25.3实际问题与一元二次方程 第7课时 数字问题与几何图形问题 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程解决实际问题，核心内容为数字问题与几何图形问题。通过“温故知新”复习一元二次方程概念、解法及列一元一次方程步骤，搭建新旧知识支架，引导学生自然过渡到新知学习。 其亮点在于以真实情境（如矩形围绳、壮锦镶边）培养学生数学眼光，通过不同设元方法比较（例2三种设法）发展数学思维（推理与运算能力），课堂小结结构化提炼步骤与方法强化数学语言表达。分层练习含静态与动态问题，助力学生提升实际问题解决能力，为教师提供清晰教学思路与资源。

第二十五章 一元二次方程 25.3实际问题与一元二次方程 第7课时 数字问题与几何图形问题 学习目标： 1.掌握列一元二次方程解决实际问题的一般步骤.（重点） 2.能从实际问题(如几何图形、存在性问题)中抽象出数量关系，列出一元二次方程，并根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理.（难点） 温故知新 1.什么叫一元二次方程？ 2.一元二次方程的一般形式是怎样的？ 一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程. ax2+bx+c = 0（a ≠ 0） 3.什么叫一元二次方程的解（根）？ 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根. 4.解一元二次方程的基本思路是什么？ 5.解一元二次方程有哪些方法？ 降次，把一元二次方程转化成一元一次方程 直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法 6.列一元一次方程解应用题的一般步骤有哪些？ （1）审题 （2）设未知数 （3）列方程 （4）解方程 （5）检验 （6）写出正确答案 本节课开始学习列一元二次方程解应用题 探究1 例1.是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？ 解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为 x，x+1，x+2，其中x为正整数. 由勾股定理，得 x2 +(x+1)2 = (x+2)2. 因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为 3，4，5. 解方程，得 x1=3，x2= – 1（不符合题意，舍去）. 解决数字问题的关键是用代数式表示出其他数，设未知数时通常采用间接设元法，即设这个数为x，然后将其他数用含x的代数式表示出来，最后根据题中的数量关系列方程. 探究2 例2.用一根长为40 m的细绳，能否围成一个面积为96 m2的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？ 解：设矩形的一边长为 x m，由矩形的周长为 40 m，可得此边的邻边长为 (20–x) m；再由矩形的面积为 96 m2，得 x(20–x) = 96. 解方程，得 x1= 12，x2=8. 因此，用一根长为 40 m 的细绳可以围成面积为 96 m2 的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为 8 m，12 m. 方程有两个根，是否表示可以围成两个满足条件的矩形区域？ 由矩形的周长为 40 m，得 解方程，得 x1= 12，x2=8. 解：设一边长为 (10+x) m，那么其邻边长为 (10–x) m. 由矩形的面积为 96 m2，得 (10+x)(10–x) =40. 解方程，得 x1=2，x2= – 2. 当 x=2 时，边长为 10+2=12m，10–2=8m； 当 x= –2 时，边长为10–2=8m，10+2=12m. 比较这些设法，说说它们各自的特点. 由矩形的周长为 40 m，得 解方程，得 x1= 12，x2=8. 解：设一边长为 (10+x) m，那么其邻边长为 (10–x) m. 由矩形的面积为 96 m2，得 (10+x)(10–x) =40. 解方程，得 x1=2，x2= – 2. 当 x=2 时，边长为 10+2=12m，10–2=8m； 当 x= –2 时，边长为10–2=8m，10+2=12m. 直接利用面积关系表示邻边，方程会出现分式，需要去分母化为整式方程，步骤稍多. 利用 “和为定值” 设未知数，直接用平方差公式，方程非常简洁，计算量小，能快速得到结果. 课堂小结 1. 列一元二次方程解应用题的一般步骤： （1）审题 ：找出等量关系及数量关系（重点） （2）设未知数 （3）列方程 （4）解方程 （5）检验方程的解是否符合题意 （6）写出正确答案 2.利用一元二次方程解决规则图形问题时，常利用规则图形的面积、体积或周长公式等建立方程进行计算； 3.根据条件灵活选择设元方式，优先用能简化运算的技巧，同时保证解的合理性验证. 分层练习 1.怎样用一根长为 40 m 的细绳围成一个面积为 75 m2 的矩形区域？能围成一个面积为 101 m2 的矩形区域吗？如果能，说明围法；如果不能，说明理由. 解：设矩形的长为 x m，宽为 (20–x) m. 当矩形面积为 75 m2 时，x(20–x)=75， 解方程，得x1=15，x2=5（不合题意，舍去）. 所以，矩形的长为 15 m，宽为 5 m 时，面积为 75 m2. 当矩形面积为 101 m2时，x(20–x)=101， 因为此方程无实数根，所以，不能围成面积为101m2的矩形区域. 2.如图，矩形ABCD的两条邻边AD=1，DC=4，AB 上是否存在点 E，使得∠DEC 为直角. 3.现需将长为 3m、宽为 2m 的壮锦四周镶上宽度相等的锦缎边饰，制成一幅矩形挂画，如图所示.设边饰的宽度为 x m. （1）请用含 x 的式子分别表示挂画的长和宽； 解：由图可知挂画的长为(3+2x) m，宽为 (2+2x) m. （2）若整幅挂画的面积是 12m2，求锦缎边饰的宽度. 解：由题意，得(3+2x)(2+2x)=12. 解得x1=0.5，x2= –3（不符合题意，舍去）. 答：锦缎边饰的宽度为 0.5m . 4.如图，在宽为 20 m、长为 32 m 的矩形地面上修筑等宽的道路（图中黄色部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540m2，求道路的宽. 平移转化 解：设道路的宽为 x m. 由题意得(20–x)(32–x)=540， 解得 x1=50（不符合题意，舍去），x2=2. 答：道路的宽为 2m. 5.如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16 cm，AD=6 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P 以 3 cm/s 的速度向点 B 移动，一直到达点B为止，点Q以 2 cm/s 的速度向点D移动.当点P停止运动时，点Q的运动也随之停止. P，Q两点出发几秒时，点P 和点Q之间的距离是10 cm？ A D B C P Q A D B C P Q E $