精品解析：浙江省宁波市余姚市临山镇初级中学2021-2022学年九年级下学期模拟考试数学试题

临山镇初级中学2021-2022学年度九年级下学期模拟训练 数 学 考生须知： 1．全卷分试题卷Ⅰ、试题卷Ⅱ和答题卷，试题卷共6页，有三个大题，24个小题，满分为150分，考试时长为120分钟． 2．请将姓名、准考证号分别填写在试题卷和答题卷的规定位置上． 3．答题时，把试题卷Ⅰ的答案在答题卷Ⅰ上对应的选项位置用2B铅笔涂黑、涂满，将试题卷Ⅱ的答案用黑色字迹的钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题卷Ⅱ各题目规定区域内作答，做在试题卷上或超出答题卷区域书写的答案无效． 4．不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 试题卷Ⅰ 一、选择题（每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 的倒数的相反数是（ ） A. B. 2022 C. D. 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 据宁波市统计局年报，2021年我市拥护户籍人口618.3万人，618.3万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是由五个相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 为了参加市中学生篮球赛，某校一支篮球队购买了10双运动鞋，尺码如下表：则这10双运动鞋尺码的众数和中位数分别为（　　） 尺码（） 25 25.5 26 26.5 27 购买量（双） 2 2 2 3 1 A. B. C. D. 6. 北京2022冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到大家的喜爱，某网店出售这两种吉祥物礼品，售价如图所示．小明妈妈一共买10件礼品，总共花费不超过900元，如果设购买冰墩墩礼品件，则能够得到的不等式是（       ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，为上一点且于点，连接，则的值等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，以B为圆心，BC为半径画弧交AD于点E，则扇形EBC的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 抛物线 经过（-2，m），（1，m）两点，若点A（x1，y1），B（x2，y2），也在抛物线上，且满足，，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 10. 如图，直线，现将一个边长等于、之间距离的正方形按如图所示的方式放置，正方形的四个顶点中、落在与之间，正方形的四条边与、分别交于点、、、，连结、交于点．若要求和的周长之和，则只需知道（ ） A. 的长 B. 的长 C. 的周长 D. 四边形的周长 试题卷Ⅱ 二、填空题（每小题5分，共30分） 11. 分解因式：=_______． 12. 一组数据，，，，的平均数是，则这组数据的中位数是__________． 13. 任意抛掷一只纸杯200次，经过统计发现“杯口朝上”的次数为44次，则由此可以估计这只纸杯出现“杯口朝上”的概率为___________． 14. 如图，已知△ABC是一个水平放置圆锥的主视图，AB=AC=5cm，，则圆锥的侧面积为__________cm2． 15. 如图，点A，C在反比例函数的图象上，点B，D在反比例函数的图象上， 轴，当点O，A，D在同一条直线上时，的值为________． 16. 如图，正方形的边长为4，正方形的边长为，将正方形绕点C旋转，和相交于点K，则的最大值是 ___________，连接，当点C正好是的内心时，的长是 ___________． 三、解答题（本大题共有8题，共80分，其中17、18、19题各8分，20、21、22题各10分，23题12分，24题14分） 17. 解不等式组、化简： （1） （2） 18. 如图，十个完全相同的小矩形拼成一个大矩形，点、、落在小矩形的顶点处，请在大矩形中完成下列作图，要求： ①仅用无刻度的直尺；②保留作图痕迹； ③作出的点只能落在小矩形的顶点或边上． （1）连结，在图1中找到一个点，使； （2）连结，在图2中找到一个点，使； （3）在图3中找到一个点，使以、、、四点组成的四边形为中心对称图形． 19. 疫情期间，某社区为了了解社区居民参加志愿者活动的情况，随机调查统计了50名社区志愿者参加活动的次数，并将数据整理如下： 参加志愿者活动次数的频数表 活动次数x 频数 频率 10 0.20 a b 16 0.32 6 0.12 6 0.12 根据以上图表信息，解答下列问题： （1）表中的____，____，并把频数直方图补充完整； （2）若这50名社区志愿者参加志愿者活动次数的中位数是5.5次，那么这些志愿者中参加过6次志愿者活动的人数有多少？ （3）若该社区共有2000名居民，其中的居民参加了志愿者活动，若活动次数超过6次的志愿者将被评为优秀志愿者，请估计该社区优秀志愿者的人数． 20. 已知A，B两地相距256千米，早上9点甲车从A地出发去B地，20分钟后，乙车从B地出发去A地．两车离开各自出发地的路程（千米）与时间（小时）的函数关系如图所示． （1）求乙车的与的函数关系式； （2）几时几分两车相遇？相遇时离B地的路程多少？ 21. 二次函数的自变量x与函数值y的对应值如下表，根据下表回答问题． x … －3 －2 －1 0 … y … －2 －2 0 4 … （1）该二次函数与y轴交点是 ，对称轴是 ． （2）求出该二次函数的表达式； （3）向下平移该二次函数，使其经过原点，求出平移后图像所对应的二次函数表达式． 22. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A的坐标为，C坐标为，双曲线上经过点C，直线CD：在经过点C交y轴于点D，与双曲线的另一分支相交于点． （1）分别求双曲线和直线的函数关系式； （2）判断点B是否在双曲线上； （3）当时，直接写出x的取值范围． 23. 【基础巩固】 （1）如图1，在中，，，点为延长线上一点，连结，将线段绕点逆时针旋转90°得到线段，连结．求证：； 【尝试应用】 （2）如图2，在（1）的条件下，连接，若交于点，已知，，求线段的长； 【拓展提高】 （3）如图3，在正方形中，点是对角线延长线上的一点，连结，过点作的垂线交于点，交边于点，若，，求的长． 24. 如图，四边形内接于半圆，是半圆的直径，是半圆的切线，交的延长线于点，，与相交于点，连接并延长交的延长线于点，连接． （1）求证：． （2）探究与的数量关系． （3）求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临山镇初级中学2021-2022学年度九年级下学期模拟训练 数 学 考生须知： 1．全卷分试题卷Ⅰ、试题卷Ⅱ和答题卷，试题卷共6页，有三个大题，24个小题，满分为150分，考试时长为120分钟． 2．请将姓名、准考证号分别填写在试题卷和答题卷的规定位置上． 3．答题时，把试题卷Ⅰ的答案在答题卷Ⅰ上对应的选项位置用2B铅笔涂黑、涂满，将试题卷Ⅱ的答案用黑色字迹的钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题卷Ⅱ各题目规定区域内作答，做在试题卷上或超出答题卷区域书写的答案无效． 4．不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 试题卷Ⅰ 一、选择题（每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 的倒数的相反数是（ ） A. B. 2022 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵的倒数为，的相反数为， ∴的倒数的相反数是． 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项、积的乘方、同底数幂乘法和单项式除以单项式法则进行计算并判断即可． 【详解】解：A. ，原计算错误，不合题意； B. ，原计算错误，不合题意； C. ，计算正确，符合题意； D. ，原计算错误，不合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了合并同类项、积的乘方法则：、同底数幂乘法法则：和单项式除以单项式法则，熟练掌握相关计算法则是解题的关键． 3. 据宁波市统计局年报，2021年我市拥护户籍人口618.3万人，618.3万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数． 【详解】解：万． 故选：D． 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 4. 如图，是由五个相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】要判断这个几何体的俯视图即从上面看这个几何体即可做出判断． 【详解】要判断这个几何体的俯视图即从上面看这个几何体，从上面看这个几何体之后发现只有A选项符合． 故选择A． 【点睛】本题考查三视图的知识，掌握俯视图是从物体的上面看得到的视图是解答本题的关键． 5. 为了参加市中学生篮球赛，某校一支篮球队购买了10双运动鞋，尺码如下表：则这10双运动鞋尺码的众数和中位数分别为（　　） 尺码（） 25 25.5 26 26.5 27 购买量（双） 2 2 2 3 1 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“众数是一组数据中出现最多的数据”和中位数“将一组数据按照由小到大（由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数，称为这组数据的中位数”进行解答即可得． 【详解】解：根据表格可知，26.5出现次数最多，则众数为26.5， 将这10双运动鞋尺码由小到大排序为：25，25，25.5，25.5，26，26，26.5，26.5，26.5，27， 则中位数是26， 即这10双运动鞋尺的众数为26.5，中位数是26， 故选：B． 【点睛】本题考查了众数，中位数，解题的关键是掌握众数和中位数． 6. 北京2022冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到大家的喜爱，某网店出售这两种吉祥物礼品，售价如图所示．小明妈妈一共买10件礼品，总共花费不超过900元，如果设购买冰墩墩礼品件，则能够得到的不等式是（       ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设购买冰墩墩礼品件，则购买雪容融件，再根据总共花费不超过900元即可列出不等式． 【详解】解：设购买冰墩墩礼品件，则购买雪容融件， 由题意得， 故选D． 【点睛】本题主要考查了列不等式，正确理解题意找到不等关系是解题的关键． 7. 如图，在中，，为上一点且于点，连接，则的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，设，则，先解求出，再解求出，进而求出，最后根据正切的定义即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴可设， ∴， ∵在中，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8. 如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，以B为圆心，BC为半径画弧交AD于点E，则扇形EBC的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据锐角三角函数求得到∠AEB＝30°，则∠CBE＝30°，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm， ∴BE＝BC＝12cm，∠A＝90°，AD∥BC， ∵ sin∠AEB＝， ∴∠AEB＝30°， ∴∠CBE＝∠AEB＝30°， ∴S扇形EBC＝＝12π（cm2）， 故选：C． 【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键． 9. 抛物线 经过（-2，m），（1，m）两点，若点A（x1，y1），B（x2，y2），也在抛物线上，且满足，，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的对称轴求出a=b，计算即可判断； 【详解】解：∵抛物线经过（-2，m），（1，m），可知对称轴为：，即a=b， ，， ， ∵，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∴，即， 故选： A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，利用对称性求出对称轴从而得出a，b关系是解题关键． 10. 如图，直线，现将一个边长等于、之间距离的正方形按如图所示的方式放置，正方形的四个顶点中、落在与之间，正方形的四条边与、分别交于点、、、，连结、交于点．若要求和的周长之和，则只需知道（ ） A. 的长 B. 的长 C. 的周长 D. 四边形的周长 【答案】A 【解析】 【分析】设正方形的边长为a，如图，将、分别同时向下平移相同的距离，则和的距离还是a，使得经过点B，交于M，交于N，连结，过H作交于K，作于Q，作于T，交于P．先证明，，可得．由四边形为平行四边形，可得，再证明，得出．同理．即可得出． 【详解】解：设正方形的边长为a， 如图，将、分别同时向下平移相同的距离，则和的距离还是a，使得经过点B，交于M，交于N，连结，过H作交于K，作于Q，作于T，交于P． 则． 在和中，， ∴， ∴， 同理， 得． ∴． ∵， ∴四边形为平行四边形． ∴， 由平移得． ∵， ∴． 作，交于点， ∴． ∵． ∴． ∴， ∴． 同理． ∴． 则 ， 则要求和的周长之和，则只需知道的长． 试题卷Ⅱ 二、填空题（每小题5分，共30分） 11. 分解因式：=_______． 【答案】． 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，先提取公因式5后继续应用平方差公式分解即可. 【详解】解： = =． 12. 一组数据，，，，的平均数是，则这组数据的中位数是__________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了中位数、平均数，将数据从小到大依次排列是解题的关键．根据平均数的定义可以先求出的值，再根据中位数的定义求出这组数的中位数即可． 【详解】解：利用平均数的计算公式，得)， 解得， 这组数据为，，，，，中位数为． 故答案为：． 13. 任意抛掷一只纸杯200次，经过统计发现“杯口朝上”的次数为44次，则由此可以估计这只纸杯出现“杯口朝上”的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据“”分别计算出几次试验杯口朝上的频率；再根据“当试验次数足够大时，试验频率稳定于理论概率”用频率估计概率即可． 【详解】∵任意抛掷一只纸杯200次，经过统计发现“杯口朝上”的次数为44次， ∴这只纸杯出现“杯口朝上”的概率为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解答此题关键是用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 14. 如图，已知△ABC是一个水平放置圆锥的主视图，AB=AC=5cm，，则圆锥的侧面积为__________cm2． 【答案】15π 【解析】 【详解】由题意可知圆锥底面圆的半径=5×=3（cm）， 所以此圆锥的侧面积=×2π×3×5=15π（cm2）． 故答案为15π． 15. 如图，点A，C在反比例函数的图象上，点B，D在反比例函数的图象上， 轴，当点O，A，D在同一条直线上时，的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】延长BA交x轴于点E，延长DC交x轴于点F，根据反比例函数比例系数的几何意义可得，再由，可得，从而得到，然后根据，，即可求解． 【详解】解∶如图，延长BA交x轴于点E，延长DC交x轴于点F， ∵点A，在反比例函数的图象上，点D在反比例函数的图象上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴，， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了反比函数比例系数的几何意义，相似三角形的判定和性质，熟练掌握反比函数比例系数的几何意义，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 16. 如图，正方形的边长为4，正方形的边长为，将正方形绕点C旋转，和相交于点K，则的最大值是 ___________，连接，当点C正好是的内心时，的长是 ___________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】连接，，和，，交于点O，，交于点M，作于Q，作于R，证明，从而确定点K在以为直径的圆上运动；根据内心特征，确定内心点C到的距离，进一步得出结果． 【详解】解：如图， 连接，，和，，交于点O，，交于点M，作于Q，作于R， ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点K在以为直径的圆O上运动， ∴当为圆O直径时，最大，此时点K于点C重合， ∴， 当点C为的内心时， ，，分别平分，和， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴点B、C、F共线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理的推论，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关综合知识，添加合适的辅助线． 三、解答题（本大题共有8题，共80分，其中17、18、19题各8分，20、21、22题各10分，23题12分，24题14分） 17. 解不等式组、化简： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， 解①得 ， 解②得 ， 因此原不等式组的解集为 ； 【小问2详解】 解：原式       ． 18. 如图，十个完全相同的小矩形拼成一个大矩形，点、、落在小矩形的顶点处，请在大矩形中完成下列作图，要求： ①仅用无刻度的直尺；②保留作图痕迹； ③作出的点只能落在小矩形的顶点或边上． （1）连结，在图1中找到一个点，使； （2）连结，在图2中找到一个点，使； （3）在图3中找到一个点，使以、、、四点组成的四边形为中心对称图形． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 （3）作图见解析 【解析】 【分析】（1）设小矩形的长为，宽为，由题意知，，如图1，连接，使，，可得； （2）如图2，连接，使，则，进而可知； （3）如图3，连接、、、，使，，可得四边形是平行四边形，由平行四边形是中心对称图形可知点即为所求． 【小问1详解】 解：设小矩形的长为，宽为， 由题意知，， 如图1，连接， ∵，，， ∴，， ∴， ∴点即为所求． 【小问2详解】 解：如图2，连接， ∵，，， ∴， ∴，即， ∴点即为所求． 【小问3详解】 解：如图3，连接、、、， ∵，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形，是中心对称图形， ∴点即为所求． 【点睛】本题考查了作图-旋转变换，矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理与勾股定理的逆定理等知识．解题的关键在于理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 19. 疫情期间，某社区为了了解社区居民参加志愿者活动的情况，随机调查统计了50名社区志愿者参加活动的次数，并将数据整理如下： 参加志愿者活动次数的频数表 活动次数x 频数 频率 10 0.20 a b 16 0.32 6 0.12 6 0.12 根据以上图表信息，解答下列问题： （1）表中的____，____，并把频数直方图补充完整； （2）若这50名社区志愿者参加志愿者活动次数的中位数是5.5次，那么这些志愿者中参加过6次志愿者活动的人数有多少？ （3）若该社区共有2000名居民，其中的居民参加了志愿者活动，若活动次数超过6次的志愿者将被评为优秀志愿者，请估计该社区优秀志愿者的人数． 【答案】（1）12；0.24； （2）13 （3）96人 【解析】 【分析】（1）将样本容量50减去已知的频数即可求出a的值，将a除以50即可得到b的值，进而补全频数分布直方图； （2）根据中位数可得有25名志愿者参加志愿活动的次数不超过5次，求出参加志愿活动的次数x在的人数，即可求解； （3）将社区居民总数2000乘以参加志愿活动的比例，再乘以样本中优秀志愿者的比例即可求解． 【小问1详解】 解：， ． 补全频数分布直方图略． 【小问2详解】 解：∵这50名社区志愿者参加志愿者活动次数的中位数是5.5次， ∴志愿者参加志愿活动次数从少到多排序后，第25,26个数据是5,6， ∴有25名志愿者参加志愿活动的次数不超过5次， ∵参加志愿活动的次数x在的有， ∴这些志愿者中参加过6次志愿者活动的人数为． 【小问3详解】 解：（人） 答：估计该社区优秀志愿者有96人． 20. 已知A，B两地相距256千米，早上9点甲车从A地出发去B地，20分钟后，乙车从B地出发去A地．两车离开各自出发地的路程（千米）与时间（小时）的函数关系如图所示． （1）求乙车的与的函数关系式； （2）几时几分两车相遇？相遇时离B地的路程多少？ 【答案】（1） （2）两车在相遇，相遇时离B地的路程为140.8千米 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法求出甲车的函数关系式，进而求出两图象的交点，即可求出乙车的函数关系式； （2）相遇时两车行驶的路程之和等于总路程，据此建立方程求解，再根据相遇时两车距B地的距离为乙车行驶的路程解答． 【小问1详解】 解：设甲车离开出发地的路程y关于时间x的函数关系式为， 由图可得，该函数图象过点， ∴，解得， ∴甲车离开出发地的路程y关于时间x的函数关系式为． 由图象可得，两车的图象在处相交， 当时，， ∴乙车的图象过点． 设乙车离开出发地的路程y关于时间x的函数关系式为， 由图可得，该函数图象过点，， ∴，解得， ∴乙车离开出发地的路程y关于时间x的函数关系式为． 当乙车到达A地时，， ∴，解得， ∴乙车行驶的时间x的取值范围为， ∴乙车的与的函数关系式为． 【小问2详解】 解：当两车相遇时，， ∴， 解得， ∵甲车从早上出发，1.8小时小时48分钟， ∴， ∴两车在相遇． 相遇时，两车距B地的距离为乙车行驶的路程， 当时，， ∴相遇时离B地的路程为140.8千米． 21. 二次函数的自变量x与函数值y的对应值如下表，根据下表回答问题． x … －3 －2 －1 0 … y … －2 －2 0 4 … （1）该二次函数与y轴交点是 ，对称轴是 ． （2）求出该二次函数的表达式； （3）向下平移该二次函数，使其经过原点，求出平移后图像所对应的二次函数表达式． 【答案】（1）， （2）． （3） 【解析】 【分析】（1）根据表格信息可知二次函数与y轴交点是（0，4），利用二次函数的对称性可知横坐标不同时对应的纵坐标相等，则该两点关于对称轴对称，根据中点坐标公式可求出对称轴． （2）利用待定系数法将点的坐标代入进解析式求出待定系数即可． （3）根据过原点的二次函数解析式的特点可知形如，直接将二次函数的图像向下平4个单位即可． 【小问1详解】 解：由表格可知，该二次函数图像与y轴交点是（0，4），对称轴是直线． 【小问2详解】 解：把（－2，－2）、（－1，0），（0，4）代入 得 解得 ∴二次函数解析式为； 【小问3详解】 解：要使二次函数图像经过原点，则函数表达式形如 将函数的图像向下平4个单位即可． 则平移后图像所对应的二次函数表达式为 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，能够根据图表信息求出函数表达式，以及熟知函数的性质是解决本题的关键． 22. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A的坐标为，C坐标为，双曲线上经过点C，直线CD：在经过点C交y轴于点D，与双曲线的另一分支相交于点． （1）分别求双曲线和直线的函数关系式； （2）判断点B是否在双曲线上； （3）当时，直接写出x的取值范围． 【答案】（1）， （2）点B在双曲线上 （3）或 【解析】 【分析】（1）因为点在双曲线上，所以代入P点坐标即可求出双曲线的函数关系式，又因为点C（2，m）在双曲线上，代入即可求出m的值，得到C的坐标，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式； （2）先求出点B的坐标，判断即可得出结论； （3）根据图象直接得出结论． 【小问1详解】 解∶ 把点代入双曲线， 得， ∴反比例函数的解析式为， 把点C（2，m）代入双曲线， 得， ∴C（2，2）， 把P，C的坐标代入， 得， ∴， ∴直线的函数关系式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴D（0，1） ∵四边形ABCD是菱形，A（2，0），C（2，2）， ∴B（4，1）， 由（1）知双曲线的解析式为， ∵， ∴点B在双曲线上； 【小问3详解】 解：由（1）知C（2，2），由图象知，当时的x值的范围为或． 【点睛】此题是一次函数与反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，菱形的性质，求出点B的坐标是解本题的关键． 23. 【基础巩固】 （1）如图1，在中，，，点为延长线上一点，连结，将线段绕点逆时针旋转90°得到线段，连结．求证：； 【尝试应用】 （2）如图2，在（1）的条件下，连接，若交于点，已知，，求线段的长； 【拓展提高】 （3）如图3，在正方形中，点是对角线延长线上的一点，连结，过点作的垂线交于点，交边于点，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质得出，，根据可证明； （2）证出，求出的长，则可得出答案； （3）延长至点，使得，证明，由相似三角形的性质得出，设，则，得出，，由比例线段求出，证明，由相似三角形的性质得出，则可得出答案． 【小问1详解】 证明：线段绕点逆时针旋转90°得到线段 ， 又 又， 【小问2详解】 解：， ， ， ，， 设，， ， ， ， ； 【小问3详解】 延长至点，使得， 同（1）得， ，， ， 连结，交于点， 在正方形中，， ∴， ∴， ∴， ， 设，则， ，， ， 解得：， ，， 又， ， ， ， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 24. 如图，四边形内接于半圆，是半圆的直径，是半圆的切线，交的延长线于点，，与相交于点，连接并延长交的延长线于点，连接． （1）求证：． （2）探究与的数量关系． （3）求的值． 【答案】（1）见解析 （2），见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由切线的性质得到，再由得到，最后由平行线的判定方法解答； （2）连接OD，由平行线的性质判定，由相似三角形对应边成比例证得，继而证明四边形DOCG是菱形，再证明，由全等三角形对应边相等证得OF=FG，最后根据相似三角形的性质解答； （3）过点G作BC的延长线于点H，证明是等边三角形，四边形ECHG是矩形，设，，，继而解得BH=，最后根据正切的定义解答即可． 【小问1详解】 解：是半圆的切线， ， ， ， ， //BC； 【小问2详解】 连接OD， //BC， ， ， ， ， ， ， ， ， //OC， 四边形DOCG是平行四边形， ， 四边形DOCG是菱形， ， ， ， ， ， ， 【小问3详解】 过点G作BC的延长线于点H， ， ， 四边形DOCG是菱形， ， 是等边三角形， 设，， ， BC，， ， 四边形ECHG是矩形， ， ， 中， ． 【点睛】本题考查几何与圆的综合，涉及切线的性质、菱形的判定与性质、矩形的判定与性质、正切、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $