∴∠ADE=15°， ∵DE∥AB，∴∠A=∠ADE=15°， ∴∠B=180°﹣∠C﹣∠A=180°﹣90°﹣15°=75°， 故选D． 【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理等，熟练掌握平行线的性质以及三角形内角和定理是解题的关键． 8. 函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式及二次根式有意义的条件解答即可. 【详解】∵有意义， ∴x+1≠0，2-3x≥0， 解得：且， 故选D. 【点睛】本题考查分式及二次根式有意义的条件，要使分式有意义，分母不为0；要使二次根式有意义，被开方数大于等于0. 9. 不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，在数轴上表示出即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集为：， 在数轴上表示为： 10. 如图，是的直径，点、在圆周上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直径所对的圆周角是直角可得，在中利用内角和求出，再根据同弧所对的圆周角相等得出 【详解】解：是的直径 与所对的弧相同 ． 11. 如图，在矩形ABCD中，，，当直角三角板MPN的直角顶点P在BC边上移动时，直角边MP始终经过点A，设直角三角板的另一直角边PN与CD相交于点，，那么y与x之间的函数图象大致是　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题解析：设BP=x，CQ=y，则AP2=42+x2，PQ2=（6-x）2+y2，AQ2=（4-y）2+62； ∵△APQ为直角三角形， ∴AP2+PQ2=AQ2，即42+x2+（6-x）2+y2=（4-y）2+62，化简得：y=−x2+x 整理得：y=− (x−3)2+ 根据函数关系式可看出D中的函数图象与之对应． 故选D． 【点睛】本题考查的是动点变化时，两线段对应的变化关系，重点是找出等量关系，即直角三角形中的勾股定理． 12. 已知抛物线，且．判断下列结论：①；②；③抛物线与x轴正半轴必有一个交点；④当时，；⑤该抛物线与直线有两个交点，其中正确结论的个数（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】由题意易得，则有，进而可判定①②，当x=1时，则，当x=-1时，则有，然后可判定③，由题意可知抛物线的对称轴为直线，则有当时，y随x的增大而增大，故可得④；联立抛物线及直线解析式即可判断⑤． 【详解】解：∵， ∴两式相减得，两式相加得， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∴，故②正确； ∵当x=1时，则，当x=-1时，则有， ∴当时，则方程的两个根一个小于-1，一个根大于1， ∴抛物线与x轴正半轴必有一个交点，故③正确； 由题意可知抛物线的对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴当时，有最小值，即为，故④正确； 联立抛物线及直线可得：，整理得：， ∴， ∴该抛物线与直线有两个交点，故⑤正确； ∴正确的个数有5个； 故选D． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 二．填空题（共4小题） 13. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解；首先提取公因式，再用“”进行分解因式，即可求解；掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 14. 对于实数a、b，定义运算“*”：a*b＝，例如：4*2，所以4*2＝42﹣4×2＝8，若x1、x2是一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的两个根，那么x1*x2＝_________． 【答案】42或﹣42##-42或42 【解析】 【分析】根据题意先求解方程x2-5x-6=0的两个根，再根据所给定义进行计算即可得出答案． 【详解】解：∵x1，x2是一元二次方程x2-5x-6=0的两个根， ∴（x-6）（x+1）=0， 解得：x=6或-1， 当x1=6，x2=-1时，x1*x2=62-6×（-1）=42； 当x1=-1，x2=6时，x1*x2=6×（-1）-62=-42． 故答案为：42或-42． 【点睛】本题主要考查因式分解法解一元二次方程以及利用材料分析解决新问题，根据已知进行分类讨论是解题的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别是，，，则函数的图象经过点，则的值为______ ． 【答案】##6.75 【解析】 【分析】过点作轴于，如图，先判断为等腰直角三角形得到，再判断为等腰直角三角形得到，则可计算出，所以，然后利用反比例函数图象上点的坐标特征求出的值． 【详解】解：过点作轴于，如图， 的坐标分别是． ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 函数的图象经过点， ． 故答案为． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即也考查了反比例函数的性质． 16. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连接，则线段的最大值是 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与轨迹圆综合，中位线定理以及勾股定理，熟练掌握二次函数与轨迹圆最值问题是解题的关键．连接、，利用勾股定理可得，可知是的中位线，则，当B、C、P三点共线，且点C在之间时，最大，则此时最大，求解即可． 【详解】解：如图，连接、， 令，则， 故点， ∵， ∴， 设圆的半径为，则， ∵点Q、O分别为、的中点， ∴是的中位线， ∴， 当B、C、P三点共线，且点C在之间时，最大， 则此时最大， 此时， 故答案为：． 三．解答题（共5小题） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】根据算术平方根，零指数幂，有理数的乘方，负整数指数幂，特殊角的三角函数，绝对值的意义计算各项，再合并同类项计算得出结果． 【详解】解： ． 18. 如图，在平行四边形中，E、F分别是的中点，，垂足为E，，垂足为F，与相交于点G． （1）证明：． （2）若，求四边形的对角线的长． 【答案】（1）∵，， ∴． ∵E是中点，且， ∴是的垂直平分线， ∴； 同理F是中点，且， ∴是的垂直平分线， ∴． ∴， ∴是等边三角形． ∴， ∴． ∵E、F分别是中点，且， ∴，， ∴． 在和中， ， ∴（）． （2） 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线性质可得，是等边三角形．由三线合一得．由等边三角形性质和线段中点定义可得．即可证明（）． （2）由的长度求出的长度，根据是含的直角三角形可得的长度，根据平行四边形中可得，由等边三角形和平行四边形性质可得,再用勾股定理即可求出的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，E是中点，且， ∴，． 由（1）知，， ∴， 设，则， 由勾股定理， ∴， 解得， ∴． ∵平行四边形中，，，又， ∴， ∴． 由（1）知，是等边三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理：． 19. 随着通讯技术的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下所示两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题： （1）本次调研活动共调研了多少名学生，表示“QQ”的扇形圆心角的度数是多少． （2）请你补充完整条形统计图； （3）如果该校有2000名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有多少名？ 【答案】（1）这次统计共抽查了100名学生，表示“QQ”的扇形圆心角的度数为108°； （2）条形图如图所示见解析；（3）估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有800名． 【解析】 【分析】（1）用最喜欢电话沟通方式的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，用360°乘以最喜欢QQ沟通方式的人数所占的百分比可得到表示“QQ”的扇形圆心角的度数； （2）求出短信有100×5%＝5（人），微信有100﹣20﹣5﹣30﹣5＝40（人），画出条形图即可； （3）用样本估计总体的思想解决问题即可； 【详解】（1）20÷20%＝100，所以这次统计共抽查了100名学生； 在扇形统计图中，表示“QQ”的扇形圆心角的度数＝360°108°． （2）短信有100×5%＝5（人），微信有100﹣20﹣5﹣30﹣5＝40（人），条形图如图所示： （3）2000×40%＝800（人）． 答：估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有800名． 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 20. 如图，甲建筑物AD，乙建筑物BC的水平距离为90m，且乙建筑物的高度是甲建筑物高度的6倍，从E(A，E，B在同一水平线上）点测得D点的仰角为30°，测得C点的仰角为60°，求这两座建筑物顶端C、D间的距离（计算结果用根号表示，不取近似值）． 【答案】. 【解析】 【分析】根据题意求出线段长度，再在直角三角形中解三角函数即可求出答案. 【详解】解：由题意知：， 在中，， ，； 在中，，， ，； ， ，，， 答：这两座建筑物顶端、间的距离为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，要求学生借助俯角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形． 21. 如图，一次函数的图象分别交轴、轴于，两点，交反比例函数图象于，两点． （1）求直线的表达式； （2）点是线段上一点，若，求点的坐标． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）把点A（，4）代入中，化简计算可得反比例函数的解析式为，将点B（3，m）代入，可得B点坐标，再将A，B两点坐标代入，化简计算即可得直线AB的表达式，即是CD的表达式； （2）设E点的坐标为，则可得D点的坐标为，利用，化简可得，即可得出E点的坐标． 【详解】解:（1）把点代入中，得 ，解得 ∴反比例函数的解析式为， 将点代入得， ∴ 设直线的表达式为， 则有，解得 ∴直线的表达式为； （2）设点的坐标为，令，则 ∴点的坐标为， ∵ ∴， 解得：， ∴点的坐标为． 【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及待定系数法求解析式．此题难度适中，注意掌握方程思想的应用． B卷 一．填空题（共4小题） 22. 已知，则一次函数的图象与坐标轴围成的面积是_____． 【答案】 或##或 【解析】 【分析】根据比例性质整理得到，分和两种情况求出的值，再求一次函数与坐标轴的交点坐标，最后计算围成三角形的面积. 【详解】解：， ，，， ， 当时， 两边同时除以得：， 解得， 一次函数解析式为， 当时，， 函数与轴交于点， 当时， 可得：， 解得：， 函数与轴交于点， 一次函数与坐标轴围成的三角形面积为； 当时， 可得：， ∴， 一次函数解析式为， 当时，， 函数与轴交于点 当时，解得， 可得：， 函数与轴交于点， 一次函数与坐标轴围成的三角形面积为； 综上所述，一次函数的图象与坐标轴围成的面积是或． 23. 如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=BD，连接AC，若tanB=，则tan∠CAD的值_____． 【答案】 【解析】 【分析】延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，由tanB=，即，设AD=7x，则AB=4x，然后可证明△CDE∽△BDA，然后相似三角形的对应边成比例可得：，进而可得CE=x，DE=x，从而可求tan∠CAD= = ． 【详解】如图，延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E， ∵tanB=，即， ∴设AD=7x，则AB=4x， ∵∠CDE=∠BDA，∠CED=∠BAD， ∴△CDE∽△BDA， ∴， ∴CE=x，DE=x， ∴AE= ， ∴tan∠CAD= =， 故答案为: ． 点睛：考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，是基础知识要熟练掌握，解题的关键是：正确添加辅助线，将∠CAD放在直角三角形中． 24. 如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC'，DC'与AB交于点E，连接AC'，若AD＝AC'＝2，BD＝3，则点D到BC的距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，证△ADC'为等边三角形，利用解直角三角形求出DM=1，C'M=DM=，BM=2，在Rt△BMC'中，利用勾股定理求出BC'的长，在△BDC'中利用面积法求出DH的长，则可得出答案． 【详解】解：如图，连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H， ∵AD=AC′=2，D是AC边上的中点， ∴DC=AD=2， 由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'， ∴DC=DC'=2，BC=BC'，CM=C'M， ∴AD=AC′=DC'=2， ∴△ADC'为等边三角形， ∴∠ADC'=∠AC'D=∠C'AC=60°， ∵DC=DC'， ∴∠DCC'=∠DC'C=×60°=30°， 在Rt△C'DM中，∠DC'C=30°，DC'=2， ∴DM=1，C'M=DM=， ∴BM=BD-DM=3-1=2， 在Rt△BMC'中， BC'=， ∵S△BDC'=BC'•DH=BD•CM， ∴， ∴DH=， ∵∠DBC=∠DBC'， ∴点D到BC的距离为． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形翻折问题和解直角三角形以及勾股定理等，解题的关键是掌握相关性质并通过面积法求线段的长度． 25. 如图，直线与x轴交于点M，与y轴交于点A，过点A作，交x轴于点B，以AB为边在AB的右侧作正方形ABCA1，延长A1C交x轴于点B1，以A1B1为边在A1B1的右侧作正方形A1B1C1A2…按照此规律继续作下去，再将每个正方形分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，每个小正方形的每条边都与其中的一条坐标轴平行，正方形ABCA1，A1B1C1A2，…，中的阴影部分的面积分别为S1，S2，…，Sn，则Sn可表示为_____． 【答案】． 【解析】 【分析】因为所有的正方形都相似，所以只要求出第一个阴影正方形的面积和第二个阴影正方形与第一个阴影正方形的相似比即可依此规律求解.根据题意和正方形的性质可得，所以它们的正切相等，等于，据此可求出OB的长，再用OA－OB即为第一个阴影正方形的边长，于是S1可得；同理可求得与AB的关系，进而可求得与的关系；以此规律类推可求得Sn与S1的关系，整理即得答案. 【详解】解：在直线中，当时，；当时，； ∴，，∴， ∵，， ∴， ∴，∴． ∵正方形ABCA1中的四个小正方形都与△AOB全等， ∴第一个阴影正方形的边长为：， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∴， 同理可得，，…，． 故答案为． 【点睛】本题是一次函数与正方形的规律探求综合题，主要考查了一次函数与坐标轴的交点、正方形的性质、锐角三角函数和相似多边形的性质，难度较大，解答时需充分理解题意、注意知识的前后联系，解答的关键是找出解题的规律，正确得出Sn与S1的关系. 二．解答题（共4小题） 26. 为迎接“世界华人炎帝故里寻根节”，某工厂接到一批纪念品生产订单，按要求在15天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件20元，设第x天（1≤x≤15，且x为整数）每件产品的成本是p元，p与x之间符合一次函数关系，部分数据如表： 天数（x） 1 3 6 10 每件成本p（元） 7.5 8.5 10 12 任务完成后，统计发现工人李师傅第x天生产的产品件数y（件）与x（天）满足如下关系：y=， 设李师傅第x天创造的产品利润为W元． （1）直接写出p与x，W与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围： （2）求李师傅第几天创造的利润最大？最大利润是多少元？ （3）任务完成后．统计发现平均每个工人每天创造的利润为299元．工厂制定如下奖励制度：如果一个工人某天创造的利润超过该平均值，则该工人当天可获得20元奖金．请计算李师傅共可获得多少元奖金？ 【答案】（1）W=；（2）李师傅第8天创造的利润最大，最大利润是324元；（3）李师傅共可获得160元奖金 【解析】 【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以求得p与x，W与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围：（2）根据题意和题目中的函数表达式可以解答本题；（3）根据（2）中的结果和不等式的性质可以解答本题． 【详解】（1）设p与x之间的函数关系式为p=kx+b，则有 ，解得，， 即p与x的函数关系式为p=0.5x+7（1≤x≤15，x为整数）， 当1≤x＜10时， W=[20﹣（0.5x+7）]（2x+20）=﹣x2+16x+260， 当10≤x≤15时， W=[20﹣（0.5x+7）]×40=﹣20x+520， 即W=； （2）当1≤x＜10时， W=﹣x2+16x+260=﹣（x﹣8）2+324， ∴当x=8时，W取得最大值，此时W=324， 当10≤x≤15时， W=﹣20x+520， ∴当x=10时，W取得最大值，此时W=320， ∵324＞320， ∴李师傅第8天创造的利润最大，最大利润是324元； （3）当1≤x＜10时， 令﹣x2+16x+260=299，得x1=3，x2=13， 当W＞299时，3＜x＜13， ∵1≤x＜10， ∴3＜x＜10， 当10≤x≤15时， 令W=﹣20x+520＞299，得x＜11.05， ∴10≤x≤11， 由上可得，李师傅获得奖金的天数是第4天到第11天，李师傅共获得奖金为：20×（11﹣3）=160（元）， 即李师傅共可获得160元奖金． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用等，明确题意，找出各个量之间的关系，确立函数解析式，利用函数的性质进行解答是关键. 27. 如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，∠D＝30°，AB＝BC． （1）求∠A+∠C的度数； （2）连接BD，探究AD，BD，CD三者之间的数量关系，并说明理由； （3）若AB＝1，点E在四边形ABCD内部运动，且满足AE2＝BE2+CE2，求点E运动路径的长度． 【答案】（1）270°；（2）DB2＝DA2+DC2；（3）． 【解析】 【分析】（1）利用四边形内角和定理计算即可； （2）连接BD．以BD为边向下作等边三角形△BDQ．想办法证明△DCQ是直角三角形即可解决问题； （3）如图3中，连接AC，将△ACE绕点A顺时针旋转60°得到△ABR，连接RE．想办法证明∠BEC=150°即可解决问题. 【详解】（1）如图1中， 在四边形ABCD中， ∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∠B＝60°，∠C＝30°， ∴∠A+∠C＝360°﹣60°﹣30°＝270°； （2）如图2中，结论：DB2＝DA2+DC2， 理由：连接BD，以BD为边向下作等边三角形△BDQ， ∵∠ABC＝∠DBQ＝60°， ∴∠ABD＝∠CBQ， ∵AB＝BC，DB＝BQ， ∴△ABD≌△CBQ， ∴AD＝CQ，∠A＝∠BCQ， ∵∠A+∠BCD＝∠BCQ+∠BCD＝270°， ∴∠DCQ＝90°， ∴DQ2＝DC2+CQ2， ∵CQ＝DA，DQ＝DB， ∴DB2＝DA2+DC2； （3）如图3中， 连接AC，将△ACE绕点A顺时针旋转60°得到△ABR，连接RE，则△AER是等边三角形， ∵EA2＝EB2+EC2，EA＝RE，EC＝RB， ∴RE2＝RB2+EB2， ∴∠EBR＝90°， ∴∠RAE+∠RBE＝150°， ∴∠ARB+∠AEB＝∠AEC+∠AEB＝210°， ∴∠BEC＝150°， ∴点E的运动轨迹在O为圆心的圆上，在⊙O上取一点K，连接KB，KC，OB，OC， ∵∠K+∠BEC＝180°， ∴∠K＝30°，∠BOC＝60°， ∵OB＝OC， ∴△OBC是等边三角形， ∴点E的运动路径． 【点睛】本题考查四边形综合题、等边三角形的判定和性质、勾股定理以及逆定理、弧长公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 28. 已知：如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，过点C的切线与直径AB的延长线相交于点P，连接PD． （1）求证：PD是⊙O的切线． （2）求证：． （3）若PD=4，，求直径AB的长． 【答案】 （1）证明：连接OD，OC， ∵PC是⊙O的切线， ∴∠PCO=90°， ∵AB⊥CD，AB是直径， ∴= ， ∴∠DOP=∠COP， 在△DOP和△COP中， ， ∴△DOP≌△COP（SAS）， ∴∠PDO=∠PCO=90°， ∵D在⊙O上， ∴PD是⊙O的切线； （2）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∵∠PDO=90°， ∴∠ADO=∠PDB=90°-∠BDO， ∵OA=OD， ∴∠A=∠ADO， ∴∠A=∠PDB， ∵∠BPD=∠BPD， ∴△PDB∽△PAD， ∴， ∴； （3）AB=6． 【解析】 【分析】（1）连接OD、OC，证△PDO≌△PCO，得出∠PDO=∠PCO=90°，根据切线的判定推出即可； （2）求出∠A=∠ADO=∠PDB，根据相似三角形的判定推出△PDB∽△PAD，根据相似三角形的性质得出比例式，即可得出答案； （3）根据相似得出比例式，求得PA、PB的值，利用AB=PA-PB即可求出答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵DC⊥AB， ∴∠ADB=∠DMB=90°， ∴∠A+∠DBM=90°，∠CDB+∠DBM=90°， ∴∠A=∠CDB， ∵， ∴， ∵△PDB∽△PAD， ∴ ∵PD=4， ∴PB=2，PA=8， ∴AB=8-2=6． 【点睛】 本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目质量好，有一定的难度． 29. 如图，对称轴为直线x=1的抛物线y=x2﹣bx+c与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于C点，且+=﹣． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线顶点为D，直线BD交y轴于E点； ①设点P为线段BD上一点（点P不与B、D两点重合），过点P作x轴的垂线与抛物线交于点F，求△BDF面积的最大值； ②在线段BD上是否存在点Q，使得∠BDC=∠QCE？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3；（2）①当a=2时，S最大=﹣4+8﹣3=1；②存在点Q坐标为（，）. 【解析】 【详解】分析：（1）应用对称轴方程、根与系数关系求b，c （2）①设出点P坐标表示△BDF面积，求最大值； ②利用勾股定理逆定理，证明∠BDC=90°，则QC⊥y轴，问题可解． 详解：（1）∵抛物线对称轴为直线x=1 ∴-＝1 ∴b=2 由一元二次方程根与系数关系： x1+x2=-，x1x2=， ∴， ∴， 则c=-3， ∴抛物线解析式为：y=x2-2x-3； （2）由（1）点D坐标为（1，-4）， 当y=0时，x2-2x-3=0， 解得x1=-1，x2=3， ∴点B坐标为（3，0）， ①设点F坐标为（a，b）， ∴△BDF的面积S=×（4-b）（a-1）+（-b）（3-a）-×2×4， 整理的S=2a-b-6， ∵b=a2-2a-3， ∴S=2a-（a2-2a-3）-6=-a2+4a-3， ∵a=-1＜0， ∴当a=2时，S最大=-4+8-3=1， ②存在. 如图，由B，C，D可知， BC=，CD=，BD=， ∵，即， ∴， ∴， ∵点Q再线段BD上，所以设点Q的坐标为， 过点Q作QH⊥y轴于点H， 当时，， 此时， 解得， ∴， ∴点Q的坐标为. 点睛：本题是二次函数综合题，考查一元二次方程根与系数关系、二次函数图象性质及勾股定理逆定理．在求△BDF面积时，合理设出未知数可以简化计算． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年内江市隆昌市蓝天育才学校中考数学模拟六 一．选择题（共12小题） 1. 的绝对值（ ） A. B. 5 C. D. 2. 在“十四五”规划的开局之年，成都一如既往是全省的“领头羊”，上半年地区生产总值为9602.72亿元．将数据“9602.72亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 若点与点关于原点成中心对称，则的值是（　　） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 4. 分式方程的解为（ ） A. B. C. D. 5. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，DE∥AB，若∠CDE=165°，则∠B的度数为（　　） A. 15° B. 55° C. 65° D. 75° 8. 函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 9. 不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是的直径，点、在圆周上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在矩形ABCD中，，，当直角三角板MPN的直角顶点P在BC边上移动时，直角边MP始终经过点A，设直角三角板的另一直角边PN与CD相交于点，，那么y与x之间的函数图象大致是　　 A. B. C. D. 12. 已知抛物线，且．判断下列结论：①；②；③抛物线与x轴正半轴必有一个交点；④当时，；⑤该抛物线与直线有两个交点，其中正确结论的个数（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二．填空题（共4小题） 13. 分解因式：______． 14. 对于实数a、b，定义运算“*”：a*b＝，例如：4*2，所以4*2＝42﹣4×2＝8，若x1、x2是一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的两个根，那么x1*x2＝_________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别是，，，则函数的图象经过点，则的值为______ ． 16. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连接，则线段的最大值是 ________． 三．解答题（共5小题） 17. 计算： 18. 如图，在平行四边形中，E、F分别是的中点，，垂足为E，，垂足为F，与相交于点G． （1）证明：． （2）若，求四边形的对角线的长． 19. 随着通讯技术的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下所示两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题： （1）本次调研活动共调研了多少名学生，表示“QQ”的扇形圆心角的度数是多少． （2）请你补充完整条形统计图； （3）如果该校有2000名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有多少名？ 20. 如图，甲建筑物AD，乙建筑物BC的水平距离为90m，且乙建筑物的高度是甲建筑物高度的6倍，从E(A，E，B在同一水平线上）点测得D点的仰角为30°，测得C点的仰角为60°，求这两座建筑物顶端C、D间的距离（计算结果用根号表示，不取近似值）． 21. 如图，一次函数的图象分别交轴、轴于，两点，交反比例函数图象于，两点． （1）求直线的表达式； （2）点是线段上一点，若，求点的坐标． B卷 一．填空题（共4小题） 22. 已知，则一次函数的图象与坐标轴围成的面积是_____． 23. 如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=BD，连接AC，若tanB=，则tan∠CAD的值_____． 24. 如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC'，DC'与AB交于点E，连接AC'，若AD＝AC'＝2，BD＝3，则点D到BC的距离为_____． 25. 如图，直线与x轴交于点M，与y轴交于点A，过点A作，交x轴于点B，以AB为边在AB的右侧作正方形ABCA1，延长A1C交x轴于点B1，以A1B1为边在A1B1的右侧作正方形A1B1C1A2…按照此规律继续作下去，再将每个正方形分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，每个小正方形的每条边都与其中的一条坐标轴平行，正方形ABCA1，A1B1C1A2，…，中的阴影部分的面积分别为S1，S2，…，Sn，则Sn可表示为_____． 二．解答题（共4小题） 26. 为迎接“世界华人炎帝故里寻根节”，某工厂接到一批纪念品生产订单，按要求在15天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件20元，设第x天（1≤x≤15，且x为整数）每件产品的成本是p元，p与x之间符合一次函数关系，部分数据如表： 天数（x） 1 3 6 10 每件成本p（元） 7.5 8.5 10 12 任务完成后，统计发现工人李师傅第x天生产的产品件数y（件）与x（天）满足如下关系：y=， 设李师傅第x天创造的产品利润为W元． （1）直接写出p与x，W与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围： （2）求李师傅第几天创造的利润最大？最大利润是多少元？ （3）任务完成后．统计发现平均每个工人每天创造的利润为299元．工厂制定如下奖励制度：如果一个工人某天创造的利润超过该平均值，则该工人当天可获得20元奖金．请计算李师傅共可获得多少元奖金？ 27. 如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，∠D＝30°，AB＝BC． （1）求∠A+∠C的度数； （2）连接BD，探究AD，BD，CD三者之间的数量关系，并说明理由； （3）若AB＝1，点E在四边形ABCD内部运动，且满足AE2＝BE2+CE2，求点E运动路径的长度． 28. 已知：如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，过点C的切线与直径AB的延长线相交于点P，连接PD． （1）求证：PD是⊙O的切线． （2）求证：． （3）若PD=4，，求直径AB的长． 29. 如图，对称轴为直线x=1的抛物线y=x2﹣bx+c与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于C点，且+=﹣． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线顶点为D，直线BD交y轴于E点； ①设点P为线段BD上一点（点P不与B、D两点重合），过点P作x轴的垂线与抛物线交于点F，求△BDF面积的最大值； ②在线段BD上是否存在点Q，使得∠BDC=∠QCE？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $