精品解析：浙江省宁波实验学校2021-2022学年九年级下学期 起始考数学试卷

浙江省宁波实验学校2021-2022学年九年级（下）起始考数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 一、选择题（共10小题，共40分） 1. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 三角形的外心到三边的距离相等 B. 某射击运动员射击一次，命中靶心 C. 任意画一个三角形，其内角和是 180° D. 抛一枚硬币，落地后正面朝上 【答案】C 【解析】 【详解】分析：必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可作出判断． 详解：A、三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，三角形的内心到三边的距离相等，是不可能事件，故本选项不符合题意； B、某射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故本选项不符合题意； C、三角形的内角和是180°，是必然事件，故本选项符合题意； D、抛一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件，故本选项不符合题意； 故选C． 点睛：解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 2. 在中，，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，可得答案． 【详解】解：， 故选：B． 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 3. 在平面直角坐标系xOy中，以点(－3，4)为圆心，4为半径的圆( ) A. 与x轴相交，与y轴相切 B. 与x轴相离，与y轴相交 C. 与x轴相切，与y轴相交 D. 与x轴相切，与y轴相离 【答案】C 【解析】 【详解】分析：首先画出图形，根据点的坐标得到圆心到X轴的距离是4，到Y轴的距离是3，根据直线与圆的位置关系即可求出答案． 解答：解：圆心到X轴的距离是4，到y轴的距离是3， 4=4，3＜4， ∴圆与x轴相切，与y轴相交， 故选C． 4. 将抛物线向右平移3个单位，再向下平移5个单位，所得抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移规律：左加右减，上加下减．据此进行作答即可． 【详解】解：依题意，把抛物线向右平移3个单位，再向下平移5个单位， 所得抛物线的表达式为， 故选：A． 5. 如图，中，若，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在优弧上取点，连接、，根据圆周角定理可得，再根据圆内接四边形对角互补可得的度数． 【详解】解：如图，在优弧上取点，连接、， ， ， ． 6. 如图所示，已知是的内切圆，点是内心，若，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用三角形内角和定理求出，再利用点是的内心可得平分，平分，从而可求出，最后再利用三角形内角和定理进行计算即可解答． 【详解】解：， ， 是的内切圆，点是内心， 平分，平分， ，， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形内切圆与内心，熟练掌握三角形内心的意义是解题的关键． 7. 如图，正六边形中，，点是的中点，连接，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，过点作于，先由多边形的内角和结合正多边形的性质得到，再由，根据等腰三角形三线合一得到，的度数，进而得到，根据含角直角三角形的性质以及勾股定理可求得的长，最后在中，由勾股定理即可得解． 【详解】解：如图，连接，过点作于， 在正六边形中，． ， ，， ， 在中，， ， ， 点是的中点， ， 在中，． 8. 如图，在△ABC中，E，F，D分别是边AB、AC、BC上的点，且满足，则四边形AEDF占△ABC面积的（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】【分析】证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形面积比等于相似比的平方则可得S△AEF：S△ABC=1：16，再根据同底等高的三角形的面积比等于底的比，据此即可得. 【详解】连接EF，∵，∴EF∥BC，∴△ADE∽△ABC， ∴S△AEF：S△ABC=1：16， ∵△AEF和△CEF有同底EF，∴S△AEF：S△DEF=1：3， ∴四边形AEDF占△ABC面积的， 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关内容是解题的关键. 9. 已知抛物线的图象恰好只经过三个象限，则字母的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，由于二次函数的图象开口向上，其对称轴为，要使抛物线的图象恰好只经过三个象限，则函数只能不过第四象限，顶点在第三象限，且与轴的交点不经过负半轴，据此列出不等式组解答即可，熟练掌握二次函数的性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：， 抛物线的图象恰好只经过三个象限，且开口方向向上，其对称轴为，如图， ， ， 解得：， 故选：D． 10. 如图，是的直径，是切于A的切线，交于点D，E是劣弧的中点，连接交于点F，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】连接，由圆周角定理可得是直角三角形，作于H，如图，利用余弦定义，在中可计算出，在中可计算出，则，接着根据角平分线性质得，于是设，则，然后利用平行线的性质由得到，所以的值可求出x，即可求出． 【详解】解：连接，作于，如图， 是的直径， ， 是直角三角形， 在中，，， ， 是切于点A的切线， ， 是直角三角形，， 在中，， ， ， 是劣弧的中点， ，即平分， 而，， ， 设，则， ， ， 在中，， ， 解得， ． 二、填空题（本大题共6小题，共30分） 11. 某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，该十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到绿灯的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：∵经过一个十字路口，共有红、黄、绿三色交通信号灯， ∴在路口遇到红灯、黄灯、绿灯的概率之和是1， ∵在路口遇到红灯的概率为，遇到黄灯的概率为， ∴遇到绿灯的概率为 考点：概率的意义 点评：此题考查了概率的意义，用到的知识点是概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率 12. 一个小球由地面沿着坡度为的坡面向上前进，则此时小球距离地面的高度为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，过点B作，根据，则设，，由勾股定理得，，即，进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图所示，斜坡的坡度为，，过点B作， 在，， ∴设，， 由勾股定理得，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴，即此时小球距离地面的高度为， 故答案为：． 13. 抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，分别与相切于点C，D，延长交于点P．若，的半径为，则图中的长为________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】连接OC、OD，利用切线的性质得到，根据四边形的内角和求得，再利用弧长公式求得答案． 【详解】连接OC、OD， ∵分别与相切于点C，D， ∴， ∵，， ∴， ∴的长=（cm）， 故答案为：． 【点睛】此题考查圆的切线的性质定理，四边形的内角和，弧长的计算公式，熟记圆的切线的性质定理及弧长的计算公式是解题的关键． 14. 如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，若∠C=22.5°，AB=6cm，则阴影部分面积为_____． 【答案】 【解析】 【详解】试题解析：连接OA，OB， ∴阴影=扇形−△AOB 故答案为 点睛：扇形的面积公式： 15. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线沿y轴向下平移t个单位，当平移后的抛物线与线段有且只有一个交点时，则t的取值范围是______． 【答案】或 【解析】 【分析】当t向下平移3个单位时，抛物线与线段开始有两个交点，当抛物线向下平移个单位时，抛物线与线段有且只有一个交点，即可求解． 【详解】解：如图，当t向下平移3个单位时，抛物线与线段开始有两个交点， 如图，当抛物线向下平移3到4个单位（不含3和4个单位）时，抛物线与有两个交点， 当抛物线向下平移4个单位时，抛物线与线段有且只有一个交点， 综上所述，t的取值范围是或． 16. 如图，边长为的等边三角形中，、分别在、上，且，、相交于点，连接，若，则______度，的长为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】首先证明，设，由，可得，构建方程即可解决问题． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， ， ，即， 设，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 设， ，， ， ， ， ， 解得或（舍）， ． 三、解答题（本大题共7小题，共80分） 17. 漳州市教育局到某校抽查七年级学生 “根据音标写单词”的水平，随机抽取若干名学生进行测试（成绩取整数，满分为100分）．如下两幅是尚未绘制完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次抽取的学生有 人； （2）该年段有450名学生，若全部参加测试，请估计60分以上（含60分）有 人； （3）甲、乙、丙是该校三名英语成绩优秀的学生，随机抽取其中两名学生介绍英语学习经验，请用树状图或列表法表示所有可能的结果，并求抽到甲、乙两名学生的概率． 【答案】（1）50人 （2）432 （3）树状图详见解析;抽到甲,乙俩学生的概率为 【解析】 【分析】（1）根据第三组的频数为8，所占百分比为，即可求出本次抽取的学生总数； （2）先求出60分以上（含60分）所占百分比，再利用样本估计总体的思想，用450乘以这个百分比即可； （3）首先根据题意列表，然后由表格求得所有等可能的结果与抽到甲、乙两名学生的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【小问1详解】 解：（人； 【小问2详解】 解：，（人； 【小问3详解】 解：列表如下： 甲 乙 丙 甲 （甲，乙） （甲，丙） 乙 （乙，甲） （乙，丙） 丙 （丙，甲） （丙，乙） 共有6种情况，其中抽到甲、乙两名同学的是2种， 所以（抽到甲、乙两名同学）． 18. 如图，图①是某电脑液晶显示器的侧面图，显示屏可以绕点O旋转一定的角度．研究表明：显示屏顶端A与底座B的连线与水平线BC垂直时(如图②)，人观看屏幕最舒适．此时测得，求的长度．(结果精确到)（参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】过点作交于点．构造直角三角形，在中，计算出，在中， 计算出. 【详解】解：如图所示：过点作交于点． 在中， 又∵在中， 答：的长度为 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 19. 已知的直径，弦与弦交于点E．且，垂足为点F． （1）如图，如果，求弦的长； （2）如图，如果E为弦的中点，求的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，利用垂径定理和弦、圆心角之间的关系得，再根据圆周角定理得，，从而得出的长； （2）连接，证明，得，可得的长，设，，则，可得答案． 【小问1详解】 解：连接，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是直径， ， 在中，，， ． 【小问2详解】 解：连接， ∵E为的中点，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，， 则， ． 20. 如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥AD且与AC的延长线交于点E. (1)求证：DC＝DE； (2)若tan∠CAB＝，AB＝3，求BD的长. 【答案】(1)证明：连接OC， ∵CD是⊙O的切线， ∴∠OCD=90°， ∴∠ACO+∠DCE=90°， 又∵ED⊥AD， ∴∠EDA=90°， ∴∠EAD+∠E=90°， ∵OC=OA， ∴∠ACO=∠EAD， 故∠DCE=∠E， ∴DC=DE； (2)1. 【解析】 【分析】（1）利用切线的性质和等腰三角形的性质可以得出∠DCE=∠E，进而得出答案； （2）设BD=x，则AD=AB+BD=3+x，OD=OB+BD=1.5+x，利用勾股定理得出BD的长． 【详解】解：（1）略 （2）设BD=x，则AD=AB+BD=3+x，OD=OB+BD=1.5+x， 在Rt△EAD中，∵tan∠CAB=， ∴ED=AD=（3+x）， 由（1）知，DC=（3+x）， 在Rt△OCD中，， 则， 解得：（舍去），， 故BD=1． 【点睛】考点：1．切线的性质；2．勾股定理；3．解直角三角形；4．综合题． 21. 如图，直线与轴正半轴交于点，与轴交于点，经过，两点的抛物线与轴负半轴交于点． （1）求和的值； （2）过点作轴交该抛物线于点，连结交轴于点，连结． ①求的度数； ②在轴上有一动点，直线交抛物线于点，若时，求此时点的坐标． 【答案】（1），；（2）①；②或 【解析】 【分析】（1）先求出直线与y轴的交点B的坐标，然后把点B代入抛物线即可求出m，再求出抛物线与x轴的交点A的坐标，然后把点A代入直线的解析式即可求出k； （2）①先根据抛物线的对称性求出点D坐标，再利用待定系数法求出直线CD的解析式，进而可得直线与y轴的交点E的坐标，然后即可判断为等腰直角三角形，再根据三角形的外角性质和等腰三角形的性质即可证得结论； ②分两种情况：当直线与轴的交点在点的左侧时，根据等腰直角三角形的性质和已知条件可得，进而可根据AAS证明，于是得，即得点F坐标，求出直线BF的解析式后，再联立两个函数的解析式即可求出交点P的坐标；当直线与轴的交点在点的左侧时，同理可求得，然后利用三角函数即可求出点F的坐标，求出直线BF的解析式后，再联立两个函数的解析式即可求出交点P的坐标，从而可得结果． 【详解】解：（1）∵直线与轴交于点，∴， ∴，∴， 由得：x=3或﹣1，∴，， 把点代入，得，解得； （2）①∵轴，且、都在抛物线上， ∴点与点关于对称轴直线对称，即为， 设直线的解析式为y=ax+b，则，解得， ∴直线的解析式为， ∴点为， ∴OC=OE=1， ∴为等腰直角三角形， ∴． ②当直线与轴的交点在点的左侧时，如图， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，且， ∴， 又∵OB=OB，∠BOF=∠BOC=90°， ∴（AAS）， ∴，即． ∴直线的解析式为． 联立方程组得，解得（舍），， ∴的坐标为； 当直线与轴的交点在点的右侧时，如图， ∵， 又∵且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴直线的解析式为， 联立方程组得，解得（舍），， ∴点坐标为． 综上，点的坐标是或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式、两个函数的交点、等腰直角三角形的判定和性质、二次函数的图象与性质以及解直角三角形等知识，涉及的知识点多、综合性较强，熟练掌握上述知识、灵活应用数形结合思想是解题的关键． 22. 已知，是的直径，点在上，点是延长线上一点，连接． （1）如图1，若． ①求证：直线是的切线； ②若，，求的长． （2）如图2，若点是弧的中点，交于点，，求的值． 【答案】（1）①见解析；②；（2）3 【解析】 【分析】（1）①求出，证明即可； ②求出∠P＝30°，根据含30度直角三角形的性质和勾股定理即可解决问题； （2）连接MA，证明△AMC∽△NMA，可得，由此求出AM即可解决问题． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图2中，连接． ∵点是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了切线的判定，勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 23. 定义：若一个圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为圆美四边形． （1）请你写出一个你学过的特殊四边形中是圆美四边形的图形的名称______； （2）如图，在等腰中，，经过点A、B的圆交边于点D，交边于点E，连结．若四边形为圆美四边形，求的值； （3）如图，在中，经过A、B的圆交边于点D，交于点E，连结，交于点F．若在四边形的内部存在一点P，使得，连结交于点G，连结，若，．求证：四边形为圆美四边形． 【答案】（1）正方形 （2） （3）证明：，， ， ， ， ， ， 又， 即， ， ， 又，， ， 即， ， 又∵A，B，E，D在同一个圆上， ∴四边形为圆美四边形． 【解析】 【分析】（1）根据圆美四边形的定义直接得出结论； （2）先判断出，得出，； （3）先判断出∽，得出，进而判断出，得出，即可得出结论． 【小问1详解】 解：根据圆美四边形的定义可知，正方形是圆美四边形． 【小问2详解】 解：如图，连接，， ， 为的直径， ， 四边形为圆美四边形， ， ， ， ， ， ， 在等腰直角中，， ， ， ，， ． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省宁波实验学校2021-2022学年九年级（下）起始考数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 一、选择题（共10小题，共40分） 1. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 三角形的外心到三边的距离相等 B. 某射击运动员射击一次，命中靶心 C. 任意画一个三角形，其内角和是 180° D. 抛一枚硬币，落地后正面朝上 2. 在中，，，，则（　　） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系xOy中，以点(－3，4)为圆心，4为半径的圆( ) A. 与x轴相交，与y轴相切 B. 与x轴相离，与y轴相交 C. 与x轴相切，与y轴相交 D. 与x轴相切，与y轴相离 4. 将抛物线向右平移3个单位，再向下平移5个单位，所得抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，中，若，那么（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，已知是的内切圆，点是内心，若，则等于（　　） A. B. C. D. 7. 如图，正六边形中，，点是的中点，连接，则的长为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在△ABC中，E，F，D分别是边AB、AC、BC上的点，且满足，则四边形AEDF占△ABC面积的（ ） A. B. C. D. 9. 已知抛物线的图象恰好只经过三个象限，则字母的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是的直径，是切于A的切线，交于点D，E是劣弧的中点，连接交于点F，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（本大题共6小题，共30分） 11. 某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，该十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到绿灯的概率为______． 12. 一个小球由地面沿着坡度为的坡面向上前进，则此时小球距离地面的高度为________ 13. 抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，分别与相切于点C，D，延长交于点P．若，的半径为，则图中的长为________．（结果保留） 14. 如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，若∠C=22.5°，AB=6cm，则阴影部分面积为_____． 15. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线沿y轴向下平移t个单位，当平移后的抛物线与线段有且只有一个交点时，则t的取值范围是______． 16. 如图，边长为的等边三角形中，、分别在、上，且，、相交于点，连接，若，则______度，的长为______． 三、解答题（本大题共7小题，共80分） 17. 漳州市教育局到某校抽查七年级学生 “根据音标写单词”的水平，随机抽取若干名学生进行测试（成绩取整数，满分为100分）．如下两幅是尚未绘制完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次抽取的学生有 人； （2）该年段有450名学生，若全部参加测试，请估计60分以上（含60分）有 人； （3）甲、乙、丙是该校三名英语成绩优秀的学生，随机抽取其中两名学生介绍英语学习经验，请用树状图或列表法表示所有可能的结果，并求抽到甲、乙两名学生的概率． 18. 如图，图①是某电脑液晶显示器的侧面图，显示屏可以绕点O旋转一定的角度．研究表明：显示屏顶端A与底座B的连线与水平线BC垂直时(如图②)，人观看屏幕最舒适．此时测得，求的长度．(结果精确到)（参考数据：） 19. 已知的直径，弦与弦交于点E．且，垂足为点F． （1）如图，如果，求弦的长； （2）如图，如果E为弦的中点，求的余弦值． 20. 如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥AD且与AC的延长线交于点E. (1)求证：DC＝DE； (2)若tan∠CAB＝，AB＝3，求BD的长. 21. 如图，直线与轴正半轴交于点，与轴交于点，经过，两点的抛物线与轴负半轴交于点． （1）求和的值； （2）过点作轴交该抛物线于点，连结交轴于点，连结． ①求的度数； ②在轴上有一动点，直线交抛物线于点，若时，求此时点的坐标． 22. 已知，是的直径，点在上，点是延长线上一点，连接． （1）如图1，若． ①求证：直线是的切线； ②若，，求的长． （2）如图2，若点是弧的中点，交于点，，求的值． 23. 定义：若一个圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为圆美四边形． （1）请你写出一个你学过的特殊四边形中是圆美四边形的图形的名称______； （2）如图，在等腰中，，经过点A、B的圆交边于点D，交边于点E，连结．若四边形为圆美四边形，求的值； （3）如图，在中，经过A、B的圆交边于点D，交于点E，连结，交于点F．若在四边形的内部存在一点P，使得，连结交于点G，连结，若，．求证：四边形为圆美四边形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $